УДК 517.9

Работа выполнена в Челябинском государственном уни верситете на кафедре математического анализа.

На правах рукописи

Научный консультант:

кандидат физико-математических наук

, доцент Воронин Сергей Михайлович

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, пpофессоp Долгий Юрий Филиппович Мещерякова Юлия Игоревна кандидат физико-математических наук, доцент Елизаров Павел Михайлович ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ИНВАРИАНТЫ

Ведущая организация:

АНАЛИТИЧЕСКОЙ КЛАССИФИКАЦИИ Воронежский государственный университет ВЫРОЖДЕННЫХ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ОСОБЫХ ТОЧЕК РОСТКОВ ГОЛОМОРФНЫХ ВЕКТОРНЫХ ПОЛЕЙ

Защита состоится "16" июня 2004 года в 13 ч. 00 мин. на заседании диссертационного совета К 212.286.01 по присуждению ученой степени кандидата 01.01.02 - дифференциальные уравнения физико-математических наук при Уральском государствен ном университете им. А.М. Горького по адресу:

620083, г. Екатеринбург, пр. Ленина, 51, а. 248.

АВТОРЕФЕРАТ

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиоте диссертации на соискание ученой степени ке Уральского государственного университета им. А.М. Горь кандидата физико-математических наук кого.

Автоpефеpат разослан "6" мая 2004 г.

Ученый секpетаpь диссертационного совета доктор физико-математических ЕКАТЕРИНБУРГ - наук, профессор В.Г. Пименов Актуальность темы. Основы теории нормальных фикации вырожденных элементарных (седло-узловых) форм были заложены А. Пуанкаре еще в конце 19 века. Зна- особых точек на комплексной плоскости.

чительный вклад в развитие этой теории внесли Х. Дюлак, Методы исследования. Основным методом исследова К. Зигель, К. Чень, Ф. Такенс, В.А. Кондратьев, В.С. Са- ния является метод, который условно можно назвать методом мовол, Г.Р. Белицкий, Г. Селл, В.И. Арнольд, А.Д. Брюно, Днормализующих атласовУ. Состоит он в том, что нормали Ю.С. Ильяшенко, А.С. Пяртли и др. зация исследуемого объекта проводится там, где ее удается Вопросы нормализации вещественных полей и отображе- провести. Построенный набор нормализующих отображений ний на инвариантном многообразии рассматривались в ра- образует так называемый нормализующий атлас на некото ботах Ж. Адамара, О. Перрона, В.А. Плисса, М. Хирша, ром многообразии (области). Суть метода состоит в том, что К. Пью, М. Шуба, Ф. Дюмортье, Ю.Н. Бибикова, В.Ф. Ла- функции перехода этого атласа обычно и дают список инва зуткина. риантов аналитической классификации. Метод нормализую Как правило, в задачах аналитической классификации щих атласов использовался ранее в работах Экалля, Мар получали результаты двух типов: либо доказывали совпаде- тине, Рамиса, Ильяшенко, Воронина, Гринчий и др.

ние аналитической и формальной классификаций, либо на- Кроме того, в работе использовались: теорема о сжима ходили условия, гарантирующие расходимость нормализую- ющих отображениях и метод конструирования аналитиче щих рядов. Результаты принципиально иного характера были ских объектов, основанный на использовании техники почти получены за последние 24 года. В 1980 г. в задаче об анали- комплексных структур.

тической классификации ростков одномерных отображений с Новизна полученных результатов. В работе получе тождественной линейной частью были обнаружены функцио- ны следующие результаты:

нальные инварианты (Ж. Экалль, С.М. Воронин). В дальней- - доказана теорема о секториальной нормализации седло шем функциональные инварианты были построены для рост- узловых особых точек;

ков резонансных одномерных отображений, а также в зада- - получена аналитическая классификация таких точек:

че об орбитальной1 классификации резонансных особых то- она не совпадает с формальной и имеет функциональные мо чек голоморфных векторных полей на комплексной плоско- дули;

сти (Ж. Экалль, Б. Мальгранж, Ж. Мартине, Ж.-П. Рамис, - получено полное описание аналитической группы сим Ю.С. Ильяшенко, С.М. Воронин, П.М. Елизаров, А.А. Щер- метрий, найдены достаточные условия аналитической экви баков, А.А. Гринчий). валентности ростка седло-узлового векторного поля и его Цель работы. Целью работы является построение пол- формальной нормальной формы.

