Книги, научные публикации
МНСТЕРСТВО ОСВТИ НАУКИ УКРАпНИ Укранський державний морський технчний унверситет мен адмрала Макарова РозвТязання задач з електротехнки Частина ЕЛЕКТРИЧН КОЛА ПОСТЙНОГО, ЗМННОГО ТА
ТРИФАЗНОГО СТРУМВ Рекомендовано Методичною радою УДМТУ як методичн вказвки Миколав 2002 УДК 621.3 Кнаш А.Т., Жук О.К. РозвТязання задач з електротехнки. Частина1. Електричн кола постйного, змнного та трифазного струмв. - Миколав: УДМТУ, 2002.Ц 32 с.
Кафедра теоретично електротехнки та електронних систем Методичн вказвки мстять деклька роздлв, кожний з яких включа розвТязання типових задач. Наведен задач дають можливсть розвТязувати х без додаткового довдкового матералу.
Методичн вказвки призначено для ндивдуально роботи студентв неелектротехнчних спецальностей денного, заочного вддлень та дистанцйного навчання Укранського державного морського технчного унверситету мен адмрала Макарова.
л. 33, табл. 3, спис. т. - 10 назв.
Рецензент В.М.Рябенький, д-р техн. наук, професор й Укранський державний морський технчний унверситет, й Видавництво УДМТУ, ВСТУП Задач з електротехнки рзномантн, дино методики розвТязання запропонувати не можна. Наведемо лише загальн рекомендац.
1. Необхдно зобразити електричну схему, виписати задан шукан величини.
2. Проаналзувати схему електричного кола: визначити, скльки глок, вузлв, незалежних контурв вона мстить.
3. На схем позначити вс вузли, показати задан прийнят напрямки ЕРС, напруг струмв. ндекси струмв у глках рекомендуться вибирати такими ж, як ндекси в елементах дано глки.
4. Лтерн позначення й одиниц фзичних величин повинн вдповдати державному стандарту:
Опр електричний активний R, Ом.
Опр електричний реактивний Х, Ом.
Опр електричний повний Z, Ом.
Провднсть електрична активна G, Ом.
Провднсть електрична реактивна В, См.
Провднсть електрична повна Y, См.
кмнсть С, Ф.
ндуктивнсть L, Гн.
Електрорушйна сила (ЕРС) Е, В.
Напруга U, В.
Струм I, А.
Потужнсть активна Р, Вт.
Потужнсть реактивна Q, вар.
Потужнсть повна S, ВА.
Частота f, Гц.
Кутова частота, рад/с.
1. ЛНЙН ЕЛЕКТРИЧН КОЛА ПОСТЙНОГО СТРУМУ З ОДНИМ ДЖЕРЕЛОМ ЖИВЛЕННЯ При розвТязанн задач з одним джерелом живлення найчастше застосовують метод згортання кола. Цей метод поляга в замн груп послдовно паралельно з'днаних резисторв екввалентним. Потм за рвнянням стану простого контуру визначають струм у нерозгалуженй частин кола. За допомогою зворотного перетворення знаходять струми у всх глках заданого кола.
Приклад 1.1. Для електрично схеми (рис.1.1) знайти струм у нерозгалуженй частин кола й в окремих глках. Напруга на затискачах кола U = 16 В.
Опори R1 = 3,5 Ом, R2 = 3,0 Ом, R1 c R3 e a R3 =1,8 Ом, R4 = 2,0 Ом, R5 = 3,0 Ом.
+ I2 I4 I Порядок розвТязання задач методом перетворення електричного U R2 R4 R кола такий:
I1 d I3 f 1. Визначамо кльксть глок, - b тобто невдомих струмв. Дане коло Рис.1. ма п'ять глок.
2. Позначамо на схем вс вузли ( a,b,c,d,e, f ) вказумо позитивн напрямки струмв ( II, I2, I3, I4, I5 ) вд позитивного полюса джерела ЕРС до негативного, тобто напрямок, що збгаться з напрямком руху позитивно заряджених часток.
3. Визначамо екввалентний опр. Резистори R4 R5 з'днан паралельно. пхнй екввалентний опр 2 R4 R Ref = = 1,2 Ом.
Ref =, 2 + R4 + R Схему рис.1.1 приведемо до R3 e a I1 R1 c екввалентно, зображено на рис.1.2.
+ Резистори R3 Ref з'днан послдовно.
I пхнй екввалентний опр U R2 Ref, R3ef = R3 + Ref b d I f R3ef = 1,8 +1,2 = 3 Ом.
- Рис.1. На длянц cd резистори R2 R3ef з'днан паралельно. пхнй екввалентний опр R2 R3ef Rcd =, Rcd = = 1,5 Ом.
R2 + R3ef 3 + Таким способом схема рис.1.2 приводиться до схеми, зображено на рис.1.3. Резистори R1 Rcd з'днан послдовно, екввалентний опр кола Rab = R1 + Rcd, Rab = 3,5 +1,5 = 5 Ом.
a I1 R1 c 4. Визначамо струми глок напруги на + длянках електричного кола. Струм у нерозгалуженй частин кола U Rcd Ucd U I1 =, I1 = = 3,2 Ом.
b Rab 5 d - Укажемо на рис.1.3 умовно-позитивний Рис.1. напрямок спадання напруги на резистор Rcd.
Для розрахунку струмв у глках визначимо напругу на розгалуженй длянц кола Ucd:
Ucd = Rcd I1, Ucd = 1,53,2 = 4,8 В.
Струми Ucd Ucd I2 = ;
I3 = ;
R2 R 4,8 4, I2 = = 1,6 А;
I3 = = 1,6 А.
3 Напруга на резистор Ref Uef = Ref I3, Uef = 1,2 1,6 = 1,92 В.
Струми в глках Uef Uef 1,92 1, I4 = ;
I5 = ;
I4 = = 0,96 А;
I5 = = 0,64 А.
R4 R5 2 2. ЛНЙН ЕЛЕКТРИЧН КОЛА ПОСТЙНОГО СТРУМУ З ДЕКЛЬКОМА ДЖЕРЕЛАМИ ЖИВЛЕННЯ Розглянемо застосування рзних методв розрахунку складних нйних кл постйного струму на приклад 2.1.
