Книги, научные публикации
УДК 517.9
Работа выполнена в Челябинском государственном уни верситете на кафедре математического анализа.
На правах рукописи
Научный консультант:
кандидат физико-математических наук
, доцент Федоров Владимир Евгеньевич
Официальные оппоненты:
доктор физико-математических наук, пpофессоp Максимов Вячеслав Иванович Рузакова Ольга Александровна кандидат физико-математических наук, доцент Макаров Анатолий Семенович ИССЛЕДОВАНИЕ УПРАВЛЯЕМОСТИ
Ведущая организация:
ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Институт математики СОБОЛЕВСКОГО ТИПА им. С.Л. Соболева СО РАН
Защита состоится "16" июня 2004 года в 13 ч. 00 мин. на 01.01.02. дифференциальные уравнения заседании диссертационного совета К 212.286.01 по присуж дению ученой степени кандидата физико-математических наук при Уральском государственном университете
АВТОРЕФЕРАТ
им. А.М. Горького по адpесу:
диссертации на соискание ученой степени 620083, г. Екатеринбург, пр. Ленина, 51, а. 248.
кандидата физико-математических наук
С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Уральского государственного унивеpситета им. А.М. Горького.
Автоpефеpат разослан "6" мая 2004 г.
ЕКАТЕРИНБУРГ 2004 Ученый секpетаpь диссертационного совета доктор физико-математических наук, профессор В.Г. Пименов Актуальность темы. Уравнениями соболевского типа по времени исследовали в своих работах Н.Н. Красовский, называются уравнения, не разрешенные относительно стар- R.E. Kalman, Y.C. Ho, K.S. Narendra, H.O. Fattorini, R. Trig шей производной по времени. Такие уравнения возникают giani, Ф.А. Шолохович, А.Б. Куржанский, Л.М. Куперман, при моделировании различных реальных процессов. В на- Ю.М. Репин, С.А. Нефедов и многие другие. Управляе стоящее время уравнения соболевского типа изучаются в мость уравнений соболевского типа, ранее, по-видимому, не рамках двух подходов. К первому следует отнести работы исследовалась.
С.Л. Соболева, С.А. Гальперна, А.Г. Костюченко, Г.И. Эс- Цель работы. Пусть X, Y, U банаховы пространства.
кина и многих других. Данный подход предполагает непо- Рассматривается задача Коши средственное исследование начально-краевых задач для x(0) = x0 (1) уравнений или систем уравнений в частных производных.
Другой подход подразумевает изучение абстрактных опе для линейного уравнения соболевского типа раторных уравнений с дальнейшими приложениями к кон кретным начально-краевым задачам. В настоящее время в.
x L (t) = Mx(t) + Bu(t), 0 t T. (2) этой области активно и плодотворно работают И.В. Мель никова, Н.А. Сидоров, R.E. Showalter, A. Favini, A. Yagi, Здесь операторы L L(X;
Y), M Cl(X;
Y), B L(U;
Y), Г.А. Свиридюк, В.Е. Федоров и многие другие.
функция u(t) : [0, T ] U обозначает управление. Цель ра Одной из наиболее часто возникающих и важных за боты исследовать управляемость уравнения (2), то есть дач прикладного характера является задача оптимального возможность приведения траектории его решения в наперед управления. Для линейного уравнения соболевского типа заданную точку или -окрестность заданной точки задача оптимального управления исследовалась в работах (-управляемость) в случае, когда kerL = {0}, а оператор Г.А. Свиридюка и А.А. Ефремова. В конечномерных про M сильно (L, p)-радиален, то есть существует сильно непре странствах уравнения соболевского типа или так называе рывная разрешающая полугруппа однородного уравнения мые алгебро-дифференциальные уравнения и, в частности, (2).
задачи оптимального управления для них, рассматривают В предположении, что пространство управлений U ко m ся в работах Ю.Е. Бояринцева и В.Ф. Чистякова. Одна- нечномерно, а оператор Bu(t) = biui(t), уравнение (2) ко, решение задач оптимального управления имеет смысл i= принимает вид лишь в случае существования множества управлений, то есть при возможности неоднозначного выбора управления, m.