ной системы инвариантов в задаче об аналитической класси- Все результаты являются новыми.

Теоретическая и практическая значимость. Работа Динамические системы-1. Итоги науки и техники. Совре носит теоретический характер. Существенность полученных менные проблемы математики. Фундаментальные направле результатов заключается в том, что они позволяют почти ния. т.1.-М.:ВИНИТИ, 1985.

полностью завершить так называемую Дпрограмму Пуанка 3 реУ исследования особых точек векторных полей на плоско- Объем диссертации составляет 104 страницы. Библиография сти: не до конца исследованными теперь остаются лишь сед- содержит 100 наименований работ российских и зарубежных ловые особые точки с ДплохимУ отношением собственных зна- авторов.

чений линейной части. Полученные результаты могут найти СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

применение во всех аналитических задачах теории динами ческих систем, в которых возникают вырожденные элемен Введение содержит краткий обзор литературы по теме тарные особые точки. Кроме того, данные результаты могут диссертации. Здесь же обозначены цели и методы исследова быть использованы для чтения спецкурсов по теории дина ния, дается представление о содержании диссертации, при мических систем в университетах.

носятся благодарности научному руководителю, коллективу Апробация работы. Результаты, изложенные в диссер кафедры математического анализа ЧеГУ, супругу и роди тационной работе, были представлены на Воронежской зим телям автора.

ней математической школе ДСовременные методы в теории Кроме того, во введении даны основные определения, ис краевых задачУ (Воронеж, 1999г.), Всероссийской научно пользуемые в диссертации:

практической конференции ДПроблемы физико-математичес Ростком векторного поля (отображения) в точке 0 на кого образования в педагогических вузах России на совре зывается класс всех векторных полей (отображений), совпа менном этапеУ (Магнитогорск, 1999г.), Воронежской зимней дающих с ним в некоторой (зависящей от поля) окрестности математической школе ДСовременный анализ и его приложе этой точки.

нияУ (Воронеж, 2000г.), Четвертом сибирском конгрессе по Пусть V класс ростков голоморфных векторных полей прикладной и индустриальной математике (ИНПРИМ-2000) в (C2, 0) с изолированной вырожденной элементарной особой (Новосибирск, 2000г.), Международной конференции по диф точкой 0 (т.е. таких, что линейная часть ростка в этой точке ференциальным уравнениям и динамическим системам (Суз вырождена, но хотя бы одно собственное значение линейной даль, 2000г.), Международной конференции ДДифференци части поля в этой точке отлично от нуля).

альные и интегральные уравнения. Математические моделиУ Два ростка векторных полей v и в точке 0 называют (Челябинск, 2002г.), Всеросссийской конференции ДАлгорит ся аналитически (формально) эквивалентными, если суще мический анализ неустойчивых задачУ (Екатеринбург, 2004г.) ствует росток в точке 0 аналитической замены координат H, Публикации. По теме диссертации опубликовано 11 ра переводящий интегральные кривые поля v в интегральные бот, список которых приводится в конце автореферата. Ре кривые поля ( если существует формальная замена коор зультаты, опубликованные в совместных с научным руково динат H, такая, что Hv = H).

дителем работах, получены автором самостоятельно;

соавто Ростки v и называются орбитально аналитически (фор ру принадлежит постановка задачи и основное направление мально) эквивалентными, если существует локальная голо исследования.

морфная замена координат, переводящая фазовый портрет Структура и объем работы. Диссертация состоит из одного ростка в фазовый портрет другого (если существует введения, четырех глав и списка цитируемой литературы.

формальная замена координат H и формальный степенной 5 ряд k с ненулевым свободным членом такие, что H v = Определение 1. Будем говорить, что наборы = (p,, a) k H).

