На пpавах pукописи УДК 517.5 Сандакова Светлана Леонидовна ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ СУММАМИ ФУРЬЕ ПО ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИМ ОРТОГОНАЛЬНЫМ ПОЛИНОМАМ 01.01.01 математический анализ АВТОРЕФЕРАТ диссертации на

соискание ученой степени кандидата физикоЦматематических наук Екатеринбург 2005 Работа выполнена на кафедре математического анализа и теории функций Уральского государственного университета им. А.М. Горького Научный руководитель:

доктор физикоЦматематических наук БАДКОВ Владимир Михайлович Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор СУЕТИН Павел Кондратьевич кандидат физико-математических наук АКОПЯН Роман Размикович Ведущая организация:

Саратовский государственный университет Защита состоится 2005 г. в ча сов на заседании диссертационного совета К 212.286.01 по присуждению ученой степени кандидата физикоЦматематических наук при Уральском государственном университете им. А.М. Горького по адресу: 620083, г. Ека теринбург, пр. Ленина, 51, комн. 248.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Ураль ского государственного университета им. А. М. Горького.

Автореферат разослан 2005 г.

Ученый секретарь диссертационного совета доктор физико-математических наук, профессор В.Г. Пименов ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ Актуальность темы. В дальнейшем используются обозначе ния C, R, Z, Z+ и N для множеств всех комплексных, действитель ных, целых, неотрицательных целых и натуральных чисел соответ ственно.

При 1 r через Lr[a, b] обозначим пространство измери мых по Лебегу на отрезке [a, b] комплекснозначных функций F с конечной нормой F, где Lr[a,b] 1/r b F = |F (t)|rdt (1 r < ), F = ess sup |F (t)|.

Lr [a,b] L[a,b] a t b a Полагаем F = ( )1/r F, Lr = Lr[0, 2] для 2-периодиче r Lr [0,2] ских функции F. Через C2 обозначается пространство непрерывных 2-периодических комплекснозначных функций F () с равномерной нормой F = max |F ()|.

R Модулем непрерывности на отрезке [a, b] функции F (t) назы вается (F ;

),[a,b] = ess sup{|F (t2) - F (t1)|;

t1, t2 [a, b], |t2 - t1| } ( 0). Модуль непрерывности 2-периодической функции F в про странстве Lr по определению есть (F ;

)r : = sup F (+)-F ().

r || Неубывающая непрерывная полуаддитивная на [0, ) функция, для которой (0) = 0, называется модулем непрерывности. Если, вдобавок, удовлетворяет условию ((t1 + t2)/2) ((t1) + (t2))/2 при всех t1, t2 0, то она называется вогнутым модулем непрерывности.

Неотрицательная, суммируемая и неэквивалентная нулю на [a, b] функция p(t) называется весом на [a, b]. Пусть {n()} орто n= нормированная на [0, 2] с весом L1 система тригонометрических полиномов, полученная из последовательности 1, cos, sin, cos 2, sin 2,...

методом ортогонализации Грама - Шмидта. Если F L1, то имеют смысл суммы Фурье s,n(F ;

) := F ()D,n(, )() d (n Z+, R), (1) где n D,n(, ) := k()k(). (2) k= При () 1 сумма s,2n(F ;

) совпадает с обычной суммой Фу рье sn(F ;

) функции F. Скорость приближения функции F C суммой (1) оценивается по неравенству Лебега |F () - s,2n(F ;

)| (1 + L,n()) En(F ) (n Z+, R), (3) где L,n() = sup |s,2n(F ;

)| = sup |s,2n(F ;

)| (4) F L, F 1 F C2, F есть функция Лебега сумм s,2n(F ;

), а En(F ) наилучшее равно мерное приближение функции F C2 тригонометрическими поли номами порядка не выше n.

При () 1 величина L,n() совпадает с известной констан той Лебега. Ее асимптотические свойства подробно изучены в рабо тах А. Лебега, Л. Фейера, Г. Гронуолла, Г. Сегё и других авторов.

В связи с неравенством (3) возникают важные для теории при ближения функций задачи о его точности и об оценках входящих в его правую часть величин. Решению этих задач, а также аналогич ных задач в случае многочленов, ортогональных с весом на отрезке, посвящено много работ. Приведем некоторые результаты, получен ные в этом направлении.