Приклад 2.1. Для електричного кола (рис.2.1) з параметрами E1 =120 В, E2 = 80 В, U = 20 В, R1 = R2 = 2 Ом, R3 = 40 Ом, R4 = 50 Ом визначити вс струми методами законв Крхгофа, контурних струмв, напруги мж двома вузлами, а також струм у резистор R4 методом екввалентного генератора. Скласти баланс активних потужностей.
Метод рвнянь Крхгофа Порядок розрахунку:
1. Визначамо кльксть невдомих струмв, що дорвню числу глок кола p. Для кожно глки зада К R1 I1 А мося довльним напрямком струму.
I Струми в рвняннях Крхгофа I3 I Б Г алгебричними величинами, знаки U яких залежать вд напрямку струмв.
R3 R2 R 2. Складамо взамно незалежн E рвняння за першим законом Крх гофа, кльксть яких дорвню числу вузлв q, зменшених на одиницю E1 Д Е (q -1).
В Л 3. Складамо взамно незалежн Рис.2. рвняння за другим законом Крхгофа, число яких n = p - q = 1.
У кол рис.2.1 кльксть невдомих струмв p = 4. Отже, необхдно розвТязати систему з чотирьох рвнянь.
Число вузлв q = 2, тому необхдно скласти одне рвняння за першим законом Крхгофа:
- I1 - I2 + I3 + I4 = 0.
Прийнявши напрямок обходу контурв АБДВЛК АГЕВ за годинниковою стрлкою, контуру АБДВ проти годинниково стрлки з огляду на правило знакв, одержимо:
R1I1 + U + R3I3 = E1;
R2I2 + R3I3 = E2;
R2 I2 + R4I4 = E2.
З урахуванням числових значень система рвнянь набува вигляду:
- I1 - I2 + I3 + I4 = 0;
2I1 + 20 + 40I3 =120;
2I2 + 40I3 = 80;
2I2 + 50I4 = 80.
РозвТязання ц системи рвнянь да значення шуканих струмв:
I1 = 6,94 А;
I2 = -3,06 А;
I3 = 2,15 А;
I4 =1,72 А.
Знак "мнус" показу, що дйсний напрямок струму протилежний.
Метод контурних струмв У метод контурних струмв як промжн змнн вибирають струми, що замикаються в кожному незалежному контур назван контурними. Цей метод заснований на другому закон Крхгофа. Для незалежних контурв складають систему рвнянь.
Порядок розрахунку:
1. Визначамо незалежн контури задамося умовними позитивними напрямками контурних струмв. Контурн струми на вдмну вд струмв глок мають ндекси, позначен римськими цифрами.
2. Складамо рвняння за другим законом Крхгофа, роблячи обхд контурв у напрямку хнх контурних струмв.
Число рвнянь дорвню числу контурних струмв n = p - q + 1.
Сума опорв усх резистивних елементв кожного контуру з знаком "плюс" коефцнтом при струм контуру.
Знак коефцнта при струм сумжних контурв залежить вд збгу чи розбжност сумжних контурних струмв. При збгу - знак "плюс", розбжност - "мнус".
ЕРС входить у рвняння з знаком "плюс", якщо напрямок ЕРС напрямок струму контуру збгаються, "мнус" - при х розбжност.
3. Визначамо контурн струми струми глок. Значення контурних струмв збгаються з значеннями дйсних струмв тльки в зовншнх глках. Струми сумжних глок визначаються контурними струмами сусднх контурв.
Для схеми, зображено на рис.2.2, визначамо число незалежних контурв n = 4 - 2 +1 = 3.
R1 I Вибирамо ц контури вказумо в них I3 I I напрямки контурних струмв I, I, I.
I II III Складамо рвняння за другим законом U R3 R2 R Крхгофа:
II III E (R1 + R3)II + R3III = E1;
IIII R3II + (R2 + R3)III + R2IIII = E2;
E R2III + (R2 + R4 )IIII = E2.
Рис.2. З урахуванням числових значень система рвнянь набува вигляду:
(2 + 40)II + 40III + 20 =120;
40II + (2 + 40)III + 20IIII = 80;
2III + (2 + 50)IIII = 80.
РозвТязання системи рвнянь да:
I1 = 6,04 А;
I2 = -4,79 А;
I3 =1,72 А.
Визначамо дйсн струми глок I1 = II, I2 = III + IIII, I3 = II + III, I4 = IIII.
I1 = 6,94A;
I2 = -4,79 + 1,72 = -3,07A;
I3 = 6,94 - 4,79 = 2,15A;
I4 =1,72A.
В отриманому результат (Ц3,07) знак "мнус" указу, що дйсний напрямок струму I2 протилежний напрямку контурного струму III.
Дйсн напрямки струмв I1, I2, I3 I4 указан на рис.2.2.
Метод напруг мж двома вузлами Якщо розгалужене коло ма тльки два вузли, то аналз таких кл ведуть методом напруг мж двома вузлами.
В електричному кол (див. рис.2.1) напругу U можна замнити джерелом з внутршнм опором R = 0 електрорушйною силою E. У цьому випадку схема набува вигляду, як показано на рис.2.3.
Послдовнсть розрахунку:
1. Задамося довльним напрямком вузлово напруги за формулою m R1 I1 A EkGk k= UAB = m I3 I2 I G k k= R3 R2 R4 UAB визначамо його величину E E напрямок (тут n - кльксть глок, E m - кльксть активних глок з джерелами ЕРС). Вважамо, що B Рис.2. вузол А ма позитивний потенцал.
Запам'ятамо, що добуток EkGk ма знак "плюс", якщо ЕРС направлена до вузла В, знак "мнус" - до вузла А.
2. Задамося довльним напрямком струмв глок складамо рвняння за другим законом Крхгофа. РозвТязуючи систему рвнянь, визначамо струми.
Для схеми, зображено на рис.2.3, визначамо струми методом напруг мж двома вузлами.
Вузлова напруга E1 - E E 120 - 20 + R1 R 2 UAB =, U = = 86,124 В.
AB 1 1 1 1 1 1 + + + + + + R1 R2 R3 R 2 2 40 Складамо рвняння за другим законом Крхгофа визначамо струми в активних глках. При цьому задамося довльним напрямком струмв активних глок:
E1 - E = R1I1 + U, E2 = -R2I2 + UAB.
