Книги по разным темам
Журнал технической физики, 2001, том 71, вып. 4 01;10 Расчет матрицанта третьего порядка для секторного электростатического поля й С.Н. Мордик, А.Г. Пономарев Институт прикладной физики НАН Украины, 244030 Сумы, Украина (Поступило в Редакцию 12 мая 2000 г.) Предложен метод исследования ионно-оптических свойств электростатических сектoрных анализаторов заряженных частиц на основе метода матрицантов. Полученные матрицанты можно эффективно применять для решения задачи динамики пучка в электростатических секторных полях с учетом краевых эффектов как в рамках прямоугольной, так и гладкой моделях поля.Многие современные методики исследования твердого определяемой радиусом кривизны. Данная система тела и плазмы основаны на анализе масс- и энергетиче- координат полностью совпадает с системой, применяских спектров заряженных частиц. В этих исследованиях емой Брауном [5]. Связь между декартовой системой применяются электростатические и магнитные анализа- координат x,, z с началом координат в точке начала торы. При исследовании ионно-оптических свойств ана- движения осевой частицы и выбранной системы коордилизаторов заряженных частиц наиболее широкое распро- нат с началом координат, размещенным в центре радиуса странение нашли матричные методы решения уравнений кривизны реперной частицы, записывается в виде движения пучка в электрических и магнитных полях x =(x + ) cos(s/) -, = y, z =(x + ) sin(s/).
различной структуры. Матричный метод реализован в наиболее известном численном коде TRANSPORT [1].
Рассмотрим нерелятивистский случай движения чаУсовершенствованный вариант этой программы позволястиц в выбранной системе координат. С учетом того, ет производить расчет транспортировки пучка в статичечто коэффициенты Ламэ для данной системы координат ских ускорительных и магнитных структурах с третьим h1 = 1, h2 = 1, h3 = 1 + x/, траекторные уравнения порядком аппроксимации исходных уравнений движения.
можно записать в виде [6] Из-за отсутствия элемента типа электростатического тороидального секторного конденсатора данный код не GT h3 q(T )может быть применен при расчетах масс-анализаторов с x + x - = Ex, mдвойной фокусировкой, содержащих этот элемент.
В данной статье, в рамках прямоугольной модели поля, GT q(T )получено аналитическое выражение для матрицанта 3-го y + y = Ey, (1) mпорядка (частным случаем которого является матрица где переноса в лучевой оптике) секторного электростатичеd q T Es 2x ского поля тороидального конденсатора с учетом краG = = - ;
ds T mh3 T hевых эффектов с помощью метода матрициантов [2,3].
Полученная матрица P(3) может быть использована как T = h2 + x 2 + y 2;
для численного (с помощью метода челнок-сумм [4]), так и аналитического (в рамках прямоугольной модештрих означает дифференцирование по s; T Ч абсоли поля методом матрициантов [2,3]) для определения лютная величина элемента длины траектории при одноаберрационных коэффициентов 3-го порядка по фазовременном приращении всех трех координат;, m, q Ч вым переменным. Верхние четыре строки матрицанта, скорость, масса и заряд частицы соответственно.
полученного в результате аналитического либо численОпределим 2 как функцию приращения потенциала ного решения системы дифференциальных уравнений поля в каждой точке относительно потенциала точек движения заряженных частиц, содержат информацию центральной траектории об аберрационных коэффициентах исследуемой ионнооптической системы. Использование консервативных меp2 Ux 2 = (1 + 2) -, (2) тодов расчета матрицантов (обеспечивается полное соm2 Uхранение фазового объема на каждом шаге вычислений) при исследованиях конкретных ионно-оптических систем где Ч скорость частицы массы m = m0 с разбросом масс-анализаторов позволит уточнить условия транспор- по импульсу =p/p0; Ux Ч разность потенциала тировки пучков заряженных частиц через эти системы.
