Книги по разным темам Журнал технической физики, 2001, том 71, вып. 2 01;10 Заряженный эллипсоидальный сгусток в магнитном поле й А.С. Чихачев Государственный космический научно-производственный центр им. М.В. Хруничева, 121087 Москва, Россия (Поступило в Редакцию 9 ноября 1999 г. В окончательной редакции 13 марта 2000 г.) Изучаются состояния длинного вращающегося заряженного эллипсоидального сгустка в продольном однородном магнитном поле. Для описания состояний использованы два интеграла движения, связывающие поперечные скорости и с координатами x, y и частотой H = eH/mc (H Ч полное магнитное поле), а также величинами 1 и 2, характеризующими кулоновское расталкивание в x- и y-направлениях. Возможны равновесные расстояния с большой погонной плотностью заряда 1.

Интенсивное развитие ускорительной техники, наблю- В системе координат, связанной с главными осями, даемое в течение весьма длительного времени, требует c2 c2 2 2 решения ряда задач, связанных с динамикой частиц 1 =, 2 =, Rx(Rx + Ry) Ry(Rx + Ry) в различных условиях. Особый интерес представляют ситуации, когда заряженные частицы взаимодействуют с где Ч погонная плотность заряда собственными полями плотных сгустков. В связи с этим 3e2N далее рассматривается вращающийся в магнитном поле =, сгусток частиц, взаимодействующих с собственными по- mc2Rz лями.

N Ч полное число частиц в сгустке; продольный размер Следует заметить, что состояния длинных сгустков Rz Rx, Ry.

(или пучков) заряженных частиц с эллиптическим сеУравнения (1) имеют периодические решения x eit, чением в продольном магнитном поле изучены недостаy eit, причем точно. В работе [1] рассматривалось поведение пучка с 2 2 2 эллиптическим сечением в магнитном поле при налиH + 22 + 2H - 1 - 2 2 = 1,2 чии внешней квадрупольной системы, в [2] изучалось 2 поведение нестационарного эллипсоидального сгустка в 2 2 пренебрежении магнитным полем.

H 2 2 2 2 1 -2 2 + (H -2(1 + 2)). (2) Диамагнитные свойства пучков с круговым сечением 2 изучены при помощи модели Фжесткого ротатораФ [3].

Из выведенного ниже уравнения (8) следует, что фиВ настоящей работе для описания поведения эллипсозически разумные (действительные) значения величины идального сгустка используется модель, не являющаяся Rx/Ry могут быть получены при условии жестким ротатором, Ч средняя угловая скорость зависит от угла. При этом будет изучено влияние запаздывания 2 2 2 1 + 2 H 2 H взаимодействия, которое может быть существенным для - = 0 - = K0 > 0.

2 4 плотных сгустков.

1. Уравнения движения заряженных частиц в одно- Это неравенство существенным образом ограничивает родном магнитном поле, направленном вдоль оси z при область параметров, при которых возможно существованаличии расталкивающих сил со стороны собственного ние изучаемого нестационарного равновесного состояпространственного заряда в координатах x, y, связанных ния. При использовании соотношения с главными осями эллиптического сечения вращающегоH 2 4 2 2 ся сгустка имеют вид 0 = -4K0 + + 0 ( = 1 - 2) 2 H 2 2 H из (8) также следует, что +H/2 0/H, что - (2+H) - x + = 1 - x, 2 приводит к действительным значениям частот. При постоянных значениях величин, H уравнения (1) имеют инварианты следующего вида:

H 2 2 H + (2+H) - y + = 2 - y, (1) 2 2 + 2 + H I1 = +(H + 2) y где Ч угловая скорость вращения сгустка; 2 + 2 + H +H = eH/mc; H Ч полное магнитное поле; 1, 2 описывают кулоновское расталкивание частиц (H + 2)1 2 + H + + - x, эллипсоидального сгустка.

2 + 2 + H +Заряженный эллипсоидальный сгусток в магнитном поле 2 Из выражений для 1 и 2 и соотношений (5) следуют 1 + 2 + H I2 = - (H + 2) x 2 равенства 1 + 2 + H +2 v01(2 + H + 1 +2)(H + 2)2 2 + H + 2 Rx = + + y.

12(2 + H + 1)(2 - 2) 1 + 2 + H +2 1 Если, далее, положить (H + 2) 2 + 1 2 (2 + H + 2 +2)I = 1I1 + 2I2, = c, (6) где 1,2 Ч положительные константы, и взять функцию 2 1 1 + распределения в виде f = (I - v2), v02(2 + H + 2 +2)Ry = 12(2 + H + 2)(2 - 2) 1 то интегрирование по скоростям этой функции приводит к плотности, отличной от нуля в эллиптической области (H + 2) 1 2 2 + в координатах x, y. Полное выражение для интеграла (2 + H + 1 +2)движения I имеет вид = c. (7) I = A2 + B2 + 2C1y + 2C2x + Dx2 + Ey2, (3) 2 2 1 + причем коэффициенты выражаются следующим образом:

Как указывалось выше, будет рассмотрен случай 0 0, т. е.

(H + 2)A = 1 + 2 2 2, (2 + H + 1 +2)1 2 0, |0/0| 1.

(H + 2)При этом из равенств (6) и (7) следует, что отношение B = 1 2 1 + 2, (2 + H + 2 +2)1 v0/ c 1 во вращающейся системе координат скорости частиц оказывается достаточно малым. Отношение C1 =(H + 2)(2 + H + 2) (6) к (7) дает уравнение 1 H +, 2 Rx 2 + - K2+H +2+2 2+H + 1 +1 = =. (8) Ry 1 + H + K 2 + H + C2 = - C1, 2 + H + 2. Вычислим собственное продольное магнитное поле сгустка. В покоящихся координатах x1, y 1 (H + 2) D =(2+H+1)2 +2 2, 2 (2+H +1 +2)1 2 x1 = x cos - y sin, y1 = x sin +y cos, E =(2 + H + 2)x, y Ч вращающаяся система, связанная с главными осями эллиптического сечения сгустка.

