Книги, научные публикации
На правах рукописи
Зайцева Ирина Владимировна МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ САМООРГАНИЗУЮЩИХСЯ ЭКОНОМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ Специальность 05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и
комплексы программ
АВТОРЕФЕРАТ
диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук
Ставрополь - 2005
Работа выполнена в Ставропольском государственном университете
Научный консультант: доктор физико-математических наук, профессор Семенчин Евгений Андреевич Официальные доктор физико-математических наук, оппоненты: профессор Перепелица Виталий Афанасьевич доктор экономических наук, профессор Торопцев Евгений Львович
Ведущая организация: Санкт-Петербургский государственный университет экономики и финансов (г. Санкт-Петербург)
Защита состоится 28 октября 2005 г. в 16 часов 40 минут на заседании диссертационного совета ДМ 212.256.05 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук в Ставропольском государственном университете по адресу: 355009, г. Ставрополь, ул. Пушкина, 1, ауд. 214.
С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке СГУ по адресу: г. Ставрополь, ул. Пушкина, 1.
Автореферат разослан 27 сентября 2005 г.
Ученый секретарь диссертационного совета, канд. физ.-мат. наук, доцент Л.Б. Копыткова
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Актуальность проблемы. За последние 30-40 лет методы моделирования макро- и микроэкономических процессов экономики pазpабатывались очень интенсивно. Они строились для теоретических целей экономического анализа и для практических целей планирования, управления и прогноза. Содержательно модели экономики объединяют такие основные процессы: производство, планирование, управление, финансы и т.д.
Рынок труда в нашей стране остается до настоящего времени малоизученным экономическим объектом. Изучение рынка труда математическими методами позволяет предотвратить структурные дисбалансы в сфере труда, поддерживать соответствие спроса и предложения рабочей силы, что в свою очередь дает возможность объективно оценить его текущее состояние и тенденции изменения, а также принимать обоснованные управленческие решения в сфере трудоустройства и эффективного использования человеческого капитала. Достаточно отметить, что до проведения данных исследований была опубликована только одна статья А.Н. Васильева Модель самоорганизации рынка труда. К настоящему времени появились работы, посвященные экономическому анализу рынка труда:
- Ниворожкина Л.И., Ниворожкин Е.М., Шухмин А.Г. Моделирование поведения населения на рынке труда крупного города: Продолжительность регистрируемой безработицы. - М.: РПЭИ, 2001, - Региональный рынок труда в условиях трансформации российской экономики (на материалах Южного Федерального округа) / Под ред. П.В.
Акинина, С.В. Степановой. - Ставрополь: Сервисшкола, 2002.
В настоящее время важной задачей является задача изучения свойств, структурных характеристик рынка труда математическими методами. Это позволяет прогнозировать его состояние как на ближайшее будущее, так и на некоторую отдаленную перспективу. Данная работа посвящена изучению устойчивости и построению оценок вероятностными методами, методами теории массового обслуживания основных характеристик рынка труда.
Поэтому тема диссертации актуальна и практически значима.
Биржа труда - одна из важнейших составляющих рынка труда.
Поэтому в работе значительное место уделено ее изучению, построена имитационная модель ее функционирования, позволяющая определять основные ее характеристики.
Цель и задачи исследования. Целью диссертационной работы является:
1) разработка математических моделей и программных средств для решения задачи исследования рынка труда на устойчивость к внешним воздействиям в начальный момент времени и описание основных его характеристик (параметров);
2) исследование вероятностных характеристик рынка труда:
интенсивность поступления требований безработных в различные отделы биржи труда;
время ожидания обслуживания в отделах биржи труда;
время обслуживания требования от безработного;
распределение ресурсов между отделами биржи труда для выполнения соответствующих функций;
коэффициент использования (доля времени моделирования) отделов биржи труда.
Для достижения поставленной цели требуется решение следующих задач:
1. Построить математическую модель самоорганизации рынка труда для нескольких отраслей экономики на основе проведенного анализа и обобщений начатого в этом направлении исследования по аналитическому моделированию рынка труда, позволяющую при начальном возмущении исследовать на устойчивость состояние рынка труда.