приводящего к желаемой цели. Поэтому необходимо, что x L (t) = Mx(t) + biui(t), 0 t T, (3) бы система обладала свойством управляемости1. Управля i= емость уравнения, разрешенного относительно производной где функции ui(t) : [0, T ] R обозначают управления, Шолохович Ф.А. Об управляемости линейных динамических си- векторы bi Y, 1 i m. Еще одной целью диссер стем // Изв. УрГУ. 1998. № 10. Вып. 1. С. 103 - 126. тационной работы является исследование конечномерной 3 -управляемости вырожденного уравнения (3) (kerL = {0}) оператором при производной. Полученные абстрактные ре с (L, )-ограниченным оператором M, L-резольвента кото- зультаты реализованы в конкретных начально-краевых за рого имеет несущественную особую точку в бесконечности. дачах. Все результаты являются новыми.
Кроме того, нашей целью является исследование -уп Теоретическая и практическая значимость. Резуль равляемости уравнения таты диссертации имеют как теоретический, так и прак m тический характер. К результатам теоретической значимо.
x L (t) = Mx(t) + bi(t)ui(t) + c(t), 0 t T, (4) сти следует отнести найденные критерии -управляемости и i= управляемости абстрактных уравнений соболевского типа.
Полученные результаты затем используются при исследо содержащего векторЦфункции bi(t), c(t) : [0, T ] Y, вании управляемости начально-краевых задач для уравне 1 i m, с сильно (L, p)-радиальным оператором M.
ния БаренблаттаЦЖелтоваЦКочиной, уравнения эволюции Методы исследования. В основе нашего подхода ле свободной поверхности фильтрующейся жидкости, уравне жит метод фазового пространства2. Суть метода заклю ния стратификации объемного заряда в полупроводнике и чается в редукции сингулярного уравнения (2) к паре экви многих других неклассических уравнений и систем уравне валентных ему уравнений ний математической физики.
1(t) = S1x1(t) + L-1QBu(t), Апробация работы. Результаты, изложенные в дис - сертации, были представлены на Всероссийской научной H0(t) = x0(t) + M0 (I - Q)Bu(t), конференции "Алгоритмический анализ неустойчивых за определенных, однако, не на пространстве X, а на взаимно дач" (Екатеринбург, 2001, 2004) XXXIX Международной дополнительных подпространствах, одно из которых явля научной студенческой конференции "Студент и научноЦтех ется фазовым пространством уравнения, а другое ядром нический прогресс" (Новосибирск, 2001), научных студен разрешающей полугруппы. Полученные уравнения затем ческих конференциях "Студент и научноЦтехнический про исследуются методами функционального анализа, теории гресс" (Челябинск, 2001 - 2003), Международных научных полугрупп операторов, теории управляемости эволюцион конференциях "Дифференциальные и интегральные урав ных уравнений. При изучении прикладных задач исполь нения. Математические модели" (Челябинск, 2002), "IllЦpo зуются классические методы теории уравнений в частных sed and inverse problems" (Новосибирск, 2002), "Обратные производных.
задачи: теория и приложения" (ХантыЦМансийск, 2002), Новизна полученных результатов. Основными ре "Общие проблемы управления и их приложения. Проблемы зультатами диссертации являются теоремы об управляемос преподавания математики" (Тамбов, 2003), Всероссийской ти и -управляемости дифференциального уравнения пер конференции "Актуальные проблемы прикладной матема вого порядка в банаховом пространстве с вырожденным тики и механики" (Екатеринбург, 2003), на семинаре проф.
Sviridyuk G.A., Fedorov V.E. Linear Sobolev Type Equations and Г.А. Свиридюка в Челябинском государственном универси Degenerate Semigroups of Operators. Utrecht;
Boston: VSP, 2003. тете.
5 Кроме того, данное исследование поддержано грантами представлены необходимые результаты по теории диффеpен Минобразования РФ № A03-2.8-82, Минобразования РФ и циальных операторов в банаховых пространствах.