между точкой M(x, y, s) траектории иона и точками на Введем натуральную систему координат x, y, s, свя- оси x = 0, y = 0; U0 Ч ускоряющее напряжение занную с произвольной плоской кривой, однозначно источника ионов.
106 С.Н. Мордик, А.Г. Пономарев b Учитывая условие симметрии, выражения для потен- 0 t < a, t b, ( )+( - t)d = циала V(x, y, s) и напряженности электрического поля (t + 0) a t < b, E(x, y, s) с точностью до третьего порядка разложения a+в ряд вблизи осевой траектории имеют вид:
b 0 t < a, t b, (r) 1 1 1 ( )+ ( - t)d = V(x, y, s)=V10(s)x + V20(s)x2 + V30(s)x3 + V40(s)x4 (-1)r (r)(t + 0) a t < b.
2 6 a+1 1 1 Для гладкой модели поля + V02(s)y2 + V12(s)xy2 + V22(s)x2y2, 2 2 1 s1
Ey(s) =V02(s)y + V12(s)xy + V22(s)x2y, 2 1 + eC4 + C5 + C6 + C (7) 1 1 Es(s) = V10(s)x + V20(s)x2 + V30(s)xТочки s1 и s2 определяют границы рассеянных полей.
h3 2 3! Гладкая модель применяется с целью аппроксимации ре1 1 ального продольного распределения поля с достаточной + V02(s)y2 + V12(s)xy2. (3) степенью точности, чтобы учесть влияние рассеянных 2 полей на динамику пучка в конкретной ионно-оптической С учетом того, что электрический потенциал V должен системе.
удовлетворять уравнению Лапласа V = 0, и для Приеним метод погружения в пространство фазовых тороидального конденсатора моментов [2] для решения траекторных уравнений.
ae Определим фазовые моменты третьего порядка Ex(x, 0, s) =E0(s) [7] Q(3)={x, x, y, y, x2, xx, x 2, y2, yy, y 2, xy, x y, xy, x y, + x ae + x x3, x2 x, x x 2, x 3, x y2, x y y, x y 2, x y2, x y y, получим выражения для компонент потенциала с точно- xy, y3, y2y, yy 2, y 3, yx2, yxx, yx 2, y x2, y xx, y x 2}.
стью до 3-го порядка разложения в ряд вблизи осевой Систему траекторных уравнений (1) запишем в матраектории тричном виде V10(s) =E0(s), V20(s) =E0(s)(-g - h), d (3) (3).
Q = P(3)(s)Q (8) ds V30(s) =E0(s)(g2 + hg + h2), После преобразований получим матрицу P(3) в виде V40(s) =6E0(s)(-g3 - hg2 - h2g - h3), V02(s) =E0(s)g, V12(s) =E0(s)(-2g2 - hg) - E0(s), P(3) = V22(s) =E0(s)(6g3 + 4hg2 + 2h2g) +E0(s)(g + 5h), (4) 1. P 0 P1.3 P1.4 0 P1.6 P1.7 0 0 P2.2 0 0 P2.5 0 0 P2.8 P2. где h = 1/, g = 1/ae, ae Ч радиус кривизны электродов 0 0 P3.3 0 0 P3.6 P3.7 0 тороидального конденсатора.