и = (p,, ) эквивалентны, если p = p, =, наборы Первая глава посвящена исследованию формальной a = (a0,..., ap) и = (a0,..., ap) удовлетворяют условию классификации вырожденных элементарных особых точек в ak = akk, k = 0,..., p, где p некоторый корень степени p p (C2, 0). Известно2, что росток из V формально орбитально из единицы.

эквивалентен одному из ростков вида yp+ Теорема 2. Две формальные нормальные формы v и v vp, = x +, C.

x 1 + yp y формально эквивалентны тогда и только тогда, когда эквивалентно .

Обозначим через Vp, класс ростков, формально орбиталь но эквивалентных vp,.

Доказательство теоремы 2 приведено в параграфе 1.2. В Следующая теорема, по существу, равносильна резуль параграфе 1.3 доказана следующая татам А.Д. Брюно (для двумерного случая), но дает более удобную для наших целей формальную нормальную форму Лемма 1 (о предварительной нормализации). Для лю седло-узловых особых точек.

бого v Vp, и любого N N существует росток, такой, что v аналитически эквивалентен и Теорема 1 (о формальной классификации). Каждый p росток из Vp, формально эквивалентен одному из ростков = x akyk + yN(x, y) + x k= vp,,a = vp, a(y), () p p yp+ akyk + yN+1(x, y), 1+yp y где a(y) = akyk, a0 = 0, ak C, k = 0, 1,..., p.

k= k= где (x, y), (x, y) - голоморфные в (C2, 0) функции.

Параграф 1.1 посвящен доказательству теоремы о фор N мальной классификации. Класс формальной эквивалентно Через Vp,,a обозначим класс ростков из Vp,,a вида ().

сти ростка vp,,a, называемого формальной нормальной фор мой, обозначим Vp,,a.

Пусть (2p, ). Для j N (1 j 2p) рассмотрим p области j = {(x, y) C2 : |x| <, 0 < |y| <, | arg y + Martinet J., Ramis J.P. Problme de modules pour des j - | < }. Систему областей {j} (j = 1,..., 2p) будем 2p p quations diffrentielles non linaires du premier ordre. Publ.

называть хорошим покрытием области {|x| <, 0 < |y| < };

Math. Inst. Hautes tud. Sci., 55, 1982.

параметры и будем называть, соответственно, раствором и радиусом хорошего покрытия.

7 Определение 2. Пусть U окрестность нуля в C, Отметим, что теорема о секториальной нормализации яв ляется обобщением аналогичной теоремы для орбитальной S C сектор конечного радиуса с вершиной в нуле. Об эквивалентности3.

ласть = U S будем называть секториальной областью.

Третья глава содержит основной результат диссерта Полуформальное отображение = fk(x)yk с голоморф ционной работы, здесь доказана теорема об аналитической k= классификации ростков класса Vp,,a и построены функцио ными в U коэффициентами будем называть асимптотиче нальные инварианты данной классификации. Именно, здесь ским для голоморфного отображения H : C2 на сек мы строим нормализующий атлас для ростка v V и опре ториальной области = U S, если для любой частичной деляем инварианты аналитической классификации ростка v n суммы Hn = fk(x)yk имеем:

по функциям перехода этого атласа.

k= Пусть Mp, пространство всех наборов (c,, ) таких, что c Cp;

= (1,..., p), = (1,..., p), j и j го H(x, y) - Hn(x, y) = o(yn) при (x, y), y 0.

ломорфны в (C, 0);

j(0) = j(0) = 0, (0) = 1 k < p, k (0) = exp(2i).

p Теорема 3 (о секториальной нормализации). Для лю Пусть pa - наибольший общий делитель p и всех тех N бого ростка v Vp,,a и любого хорошего покрытия = {j} k {1,..., p}, для которых ak = 0, na = p/pa. Два набора с заданным раствором и достаточно малым радиусом су (c,, ) и (, ) из Mp, будем называть эквивалентны c, ществует единственный набор голоморфных отображений ми, если для некоторого C Cp, C = (C1,..., Cp) и некото рого s Z, 0 s < pa Hj : j Hj(j) C2, таких, что:

1. Hj сопрягает на j росток v и его формальную нормаль cj+sna = Cj cj, - ную форму vp,,a: j+sna(z) Cj+1+snaj(Cj z), (1) - j+sna(z) = j(Cj z) Hj vp,,a = v Hj на j.

