Книги по разным темам Журнал технической физики, 2003, том 73, вып. 8 01;05;06 Влияние циркуляционных токов на теплопроводность гетерогенных систем й В.В. Крюк, Д.А. Молодцев, А.В. Пилюгин, А.А. Повзнер Уральский государственный технический университет, 620002 Екатеринбург, Россия e-mail: ppupi@k-uralsk.ru (Поступило в Редакцию 7 октября 2002 г. В окончательной редакции 24 декабря 2002 г.) Развивается подход, описывающий влияние термоэлектрических эффектов и граничных условий на теплопроводность гетерогенных систем. Показано, что при определенной геометрии гетерогенной структуры заметное влияние на эффективную теплопроводность оказывают возникающие в системе циркуляционные электрические токи, причем максимальное увеличение теплопроводности за счет влияния циркуляционных токов следует ожидать в гетерогенных полупроводниках и полуметаллических системах с разными по знаку термоэлектродвижущими силами.

Исследование процессов переноса в неоднородных Пельтье; Ч электрический потенциал; Ч хими средах, к которым относятся композиционные матери- ческий потенциал; = e - Ч электрохимический алы, различные сплавы и соединения, является актуаль- потенциал; T Ч температура; e Ч заряд электрона.

ной и сложной задачей современной науки и техники. При расчете эффективной теплопроводности гетероСуществующие методы решения этой задачи, описанные генной системы, прежде всего определим распределение в работах [1Ц3], в ряде случаев не являются удовле- потенциала (x, y) и температуры T (x, y) по образцу.

творительными, более того, они не позволяют получать Для нахождения потенциала в окрестности произвольдетальное распределение полей по неоднородной среде ной точки (x, y), гетерогенную область разобьем на N даже в случае одного поля. Еще более сложно ситуация конечных ячеек, каждая из которых является гомогенной выглядит при одновременном действии нескольких по- (рис. 1, a). Конечная ячейка является аналогом бесколей и их влиянии на процессы переноса в неоднородных нечно малой окрестности точки (x, y). Для того чтобы средах. Хотя в последнее время и появились обнадежи- обеспечить равенство потенциалов и потоков (первых вающие результаты [3], но и они не свободны от прин- производных) в ДсреднемУ на границе ячейки (рис. 1, a, ципиальных недостатков: плоский случай, периодическое линия b), функции, определенные в этой области, не расположение включений правильной формы. могут быть линейными. В i-й ячейке (i = 1,..., N) В настоящей работе излагается метод расчета эф- определим потенциал i(x, y) и температуру T (x, y) фективных кинетических коэффициентов неоднородных в виде квадратичных функций систем при одновременном действии теплового и элек i(x, y) =ai,1x2 + ai,2y2 + ai,3x + ai,4y + ai,5, трического полей в стационарном случае [4]. Кроме того, проводится анализ зависимости коэффициента теплопроTi(x, y) =ai,6x2 + ai,7y2 + ai,8x + ai,9y + ai,10, (2) водности от геометрии гетерогенной структуры, концентрации компонент и их физических свойств, условий на где коэффициенты ai, j подлежат определению.

границе гетеорогенной структуры в случае самосоглаТакой выбор степенной зависимости обусловлен тем, сованного действия электрического и теплового полей.

что в данной работе не учитываются физические эфПроводится поиск условий, при которых коэффициент фекты, связанные со вторыми производными. Кроме эффективной теплопроводности принимает экстремальтого, коэффициент при xy равен нулю, что следует из ные значения.

симметрии элементарной ячейки.

Для вычисления эффективной проводимости гетерогенной системы воспользуемся уравнением электро- и теплопереноса [5]:

j = - grad(e - ) - S grad T, e q = j - grad T, (1) e где j, q Ч плотности потока электричества и тепла;

,, S Ч удельная электропроводность, удельная тепРис. 1. Гетерогенная система. Закрашенная область Ч вклюлопроводность и дифференциальная термоэлектродви- чение второй компоненты. a, b Ч граничные поверхности жущая сила соответственно; = ST Ч коэффициент элементарных ячеек; c Ч изотермические поверхности.

Влияние циркуляционных токов на теплопроводность гетерогенных систем Электрохимический потенциал и температуру найдем образца накладывалось условие адиабатичности. Поток исходя из предположения o том, что физические про- электричества через всю границу образца принимался цессы, протекающие в окрестности точки (x, y), зависят равным нулю, электрохимический потенциал на границе от физических свойств самой окрестности точки (элек- не задавался. Линеаризация системы уравнений (1) осутропроводность, теплопроводность и термоэлектродви- ществлялась следующим образом: при небольшом пережущая сила окрестности точки считаем заданными) паде температур (в данной работе T = Tc - Td = 1K) и условий на границе этой окрестности. На границе, и достаточно большом числе элементарных ячеек вдоль разделяющей две соседние ячейки (рис. 1, a, линия b), образца пренебрегали квадратичными по первым произcредние значения электрического тока и потока тепла, а водным слагаемыми. Таким образом, задача определения также средние значения электрохимического потенциала потенциалов сводилась к решению системы линейных и температуры, вычисленные как со стороны одной, так алгебраических уравнений.