2. Разработать с помощью ЭВМ комплекс, реализующий алгоритмы исследования на устойчивость построенной аналитической модели рынка труда.
3. Разработать вероятностную модель рынка труда, позволяющую определить его основные характеристики.
4. Разработать имитационную модель биржи труда, позволяющую описать ее функционирование.
Методы исследований. Решение поставленных задач основывается на использовании аппарата теории устойчивости динамических систем, теории массового обслуживания, численных методах, инструментальных средствах моделирования сложных систем.
Достоверность и обоснованность полученных в диссертационной работе теоретических результатов и формулировок обеспечивается использованием современного математического аппарата и инструментальных средств (пакетов прикладных программ, систем моделирования) для описания исследуемых процессов и подтверждается многократно наблюдавшейся согласованностью разработанных положений и предложенных методик с экспериментальными данными.
На защиту выносятся следующие основные положения.
1. Аналитическая модель самоорганизации рынка труда многоотраслевой экономики, позволяющая исследовать на устойчивость этот рынок при возмущении начального состояния рынка.
2. Методика исследования на устойчивость процесса самоорганизации рынка труда, реализованная на ЭВМ.
3. Вероятностная модель функционирования биржи труда, разработанная с помощью методов теории массового обслуживания и позволяющая определять основные вероятностные характеристики биржи.
4. Имитационная модель функционирования биржи труда, позволяющая воспроизводить процесс ее работы в системе моделирования GPSS World.
Научная новизна диссертационной работы состоит в следующем:
1. Обобщены известные результаты математического моделирования рынка труда с одной отрасли экономики на случай n отраслей.
2. Проведенные исследования на устойчивость математической модели самоорганизации рынка труда для нескольких отраслей экономики реализованы в системе MathCad.
3. Разработана вероятностная модель функционирования (работы) биржи труда.
4. Вероятностная модель работы биржи труда реализована в виде имитационной модели в системе моделирования GPSS World.
Практическая значимость полученных результатов. Разработанные математические модели могут быть использованы для проведения анализа устойчивости состояния рынка труда, определения основных параметров (факторов) процесса самоорганизации рынка труда. Предлагаемый комплекс программ на ЭВМ позволяет исследовать на устойчивость математическую модель самоорганизации рынка труда для нескольких отраслей экономики.
Построенная вероятностная модель биржи труда позволяет указать эффективные пути улучшения и оптимизации процесса ее работы.
Реализация и внедрение. Разработанные в процессе исследования функционирования рынка труда и деятельности биржи труда материалы и рекомендации были использованы в работе департамента социальной политики г. Ставрополя. Предложенные модели были апробированы в Ставропольском центре занятости, в кадровом агентстве НОУ Бакалавр (г.
Ставрополь). Научные результаты проведенных исследований внедрены и использовались в учебном процессе Северо-Кавказского социального института (г. Ставрополь) при подготовке студентов специальности Прикладная информатика (в экономике) в ходе чтения курса Имитационное моделирование экономических процессов, при подготовке студентов специальности 230700 Сервис в ходе чтения курсов Методы моделирования в сервисе, Методы оптимизации в сервисе и руководства написанием дипломных и курсовых работ. Использование результатов диссертационной работы в указанных учреждениях подтверждается 3 актами внедрения.
Апробация работы. Результаты исследования были доложены на Третьей региональной научной конференции Математическое моделирование и информационные технологии в технических, естественных и гуманитарных науках (г. Георгиевск, 2003 г.);
Понтрягинских чтениях XIV Современные методы теории краевых задач (г. Воронеж, 2003 г.), Четвертом, Пятом, Шестом Всероссийских симпозиумах по прикладной и промышленной математике (г. Сочи, 2003 г., г. Петрозаводск, г. Кисловодск, 2004 г., г. Санкт-Петербург, 2005 г.), 49-й, 50-й научно-методических конференциях преподавателей и студентов Университетская наука - региону (г. Ставрополь, 2004 г., 2005 г.), Всероссийской научно практической конференции Рынок труда, занятость, доходы: проблемы и тенденции развития (Орел, 2005 г.).