Если F C2, то в силу (3) в каждой точке, в которой lim L,n()En(F ) = 0, (5) n ряд Фурье функции F сходится к F (), причем сходимость этого ря да равномерна на любом множестве E R точек, на котором со отношение (5) выполняется равномерно. Поэтому представляет ин терес задача о двусторонних поточечных оценках функции Лебега (4) в зависимости от n N и R, т. е. задача нахождения более или менее простого выражения, отношение к которому функции (4) при всех n N и R заключено между двумя положительными константами, зависящими лишь от веса.

Аналогичную задачу о двусторонних поточечных оценках функ ции Лебега сумм ФурьеЦЯкоби при, -1/2 решили С. А. Агаха 1 нов и Г. И. Натансон. В. М. Бадков распространил этот резуль тат на все значения, > -1 (оценку снизу этой функции получил также А. М. Беленький3) и установил аналогичные результаты для обобщенных многочленов Якоби, т.е. многочленов, ортонормирован ных на отрезке [-1, 1] с весом m p(t) = H(t)(1-t)(1+t) |t-x| (,, > -1;

t [-1, 1]) (6) = в предположении, что входящий в правую часть (6) отграниченный от нуля и бесконечности множитель H(t) удовлетворяет условию Ди ни [-1,1](H;

t)t-1 L1[0, 1]. Кроме того, В. М. Бадков4 получил двусторонние поточечные оценки функции Лебега (4) в случае 2 периодического обобщенного веса Якоби, т.е. веса m () = h() | sin[( - )/2]| ( R), (7) = удовлетворяющего условиям 1 > -1,..., m > -1;

- < 1 <... < m, (8) h() 0;

h и 1/h L, (9) предположив, что выполняется условие Дини (h;

)-1 L1[0, ]. (10) Агаханов С.А., Натансон Г.И. Функции Лебега сумм Фурье-Якоби // Вестн.

ЛГУ. Сер. матем., мех. и астрон. - 1968. № 1, вып.1. - С.11-23.

Бадков В. М. Двусторонние оценки функции Лебега и остатка ряда Фурье по ортогональным многочленам // Аппроксимация в конкретных и абстрактных банаховых пространствах. Свердловск: УН - АН СССР, 1987. - С. 31-45.

Беленький А.М. О разложении функций в ряд Фурье Якоби // В кн.:

Конструктивная теория функций и теория отображений. Киев, 1981, С.35-48.

Badkov V.M. Estimations for the Lebesgue function and the remainder of the Fourier series with respect to orthogonal polynomials // Functions, series, operators.

Amsterdam etc.: North-Holland, 1983. P. 165-181.

При этом он пользовался полученными им же равномерными асимп тотическими представлениями алгебраических многочленов, орто гональных на окружности |z| = 1 с весом, для которого выпол няются условия (7)-(10). Затем В.М. Бадков5 для широкого клас са весов с особенностями, порядки которых задаются конечными произведениями действительных степеней вогнутых модулей непре рывности, получил двусторонние поточечные оценки модулей соот ветствующих многочленов, ортогональных на окружности, и их про изводных. Пользуясь этими результатами, С.Е. Памятных получил двустороннюю поточечную оценку L,n() 1 + ln[1 + n| sin(/2)|] (n N, R) (11) (знак Ф Ф означает, что отношение левой и правой частей фор мулы (11) ограничено сверху и снизу положительными константа ми, не зависящими от n N и R ) в предположении, что () := [g(| sin(/2)|)]-1, где g() вогнутый модуль непрерывно сти, удовлетворяющий условиям d 1 d = O ( +0), = O ( +0).

g() g() g() g() Свой результат С.Е. Памятных получил для частного случая веса В.М. Бадкова. В связи с этим стала актуальной задача обобщения результата С.Е. Памятных на случай общего веса В.М. Бадкова. Ре шению этой задачи посвящена первая глава диссертации.

Вторая глава диссертации посвящена изучению точности нера венства Лебега (3). Точность классического неравенства Лебега на разных классах функций изучали многие авторы.

Аппроксимативные свойства сумм Фурье s,2n(F ) на классе функ ций M C2 в точке принято характеризовать величиной E,n(M) : = sup{|F () - s,2n(F ;

)| : F M}. (12) Через H обозначим класс функций F C2, у которых модуль непрерывности в C2 не превосходит заданного модуля непрерывно сти. Полагаем также H[a, b] = {F : F L[a, b], (F ;

),[a,b] () для всех 0}.

Бадков В.М. Асимптотические и экстремальные свойства ортогональных по линомов при наличии особенностей у веса // Тр. МИРАН. - 1992. Т.198. С.41-.