AB E1 - E - UAB - E2 + UAB I1 =, I2 =.
R1 R 120 - 20 - 86,124 -80+86, I1 = = 6,94 А;
I2 = = 3,06 А.
2 Знаючи напрямок вузлово напруги UAB, установлюмо напрямки струмв пасивних глок обчислюмо хн величини:
UAB UAB I3 = ;
I4 = ;
R3 R 86,124 86, I3 = = 2,15 А;
I4 = =1,72 А.
40 Метод екввалентного генератора Метод екввалентного генератора застосовуться в тих випадках, коли необхдно визначити струм в однй глц чи проаналзувати режим роботи ц глки при змн параметрв в ншй глц.
Порядок розрахунку:
1. Роздлимо електричне коло на дв частини: глка, у якй потрбно визначити струм (зовншня частина), все нше коло, що залишилося (внутршня частина).
За теоремою про екввалентний генератор усю внутршню частину можна замнити одним джерелом живлення з ЕРС Eг опором Rг.
Екввалентна схема - це послдовно з'днан елементи глки ( R), у якй необхдно визначити струм та ЕРС Eг з внутршнм опором Rг.
2. Обчислюмо параметри екввалентного генератора. ЕРС екввалентного генератора Eг дорвню напруз на затискачах внутршньо частини кола Uхх при вдключенй зовншнй частин кола.
3. Визначамо опр екввалентного генератора Rг, що дорвню опору внутршньо частини кола при вдключенй зовншнй частин кола.
4. Визначамо струм за формулою Eг I =.
R + Rг Для кола, зображеного на рис.2.3, визначимо струм в глц з резистором R1 методом екввалентного генератора.
Напруга на затискачах внутршньо частини кола (рис.2.4,а) дорвню ЕРС екввалентного генератора Eг = Uxx :
E R Uxx =, Uxx = = 73,39 В.
1 1 1 1 1 + + + + R2 R3 R4 2 40 Опр екввалентного генератора Rг дорвню опору внутршньо частини кола рис.2.4,б.
1 1 1 1 1 1 1 = + + ;
= + + ;
Rг =1,835 Ом.
Rr R2 R3 R4 Rr 2 40 На основ екввалентно схеми (рис.2.4,в) знаходимо струм в глц з резистором R1 :
A A R1 I I3 I2 I Rг E R3 R2 R R R2 R Eг = Uхх UAB E E B а б в B Рис.2. E1 - E - Eг 120 - 20 - 73, I1 =, I1 =.
R1 + Rг 2 +1, При складанн балансу потужност треба мати на уваз те, що в тих глках, де дйсний напрямок струму збгаться з напрямком ЕРС, то вдповдна ЕРС буде джерелом енерг, а в тих длянках, де напрямок ЕРС струми протилежн, джерело ЕРС буде споживачем. Ус резистивн елементи споживачами.
Баланс активних потужностей ма вигляд n m Pkдж = Pkспож, k=1 k= де Pkдж - потужнсть джерела;
Pkспож - потужнсть споживача;
n - кльксть джерел;
m - кльксть споживачв.
Складемо баланс активних потужностей для прикладу 2.1. Дйсн напрямки струмв I1,I2,I3 I4 зазначен на рис.2.2. Визначамо, що джерелом енерг ЕРС E1, а споживачем - ЕРС E2.
Потужнсть джерела Pдж = E1I1, Pдж = 120 6,94 = 832,8 Вт.
Потужнсть споживачв 2 2 Pспож = E2I2 + R1I1 + R3I3 + R4I4 +UI1;
Pспож = 80 3,06 + 2 6,942 + 2 3,062 + 40 2,152 + 50 1,722 + 2 6,94 = = 831,47 Вт.
Баланс активних потужностей Pдж Pспож, 832,8 Вт 831,47 Вт.
Приклад 2.2. Як змниться струм та напруга U в електричному кол рис.2.5 псля ввмкнення рубильника Р?
До ввмкнення рубильника:
екввалентний опр електричного кола R1 U R= R1 + R2, U струм дорвню R Р U U I = =.
R R1 + R Рис 2.5.
Псля ввмкнення рубильника екввалентний опр електричного кола зменшився:
R = R1, R < R, струм збльшився:
U U I = =, I > I.
R R Напруга на резистор R1 збльшилась:
U = R1I, U > U.
Вдповдь. Струм - збльшився, напруга U - збльшилась.
Приклад 2.3. В кол збльшився опр R споживача, при цьому струм збльшився. Як це буде впливати на напругу на затискачах кола?
Внутршнй опр джерела живлення дорвню R.
Якщо треба враховувати внутршнй опр джерела I живлення, то рвняння зовншньо характеристики E R U = E - R0I, R де напруга на затискачах U = RI, ЕРС джерела Рис.2. E = const.
Струм кола U I =.
R+ R Якщо збльшився опр R, а R0 = const, то струм спад напруги R0I зменшилися, а як наслдок, збльшилась напруга U.
Якщо внутршнй опр джерела живлення R0 = 0, тод напруга на затискачах не залежить вд величини опору R, тому що E = U.
Вдповдь. Напруга на затискачах збльшуться, якщо враховувати внутршнй опр джерела живлення.
3. ОДНОФАЗН КОЛА СИНУСОпДАЛЬНОГО СТРУМУ Однофазним колом синусодального струму називають коло, яке мстить один або деклька джерел електрично енерг змнного струму, що мають однакову частоту початкову фазу.
При розрахунку кл синусодального струму, на вдмну вд розрахунку кл постйного струму, необхдно враховувати не один, а три пасивн елементи (резистивний, ндуктивний мнсний), котр характеризуються вдповдно активним опором R, ндуктивним опором XL = 2fL мнсним XC =, де LЦ ндуктивнсть;
C - 2fC мнсть;
f - частота змнного струму.
Стандартна частота струму в електроенергетичних системах f = 50 Гц. ндуктивний мнсний опори визначають не тльки значення струмв у кол, але також зсув фаз мж напругами струмами.
Вс закони методи розрахунку кл постйного струму справедлив для розрахунку електричних кл синусодального струму в комплекснй форм.