0 0 0 P4.4 0 0 P4.7 0 Потенциал для топоидального конденсатора с учетом 0 0 0 0 P5.5 0 0 P5.8 P5.9, малых деформаций электродов [8] в данной работе не 0 0 0 0 0 P6.6 0 0 рассматривался. Выражение для напряженности электро 0 0 0 0 0 0 P7.7 0 статического поля может быть представлено в виде 0 0 0 0 0 0 0 P8.8 E0( ) =E0 ( ). (5) 0 0 0 0 0 0 0 0 P9.Для прямоугольной модели поля 0 1 0 0 P1.1 =, P1.3 =, -k 0 -h3n2 - h3 he1 h ( ) =u+( - s0) - u+(s - ), (6) 00 где u+(t) Ч ступенчатая функция [9], удовлетворяющая P1.4 =, условиям h e2 + h3 n2 - 7n + 3 0 -h d 2 u+(t) =+(t), dt Журнал технической физики, 2001, том 71, вып. Расчет матрицанта третьего порядка для секторного электростатического поля 00 0 P1,6 =, h4 -n3 + 4n2 - 8n + 1 1 e2h2(n - 3) -h2(n + 1) 3 3 3 00 0 0 P1.7 =, h e2(n - 1) +h4(3n3 - 13n2 + 19n + 3) 0 h2(1 - n) e2h2 1 - 1n 0 2 0 1 00 0 P2.2 =, P2.5 =, - f 0 e2h + h3(2n2 - 5n + 2) e1h 0 2h 00 0 P2.8 =, h (-n2 + 4n - 4) 1 e2h2(2 - n) h2(n - 2) 00 0 0 P2.9 = 2, h e2(n + 1) +h4(3n3 - 11n2 + 13n - 6) 0 h2(n - 2) h2 e2(n - 3) -2h2 2 0 2 0 00 0 P3.3 = -k 0 1, P3.6 = -h3(n2 + 1) +1 e1hh 0, 0 -2k 0 0 -2h3(n2 + 1) 2e1h 2h 00 0 00 h P3.7 =, 00 2e2 + h3(n2 - n + 3) 0 -h 00 0 he2 + h3(2n2 - 7n + 6) 0 -2h 0 1 1 0 2 - f 0 0 P4.4 = - f 0 1, P5.5 =, -k 0 0 0 -2 f 0 -k - f 00 0 0 0 P4.7 = he2 + h3(2n2 - 5n + 2) 00 0 2h 0, 02he2 + h3(4n2 - 10n + 4) 2he1 0 0 4h 00 0 00 0 h P5.8 =, 2 e2 + h3(n2 - n + 3) 0 -h h 0 e2 + h3 n2 - n + 3 0 -h 2 00 0 0 0 he + h3(2n2 - 5n + 2) 00 he1 2h P5.9 =, -h3(n2 + 1) he1 h 00 0 he2 + h3(2n2 - 5n + 2) 0 -h3(n2 + 1) 2he1 3h Журнал технической физики, 2001, том 71, вып. 108 С.Н. Мордик, А.Г. Пономарев аналитические решения для уравнения (11) врамкахпра 0 3 0 моугольной модели поля для диагональных матричных блоков Xk,k, где k = 2, 4, 5,..., 9 несложно получить -k 0 2 P6.6 =, при помощи простых алгебраических вычислений. На -2k 0 пример, для x2 строки матричного блока X3.3 из 0 0 -3k 2 x2 = r11x0 + r12x 0 2 = r11x2 + 2r11r12x0x 0 + r12x 0 (12) 0 2 0 1 0 0 3.3 2 3.3 3.3 получаем X1.1 = r11, X1.2 = 2r11r12, X1.3 = r12. Для - f 0 1 0 1 недиагональных блоков Xi,k, k > i имеет место общая формула [7] 0 -2 f 0 0 0 P7.7 =, -k 0 0 0 2 s k j,k -k 0 - f 0 1 Xi,k(s/s0) = Xi, j(s/ )Pi, j( )X (/s0)d. (13) j=1+i s0 0 -k 0 -2 f Для прямоугольной модели поля интегралы в (13) мо 0 3 0 гут быть взяты в квадратурах, а следовательно, элементы - f 0 2 матрицанта X(P(3), s/s0) будут иметь аналитический вид.