(r) r (r) Рассматриваем классы W H = {F : F C2, F H} и (r) r (r) W H[a, b] : = {F : F C[a,b], F H[a, b]} (r Z+).

Согласно известной теореме Джексона, если периодическая функ ция F имеет непрерывную производную порядка r 0 с модулем (r) непрерывности (F ;

), то при любом натуральном n существу ет тригонометрический полином Tn порядка не выше n такой, что (r) En(F ) F - Tn Br n-r (F ;

n-1), (13) r где Br > 0 зависит лишь от r. Если F W H, то в силу (4) и (13) в каждой точке, в которой lim L,n()n-r(n-1) = 0, (14) n сумма s,2n(F ;

) сходится к F () равномерно на любом множестве E R, на котором соотношение (14) выполняется равномерно. Ско 1 рость этой сходимости по порядку не превосходит ( )L,n().

nr n r В случае, когда 1, M = W H, величина (12) совпадает с r r En(W H) : = sup{|F () - sn(F ;

)| : F W H}. (15) Величина (15) достаточно подробно изучена. Оценки ее порядка в случае (t) = t (0 < 1), r Z+ получили еще А. Лебег и С.Н. Бернштейн. Первую асимптотически точную оценку величи ны (15) получил А.Н. Колмогоров для случая (t) = t, r Z+.

Исследования в этом направлении продолжили С.М. Никольский, В.Т. Пинкевич, А.В. Ефимов, С.А. Теляковский, С.Б. Стечкин, А.И. Степанец и другие авторы. В.М. Бадков6 величину (12) изучал r в случае класса M = W H и 2-периодического обобщенного веса Якоби, удовлетворяющего условиям (7)-(10). В случае общего веса В.М. Бадкова величина (12) пока еще мало изучена.

Таким образом, рассматриваемые в диссертации задачи о дву сторонних поточечных оценках функции Лебега (4) и о точности неравенства Лебега (3) являются достаточно актуальными задача ми теории приближения функций.

Бадков В.М. Приближение функций в равномерной метрике суммами Фурье по ортогональным полиномам // Тр. МИАН. - 1980. Т.145. С.20-62.

Цель работы. Основной целью настоящей работы является ис следование аппроксимативных свойств сумм Фурье по системе три гонометрических полиномов, ортогональной с неклассическим ве сом, порядки особенностей которого задаются конечными произведе ниями действительных степеней вогнутых модулей непрерывности.

В рамках этой общей проблемы выделяются следующие задачи.

Получение двусторонниих поточечных оценок функции Лебега сумм Фурье по рассматриваемой системе;

r Доказательство точности неравенства Лебега на классе W H в случае приближения функций их суммами Фурье по рассматрива емой системе;

r Построение примера функции класса W H, для которой нера венство Лебега является точным на бесконечной подпоследователь ности номеров в нуле рассматриваемого веса.

r Построение аналогичного примера функции класса W H[-1, 1] в случае обобщенного веса Якоби.

Основной метод исследования. В диссертации используют ся методы теории приближения функций, теории ортогональных многочленов, гармонического анализа, теории функций комплекс ного переменного.

Научная новизна. Все основные результаты, полученные в ра боте, являются новыми и состоят в следующем:

1) Получена двусторонняя поточечная оценка функции Лебе га сумм Фурье по системе тригонометрических полиномов, ортого нальной с весом весьма общего вида, порядки особенностей кото рого задаются конечными произведениями действительных степе ней вогнутых модулей непрерывности. Этот класс весов содержит все классические периодические веса. Обнаружено существование неограниченных систем ортогональных тригонометрических поли номов, функции Лебега сумм Фурье которых во всех точках по по рядку совпадают с обычной константой Лебега.

r 2) Доказана точность неравенства Лебега на классе W H в слу чае приближения функций их суммами Фурье по рассматриваемой системе.

r 3) Построен пример функции класса W H, для которой нера венство Лебега является точным на бесконечной подпоследователь ности номеров в нуле рассматриваемого веса.

r 4) Построен аналогичный пример функции класса W H[-1, 1] в случае обобщенного веса Якоби.

Теоретическая и практическая ценность. Результаты дис сертации носят теоретический характер. Они могут найти примене ние при изучении рядов Фурье по ортогональным полиномам и их различных приложений в теории аппроксимации.

