Книги по разным темам Журнал технической физики, 2001, том 71, вып. 11 Краткие сообщения 01;05;09 Поглощение электромагнитного излучения металлической частицей цилиндрической формы й Э.В. Завитаев, А.А. Юшканов, Ю.И. Яламов Московский педагогический университет, 107005 Москва, Россия (Поступило в Редакцию 25 января 2001 г.) Проведено вычисление сечения поглощения электромагнитного излучения в металлической частице цилиндрической формы. Расчет выполнен в низкочастотном пределе, когда вклад вихревых токов в поглощение доминирует, и для сравнительно мелких частиц (радиусом 10 nm), что позволяет пренебречь скинэффектом. Подробно рассмотрен случай, когда длина свободного пробега электронов в объеме металла значительно превышает радиус цилиндрической частицы. Произведено сравнение удельных сечений поглощения сферической и цилиндрической частиц.

Введение Немного ранее в предельном случае R на низких частотах (дальний ИК диапазон) результат, совпадающий Электромагнитные свойства малых металлических час [3,4], получен в работах [5,6]. В упомянутых работах стиц могут существенно отличаться от свойства массивприменяется подход, основанный на решении кинетиных образцов металла [1]. Если линейный размер R ческого уравнения Больцмана для электронов проводиобразца металла будет порядка Ч длины свободмости в металле. Альтернативный подход к проблеме ного пробега электронов или меньше ее R <, то предложен и развивается в работах [7,8]. В последвзаимодействие электронов с границей металлического нее время возрос интерес к проблеме взаимодействия образца начинает оказывать заметное влияние на их электромагнитного излучения с несферическими частиотклик на внешнее электромагнитное поле. Следствием цами [9]. Отметим также работы, в которых предприэтого и являются особые оптические свойства образца нята попытка учета квантово-механических эффектов в (металлической частицы). Поэтому, когда выполняется данной проблеме, что особенно существенно при низких условие R <, одна из основных оптических характетемпературах [10Ц12].

ристик Ч сечение поглощения обнаруживает нетривиВ настоящей работе кинетическим методом рассчиальную зависимость от отношения R/. При комнатной тана функция распределения, описывающая линейный температуре в металлах с хорошей проводимостью (алюотклик электронов проводимости в металлическом циминий, медь, серебро и др.) длина свободного пробега линдре на переменное магнитное поле плоской элекэлектронов лежит в следующих характерных пределах:

тромагнитной волны. Особое внимание уделено случаю, 10-100 nm. Размеры же экспериментально исследуемых когда длина свободного пробега электронов существенчастиц достигают нескольких nm, т. е. ситуация R < но превышает радиус цилиндра (свободно-электронный реализуется.

режим) R. По найденной функции распределения В качестве аппарата, способного описывать отклик удается рассчитать зависимость сечения поглощения от электронов на внешнее электромагнитное поле с учетом радиуса и частоты и сравнить с сечением поглощения взаимодействия электронов с границей образца, может сферической частицы.

быть использована стандартная кинетическая теория электронов проводимости в металле [2]. В этом случае ограничения на соотношение между длиной свободного Математическая модель и расчет пробега электронов и размером образца не накладываРассматривается цилиндрическая частица немагнитноются.

го металла радиуса R и длины L (L R) в поле Уравнения макроскопической электродинамики приплоской электромагнитной волны частоты, которая менимы лишь в случае ФмассивныхФ образцов: R.

Поэтому известная теория Ми, которая описывает взаи- ограничена сверху частотами ближнего ИК диапазона (<21015 s-1). Принимается, что направление магнитмодействие электромагнитной волны с металлическими ного поля в электромагнитной волне совпадает с осью телами в рамках макроскопической электродинамики, непригодна для описания упомянутого размерного эф- цилиндра. Неоднородность внешнего поля волны и скинфекта. эффект не учитываются (предполагается, что R < Ч В работах [3,4] была построена теория взаимодействия глубины скин-слоя). В рассматриваемом диапазоне чаэлектромагнитного излучения с сферической частицей. стот вклад токов дипольной электрической поляризации Поглощение электромагнитного излучения металлической частицей цилиндрической формы будет мал по сравнению с вкладом вихревых токов, кото- Задача сводится к отысканию отклонения f1, функции рые индуцируются внешним магнитным полем волны [3]. распределения, от равновесной f0, возникающего под Поэтому действие внешнего электрического поля волны действием вихревого поля (2). В линейном приблине учитывается.