Правительства Челябинской области № 03-01-б, стипенди- Вторая глава посвящена исследованию бесконечномер ей Президента РФ (2003) и стипендией Законодательного ной управляемости уравнения соболевского типа. В пер Собрания Челябинской области (2003). вом параграфе вводятся определения -управляемости из Публикации. По теме диссертации опубликовано 16 нуля, в нуль и из любой точки в любую для уравнения работ, список которых приводится в конце автореферата. (2) с сильно (L, p)-радиальным оператором M. Кроме то Результаты, опубликованные в совместных с научным руко- го, помимо -управляемости за время T вводится понятие водителем работах, получены автором самостоятельно;
со- -управляемости за свободное время. Изучается взаимосвязь автору принадлежит постановка задачи и основное направ- данных определений для уравнения, определенного на фа ление исследования. зовом пространстве уравнения (2) и суженного на ядро раз Структура и объем работы. Диссертация состоит из решающей полугруппы уравнения, приводятся необходимые введения, трех глав и списка литературы. Объем диссерта- условия -управляемости. Заметим, что в рассмотренных ции составляет 110 страниц. Библиография содержит 127 нами условиях решение задачи Коши содержит производ наименований работ российских и зарубежных авторов. ные, поэтому в качестве класса функций управления нами выбран класс функций управления V (T ) = Cp+1([0, T ];
U).
СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
Кроме того, функции управления должны удовлетворять условию согласования с начальным значением x0 задачи Во введении обосновывается актуальность темы иссле Коши дования, определяется цель работы, дается обзор литерату p ры по исследуемой проблематике.
- (I - P )x0 = - HkM0 (I - Q)Bu(k)(0), Первая глава содержит предварительные сведения. В k= ней собраны факты, которые так или иначе используются при доказательстве основных результатов диссертации. В поэтому множество допустимых функций управления сужа первом паpагpафе представлены сведения об относитель ется до Vx0(T ). Второй параграф содержит критерии -уп ных резольвентах. Второй и третий параграфы содержат равляемости сужения уравнения (2) на его фазовое про соответственно основные факты об (L, )-огpаниченных и странство, которое является разрешенным уравнением от сильно (L, p)-радиальных операторах и соответствующих носительно производной, полученные ранее в работах им аналитических группах и сильно непрерывных полу H.O. Fattorini5, R. Triggiani6. Они сформулированы в адап группах опеpатоpов с ядрами, доказанные ранее в работах операторов // Алгебра и анализ. 2000. Т. 12, вып. 3. С. 173 - 200.
Г.А. Свиpидюка3, В.Е. Федорова4. В четвертом паpагpафе Fattorini H.O. On complete controllability of linear systems // J.
Свиридюк Г.А. К общей теории полугрупп операторов // Успехи Different. Equat. 1967. V. 3. P. 391 - 402.
Triggiani R. Controllability and observability in Banach space with мат. наук. 1994. Т. 49, № 4. С. 47 - 74.
Федоров В.Е. Вырожденные сильно непрерывные полугруппы bounded operators // SIAM J. on Control, 1975. V. 13, № 2, 462 - 491.
7 тированном для нашего уравнения виде и доказаны для операторЦфункции (L-M)-1, приведены в седьмом пара нашего класса функций управления. В третьем параграфе графе. (При этом используются результаты о точной управ найдены критерии -управляемости уравнения на ядре раз- ляемости разрешенного относительно производной уравне решающей полугруппы и уравнения (2). ния, полученные ранее7).
Теорема 1. Пусть оператор M сильно (L, p)-радиален, опе Теорема 3. Пусть оператор M (L, )-ограничен, причем ратор B непрерывно обратим. Система (2) -управляема бесконечность является несущественной особой точкой по за свободное время T в том и только в том случае, когда рядка p операторЦфункции (L - M)-1. Если система (2) управляема, тогда при некотором m N span{im XT L-1QB, T 0} = X1, k - span{im S1 L-1QB, 0 k m} = X1, span{im HkM0 (I - Q)B, 0 k p} = dom M0.
- Теорема 2. Пусть оператор M (L, )-ограничен, причем span{im HkM0 (I - Q)B, 0 k p} = dom M0.
бесконечность является несущественной особой точкой по В восьмом параграфе исследуется точная управляемость рядка p операторЦфункции (L - M)-1, оператор B непре уравнения (2) для случая переменного оператора управле рывно обратим. Система (2) -управляема в том и только ния B(t).
в том случае, когда Теорема 4. Пусть оператор M (L, )-ограничен, причем k span{im S1 L-1QB, k N0} = X1, 1 бесконечность является несущественной особой точкой по рядка p операторЦфункции (L - M)-1, операторЦфункция - span{im HkM0 (I - Q)B, 0 k p} = dom M0.