(нумерацию считаем циклической). Пусть Mp,,a простран ство классов эквивалентности из Mp,.

2. Нормированная формальная нормализующая замена ростка v является асимптотической для Hj на j.

Теорема 4 (об аналитической классификации). Суще ствует такое отображение Теорема о секториальной нормализации доказана во вто рой главе.

m : Vp,,a Mp,,a, m : v mv, В параграфе 2.1 приводится полное доказательство для Hukuhara H., Kimura T., Matuda T. Equations differentialles частного случая p = 1, = 0, a0 = 1, a1 = 0. Для общего слу ordinaires du premier ordre dans le champ complexe. Publ. Math.

чая несколько более компактное доказательство приведено в параграфе 2.2.

Soc. of Japan, 1961.

9 что справедливы следующие утверждения: их замена координат имеет вид 1. Эквивалентность и эквимодальность. v mv = H(x, y) = (x + o(1), y + o(yp+1)).

m;

2. Реализация. Для любого m Mp,,a существует та Замечание 1. Строгая эквивалентность удобнее эквива кое v Vp,,a, что m = mv;

лентности в силу единственности формальной нормализую 3. Аналитическая зависимость. Для любого аналитиче N щей замены. Каждый росток из Vp,,a не только формально ского семейства v ростков из Vp,,a некоторые представи эквивалентен своей формальной нормальной форме vp,,a, но тели модулей mv также образуют аналитическое се и строго формально эквивалентен ей.

мейство.

Тогда имеет место следующая Эта теорема является точным аналогом известной теоре мы об орбитальной аналитической классификации ростков Теорема 5. Пространство Mp, является пространством из Vp,. Отметим, что количество модулей в задаче об анали модулей строгой аналитической классификации ростков тической классификации увеличилось вдвое по сравнению с N класса Vp,,a.

задачей об орбитальной аналитической классификации. Дей ствительно, орбитальная аналитическая классификация име Отмеченная выше неединственность нормализующей за ет p + 1 числовых (один формальный модуль и p модулей мены в задаче об аналитической классификации объясняет c = (c1,..., cp) аналитической классификации), и p функцио взаимосвязь пространств Mp, и Mp,,a: пространство Mp,,a нальных модулей {j};

аналитическая классификация имеет получается из пространства Mp, факторизацией по отно 2p + 2 числовых (p + 2 формальных модулей, a0,..., ap и шению эквивалентности (1), происходящему из этой неедин p аналитических модулей набора c), и 2p функциональных ственности.

модулей {j}, {j}.

Четвертая глава приложения теории нормальных Все три утверждения теоремы 4, для краткости, заменим форм.

одной фразой: ДПространство Mp,,a является пространством Определение 4. Аналитической (формальной) группой модулей аналитической классификации ростков N класса Vp,,aУ.

симметрий ростка v V назовем группу Gv (Gv), состоя Наряду с аналитической эквивалентностью здесь рассмат щую из всех голоморфных (формальных) замен координат, ривается и строгая эквивалентность.

сохраняющих v.

N Определение 3. Ростки v, Vp,,a назовем строго экви Группа симметрий любого ростка v содержит подгруппу t валентными, если они эквивалентны, причем сопрягающая G+ = {gv}tC, состоящую из всех сдвигов вдоль фазовых кри v вых ростка v за фиксированное время.

11 Фактор-группу Gv/G+ (если она корректно определена) 1. Мещерякова Ю.И. Формальные нормальные формы v назовем главной частью группы симметрий ростка v. изолированных вырожденных элементарных особых то Группой симметрий инварианта m Mp,,a назовем под- чек // Деп. в ВИНИТИ №2848 - В98 от 23.03.1998г. 12 с.

группу Cp Zpa (где pa - наибольший общий делитель p и 2. Мещерякова Ю.И. Формальные нормальные формы всех тех индексов k, для которых ak = 0, a = (a0, a1,..., ap)), изолированных вырожденных элементарных особых то состоящую из всех чисел (C, s) Cp Zpa таких, что для чек // Воронеж. зим. мат. школа "Современные методы некоторого представителя {c,, } инварианта m справедли в теории краевых задач"Тез. докл. Воронеж, вы равенства 1999г.с. 136.