и со стороны другой областей, равны между собой Эффективная теплопроводность и термоэлектродвижущая сила гетерогенной системы вдоль оси x (рис. 1, aЦc) определялись по формулам ids = jds, Tids = Tjds, b b b b Q eff =, Seff =, T T jids = jjds, qids = qjds, (3) где Q Ч результирующий поток тепла через линию c b b b b (рис. 1, a), T = Tc - Td, = c - d.

Ранее экспериментально наблюдалось увеличение когде i, j Ч номера соседних ячеек.

Отсутствие источников электрических зарядов и теп- эффициента теплопроводности двухфазных полупроводниковых и полуметаллических систем с высокой прола в ячейке учитывается уравнениями водимостью (порядка 105-106 ( m)-1) составляющих фаз [6]. В работе [6] отмечалось, что такое увеличение й grad ids = 0, й grad Tids = 0, (4) может быть обусловлено циркуляционными токами. ОдSi Si нако проведенные оценки связанного с циркуляционными токами дополнительного вклада в теплопроводность где Si Ч поверхность, ограничивающая объем ячейки Vi.

были сделаны в приближении усредненных тепловых и На поверхностях элементарной ячейки, которые явэлектрических потоков и оказались меньшими, чем эксляются граничными для образца (рис. 1, a, линии a), периментально наблюдаемые. При этом не учитывался задаются средние значения потенциалов или потоков тот факт, что увеличение теплопроводности двухкомпонентных систем, особенно при высоких температурах ids = a,i, Tids = Ta,i, (> 600 K), обычно сопровождается не только понижениa a ем термоэлектродвижущей силы, но и существованием второй фазы с электронными свойствами, отличающиjids = Ia,i, qids = Qa,i, (5) мися от свойств матрицы. Так, гомогенная система FeSi a a имеет приблизительно одинаковые плотности электронных и дырочных состояний [7Ц9], а при выделении где a,i, Ta,i, Ia,i, Qa,i Ч средние значения соответствувторой фазы FeSi2 с проводимостью n-типа (-лебоит;

ющих потенциалов и потоков на граничной поверхности высокая проводимость), проводимость матрицы будет i-й элементарной ячейки.

p-типа из-за превышения содержания железа. Такая же Уравнения (3)Ц(5) с учетом (1), (2) приводят к систеситуация характерна и для системы PbTe с добавлением ме нелинейных алгебраических уравнений относительно атомов Na (p-тип) или Cl (n-тип), у которой наблюдается коэффициентов ai, j. Нелинейность возникает вследствие повышение теплопроводности при температуре выше явной температурной зависимости коэффициента Пель700 K с одновременным понижением термоэлектродвитье и неявной температурной зависимости парциальных жущей силы [10Ц12].

кинетических коэффициентов.

Конкретные расчеты концентрационных зависимостей В данной работе гетерогенный образец прямоугольэффективной теплопроводности и эффективной термоной формы разбивался на (100 100) элементарных электродвижущей силы проводились для гетерогенных ячеек. Такое количество ячеек обеспечивало как достасистем, представленных на рис. 1, aЦc. Система, предточную плавность изменения потенциала, так и возможставленная на рис. 1, a, характерна тем, что для этой ность аппроксимировать прямоугольниками окружность системы добавка к теплопроводности наибольшая. Ре(рис. 1, c). На левой (рис. 1, a, линия c = ai) и i альную ситуацию моделируют системы, представленные правой (линия d = a ) границах образца задавалась j на рис. 1, b, c, в которых вторая компонента представлена j температура Tc, Td, ширина области задания темпера- в виде прямоугольных или эллипсоидных включений.

туры изменялась (0 < c, d < 1), потоки тепла через Добавка к эффективной теплопроводности, рассчитанэту область не определялись. На остальную границу ная по изложенной методике [4], соответствует экспериЖурнал технической физики, 2003, том 73, вып. 80 В.В. Крюк, Д.А. Молодцев, А.В. Пилюгин, А.А. Повзнер Рис. 3. Зависимость эффективного коэффициента теплопроводности от концентрации второй компоненты. 1Ц3 Ч структура, представленная на рис. 1, a; 4 Ч 1, b; 5 Ч Рис. 2. Циркуляционный электрический ток, возникающий 1, c. 1,2 = 105 ( m)-1; S1,2 = 100 V/K; = W/(m K);

в гетерогенной системе с разными по знаку термоэдс (для T = 1K; 1 Ч c = 0.75, Tc = 300 K; 2 Ч c = 1, системы, представленной на рис. 1, b).

Tc = 300 K; 3 Ч c = 1, Tc = 500 K; 4 Ч c = 1, Tc = 300 K;

5 Х Ч c = 1, Tc = 300 K.