Апробация результатов работы. Результаты диссертации до кладывались на семинаре кафедры математического анализа и тео рии функций УрГУ, руководимом профессором В.В. Арестовым;

на семинаре по теории приближения функций ИММ УрО РАН, руко водимом членом-корреспондентом РАН, профессором Ю.Н. Суббо тиным и профессором Н.И. Черных (г. Екатеринбург);

на Между народной школе С.Б. Стечкина по теории функций (г.Миасс, 2003 и 2004 гг.),а также на 32-й, 33-й, 34-й, 35-й и 36-й Региональных мо лодежных конференциях ФПроблемы теоретической и прикладной математикиФ (г. Екатеринбург, 2001, 2002, 2003, 2004 и 2005 гг.).

Публикации. Основные результаты опубликованы в восьми работах [1]-[8], список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из спис ка обозначений, введения, двух глав и списка литературы. Главы разбиты на параграфы. Общий объем работы 75 страниц. Биб лиография содержит 70 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ Введение содержит краткую историю вопроса, формулировки и описание основных утверждений диссертации.

В первой главе получена двусторонняя поточечная оценка функ ции Лебега сумм Фурье по системе тригонометрических полиномов, ортогональной с весом весьма общего вида, порядки особенностей которого задаются конечными произведениями действительных сте пеней вогнутых модулей непрерывности.При этом обнаружено су ществование неограниченных систем ортогональных тригонометри ческих полиномов, функции Лебега сумм фурье которых во всех точках по порядку совпадают с обычной константой Лебега.

Во второй главе доказана точность неравенства Лебега на клас r се W H в случае приближения функций их суммами Фурье по r рассматриваемой системе. Построен пример функции класса W H, для которой неравенство Лебега является точным на бесконечной подпоследовательности номеров в нуле рассматриваемого веса. По r строен аналогичный пример функции класса W H[-1, 1] в случае обобщенного веса Якоби.

Перейдем к более подробному изложению результатов диссер тационной работы.

В з 1.1 приведена краткая история вопроса и сформулирован ос новной результат главы 1. В з 1.2 сформулированы вспомогательные предложения (как известные, так и новые), используемые при дока зательстве основного результата главы 1. Новыми являются следу ющие две леммы (для удобства ссылок сохраняем нумерацию утвер ждений, принятую в диссертации).

Лемма 1.2.1. Пусть вес L1, а n Kn(;

z, ) := k(z)k() (n Z+;

z, C) k= - ядро Сегё системы {n(z)} алгебраических многочленов, ор n= тонормированной на окружности |z| = 1 с весом. Тогда выполня ется неравенство L,n() |K2n(;

ei, (1 - (2n)-1)ei )|() d (n N;

R).

Лемма 1.2.2. Пусть вес () принадлежит L1 вместе с ln ().

Тогда для всех n N и R справедливо неравенство 1 d L,n() |K2n(;

ei, (1 - (2n)-1)ei )|, 2 |(;

(1 - (2n)-1)ei )| где 1 ei + z (;

z) := exp - ln () d (|z| < 1) 4 ei - z функция Сегё веса ().

Основным результатом главы 1 является обобщающая резуль таты работ В.М. Бадкова и С.Е. Памятных следующая теорема.

Теорема 1.1.1. Пусть 2-периодический вес () имеет вид m - () := h() w | sin | (- < 1 <... < m ), = где l w(u) := [g,(u)](,) L1[0, 1];

= m, l N, (, ) R, g,(u) ( = 1, , l;

= 1,..., m) вогнутые модули непрерывности;

w() d = O(w()) ( +0;

= 1,..., m);

функция h() удовлетворяет условиям (9)Ц(10) либо условиям h() 0;

h и 1/h L;

(h;

)2 = O( ) ( +0). (16) Тогда найдутся такие положительные константы C1 = C1() и C2 = C2(), что для всех n N и R выполняются неравенства L,n() C1 C2, (17) m m -k -k ln(1 + n | sin |) + gn() Ak(| sin | + ) 2 2 n k=1 k= где - m - k 1 wk() d gn() := wk sin +, Ak(t) :=.

2 n k= t Доказательство теоремы 1.1.1 проводится в з 1.3 (в случае веса с одной особой точкой) и в з 1.4 (в случае веса с несколькими особыми точками путем сведения к случаю одной особой точки).

В з 1.5 из теоремы 1.1.1 выводятся в виде следствий следующие утверждения.

Следствие 1.5.1. Пусть вес есть 2-периодический обобщен ный вес Якоби, удовлетворяющий условию (10) либо условиям (16).