жении по внешнему полю функция f1 удовлетворяет Также используются общепринятые физические допу- кинетическому уравнению [2,14] щения: электроны проводимости рассматриваются как f1 f0 fвырожденный ферми-газ и описывается их отклик на -i f1 + v + e(vE) = -, (7) внешнее переменное магнитное поле с помощью урав- r нения Больцмана в приближении времени релаксации.

где предполагается стационарная зависимость от времеВ граничных условиях принято, что отражение электрони ( f1 exp(-it)), а интеграл столкновений взят в нов от внутренней поверхности цилиндра происходит приближении времени релаксации диффузно (т. е. электрон может отразиться под любым углом от 0 до 90 градусов с равной вероятностью).

f(df1/dt)col = -, (8) Опираясь на перечисленные выше допущения, процесс поглощения энергии электромагнитной волны можно где Ч электронное время релаксации.

описать следующим образом: однородное периодическое Для однозначного определения функции f1 необходипо времени магнитное поле волны H = H0 exp(-it) мо задать для нее граничное условие на цилиндрической вызывает появление в частице вихревого электрического поверхности частицы. В качестве такового принимаем поля. Оно в силу симметрии задачи определяется из условие диффузного отражения электронов от поверхуравнения индукции Максвелла ности [2] 1 H rot E = - (1) c t |r| = R, f (r, v) =0 при (9) rv < 0, и может быть представлено в виде 1 H где r и v Ч соответственно проекции радиус-вектора E = r, = [r, H0] exp(-it), (2) электрона r и его скорости v на плоскость перпендику2c t 2ic лярную оси цилиндра.

где r Ч радиус-вектор (начало координат выбирается на Решая уравнение (7) методом характеристик [15], оси частицы), c Ч скорость света.

получаем Вихревое электрическое поле воздействует на элек троны проводимости в частице и вызывает отклонение ff1 = A exp(-t ) - 1 /, t 0, (10) их функции распределения f от равновесной фермиевской fгде = 1/ - i, mvf (r, v) = f0() + f1(r, v), =, (3) 2 f0 e fA = e(vE) = [v, r]H0 exp(-it). (11) где v и m Ч скорость и масса электрона.

2ic Это приводит к возникновению вихревого тока Причем и A постоянны вдоль траектории (характе2d3(mv) m 3 ристики). Параметр t имеет смысл времени движения j = e v f = 2e v f1d3v (4) электрона вдоль траектории от границы до точки r со h3 h скоростью v и определяется как (h Ч постоянная Планка, e Ч заряд электрона), а также к диссипации в объеме частицы энергии. Энергия Q, t = rv +[(rv)2 +(R2 - r)v2 ]1/2 /v2. (12) диссипируемая в единицу времени, равна [13] Это ясно из следующих геометрических соображений.

Q = e Re E(Re j)d3r = Re jEd3r. (5) 2 Используя очевидное векторное равенство r = r0 + vt, где r0 Ч радиус-вектор электрона в момент отражения Здесь чертой обозначено усреднение по времени, а от границы частицы, и проектируя его на плоскость, звездочкой Ч комплексное сопряжение. В формуле (4) перпендикулярную оси цилиндра, имеем r = r0+vt, используется стандартная нормировка функции распрегде векторы r, r0 и v являются компонентами исходделения f, при которой плотность электронных состояных векторов в плоскости проекции. Возводя обе части ний равна 2/h3. Для равновесной функции f0() далее последнего равенства в квадрат и разрешив полученное используется ступенчатая аппроксимация [14] уравнение относительно t, приходим к формуле (12).