B(t) аналитична в круге ST (0). Если система (2) управля В четвертом параграфе полученные абстрактные резуль ема, тогда существует t0 такое, что QB(t0) = O, таты применяются при изучении -управляемости уравне p ния эволюции свободной поверхности фильтрующейся жид l - span im CkHkM0 (I - Q)B(k-l)(0), 0 l p = dom M кости. Полученные абстрактные результаты использованы k=l при исследовании начальноЦкраевой задачи для алгебро - дифференциальной системы уравнений с частными произ и при некотором m N водными в пятом параграфе. В шестом параграфе вводят ся понятия точной управляемости уравнения (2). Необходи span{im Ak(T ), 0 k m} = X1.
мые условия точной управляемости уравнения (2) в пред положении, что оператор M (L, )-ограничен, а бесконеч- Коробов В.И., Рабах Р. Точная управляемость в банаховом про ность является несущественной особой точкой порядка p странстве // Дифференц. уравнения. 1979. Т. 15, № 12. С. 2142 - 2150.
9 В третьей главе изучается конечномерная управляе- рассмотрена задача с раздельными функциями управления, мость уравнения соболевского типа. В первом параграфе для которой сформулирован критерий -управляемости. В приводится критерий конечномерной -управляемости для четвертом параграфе полученные абстрактные результаты уравнения, определенного на фазовом пространстве уравне- применяются для исследования конечномерной -управля ния (3) в предположении, что оператор M (L, )-ограничен, емости задачи Коши - Дирихле для уравнения Баренблат а бесконечность является несущественной особой точкой по- та - Желтова - Кочиной. Пятый параграф посвящен ис рядка p операторЦфункции (L - M)-1. Нами показано, следованию -управляемости более общего уравнения (4).
что полученный ранее А.Б. Куржанским8 критерий спра- Уравнение такого вида, разрешенное относительно произ ведлив и в нашем случае при использовании более узкого водной, исследовано ранее9. В предположении, что опера класса функций управления. Во втором параграфе показа- тор M сильно (L, p)-радиален, найдены необходимые усло но, что -управляемость суженного на ядро разрешающей вия конечномерной -управляемости вырожденного уравне полугруппы уравнения равносильна точной управляемости ния (4) (ker L = {0}).
и получен ее критерий. Третий параграф содержит необхо Теорема 6. Пусть оператор M сильно (L, p)-радиален, век димое условие конечномерной -управляемости уравнения (3).
торЦфункции bi(t), c(t) Cp+1([0, T ];
Y0), 1 i m. Если система (4) -управляема за время T, тогда Теорема 5. Пусть оператор M (L, )-ограничен, а беско нечность является несущественной особой точкой поряд span{XT -sL-1b1(s), 0 s T, 1 i m} = X1, 1 i ка p операторЦфункции (L - M)-1. Если система (3) пространство X0 не более, чем (p + 1)m-мерно, а система -управляема, то линейная оболочка векторов векторов k {S1 L-1b1, k N0, 1 i m} 1 i p l - CkHkM0 b0(k-l)(T ), 0 l p, 1 i m i плотна в пространстве X1, а система векторов k=l - {HkM0 b0, 0 k p, 1 i m} является в нем условным базисом.
i Шестой параграф содержит пример не -управляемой является условным базисом в пространстве X0.
системы. В седьмом параграфе рассмотрена начально-крае Отмечено, что в данной постановке задачи, найденное усло- вая задача для уравнения, содержащего многочлены от эл вие не является достаточным, в результате чего там же Нефедов С.А., Шолохович Ф.А. Критерий -управляемости ли Куржанский А.Б. К управляемости в банаховых пространствах // нейной системы // Дифференц. уравнения. 1976. Т. 12, № 4. С. 653 - Дифференц. уравнения. 1969. Т. 5, № 9. C. 1715 - 1718. 657.
11 липтического оператора высокого порядка, которая являет- 2. Рузакова О.А. Управляемость неоднородного уравне ся обобщением некоторых задач, рассмотренных в преды- ния соболевского типа с сильно (L, p)-радиальным опе дущих параграфах. ратором // Студент и научноЦтехнический прогресс.
Тез. научн. студ. докл. Челябинск: ЧеГУ, 2001.
Основные результаты диссертации.
С. 9 - 11.
1. Получены критерии -управляемости уравнения (2) с 3. Рузакова О.А. Об одномерной управляемости линей сильно (L, p)-радиальным оператором M и непрерыв ных уравнений соболевского типа // Уравнения со но обратимым оператором B.
болевского типа. Сб. науч. работ. Челябинск: ЧеГУ, 2002. С. 215 - 219.