Розрахунок кл синусодального струму може бути виконаний без застосування комплексних чисел. Основн розрахунков формули так:
при послдовному з'днанн елементв R, L C Z = R2 + (XL - XC )2 - повний опр, U I = - закон Ома, Z X - X R L C = arctg, = arccos - кут зсуву фаз;
R Z при паралельному з'днанн двох глок з елементами R, L в однй глц R2, CЦ в ншй Y = (G1 + G2 )2 + (BC - BL)2 - повна провднсть розгалу ження, R1 R де G1 = ;
G2 = - - активн провдност глок;
2 2 2 R1 + XL R2 + XC XL XC BL = ;
BC = - реактивн провдност глок.
2 2 2 R1 + XL R2 + XC Приклад 3.1. Для електрично схеми (рис.3.1) знайти струм напруги на всх елементах. Напруга на R I затискачах кола U = 120 В. Опори UR R = 30 Ом, XL =100 Ом, XC = 60 Ом.
UC U XC Повний опр кола XL Z = R2 + (XL - XC )2, UL Z = 302 + (100 - 60)2 = 50 Ом.
Рис.3. Струм у кол U I = ;
I = = 2,4 А.
Z Напруги на елементах:
UR = RI;
UR = 30 2,4 = 72 В - активному, UL = XLI ;
UL = 100 2,4 = 240 В - ндуктивному, UC = XCI ;
UC = 60 2,4 = 144 В - мнсному.
+J UR Кут зсуву фаз UC UL R = arccos ;
U Z Uр I + = arccos = 53,1.
UR UC Векторна даграма показана на рис.3.2.
ЦJ Рис.3. Приклад 3.2. Для електрично схеми (рис.3.3) визначити показання амперметрв, активну потужнсть cos на затискачах кола.
Опори R1 = 6 Ом, XL = 8 Ом, R2 =12 Ом, XC =16 Ом. Напруга U = 60 В.
Знайдемо провдност глок розгалуження:
R1 A G1 = ;
G1 = = 0,06 См;
R12 + XL 62 + A1 A XL B1 = ;
B1 = = 0,08 См;
2 R1 + XL 62 + R1 R U R2 G2 = ;
G2 = = 0,03 См;
2 R2 + XC 122 + XL XC 16 XC B2 = ;
B2 = = 0,04 См.
2 R2 + XC 122 + Провднсть розгалуження Рис.3. 2 Y = (G1 + G2 ) + +(B2 - B1), 2 Y = (0,06 + 0,03) + (0,04 - 0,08) = 0,0984 См.
За знайденим значенням провдност визначамо опори екввален тного йому послдовного кола G1 + G2 0,06 + 0, R =, R = = 9,28 Ом;
Y2 0, B2 - B1 0,04 - 0, X =, X = = -4,12 Ом.
Y2 0, Знак "мнус" показу, що елемент мнсний. Екввалентна послдовна схема електричного кола зображена на рис.3.4.
Повний опр R I Z = R2 + X, U X Z = 9,282 + 4,122 = 10,15 Ом.
Струм у нерозгалуженй частин кола Рис.3. U I = ;
I = = 591 А.
, Z 10, Струми в глках:
U U I1 = =, I1 = = 6 А.
2 Z1 R1 + XL 62 + U U I = =, I2 = = 3 А.
2 Z2 R2 + XC 122 + Приклад 3.3. Для електрично схеми рис.3.5 знайти струми у всх вдгалуженнях. Напруга на затискачах кола U = 12 В. Параметри елементв: R = 100 Ом, L= 3 мГн, C =1,75 мкФ, f = 3 кГц.
Визначамо активний та мнсний опори глок:
L I I1 I XL = 2fL= 2 3,14 3 103 3 10-3 = 56,52 Ом;
U 1 R С XC = = = 30,33 Ом.
2fC 2 3,14 3 103 1,75 10- Рис.3. Провдност глок розгалуження:
1 активна G = = = 0,01 См;
R 1 реактивна BC = = = 0,033 См;
XC 30, повна провднсть Y = G2 + BC = 0,012 + 0,0332 = 0,0345 См.
Опори екввалентного послдовного кола:
1 повний Zпосл = = = 29 Ом;
Y 0, активний Rпосл = Zпосл cosпосл = 28,57 0,29 = 8,41 Ом;
реактивний Xпосл = Zпосл sinпосл = 29 sin73,15o = 27,75 Ом.
Коефцнт потужност екввалентного послдовного кола G 0, cosпосл = = = 0,29 ;
посл = 73,15o.
Y 0, Послдовна схема замщення електричного кола показана на рис.3.6.
Повний опр кола Rпосл Xпосл Z = Rпосл + (XL - Xпосл)2 ;
U XL Z = 8,412 + (56,52 - 27,75)2 = 29,97 Ом.
I Струм кола Рис.3. U I = = = 0,4 А.
Z 29, Напруга на резистор R та мност C:
Uпосл = ZпослI = 29 0,4 =11,6 В.
Струми в глках:
Uпосл 11,6 Uпосл 11, I1 = = = 0,116 А;
I2 = = = 0,382 А.
R 100 XC 30. Переврка: I = I12 + I2 = 0,1162 + 0,3822 = 0,4 А.
Комплексний метод Зробимо розрахунок прикладу 3.2 комплексним методом.
Послдовнсть розрахунку:
1. Зображення напруги на вхдних затискачах у комплекснй форм.
2. Знаходження комплексних опорв Zk глок.
& U & 3. Обчислення за законом Ома Ik = комплексних струмв глок.
Zk 4. Визначення за першим законом Крхгофа загальний &.
комплексний струм I & & 5. Розрахування за заданими значеннями напруги U, струму I активно Р, реактивно Q, повно S потужност кута зсуву фаз за ~ && формулою комплексно потужност S = UI.
& Комплексна напруга на вхдних затискачах U = 60 В.
Комплексн опори глок:
j Z1 = R1 + jXL = Z1e ;
Z2 = R2 - jXC = Z2e- j2, де R 2 Z1 = R1 + XL ;
1 = arccos ;
Z R 2 Z2 = R2 + XC ;
2 = arccos.