1, 0 f, Соотношениями (10)Ц(12) полностью определено реf0() =(f - ) = (6) шение f1 уравнения (7) с граничным условием (9), что 0, f <, позволяет рассчитать ток (4) и диссипируемую мощгде f =(mv2)/2 Ч энергия Ферми. ность (5).

f 8 Журнал технической физики, 2001, том 71, вып. 116 Э.В. Завитаев, А.А. Юшканов, Ю.И. Яламов При вычислении интегралов (4), (5) удобно перейти Введем новые переменные к цилиндрическим координатам как в пространстве координат (r,, rz; полярная осьЦось Z; вектор H0 паралR = cos + 1 - 2 sin2 и z = - i. (15) лелен оси Z), так и в пространстве скоростей (v,, vz;

vf полярная осьЦось v). Ось цилиндра совпадает с осью Z.

Поле (2) в цилиндрических координатах имеет лишь Тогда выражение (14) принимает вид -компоненту i vf E = Ee; E = rH0 exp(-it). (13) m 3 2 v 2c j = 2 e2E h m v2 - vf Соответственно и ток (4) обладает лишь -ком- 0 понентой (линии тока являются замкнутыми окружно- zvf стями с центрами на оси Z в плоскостях, перпендику 1 - exp - sin2 dvd. (16) v лярных оси Z) m 3 1 fВ дальнейшем подробно остановимся на случае, когда j = 2e ve(vE) exp(-t) - 1 d3v h частота поля и частота столкновений электронов в объеме металла (1/ ) низки по сравнению с часто m 3 той столкновения электронов с поверхностью частицы.

= E2e2 v2 ( - f ) 1 - exp(-t) d3v h Другими словами, рассмотрим случай |z| 1. Тогда выражение для тока j можно представить в виде vf m 3 1 = E2e2 v2 sin vf h m m 3 2 v0 0 j = 2 e2E h m v2 - v f 1 0 vz- v2 -v2 1-exp(-t) vdvddvz f z zvf v2 - f f sin2 dvd. (17) v vf m 3 1 2 v = E2e2 По формуле (5) находим теперь среднюю диссипируеh m v2 - vмую мощность Q и, разделив ее на средний поток энерf 0 гии в волне cH0 /8, получаем сечение поглощения 1 - exp(-t) sin2 dvd. (14) 1 8 1 8 m Действительно, воспользовавшись свойствами -функ = Re( jE)d3r = 2 2 cH0 2 cH0 h ции, имеем 2 i 2 i ( - f ) = (v2 + v2 - v2) = [v2 - (v2 - v2 )] e2 H0 exp(-it) zvf - H0 exp(-it) z f z f m m 2c m 2c vf R 2 L = vz - v2 - v2 vz + v2 - vf f vm rdrddrz sin2 dvd v2 - vf 1 0 0 0 0 = vz - v2 - vf m v2 - vf 1 23m2e22Lv2Rf = 3d sin2 d. (18) + vz + v2 - v2.

f h3c0 В силу симметрии задачи интегрирование по всему диапазону скоростей vz заменяется интегрированиИнтеграл (18) вычисляется в явном виде. Для этого во ем по положительному диапазону, и результат удваивнутреннем интеграле производится замена переменной вается. Преобразуем выражение (12), введя обозначеинтегрирования по формуле (15), из которой ние = r/R и пользуясь тем, что rv = rv cos.

следует, что Получаем 2 + 2 - 1 2 - 2 + cos, d(cos ) = d. (19) t = R cos + 1 - 2 sin2 v.

2 Журнал технической физики, 2001, том 71, вып. Поглощение электромагнитного излучения металлической частицей цилиндрической формы В результате сечение поглощения можно вычислить а так как концентрация электронов в металле следующим образом:

m 3 4vf n = 2, 1 h 23m2e22Lv2Rf = 3d cos то h3c22e2LR5n0 =. (22) 5c3mvf 23m2e22Lv2Rf + 1 - 2 sin2 sin2 d = h3cОбсуждение результатов Классическое сечение поглощения для цилиндра вы 3d cos + 1 - 2 sin2 sin2 d числяется следующим образом:

0 1 8 1 I1 = Re( jE)d3r = (0E)(E)d3r 2 2 cH0 2 cH+ cos + 1 - 2 sin2 sin2 d 1 8 i (-i) = 0 H0 exp(-it) H0 exp(-it) 2 cH0 2c 2c 23m2e22Lv2Rf R 2 L = 3d h3c02R42L 3 0 rdrddrz = 4mc 0 0 1+ (2 + 2 - 1)2 2 - 2 + 1 - d 2e2nR4 L422 =. (23) 1- 2mcМы учли, что 0 =(e2n )/m Ч статическая проводи1мость металла.