Публикации. Материалы диссертации опубликованы в 12 работах, указанных в списке литературы.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка использованной литературы (содержащего наименование), 4 приложений. Основная часть работы изложена на страницах, приложения изложены на 22 страницах машинописного текста.
Диссертационная работа содержит рисунки, таблицы и графики.
СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
Во введении обоснована актуальность выбранной темы, сформулирована цель, основные задачи, объект и предмет исследования.
Показана научная новизна и практическая значимость выполненной работы.
Дан краткий обзор содержания диссертации по главам, приведены основные положения, выносимые на защиту.
В первой главе приведены теоретические сведения, которые требуются для проводимых в диссертационной работе исследований.
Обосновано, что моделирование рынка труда дает возможность объективно оценить его текущее состояние и тенденции развития. Показано, что метод самоорганизации, являясь принципиально новым подходом в экономике, может быть использован для исследования экономических процессов рынка труда. Проанализирована математическая модель самоорганизации рынка труда для одной отрасли экономики. Сформулировано, что, правильно выбрав показатели эффективности работы, биржу труда можно в первом приближении интерпретировать как некоторую систему массового обслуживания с ожиданием (очередью). Приведен обзор инструментальных средств для имитационного моделирования рынка труда.
Во второй главе разработана математическая модель самоорганизации рынка труда для нескольких различных отраслей экономики, позволяющая проследить определенные тенденции функционирования рынка рабочей силы;
представлена методика определения устойчивого состояния системы дифференциальных уравнений, описывающую динамику перераспределения рабочей силы.
(i ) Пусть N (t ) - общее число специалистов, занятых в i-ой отрасли (i ) N (t ) - число потенциальных рабочих, экономики в момент времени t;
которые могут быть привлечены для работы в i-ой отрасли и которые в n (i ) N = N = const момент времени t являются безработными;
- емкость k i =1 k = W1(i, j) рынка рабочей силы n отраслей;
- вероятность того, что безработный специалист i-ой отрасли может найти работу по специальности в j-ой W2(i) отрасли за период времени с t до t + dt;
- вероятность увольнения работающего специалиста i-ой отрасли за период времени с t до t + dt;
i,j n t [0;
) W1(i, j ) =1,Е,n, (в общем случае, i, j = 1,Е,n). Предположим, i = что в начальный момент времени t=0 число специалистов, занятых в i-ой (i) N отрасли экономики, равно, а число потенциальных рабочих, которые могут быть привлечены для работы в j-ой отрасли и которые в момент (j) N времени t являются безработными равно, (i) (i) (j) (j) N1 ( 0 ) = N10, N ( 0 ) = N т. е., i,j=1,Е,n. (1) 2 Тогда система дифференциальных уравнений с заданными начальными условиями (1), описывающая динамику перераспределения рабочей силы в n различных отраслях экономики имеет вид:
( n n dN11)(t) ( (i) ( (i) = -N11)(t)W2(1) + (t)W2(i) - N21)(t)W1(1,1) + (t)W1(i,1), N1 N dt i=2 i= ( n n dN12)(t) ( ( (i) ( ( (i) = N11)(t)W2(1) - N12)(t)W2(2) + (t)W2(i) + N21)(t)W1(1,2) - N22)(t)W1(2,2) + (t)W1(i,2), N N 1 dt i=3 i=...............................................................................,......................................................................
( n-1 n- dN1n)(t) (i) ( (i) ( = (t)W2(i) - N1n)(t)W2(n) + (t)W1(i,n) - N2n)(t)W1(n,n), N1 N dt i=1 i= (2) (1) n n n (t) dN2 (i) ( (1,i) (i) = (t)W2(i) - N21)(t) N W +N (t)W1(i,1), 1 1 dt i=1 i=1 i= ( n n n dN22)(t) (i) ( ( (2,i) (i) = (t)W2(i) + N21)(t)W1(1,2) - N22)(t) + (t)W1(i,2), N1 W1 N dt i=1 i=1 i=............................................................
....................................................., dN(n)(t) n n-1 n 2 (i) (i) (n) = (t)W2(i) + (t)W1(i,n) - (t)W1(n,i).