Z Комплексн струми глок:
& U & & I1 =, I1 = = 6e- j53,1o А;
j53,1o Z 10e & U j53,1o & & I2 =, I2 = = 3e А, Z 20e- j53,1o j53,1o де Z1 = 6 + j8 =10e Ом, Z2 =12 - j16 = 20e- j53,1o Ом.
За формулою Ейлера перейдемо до алгебрично форми зображен ня комплексного числа:
& I1 = 6e- j53,1o = 6cos(- 53,1o)+ j6sin(- 53,1o)= (3,6 - j4,7) А.
j53,1o & I2 = 3e = 3cos53,1o + j3sin53,1o = (1,8 + j2,4) А.
Струм у нерозгалуженй частин кола (загальний струм) & & & & I = I1 + I2, I1 = 3,6 - j4,8 + 1,8 + j2,4 = (5,4 - j2,4) А.
Перейдемо вд алгебрично до показово форми зображення комплексного числа:
& I = 5,4 - j2,4 = 5,91e- j24o А, 5, & де I = 5,42 + 2,42 = 5,91 А, cos = = 0,914, = 24o.
5, I Векторна даграма струмв та напруги +J 2 U зображена на рис.3.7. Повна комплексна + 1 потужнсть I ~ j24o S = 60(5,4 + j2,4)= 324 + j144 = 355e B A, ЦJ I I де Р = 324 Вт - активна потужнсть;
Рис.3. Q =144 вар - реактивна потужнсть.
Приклад 3.4. Вхдна напруга uвх =141sin(t + 30o). Опори R = 5 Ом, XL = 4 Ом, XC = 1 Ом. Для електрично схеми рис.3.8 визначити миттве значення вихдно напруги.
Комплексна вхдна напруга XC i j30o j30o & Uвх = e =100e В.
R Комплексний повний опр Z = R + jXL - jXC, uвх uвих j31o XL Z = 5 + j4 - j1 = 5 + j3 = 5,83e Ом.
Комплексний струм j30o & U 100e & & I =, I = =17,2e- j1o А.
Рис.3. j31o Z 5,83e Комплексний опр вихдного кола j38,7o Zвих = R+ jXL, Zвих = 5 + j4 = 6,4e Ом.
Комплексна вихдна напруга j38,7o j37,7o & & & Uвих = ZвихI, Uвих = 6,4e 17,2e- j1o = 110e В.
Миттва вихдна напруга uвих = 110 2 sin(t + 37,7o) В.
Приклад 3.5. У кол змнного струму напруга та струм змнюються за законами: u =141sin(314t + 85o ) i =14,1sin(314t + 25o ). Визначити активну та реактивну потужност кола.
Дюч значення напруги та струму:
Um 141 Im 14, U = = =100 В;
I = = =10 А.
2 2 2 Кут мж напругою та струмом = u - i = 85o - 25o = 60o, де початков фази напруги та струму u = 85o ;
i = 25o.
Активна потужнсть кола P = UIcos ;
P =100 10cos60o =100 10 0,5 = 500 Вт.
Розрахунок можна зробити комплексним методом:
Комплексн дюч значення напруги та струму ju j85o ji j25o & & U = Ue =100e В;
I = Ie =10e.
Комплексна повна потужнсть ~ j(85o-25o ) j60o & & S = UI = UIej(u -i ) =100 10e =1000e ВА.
~ S =1000cos60o + j1000sin60o = (500 + j866) ВА, де P = 500 Вт, Q = 866 вар.
Приклад 3.6. Знайти активний опр кола, показаного на рис.3.9, якщо i = 22 2 sin(t - 30o ), u = 220 2 sint.
I R Комплексн дйсн значення струму та напруги & & I = 22e- j30o А, U = 220 В.
U L Повний комплексний опр & U Рис.3. j30o Z = ;
Z = =10e Ом;
& I 22e- j30o Z =10cos30o + j10sin30o = (8,66 + j5) Ом, де активний опр кола R = 8,66 Ом.
4. ТРИФАЗН КОЛА Трифазн електричн кола в залежност вд числа проводв, що з'днують джерело приймач, бувають трипровдними чотирипровдними.
У чотирипровдних колах до приймачв пдводяться дв напруги:
нйна UЛ (напруга мж нйними проводами) фазна U (напруга мж ф нйним нейтральним проводами), що пов'язан мж собою спввдношенням UЛ = UФ 3.
У комплекснй форм фазн напруги виражаються формулами j120o & & & U = UФ, UB = UФe- j120o, UC = UФe.
A + Комплексн нйн напруги:
UAB j30o j150o & & & UA U = UЛe, UBC = UЛe- j90o, UCA = UЛe AB +j Цj Топографчна даграма нйних фазних UB UCA UC напруг зображена на рис.4.1.
Струми в трипровднй систем Ц1 UBC пов'язан рвнянням першого закону Рис.4. Крхгофа & & & IA + IB + IC = 0.
Приклад 4.1. До трифазно н з нйною напругою UЛ = 380 В пдключен три однакових споживач, з'днаних за схемою A Uл Uл зрка з нейтральним проводом B Uл (рис.4.2). Активний реактивний C опори кожного приймача N Iф Iф Iф вдповдно дорвнюють RФ = 4 Ом, XФ = 3 Ом. Визначити струми у Rф Rф Rф фазах нейтральному провод, а також активну, реактивну повну потужност трифазно системи.
Xф Xф Xф Навантаження усх фаз однаков, тому розрахунок Рис.4. проводять для одн фази.
Напруга фази UЛ UФ =, UФ = = 220 В.
3 Повний опр фази 2 ZФ = RФ + XФ, ZФ = 42 + 32 = 5 Ом.
Струм фази UФ IФ = ;
IФ = = 44 А.
ZФ Струм у нейтральному провод IN = 0, тому що навантаження симетричне.
Повна, активна реактивна потужност трифазно мереж вдповдно дорвнюють:
S = 3UФIФ, S = 3 220 44 = 29040 ВА=29,04 кВА.
R P = S cos, де cos =, cos = = 0,8;
Z P = 29,04 0,8 = 23,23 кВт.
X Q = Ssin, де sin =, sin = = 0,6 ;
Z Q = 29,04 0,6 =17,42 квар.