P8.8 = -2 f 0 1, Так как рашения уравнений 0 0 -3 f dX1.1(s/s0) =P1.1(s)X1.1(s/s0), X1.1(s0/s0)=I, (14) ds 0 2 0 1 0 dX2.2(s/s0) -k 0 1 0 1 =P2.2(s)X2.2(s/s0), X2.2(s0/s0)=I, (15) ds 0 -2k 0 0 0 P9.9 =, (9) для матрицы (6) можно записать в виде - f 0 0 0 2 - f 0 -k 0 r11 r X1.1 = 0 0 - f 0 -2k r21 r g g E0(s) E2 (s) где k = nh2, n = 2 -, f =, e1 =, e2 =. cos k(s - s0) sin k(s - s0) k h h E0 E=, Решение уравнения (8) записывается через матрицант - k sin k(s - s0) cos k(s - s0) в виде (16) Q = X P(3), s/s0 Q0, (10) q11 qX2.2 = q21 qгде матрицант X(P(3), s/s0) имеет, как и матрица коэффициентов P(3), верхнюю треугольную блочную структуру cos f (s - s0) sin f (s - s0) f =, X P(3), s/s0 = - f sin f (s - s0) cos f (s - s0) (17) 1. X 0 X1.3 X1.4 0 X1.6 X1.7 0 0 в случае цилиндрического конденсатора 0 X2.2 0 0 X2.5 0 0 X2.8 X2. 0 0 X3.3 0 0 X3.6 X3.7 0 q11 q12 1 (s - s0) 0 0 0 X4.4 0 0 X4.7 0 X2.2 = =. (18) q21 q22 0 0 0 0 0 X5.5 0 0 X5.8 X5.9, 0 0 0 0 0 X6.6 0 0 Получим аберрационные коэффициенты второго по 0 0 0 0 0 0 X7.7 0 x,x рядка по фазовым переменным Q(2) = {x, x, x2, xx, x 2}.
0 0 0 0 0 0 0 X8.8 Для этого необходимо вначале найти элементы матрич0 0 0 0 0 0 0 0 X9.s ного блока X1.3(s/s0) = X1.1(s/ )P1.3( )X3.3(/s0)d, и удовлетворяет дифференциальному уравнению s где X1.1(s/ ) определяется из (16), P1.3( ) из (9), X P(3), s/s0 = P(3)X P(3), s/s0, X3.3(/s0) из (12).
Матрицу переноса 2-го порядка по фазовым перемен X P(3), s0/s0 = I, (11) x,x ным Q(2) можно записать следующим образом:
где I Ч единичная матрица.
X1.1(s/s0) X1.3(s/s0) Пусть ri, j Ч элементы блочной матрицы X1.1; qi, j Ч MQ (s/s0) =.
(2) элементы блочной матрицы X2.2; i, j = 1.2. Тогда x,x 0 X3.3(s/s0) Журнал технической физики, 2001, том 71, вып. Расчет матрицанта третьего порядка для секторного электростатического поля Матрица переноса 2-го порядка по фазовым переменa|a2 = R(2) = (2 - n + 2n2)SC 2.3n3/x,a ным Q(2) в декартовой системе координат будет иметь вид h +(-2 + n - 2n2)S + - SC, R(2)(s/s0) =MQ(2)(s/s0) =A(2)y,s)(x,,z) n x,a (x, где S = sin k(s - s0), C = cos k(s - s0), параметр MQ (s/s0)A(2),z)(x,y,s), (19) (2) (x, x,x = 1, если функция описывается уравнением (6), если положить параметр = 0 (E (s) = 0, E (s) = 0), где мы получаем уравнения [7,9], широко используемые при 1 0 0 0 0 1 0 -h 0 расчетах ионно-оптических систем для случая, когда учет полей рассеивания производится путем замены A(2)y,s)(x,,z) = 0 0 1 0 0, (x, реального поля идеальным полем, эквивалентным по 0 0 0 1 углу поворота.
0 0 0 0 Для получения матрицы переноса 3-го порядка по фаx,x,y,y, зовым переменным Q(3) используем формулу Коши 1 0 0 0 0 s 0 1 0 h Q = X(P, s/s0)Q0 + X(P, s/ )( )d. (20) A(2),z)(x,y,s) = 0 0 1 0 (x, s 0 0 0 1 0 0 0 0 Матрица переноса 3-го порядка по фазовым переx,a,,b, менным Q(3) в декартовой системе координат будет иметь вид Ч матрицы преобразования координат, которые несложно получить из граничных условий R(3)(s/s0) =A(3)y,s)(x,,z) (x, dx x d y a = =, b = =.