1(H + 2)2 +. (4) Интегрирование выражений (2 + H + 2 +2)2 1 jx1(r )(r1r )dr Величины полуосей эллиптического сечения сгустка Ax1 =, c r при заданной выше функции распределения определяются равенствами 1 jy1(r )(r1r )dr Ay1 = R2 v22(2 + H + 1 +2)c r x 0 1 =, B 12(2 + H + 1)2(2 - 2)1 с учетом равенств R2 C1 C2 eN v22(2 + H + 2 +2)y 0 2 =. (5) = - y, = - x, 0 = A B A 12(2 + H + 2)2(2 - 2) RxRyRz 1 2 Журнал технической физики, 2001, том 71, вып. 96 А.С. Чихачев приводит к соотношениям следующего из условия H 2RxRy0 C 0 0 + > 0.

Ax1 = x1 Rx - c(Rx + Ry) B Из (8) следует C1 sin + Ry + A 2 H + =, 2 H C2 1 - cos + y1 Rx - при этом B 0 H 0 = -, C1 1 + cos H - Ry +, (9) A 2 и если H > 20 то из (12) получим 2RxRy0 1 + cos 2 CAy1 = x1 - - Rx H = H(1 + ) - 2. (15) c(Rx + Ry) 2 B H 1 - cos 2 CВнешнее поле ослаблено вращающимися частицами + + Ry 2 2 A H > H. При H < 20 система уравнений (8) и (12) не имеет физически разумного решения. При C2 C1 sin учете запаздывания электрического поля использование - y1 - Rx + + Ry, (10) B A выражений (9), (10), (12) и равенства Из (9) и (10) можно получить выражение для соб1 A ственного магнитного поля сгустка E(1) = - -(1) c t Ay1 Ax2 Hz(in) = -.

можно получить следующие выражения для 1, 2:

x1 y c2 C2 CЕсли внешнее поле характеризуется величиной 1 = - Rx + Ry, (16) Rx + Ry Rx B A H = eH(ext)/mc, то собственное поле описывается разностью H - H. Можно получить c2 C2 C2 = + Rx + Ry. (17) C1 Ry C2 Rx Rx + Ry Ry B A H - H = + -. (11) A Rx + Ry B Rx + Ry Соответственно вместо (8) получим Так как в соответствии с (4) при 0 H 2 + + Rx 2 H - K0 + 2 -KC1 H C2 H = =, (18) = - + - K0, = + + K0, Ry 2 H H 1 + + + K0 + +K A 2 B при помощи (9) это равенство преобразуется к виду откуда следует уравнение H H H - H = - |0|. (13) 2 + + + |0| = 0 - |0|. (19) 2 Приведем здесь также выражение для поправки к поВеличина внешнего поля может быть определена из тенциалу сгустка, возникающей при учете запаздывания следующей системы:

в низшем приближении, 20 dr 2 (4 + )2 + H( - 1) +H( + 2) (1)(x1, y1) = (x - y ) 2c2 r H - [(x2 - y2) cos 2+2x1y1 sin 2] + H +H - 0 = 0, (20) 1 20 Rx - Ry 2 H-H H = RxRy 0 - + 2c2 Rx + Ry =. (21) H + 2H -H [(x2 - y2) cos 2+2x1y1 sin 2]. (13) 1 Если считать в (18) и (19) член |0| малой поправкой, то для внешнего поля получим 3. Проанализируем уравнение (8) вместе с (12) с учетом соотношения H 2 0 42 2 H H H H + H - 2 +, (22) 2K0 + - 0, (14) H H 2 Журнал технической физики, 2001, том 71, вып. Заряженный эллипсоидальный сгусток в магнитном поле причем слагаемое, пропорциональное 2, всегда положительно, т. е. при учете запаздывания потенциала ослабление внешнего поля оказывается большим, чем в случае, когда запаздыванием можно пренебречь.

4. Скорости частиц в покоящейся системе координат выражаются равенствами 1 =( - y) cos - ( + x) sin, 1 =( - y) sin +( + x) cos.

Поскольку для средних величин справедливы соотношения C1 C = - y, = - x, A B то максимальные средние скорости частиц в покоящейся системе определяются равенствами H H (1)max = - K0 Ry, (1)max = + K0 Rx, 2 причем c1 cRy =, Rx =.

20 2 10 При выполнении неравенства 1 2 и соотношения 2 0 H/2 (1)max c и (1)max c при 1.

Среднеквадратичные скорости имеют порядок v0, причем v0 c при любых значениях. Это означает, что возможно удержание плотных сгустков во внешнем поле.

Разлет частиц длинного сгустка вдоль поля является относительно медленным.

Таким образом, в настоящей работе изучены состояния длинного заряженного вращающегося сгустка с большой плотностью в магнитном поле и дана оценка влияния запаздывания взаимодействия на эти состояния.

Список литературы [1] Чихачев А.С. // ЖТФ. 1985. Т. 55. Вып. 6. С. 1179Ц1182.

[2] Чихачев А.С. // РиЭ. 1994. Т. 39. Вып. 3. С. 453Ц460.

[3] Девидсон Р. Теория заряженной плазмы. М.: Мир, 1978.

218 с.

7 Журнал технической физики, 2001, том 71, вып.    Книги по разным темам