2. Найдены необходимые условия управляемости урав 4. Рузакова О.А. Об одномерной управляемости линей нения (2) в предположении, что оператор M (L, ) ных уравнений соболевского типа // Студент и науч ограничен, бесконечность является несущественной осо ноЦтехнический прогресс. Тез. науч. студ. докл. Челя бой точкой порядка p операторЦфункции (L - M)-1.
бинск: ЧеГУ, 2002. С. 5 - 6.
3. Получены критерии -управляемости уравнения (3) 5. Рузакова О.А. Двумерная управляемость задачи Ко в предположении, что оператор M (L, )-ограничен, шиЦДирихле для уравнения БаренблаттаЦЖелтова - бесконечность является несущественной особой точ Кочиной // Обратные задачи: теория и приложения:
кой порядка p операторЦфункции (L - M)-1.
Тез. докл. междунар. науч. школыЦконф. Часть 2.
ХантыЦМансийск, 2002. С. 30 - 31.
4. Найдены необходимые условия конечномерной -уп 6. Рузакова О.А. Конечномерная управляемость уравне равляемости уравнения (4) с сильно (L, p)-радиальным ний соболевского типа // Актуальные проблемы при оператором M.
кладной математики и механики. Тез. докл. Всеросс.
конф. Екатеринбург. 2003. С. 65 - 66.
5. Получены условия -управляемости для начально-кра евых задач для некоторых неклассических уравнений 7. Рузакова О.А. Двумерная управляемость уравнения в частных производных. соболевского типа // Студент и научноЦтехнический прогресс: Тез. науч. студ. докл. Челябинск: ЧеГУ, 2003. С. 6.
СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ
8. Рузакова О.А. Конечномерная управляемость уравне ний соболевского типа // Вестн. ЧеГУ. Математика, 1. Рузакова О.А. Управляемость неоднородного уравне механика, информатика. 2003, № 1. С. 127 - 135.
ния соболевского типа с сильно (L, p)-радиальным опе ратором // Студент и научноЦтехнический прогресс.
9. Рузакова О.А. К вопросу об одномерной управляе Тез. междунар. научн. студ. конф. Новосибирск, 2001.
мости линейных вырожденных уравнений // Вестник С. 127 - 128.
МаГУ. Сер. Математика. 2003, Вып. 4. С. 111 - 120.
13 10. Рузакова О.А. Конечномерная управляемость урав нений соболевского типа // Алгоритмический анализ неустойчивых задач: Тез. докл. Всерос. науч. конф.
Екатеринбург. 2004. С. 216.
11. Рузакова О.А., Федоров В.Е. Об одномерной управля емости в гильбертовых пространствах линейных урав нений соболевского типа // Алгоритмический анализ неустойчивых задач. Тез. докл. Всеросс. научн. конф.
Екатеринбург, 2001. С. 177 - 178.
12. Рузакова О.А., Федоров В.Е. Одномерная управляе мость уравнений соболевского типа // Дифференц.
и интегральные уравнения. Мат. модели. Тез. докл.
междунар. науч. конф. Челябинск, 2002. С. 85.
13. Федоров В.Е., Рузакова О.А. Одномерная управляе мость в гильбертовых пространствах линейных урав нений соболевского типа // Дифференц. уравнения.
2002. Т. 38, № 8. C. 1137 - 1139.
14. Федоров В.Е., Рузакова О.А. Управляемость линей Подписано в печать 05.05.04. Формат 60 84 1/16.
ных уравнений соболевского типа с относительно Бумага офсетная. Печать офсетная. Усл. печ. л. 1,0.
p-радиальными операторами // Изв. вузов. Матема Уч.-изд. л. 1,0. Тираж 100 экз. Заказ 115. Бесплатно.
тика. 2002. № 7. C. 54 - 57.
15. Федоров В.Е., Рузакова О.А. Одномерная и двумер Челябинский государственный университет ная управляемость уравнений соболевского типа в ба 454021 Челябинск, ул. Братьев Кашириных, наховых пространствах // Мат. заметки. 2003. T. 74, № 4. С. 618 - 628.
Полиграфический участок Издательского центра 16. Ruzakova O.A. TwoЦdimensional controllability of Sobolev Челябинского государственного университета type equation // Ill-posed and inverse problems: Abstracts 454021 Челябинск, ул. Молодогвардейцев, 57б of internat. conf. Novosibirsk, Sobolev Institute press, 2002. p. 140.