MQ (s/s0) A(3),z)(x,y,s), (21) dz 1 + hx dz 1 + hx (3) (x, x,x,y,y, Таким образом, аберрационные коэффициенты 2-го где порядка для прямоугольной модели поля записываются s в виде MQ (s/s0)= X(P(3), s/s0), X(P(3), s/ )(3)( )d (3) x,x,y,y, h sx|x2 = R(2) = (-2 + n - 2n2) 1.3n Ч расширенная матрица переноса в пространстве +(1 - 2n + n2)C +(1 + n + n2)C2, x,x Q(3),y,y,.
Матричный блок определяется при помощи ме1 тода погружения в пространство фазовых моментов x|xa = R(2) = 2(1 + n + n2)SC 1.Q(3) = {, x, x, 2,..., 3}.
3n3/ Аберрационные коэффициенты 3-го порядка для прямоугольной модели поля записываются в виде +(-2 + n - 2n2)S + S, n x,a,,b, 1,i x,a,,b, 2,i x | Q(3) = R(3), a | Q(3) = R(3), x|a2 = R(2) = - (1 - 2n + n2) 1.3hnx,a,,b, 3,i x,a,,b, 4,i | Q(3) = R(3), b | Q(3) = R(3), (22) +(-2 + n - 2n2)C +(1 + n + n2)C2, где i Ч порядковый номер фазовой переменной.
hДля прямоугольного продольного распределения поля a|x2 = R(2) = (-2 + n - 2n2)SC 2.3 - n электростатического тороидального секторного конден сатора с учетом краевых эффектов получены аналити +(-1 + 2n - n2)S + h2 nSC, ческие выражения для всех элементов матрицанта, а следовательно и для всех коэффициентов аберраций 3-го h порядка. Получена матрица коэффициентов P(3) с учетом a|xa = R(2) = (-2 + n - 2n2) +(-2 + n - 2n2)C 2.краевых эффектов для вычисления матрицанта в случае 3n гладкой модели продольного распределения численным +(-2 + 4n + 4n2)C2 + h(C + S2 - C2), методом челнок-сумм.
Журнал технической физики, 2001, том 71, вып. 110 С.Н. Мордик, А.Г. Пономарев Список литературы [1] Carey D.C., Brown K.L., Rothacher F. Third-Order TRANSPORT with MAD Input. A. Computer Program for Designing Charged Particle Beam Transport Systems.
SLAC-R-530. Fermilab-Pub-98-310. 1998.
[2] Dymnikov A.D., Hellbord R. // Nucl. Instr. and Meth. 1993.
Vol. A330. P. 323Ц362.
[3] Dymnikov A.D. et al. // Nucl. Instr. and Meth. 1998. Vol. A403.
P. 195Ц204.
[4] Dymnikov A.D. // Nucl. Instr. and Meth. A. 1995. Vol. 363.
P. 435Ц439.
[5] Brown K.L. et al. // Rev. Sci. Instrum. 1964. Vol. 35. P. 481.
[6] Силадьи М. Электронная и ионная оптика. М.: Мир, 1990.
639 с.
[7] Сысоев А.А., Самсонов Г.А. Теория и расчет статических масс-анализаторов. Препринт МИФИ. М., 1972. Т. 1.2. 211 с.
[8] Yavor M.I. // Nucl. Instr. and Meth. 1998. Vol. A298. N 1Ц3.
P. 223Ц226.
[9] Хинтербергер Г., Кениг Л.А. // Успехи масс-спектроскопии / Под ред. Дж. Уордорна. М.: ИЛ, 1963. С. 26Ц38.
Книги по разным темам