Положим 0 = m - 2, m+1 = 1 + 2, = 2-1( + +1) ( = 0, 1,..., m) и рассмотрим интервалы = (-1, ) ( = = 1,..., m). Тогда при l, n N справедливы оценки L,n() 1 + ln(1 + n| - l|) (-1 < l < 0), (18) L,n() ln(n + 1) (l = 0), (19) l L,n() ln(n + 1) + (| - l| + n-1)- (l > 0). (20) Заметим, что в случае 2-периодического обобщенного веса Яко би, удовлетворяющего условиям (8)Ц(10), оценки (18)Ц(20) впервые получил В.М. Бадков. Приведем еще одно интересное следствие из теоремы 1.1.1.

Следствие 1.5.2. Пусть вес имеет вид a () := h() ln ( R), (21) | sin(/2)| где a e2, R, h() удовлетворяет тем же условиям, что и в теореме 1.1.1. Тогда при R и n N справедливы оценки a L,n() ln 1 + n sin + ln ( < -2), | sin | + 2 n a a L,n() ln 1 + n sin + ln ln ln ( = -2), 1 | sin | + | sin | + 2 n 2 n L,n() ln(n + 1) ( > -2).

Следствие 1.5.2 обнаруживает интересное явление:

функция Лебега L,n() в случае веса (21) при (-2, 0) эк вивалентна константе Лебега, определяемой как L,n(), ко торая по порядку совпадает с классической константой Лебега (т.

е. константой Лебега для веса () 1). При этом система {n()} для < 0 не является равномерно ограниченной.

n= В з 2.1 приведена краткая история вопроса и сформулирован основной результат главы 2. В зз 2.2Ц2.4 сформулированы вспомога тельные предложения (как известные, так и новые), используемые при доказательстве основного результата главы 2. Новыми являются следующие две леммы.

Лемма 2.4.1. Ядро D,2n(, ) как функция от имеет в интер вале (, + 2) точно 2n различных (и, следовательно, простых) нулей.

Лемма 2.4.2. Пусть нули ядра D,2n(, ) (как функции от ) за нумерованы в последовательность... < z-2 < z-1 < z0 < z1 < z2 <..., (22) причем z-1 < z0 и z = z() ( Z). Тогда z-n = zn - 2.

Если при этом вес удовлетворяет условиям теоремы 1.1.1, то найдутся положительные числа C11 и C12, зависящие лишь от, такие, что расстояние между любыми двумя соседними элемента ми последовательности (22) заключено между C11 n-1 и C12 n-1.

Одним из основных результатов главы 2 является следующая теорема, обобщающая соответствующие результаты В.М. Бадкова и С.Е. Памятных.

Теорема 2.1.1. Пусть вес удовлетворяет условиям теоремы 1.1.1. Тогда найдутся положительные постоянные C1(, r) и C2(, r) такие, что для всех n N и R выполняются неравенства r sup{|F () - s,2n(F ;

)| : F W H} C1(, r) C2(, r). (23) (1 + L,n())(n-1)n-r Заметим, что в главе 1 были доказаны неравенства (17), в силу которых функцию Лебега L,n() в (23) можно заменить знамена телем дроби из формулы (17). Разумеется, что при этом константы C1(, r) и C2(, r) в новом неравенстве примут новые значения.

Другим основным результатом главы 2 является пример инди r видуальной функции класса W H, для которой неравенство Лебега (4) оказывается точным по порядку в нулях веса на подпоследова тельности номеров n (для каждого нуля своей). Кроме того, построен r аналогичный пример индивидуальной функции класса W H[-1, 1] в случае обобщенного веса Якоби. А именно, доказаны следующие две теоремы.

Теорема 2.6.1. Пусть вес удовлетворяет условиям теоремы 1.1.1.

Пусть, кроме того, при некотором l {1, 2,..., m} l L,n(l) = O(|2n(ei )|) (n Z+). (24) Тогда для заданных r Z+ и модуля непрерывности (), удовле творяющего условию (u) du (u) du + = O(()), (25) u u найдутся числа s1,..., sm N и C1 > 0 такие, что функция m (2-m-q)D,2m+q+1(q, ) F () := C1us(), q 2r(m+q)|2m+q+1(ei )| =0 q= где D,n(, ) определено в (2), m - 2s us() : = sin ;

s = s1 + + sm, = r принадлежит классу W H, причем, En(F ) n-r(n-1) (n N) и при достаточно больших N : = 2mn+l |F (l) - s,2N (F ;

l)| [L,N (l) + 1]EN (F ).