Приклад 4.2. До трифазно н (рис.4.3) з нйною напругою UЛ = 380 В пдключений несимет A ричний споживач. Опори кожного UAB UCA B приймача вдповдно дорвнюють:
UBC C RA = 10 Ом, RB = 4 Ом, XB = 3 Ом, N RC = 12 Ом, XC = 9 Ом. Визначити IC IB IA струми в трифазному режим й RC активну потужнсть. Побудувати RB RC векторну даграму напруг струмв.
XC Фазна напруга XB UЛ UФ = ;
UФ = = 220 В.
3 Рис.4. & Нехай вектор фазно напруги UФ = 220 В збгаться з позитивним напрямком дйсно ос (рис.4.4), тод + j120o & & U = UФe- j120o, Uе = 220e В, B UAB j120o j120o & & UC = UФe, UC = 220e В.
UA IN Комплексн фазн опори:
IB ZA = RA, ZA =10 Ом;
+j IC UB Цj ZB = RB - jXB, ZB = 4 - j3 = 5e- j37o Ом;
UCA UC j37o ZC = RC + jXC, ZC =12 + j9 =15e Ом.
- UBC На пдстав закону Ома визначамо Рис.4. фазн струми:
& UA & & IA = ;
IA = = 22 А;
ZC & UB & 220e- j120o & IB = ;
IA = = 44e- j83o = (5,36 - j43,6) А;
ZB 5e- j37o j120o & UC & 220e j83o & IC = ;
IC = =14,7e = (1,8 + j14,6) А.
j37o ZC 15e Вдповдно до першого закону Крхгофа & & & & IN = IA + IB + IC ;
& IN = 22 + 5,36 - j43,6 + 1,8 + j14,6 = 29,16 - j29 = 41,4e- j45o А.
Активна потужнсть 2 2 P = RAIA + RBIB + RCIC;
P =10 222 + 4 442 +12 14,72 =15177 Вт.
Для побудови векторно даграми струмв напруг вибирамо масштаби mU, mI. Побудову векторно даграми починамо з симетрично системи векторв напруг. Отриман значення комплексв напруг, а потм комплексв струмв вдкладамо на комплекснй площин (див. рис.4.4).
Приклад 4.3. До трифазно мереж (рис.4.5) з нйною напругою UЛ = 220 В пдключений несиметричний споживач. Опори кожного приймача вдповдно дорвнюють RAB = 44 Ом, RBC = 30 Ом, XBC = 40 Ом, XCA = 44 Ом.
Визначити струми в трифазному режим побудувати векторну даграму напруг струмв.
Нехай вектор нйно напруги збгаться з позитивним j120o & & напрямком дйсно ос (рис.4.6), тод UAB = 220e В, UBC = 220 В, & UCA = 220e- j120o В.
C A B UCA UAB UBC & UAB +j IC IA IB & IAB & - ICA & IBC IAB ICA AB BC & + - & RAB & UBC ICA IA XCA - CA RBC XBC IBC & UCA Цj Рис.4.5. Рис.4. На пдстав закону Ома визначамо фазн струми:
j120o & UAB & 220e j120o & IAB = ;
IAB = = 5e = (- 2,5 + j4,33) А;
RAB & UBC 220 j53o & & IBC = ;
IBC = = = 44e = (2,65 + j3,51)A ;
RBC - jXBC 30 - j 50e- j UCA & 220e- j120o & ICA = ;
ICA = = 5e- j210o = (- 4,33 + j2,5) А.
j9o jXCA 44e Вдповдно до першого закону Крхгофа & & & & & & & & & IA = IAB - ICA, IB = IBC - IAB, IC = ICA - IBC ;
& IA = -2,5 + j4,33 + 4,33 - j2,5 =1,83 - j1,83 = 2,59e- j15o А, j9o & IB = 2,65 + j3,51+ 2,5 - j4,33 = 5,15 - j0,82 = 5,21e А;
j172o & IC = -4,33 + j2,5 - 2,65 - j3,51 = -6,98 - j1,01 = 7,05e А;
& & & IA + IB + IC = 0 ;
1,83 + j1,83 + 5,15 - j0,82 - 6,98 - j1,01 = 0.
Приклад 4.4. Визначити показання вольтметра, ввмкненого на нйну напругу симетричного трифазного споживача, зТднаного зркою, якщо миттве значення нйного струму iл = 24sin(t - 30o) А, а повний опр фази споживача становить 10 Ом.
При зТднан зркою симетричного трифазного споживача IЛ = IФ.
Амплтудне значення струму Im = 24 В, Дйсне значення струму Im I =, I = = 17 А.
2 Фазна напруга Uф = RфIф, Uф = 10 17 = 170 В.
Лнйна напруга UЛ = 3UФ, UЛ = 3170 = 294 В.
Приклад 4.5. Симетричний трифазний споживач з повним опором фази 30 Ом з'днаний трикутником увмкнений до симетрично системи напруг. Визначити нйний струм споживача, якщо миттве значення нйно напруги uAB = 282sin(314t + 30o ) В.
При зТднанн трикутником симетричного трифазного споживача UЛ =UФ.
Дйсне значення напруги Um UФ = ;
UФ = = 200.
2 Фазний струм UФ IФ = = = 6,67 А.
ZФ Лнйний струм IЛ = 3 IФ = 3 6,67 = 11,54 А.
5. КОНТРОЛЬН ЗАВДАННЯ 5.1. У кол (рис.5.1) напруга на затискачах R U = 10 В опори R = 2 Ом, R = 2 Ом, R = 4 Ом, 1 2 R = 8 Ом, R = 3 Ом, R = 5 Ом. Визначити струми в 4 5 R2 R R глках нерозгалуженй частин кола.
U Вдповдь: I = 1,92 А;
I = 1,24 А;
I = 0,68 А;
1 2 R5 R I = 0,03 А;
I = 0,7 А.
4 5.2. У кол (рис.5.2) вдом опори R = 40 Ом, Рис. 5. R = 30 Ом, R =15 Ом, R = 25 Ом. Напруга на 2 3 затискачах U = 120 В, а ЕРС джерела R1 R живлення Е = 50 В. Визначити струми в глках в нерозгалуженй частин кола.
U R E1 R Скласти баланс потужностей.
Вдповдь: I = 1,23 А, I = 0,7 А, 1 Рис.5. I = 0,53 А.