- cj = Cj cj+sna, 3. Воронин С.М., Мещерякова Ю.И. Аналитическая -1 - j(Cj z) Cj+1+snaj+sna(z), классификация ростков голоморфных векторных полей - j(Cj z) j+sna(z).

на С с типичными вырожденными особыми элементар ными точками // Проблемы физ.-мат. образ. в пед. ву Теорема 6. 1. Формальная группа симметрий ростка зах России на совр. этапе: Матер. Всерос. научн.-практ.

класса Vp,,a изоморфна прямому произведению мультипли конф. Ч.2. Тез. докл. Магнитогорск: МГПИ, 1999г.

кативной группы C, аддитивной группы C и группы выче 4. Воронин С.М., Мещерякова Ю.И. Аналитическая тов Zpa.

классификация типичных вырожденных элементарных 2. Главная часть аналитической группы симметрий ростка особых точек ростков голоморфных векторных полей в (C2, 0) // Воронеж. зим. мат. школа "Современный v Vp, изоморфна группе симметрий его инварианта.

анализ и его приложения"Тез. докл. Воронеж, 2000г., С. 60Ц61.

Следствием данной теоремы является следующее доста точное условие аналитической эквивалентности седло - узло 5. Воронин С.М., Мещерякова Ю.И. Преобразования t вой особой точки ростка голоморфного векторного поля и его монодромии типичных вырожденных элементарных формальной нормальной формы.

особых точек голоморфных векторных полей // Четв.

сиб. конгресс по прикладн. и индустриальн. мат.

Следствие 1. Если главная часть аналитической группы (ИНПРИМ-2000), посвящ. пам. М.А. Лаврентьева. Тез.

симметрий ростка v из Vp,,a не является конечной, то ро докл. Новосибирск, 2000г.

сток v аналитически эквивалентен своей формальной нор 6. Воронин С.М., Мещерякова Ю.И. Функциональные ин мальной форме vp,,a.

варианты вырожденных элементарных особых точек го ломорфных векторных полей в (C2, 0) // Международн.

СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

конф. по диф. уравнениям и динамич. системам. Тез.

докл. Суздаль, 2000г., С. 120Ц121.

13 7. Воронин С.М., Мещерякова Ю.И. Аналитическая классификация типичных вырожденных элементарных особых точек ростков голоморфных векторных полей на комплексной плоскости // Известия вузов. Матема тика, 2002, №1, С. 13Ц16.

8. Воронин С.М., Мещерякова Ю.И. Уголки Елизарова для одного класса вырожденных элементарных особых точек // Международн. конф. "Дифференциальные и интегральные уравнения. Математические модели"Тез.

докл. Челябинск, 2002г., с. 22.

9. Мещерякова Ю.И. Симметрии ростков типичных вы рожденных элементарных особых точек // Междуна родн. конф. "Дифференциальные и интегральные урав нения. Математические модели"Тез. докл. Челябинск, 2002г., с. 70.

10. Мещерякова Ю.И. Формальная классификация вырож денных элементарных особых точек // Уравнения собо Подписано в печать 05.05.04. Формат 60 84 1/16.

левского типа: Сб. науч. работ. Челяб. гос. ун-т. Челя Бумага офсетная. Печать офсетная. Усл. печ. л. 1,0.

бинск, 2002г., С. 197Ц206.

Уч.-изд. л. 1,0. Тираж 100 экз. Заказ 114. Бесплатно.

11. Воронин С.М., Мещерякова Ю.И. Аналитическая классификация ростков голоморфных векторных полей Челябинский государственный университет с вырожденной элементарной особой точкой // Вестник 454021 Челябинск, ул. Братьев Кашириных, Челябинского университета. Серия 3. Математика. Ин форматика. Механика. №3, 2003г., С. 16Ц41.

Полиграфический участок Издательского центра Челябинского государственного университета 454021 Челябинск, ул. Молодогвардейцев, 57б    Книги, научные публикации