Заметим, что из основного результата главы 1 (см. теорему 1.1.1) следует, что в формулировке теоремы 2.6.1 условие (24) равносильно условию -1[wl()] L1[0, 1].

Теорема 2.7.1. Пусть вес p имеет вид M k p(x) = H(x)(1 - x)(1 + x) |x - xk| (x [-1, 1]), k= где M N;

,, k > -1;

-1 < x1 <... < xM < 1;

H(x) C[-1, 1];

H(x) > 0 на всем [-1, 1];

[-1,1](H;

)-1 L1[0, 1].

Положим x0 = -1, xM+1 = 1. Пусть, кроме того, при некотором l {0, 1,..., M + 1} L(p)(xl) = O(|pn(xl)| + |pn+1(xl)|) (n Z+). (26) n Тогда для заданных r Z+ и модуля непрерывности (), удовле творяющего условию (25), существует функция f, принадлежащая r классу W H[-1, 1], такая, что на подпоследовательности номеров nN = 2(M+2)N+l выполняется соотношение (p) |f(xl) - Sn (f;

xl)| (1 + L(p) (xl))En (f), nN N N при этом En(f) n-r(n-1) (n N).

Заметим, что в формулировке этой теоремы условие (26) равно сильно условию l > 0 при l {1, 2,..., M}, > -1/2 при l = 0 или > -1/2 при l = M + 1.

Кроме того, заметим, что в случае рядов ФурьеЦЯкоби примеры индивидуальных функций, подтверждающие точность неравенства Лебега в точке x = 1 при > -1/2, были приведены в работах В.М. Бадкова, И.И. Шарапудинова и А.М. Беленького. Однако в работах В.М. Бадкова и А.М. Беленького (t) = t (0 < 1), а в работе И.И. Шарапудинова функция f является аналитической.

Автор глубоко признателен своему научному руководителю В.М. Бадкову за постановку задач и внимание к работе.

РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ [1] Сандакова С.Л. Двусторонняя поточечная оценка функции Лебега сумм Фурье по тригонометрическим ортогональным по линомам // Проблемы теоретической и прикладной математики:

Труды 32-й Региональной молодежной конференции.- Екатеринбург, 2001. - С. 46Ц49.

[2] Сандакова С.Л. Оценки функции Лебега сумм Фурье по ор тогональным полиномам // Современные проблемы теории функ ций и их приложения: Тезисы докладов 11-й Саратовской зимней школы. - Саратов, изд-во ГосУН - "Колледж", 2002. - С. 185.

[3] Сандакова С.Л. Оценка функции Лебега сумм Фурье по си стеме тригонометрических полиномов, ортогональной с весом // Проблемы теоретической и прикладной математики: Труды 33-й Ре гиональной молодежной конференции.- Екатеринбург, 2002. - С. 76 - 78.

[4] Сандакова С.Л. Оценки функции Лебега сумм Фурье по три гонометрическим полиномам, ортогональным с весом, имеющим особенности // Проблемы теоретической и прикладной математики:

Труды 34-й Региональной молодежной конференции.- Екатеринбург, 2003. - С. 74Ц76.

[5] Сандакова С.Л. Приближение функций суммами Фурье по тригонометрическим ортогональным полиномам // Современные проблемы краевых задач: Материалы Воронежской весенней мате матической школы "Понтрягинские чтения - XV". Воронеж: ВГУ, 2004. С. 199Ц200.

[6] Сандакова С.Л. О точности неравенства Лебега в нуле веса тригонометрических ортогональных полиномов // Проблемы тео ретической и прикладной математики: Труды 35-й Региональной мо лодежной конференции.- Екатеринбург, 2004. - С. 95Ц99.

[7] Sandakova S.L. Two-sided Pointwise Estimate for Lebesgue Function of Fourier Sums with Respect to Trigonometric Orthogonal Polynomials // Proceeding of the Steklov Institute of Mathematics, Suppl.1, 2004.

P. S207ЦS223.

[8] Сандакова С.Л. О точности неравенства Лебега в нуле веса обобщенных многочленов Якоби // Проблемы теоретической и при кладной математики: Труды 36-й Региональной молодежной кон ференции. - Екатеринбург: УрО РАН, 2005. С. 96Ц100.

Подписано в печать Формат 60 84 1/16 Бумага типографская. Усл. печ. л.

Тираж 100 экз. Заказ №. Печать офсетная.

Екатеринбург, К-83, пр. Ленина, 51. Типолаборатория УрГУ    Книги, научные публикации