N N N 1 2 dt i=1 i=1 i= Если система (1), (2) находится в устойчивом состоянии, то имеет место с течением времени снижение темпов роста безработицы. В противном случае - темпы роста безработицы прогрессируют.
Проанализировав полученные сведения об устойчивых и неустойчивых состояниях рынка труда для n различных отраслей экономики вполне возможно составить прогноз его развития. Полученный прогноз позволяет избежать кризисных состояний на рынке труда.
Приведены примеры применения математической модели самоорганизации рынка труда на случай двух и трех различных отраслей экономики.
Далее предложен алгоритм исследования на устойчивость математической модели самоорганизации рынка труда для нескольких отраслей экономики (1), (2):
1) записать систему дифференциальных уравнений, описывающую динамику перераспределения рабочей силы для нескольких различных отраслей экономики;
2) составить матрицу W коэффициентов системы дифференциальных W1(i, j) W2(i) уравнений, введя конкретные значения вероятностей,, i, j=1,Е,n;
3) составить характеристическое уравнение det (WЦI) = 0 для полученной матрицы коэффициентов W;
4) составить матрицу Гурвица для характеристического уравнения матрицы коэффициентов W;
5) вычислить диагональные миноры для полученной матрицы Гурвица;
6) сделать вывод об устойчивости системы дифференциальных уравнений.
Данный алгоритм реализован в математической системе MathСad.
Определитель характеристической матрицы W вычисляется с помощью специальных методов (методы А. Н. Крылова, Д. К. Фаддеева, интерполяционный метод) развертывания определителя характеристической матрицы W с реализацией в математической системе MathСad.
Предложенная в главе 2 математическая модель (1), (2) дает возможность проследить определенные тенденции функционирования рынка рабочей силы и исследовать рынок на предмет его устойчивости.
В третьей главе разработана вероятностная модель биржи труда, позволяющая определять основные характеристики функционирования рынка труда.
С точки зрения теории массового обслуживания биржу труда можно рассматривать как систему массового обслуживания (СМО) с ожиданием (очередью), согласующей такие процессы как спрос и предложение на рабочую силу. Предположив, что биржа труда может находиться в состояниях х0, х1,... хк, Е хn, хn+1, Е xn+s,... и обозначив через pk(t) (k=0, 1, Е n, Е) вероятность того, что в момент времени t биржа труда будет находиться в состоянии хк, вероятности pk(t) удовлетворяют системе бесконечного числа дифференциальных уравнений Колмогорова:
dp0 (t) = -p0 (t) + p1(t), dt dp1(t) = p0 (t) - ( + ) p1(t) + 2p2 (t), dt................................................................................................
dp (t) k = pk -1(t) - ( + k ) pk (t) + (k + 1)pk +1(t), (1 k n - 1), dt................................................................................................
dp (t) n = pn-1(t) - ( + k ) pn (t) + (n + ) pn+1(t), dt................................................................................................
dp (t) n+ s = pn+ s-1(t) - ( + n + s ) pn+ s (t) + [n + (s + 1) ] pn+ s+1(t), dt................................................................................................
pk = 1.
k =0 (3) В стационарном режиме система (3) имеет вид:
- p0 + p1 = 0, p0 - ( + ) p1 + 2p2 = 0,..........................................................................................
pk -1 - ( + k ) pk + (k + 1)pk +1 = 0, (1 k n - 1),..........................................................................................
pn-1 - ( + n ) pn + (n + ) pn+1 = 0, (4)..........................................................................................
pn+ s-1 - ( + n + s ) pn+ s + [n + (s + 1) ) pn+ s+1 = 0,..........................................................................................
pk = k = Из соотношений (4) можно найти вероятностные характеристики функционального состояния биржи труда:
1) pk - вероятность нахождения биржи труда в момент времени t в состоянии хк (занято ровно k отделов, очереди нет):
k k!
для любого 0 k n, (5) pk = k n s n + s k! n!
k =0 s= (n + m ) m= 2) pn+s - вероятность нахождения биржи труда в момент времени t в состоянии xn+s (заняты все n отделов, s требований стоят в очереди):
для k>n (k=n+s) при любом s n s s n!