5.3. У кол (рис.5.3) ЕРС джерел живлення Е = 120 В, Е = 220 В, 1 Е = 100 В, а опр глок R = 5 Ом, R = 4 Ом, R = 2 Ом. Визначити 3 1 2 струми в глках кола режим роботи кожного з джерел. Скласти баланс потужностей.
Вдповдь: I = 41,05 А;
I = 33,67 А;
I = 7,37 А.
1 2 5.4. У кол (рис.5.4) визначити, як змняться показання амперметрв вольтметра псля замикання вимикача В.
Вдповдь: I - збльшиться;
I = I = 0;
U - збльшиться.
1 A A1 A R1 R2 R E1 E2 E U V В R1 R R Рис.5. Рис.5.4.
5.5. У коло (рис.5.5) синусодального L R струму частотою f = 50 Гц напругою U = 150 В включен послдовно елементи.
L C U Параметри резистора, котушок конден Рис.5. сатора вдом: R = 4 Ом, L = 0,032 Гн, L = 0,016 Гн, C = 400 мкФ.
1 1 Знайти струм, повну, активну реактивну потужност кола. Побудувати векторну даграму напруг струму.
Вдповдь: I = 17,2 А;
P = 1183 Вт;
Q = 2290 вар;
S = 2580 ВА.
5.6. У кол (рис.5.6) вхдна напруга XL uвх = 141sin t, активний опр R = 16 Ом, ндуктивне XL = 20 Ом, мнсний XC. Знайти R uвх uвих миттве значення вихдно напруги.
XC Вдповдь: uвих = 80 2 sin(t - 37o).
Рис.5. 5.7. У коло (рис.5.7) синусодального струму i i = 141sin(t + 30o) включен послдовно два елементи. Напруга джерела u = 141sin(t - 40o).
R u X Визначити параметри елементв R Х.
Вдповдь: R = 7,66 Ом, Х = 6,43 Ом.
Рис.5. 5.8. У кол (рис.5.8) активн реактивн I I1 I опори глок вдповдно дорвнюють R = 3 Ом, XL XC L X = 4 Ом, R = 2 Ом Х = 5 Ом. Струм I = 3 А.
2 С Визначити напругу, пдведену до кола, зсув U фаз.
R1 R Вдповдь: U = 15 В;
I = 2,86 А;
I = 2,83 А;
= 4,7o.
Рис.5. 5.9. За наведеною векторною даграмою на рис.5.9,б визначити характер навантаження в глках схеми +J & I & I замщення кола (рис.5.9,а).
& & + I1 I2 1 & U Вдповдь: глка з Z - U мнсна, Z - активно-ндук Z Z & I тивна.
ЦJ & 5.10. До чотирипровдно а б Рис.5. трифазно мереж (рис.5.10) з нйною напругою U = 380 В пдключено споживач, з'днаний зркою Л (рис.5.10): RA = 3 Ом, ХА = 4 Ом, RВ = 12 Ом, ХВ = 9 Ом, RС = 18 Ом, ХС = 24 Ом. Визначити струми в нйних проводах, а також у нейтральному провод.
Вдповдь: IА = 44 А;
IВ = 14,7 А;
IС = 7,3 А;
IN = 42,1 А.
5.11. До трифазно н з нйною напругою U = 220 В Л пдключений споживач, з'днаний за схемою "трикутник" (рис.5.11).
Активн реактивн опори фаз споживача: RАВ = 40 Ом, ХАВ = 20 Ом, RВС = 25 Ом, ХВС = 25 Ом, ХСА = 22 Ом. Визначити фазн нйн струми.
Вдповдь: IАВ = 4,92 А;
IВС = 6,29 А;
IСА = 10 А;
IА = 13,3 А.
IВ = 10,5 А;
IС = 4,2 А.
A B C N A Uл B Uл C UAB UBC UCA Uл RAB R R R XAB XCA L C C IA IB IB IN RBC XBC Рис.5. Рис.5. 5.12. До трифазно н з нйною на A B A пругою UЛ = 220 В пдключений приймач, Uл Uл з'днаний трикутником (рис.5.12). Комп Uл лексн опори фаз приймача ZAB = 40 + j30, ZBC = 25 - j30. ZCA = 12 + j16.
Визначити фазн нйн струми.
ZCA ZAB Побудувати векторну даграму струмв напруг.
Вдповдь:
ZBC IAB = 44 А;
IBC = 5,64 А;
ICA =11А;
IA = 47,9 A;
IB = 39,4 A;
IC = 15,6 А.
Варанти контрольних завдань Рис.5. наведен в табл.5.1Ц5.3.