ментальным данным [6,10]. Вместе с тем в случае значительной разницы теплопроводности компонент влияние добавочного вклада снижается за счет увеличения вклада в теплопроводность одной из компонент. Проведенный численный анализ показал, что максимальное увеличение теплопроводности за счет влияния циркулярных токов следует ожидать в гетерогенных полупроводниковых и полуметаллических системах с разными по знаку термоэлектродвижущими силами. В этом случае возникает достаточно большой циркулярный ток, состоящий из носителей электричества разных знаков (рис. 2).

Носители движутся в одном направлении и обеспечивают дополнительный вклад в теплопроводность. На ДгорячемУ конце образца происходит рождение пары электронов и дырок, а на ДхолодномУ Ч их рекомбинация. При этом количество носителей оказывается приближенно пропорциональным концентрации компонент и в случае равенства концентраций компонент возникает максимальный по величине циркуляционный ток.

Максимальное увеличение коэффициента теплопровоности наблюдается при равных концентрациях компонент и не зависит от геометрии включений (рис. 3).

Эффективная термоэлектродвижущая сила системы при изменении концентрации одной из компонент, монотонно изменяется от одной парциальной до другой парциальной термоэлектродвижущей силы, принимая нулевое значение при равной концентрации компонент.

Зависимость теплопроводности от геометрии и концентрации включений характеризуют кривые 2, 4, 5 (рис. 3).

Анализ этих кривых показывает, чем сложнее геометРис. 4. a Ч изолинии теплового поля: c = 1;

рия включений, тем меньше вклад в теплопроводность 1,2 = 105 ( m)-1; S1,2 = 100 V/K; = W/(m K);

циркуляционных токов. В этом случае доля зарядов, Tc = 300 K; T = 1K. b Ч изолинии теплового поля:

S1,2 = 300 V/K; остальные параметры те же.

движущихся непосредственно вдоль оси x, уменьшается.

Журнал технической физики, 2003, том 73, вып. Влияние циркуляционных токов на теплопроводность гетерогенных систем Список литературы [1] Арамян М.А., Карапетян Г.К. // ИФЖ. 2001. Т. 74. № 1.

C. 92Ц98.

[2] Балагуров Б.Я., Кашин В.А. // ЖЭТФ. 1994. Т. 106.

Вып. 3 (9). С. 811Ц827.

[3] Балагуров Б.Я. // ЖЭТФ. 2001. Т. 119. Вып. 1. С. 142Ц153.

[4] Крюк В.В., Пилюгин А.В., Повзнер А.А. и др. // ИФЖ.

2002. Т. 75. № 3. C. 1Ц4.

[5] Балмуш И.И. Термоэлектрические эффекты в многослойных полупроводниковых структурах. Кишинев, 1992.

144 с.

[6] Дульнев Г.Н., Новиков В.В. Процессы переноса в неоднородных средах. Л., 1991. 290 с.

[7] Wolfe R., Wernick J.H., Hazsko S.E. // Phys. Lett. 1965.

Vol. 19. N 6. P. 449Ц450.

[8] Buschinger B., Geibel C., Steglich F. et al. // Physica B. 1997.

Рис. 5. Распределение электрического потенциала в гетероVol. 230Ц232. P. 784Ц786.

генной системе (для системы, представленной на рис. 1, c).

[9] Hunt M.B., Chernikov M.A., Felder E. at al. // Phys. Rev. B.

1994. Vol. 50. N 20. P. 14 933Ц14 941.

[10] Алексеева Т.Г., Гуриева Е.А., Константинов П.П. и др. // ФТТ. 1996. Т. 30. Вып. 12. С. 2159Ц2163.

Температурная зависимость эффективной теплопро[11] Алексеева Т.Г., Ведерников М.В., Гуриева Е.А. идр. // ФТТ.

водности представлена кривыми 2, 3 (рис. 3). Наблюдает2000. Т. 34. Вып. 8. С. 935Ц939.

ся рост теплопроводности с повышением температуры.

Это связано с линейной зависимостью коэффициента Пельтье от температуры.

Влияние граничных условий на теплопроводность показывают кривые 1, 2 (рис. 3). Уменьшение ширины входящего и выходящего потоков приводит к уменьшению интегральной теплопроводности, в том числе и в гомогенном образце.

Практический интерес представляют распределение полей по образцу и их зависимость от парциальных кинетических коэффициентов и геометрии включений. На рис. 4, a, b представлены изотермы теплового поля и их зависимость от величины термоэлектродвижущей силы.

Несмотря на то что парциальные теплопроводности компонент одинаковы, циркуляционные электрические токи вносят существенный вклад (рис. 4, b) в распределение тепловых потоков. На рис. 5 показано распределение электрического поля для включения в виде эллипса.

Изопотенциальные линии позволяют определить и области генерации и рекомбинации электронов и дырок, а также (по значению электрического потенциала) интенсивность этих процессов.

Рассмотренные эффекты необходимо учитывать при создании новых материалов с заданными термоэлектрическими характеристиками, а также при анализе экспериментальных данных о термоэлектрических свойствах полупроводниковых и полуметаллических систем с отклонениями от стехиометрии. Последнее особенно важно для соединений переходных металлов, при получении которых современные технологии все еще не могу обеспечить требуемый в полупроводниковом материаловедении уровень чистоты.

   Книги по разным темам