(2 + 2 - 1)2 2 - 2 + + 1 - d. (20) Сравним сечения поглощения цилиндра, рассчитанные 422 1+ классическим способом и с помощью кинетического метода. Имеем Далее изменяется порядок интегрирования 1 4R=. (24) I1 5 vf 1 1+ 1По аналогии легко вычисляется и классическое сечеd d(... ) + d(... ) ние поглощения для шара 0 1- 1+ 82e2n R1 1 2 1 I2 =. (25) 15mc= 2 d d3(... ) + d d3(... ) Найдя отношение удельных (на единицу объема) клас0 1- 1 -сических сечений поглощения цилиндра и шара, если их 2 1 радиусы равны, получаем = 2 d d3(... ). (21) I,II,= 1.25. (26) I,II,0 -Сравним поглощение сферической и цилиндрической Поскольку частиц в низкотемпературном случае. Оценки для сфери1 ческой частицы можно получить, используя работу [3], (4 - 2)3/d3(... ) = d3(... ) =, 2ne2R32 ne2R1 II1 =, II2 =. (27) -1 15mc3vf 5mc3vf то имеем Найдя отношение удельных сечений поглощения ци2 линдра и шара (если их радиусы равны), имеем 43m2e22Lv2R5 (4 - 2)3/f = IIh3c3 = 1.6. (28) IIТаким образом, точный кинетический расчет дает су163m2e22Lv2Rf =, щественную поправку к классическому результату.

15h3cЖурнал технической физики, 2001, том 71, вып. 118 Э.В. Завитаев, А.А. Юшканов, Ю.И. Яламов Список литературы [1] Морохов И.Д., Петинов В.И., Трусов Л.И. и др. // УФН.

1981. Т. 133. 653 с.

[2] Займан Дж. Электроны и фононы. М.: ИЛ, 1962. Гл. 11.

[3] Лесскис А.Г., Пастернак В.Е., Юшканов А.А. // ЖЭТФ.

1982. Т. 83. Вып. 1. С. 310Ц317.

[4] Лесскис А.Г., Юшканов А.А., Яламов Ю.И. // Поверхность. 1987. № 11. С. 115Ц121.

[5] Trodahl H.J. // Phys. Rev. 1979. Vol. B. 19. P. 1316Ц1317.

[6] Trodahl H.J. // J. Phys. C. 1982. Vol. 15. P. 7245Ц7254.

[7] Бондарь Е.А. // Опт. и спектр. 1983. Т. 75. Вып. 4. С. 837 - 840.

[8] Бондарь Е.А. // Опт. и спектр. 1996. Т. 80. № 1. С. 89Ц95.

[9] Томчук П.М., Томчук Б.П. // ЖЭТФ. 1997. Т. 112.

Вып. 2(8). С. 661Ц678.

[10] Kubo R.J. // Phys. Soc. Jap. 1962. Vol. 17. P. 975.

[11] Горьков Л.П., Элиашберг Г.М. // ЖЭТФ. 1955. Т. 48.

С. 1407.

[12] Лушников А.А., Максименко В.В., Симонов А.Я. Диспергированные металлические пленки. Киев: Изд-во АН УССР, 1976. С. 72.

[13] Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Электродинамика сплошных сред. М.: Наука, 1992. 664 с.

[14] Харрисон У. Теория твердого тела. М.: Мир, 1972.

[15] Курант Р. Уравнения с частными производными. М.: Мир, 1964. Гл. 2.

   Книги по разным темам