Таблиця 5.1. Варанти контрольних завдань 5.1, 5.2, 5. Номер U E E E R R R R R R 1 2 3 1 2 3 4 5 варанта ВОм 1 100 110 90 116 5 6 2 2 8 2 105 115 100 108 7 4 4 3 6 3 110 100 95 100 5 3 7 6 5 4 100 110 95 116 7 6 2 2 8 5 107 111 105 110 5 2 8 4 6 6 105 115 100 108 7 4 4 3 6 7 110 100 115 115 6 7 7 2 5 8 111 115 100 105 5 9 5 3 2 9 100 105 99 100 6 9 6 4 3 10 115 100 100 115 5 7 5 6 5 11 100 115 100 108 7 4 4 3 6 12 100 110 90 116 5 6 2 2 8 13 107 111 105 110 5 3 6 8 2 14 115 100 98 100 4 8 6 4 5 15 113 117 100 111 6 2 5 8 9 16 117 113 111 100 2 6 8 5 7 17 101 117 99 109 5 3 7 5 7 18 101 100 93 107 4 7 5 4 8 19 100 110 90 116 5 6 2 2 8 20 103 108 100 111 4 9 9 1 3 21 105 106 117 100 3 3 7 2 7 22 116 100 115 119 5 7 4 3 3 23 100 111 99 108 2 2 7 4 7 24 115 100 92 103 8 6 9 3 3 25 105 115 100 116 7 8 4 4 2 26 115 100 116 110 5 9 5 3 6 27 107 105 107 108 3 7 5 4 3 28 110 100 95 105 5 3 4 6 9 Таблиця 5.2. Варанти контрольних завдань 5.5, 5.6, 5.7, 5. Номер U Um Im, А R R L L C, XL XC 1 2 1 варанта В Ом Гн мкФ Ом 1 30 141 2,82 3 2 0,032 0,016 400 6 2 33 282 1,41 10 12 0,096 0,0127 320 8 3 35 156 15,6 8 6 0,019 0,032 500 10 4 37 85 8,5 10 20 0,0127 0,096 680 4 5 39 70,1 7,1 4 5 0,096 0,019 630 8 6 40 141 2,82 3 2 0,032 0,016 400 5 7 41 282 1,41 10 12 0,096 0,0127 320 8 8 43 156 15,6 8 6 0,019 0,032 500 10 9 45 282 15,6 5 5 0,096 0,016 680 5 10 47 85 8,5 10 12 0,019 0,0127 400 4 11 49 141 2,82 4 6 0,032 0,096 320 8 12 50 282 1,41 10 2 0,096 0,019 680 10 13 51 156 15,6 8 5 0,019 0,032 400 5 14 53 85 8,5 3 4 0,032 0,016 500 8 15 55 141 2,82 8 4 0,19 0,0127 680 10 16 56 70,1 7,1 5 6 0,096 0,032 400 5 17 57 282 1,41 5 3 0,032 0,016 500 4 18 59 156 15,6 8 6 0,019 0,032 320 8 19 60 141 2,82 3 4 0,0127 0,032 680 5 20 61 282 2,82 10 8 0,032 0,019 320 5 21 63 85 8,5 5 8 0,019 0,096 400 6 22 64 70,1 7,1 6 3 0,032 0,016 500 10 23 65 141 1641 4 2 0,096 0,016 320 8 24 66 282 2,82 6 4 0,0127 0,032 500 6 25 57 165 15,6 6 3 0,096 0,019 400 6 26 58 282 2,82 5 2 0,019 0,032 320 10 27 59 156 15,6 4 0,032 0,019 680 8 28 63 141 2,82 6 3 0,0127 0,016 320 10 _ Примтка. Частота змнного струму f = 50 Гц.
Таблиця 5.3. Варанти контрольних завдань 5.10, 5.11, 5. Номер UA RA, RAB XA, XAB RB, RBC XB, XBC RC, RCA XC, XCA варанта ВОм 1 127 3 4 0 3 12 2 220 6 8 4 - 3 380 8 15 6 8 12 4 127 3 Ц4 6 Ц8 24 5 380 6 Ц8 3 Ц4 8 6 127 8 Ц15 4 Ц3 6 7 220 5 Ц6 4 3 12 8 380 12 9 3 4 9 - 9 127 18 24 6 8 18 - 10 220 6 8 4 Ц3 18 11 127 3 4 0 3 12 12 380 8 15 6 8 12 13 127 3 Ц4 6 Ц8 24 14 220 8 Ц15 3 Ц4 8 15 380 12 9 3 4 9 - 16 127 5 Ц6 4 3 12 17 220 6 8 4 Ц3 18 - 18 380 3 4 0 3 12 19 220 18 24 6 8 9 - 20 127 12 9 3 4 8 21 220 5 Ц6 4 3 12 22 380 18 24 6 8 18 - 23 220 3 4 0 3 12 24 127 18 24 6 8 9 - 25 380 12 9 3 4 8 26 220 5 Ц6 4 3 12 27 127 18 24 6 8 18 - 28 220 3 4 0 3 12 СПИСОК РЕКОМЕНДОВАНОп ЛТЕРАТУРИ 1. Борисов Ю.М., Липатов Д.Н., Зорин Ю.Н. Электротехника. - М.:
Энергоатомиздат, 1985. - 552 c.
2. Жук А.К., Кинаш А.Т., Сидоренко С.П. Основы микропроцессорной техники: Учебное пособие. - Николаев: НКИ, 1990. - 46 с.
3. Иванов А.А. Справочник по электротехнике. - К.: Вища школа, 1984. - 304 с.
4. Иванов И.И., Равдоник В.С. Электротехника. - М.: Высшая школа, 1984. - 320 с.
5. Липатов Д.Н. Вопросы и задачи по электротехнике для программированного обучения: Учеб. пособие для студентов вузов. - М.:
Энергия, 1984. - 360 с.
6. Нетушил А.В. Справочное пособие по электротехнике и основам электроники. - М.: Высшая школа, 1986. - 248 с.
7. Пантюшин В.С. Электротехника. - М.: Высшая школа, 1984. - 560 с.
8. Сборник задач по электротехнике и основам электроники: Учеб.
пособие для неэлектротехн. спец. вузов/ Под ред. В.Г.Герасимова. - М.:
Высшая школа, 1967. - 288 с.
9. Судовая электротехника и электроника / Под ред. Д.В.Вилесова. - Л.: Судостроение, 1985. - 312 с.
10. Электротехника: Учебник. для неэлектротехн. спец. вуз/ Под ред.
В.Г.Герасимова. - М.: Высшая школа, 1985. - 480 с.
ЗМ СТ Вступ ЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕ.ЕЕЕЕЕЕЕ 1. Лнйн електричн кола постйного струму з одним джерелом живлення ЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕ.. 2. Лнйн електричн кола постйного струму з деклькома джерелами живлення ЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕ.. 3. Однофазн кола синусодального струму ЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕ. 4. Трифазн кола ЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕ.. 5. Контрольн завдання ЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕ... Список рекомендовано тератури.ЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕ...ЕЕ КНАШ Анатолй Тимофйович ЖУК Олександр Кирилович РОЗВТЯЗАННЯ ЗАДАЧ З ЕЛЕКТРОТЕХНКИ Частина I ЕЛЕКТРИЧН КОЛА ПОСТЙНОГО, ЗМННОГО ТА ТРИФАЗНОГО СТРУМВ Редактори Т..Нкулна, .Ю.Цицюра КомпТютерний набр А.Т.Кнаш Комп'ютерна правка та верстка О.С.Нойнець Коректор Н.О.Шайкна Пдписано до друку 27.02.2002. Формат 60х841/16. Папр офсетний.
Ум. друк. арк. 1,86. Обл.-вид. арк. 2,0. Тираж 270 прим.Вид № Зам. № 91. Цна договрна Видавництво УДМТУ. 54002, м. Миколав, вул. Скороходова,
Книги, научные публикации