(n + m ) m=, (6) pn+s = k n s n + s k! n!
k =0 s= (n + m ) m= 3) ms - математическое ожидание числа требований, находящихся в очереди:
n s s s n!
s= (n + m ) m= ms = M[s] = =, (7) spn+s k n s n s= + s k! n!
k =0 s= (n + m ) m= 4) PH - вероятность того, что требование покинет биржу необслуженным:
n s s s n!
s= (n + m ) m=, (8) PH = n k n s + s k! n!
k=0 s= (n + m ) m= 5) q - относительная пропускная способность биржи труда:
q = 1 - PH, (9) где параметр - интенсивность потока, параметр - величина, обратная среднему времени обслуживания одного требования, = const, параметр - величина, обратная среднему времени ожидания в очереди, = const, =,.
=.
В случае неустойчивого состояния рынка труда биржу труда можно интерпретировать как чистую систему с ожиданием, так как увеличение количества требований от безработных повлечет за собой увеличение времени ожидания. Вероятность того, что требование покинет биржу труда необслуженным PH = 0, т. е. безработный обязательно дождется обслуживания своего требования. При t стационарный режим системы наступит, когда среднее число требований, поступающих за время обслуживания одного требования, не превысит количество обслуживающих каналов, в противном случае очередь будет неограниченно возрастать.
Непосредственное вычисление вероятностных характеристик по формулам (5) - (8) весьма затруднительно. Для вычисления параметров pк, pn+s, ms, РH можно применить методы имитационного моделирования.
Разработанная в третьей главе имитационная модель биржи труда реализована на основе программы-симулятора на языке GPSS. С помощью созданного имитационного модельного комплекса удалось провести количественный анализ процесса и результатов функционирования биржи труда. В качестве инструментального средства имитационного моделирования работы биржи труда применялась система моделирования GPSS World.
В исследуемой имитационной модели работы биржи труда были введены следующие характеристики:
Х интенсивность поступления требований безработных в различные отделы биржи труда;
Х время ожидания обслуживания в отделах биржи труда;
Х время обслуживания требования от безработного;
Х распределение ресурсов между отделами биржи труда для выполнения соответствующих функций;
Х взвешенное среднеквадратическое отклонение, характеризующее степень рассеяния случайной величины относительно своего среднего значения;
Х коэффициент использования (доля времени моделирования) отделов биржи труда.
Для построения модели были введены необходимые идентификаторы.
В соответствии с построенной Q-схемой и введенными идентификаторами построена модель функционирования биржи труда в виде последовательности блоков, включая элементы, предназначенные для управления моделированием на языке GPSS World (см. рис. 1).
Рисунок 1 - Блок-диаграмма модели биржи труда Для построения модели введены идентификаторы:
- Sp1 - отдел первичного приема требований от безработных с одним каналом обслуживания;
- Sp2 - отдел вторичного приема требований от безработных с одним каналом обслуживания;
- Rab - отдел предоставления работы с одним каналом обслуживания;
- Kon - консультационный отдел приема требований от безработных с одним каналом обслуживания;
- Ob - отдел переобучения с одним каналом обслуживания.
Последовательность блоков в модели соответствует последовательности ситуаций, в которых оказывается безработный на бирже труда. Требования от безработных поступают в отделы биржи труда, если необходимо, то ждут очереди, затем обслуживаются специалистами первичного и вторичного приемов. При положительном решении вопроса требование покидает систему, в противном случае возвращается в отдел вторичного приема на дообслуживание.
Анализ серии экспериментов позволил выявить ряд устойчивых тенденций в поведении требований от безработных (на примере Ставропольского городского центра занятости населения).
1. Рассматриваемая организация биржи труда дает заметный положительный результат, когда количество поступающих требований от безработных превышает определенный порог (для данной серии 3 мин). При количестве поступающих требований от безработных ниже этого порога взаимозависимость отделов биржи труда ослабевает, а эффект их организованности существенно снижается либо становится вообще незаметным.
2. Вероятность занятости моделируемой биржи труда для всех отделов наибольшего значения достигает при интенсивности поступления требований равной 6 мин.
3. Несмотря на то, что минимальными затраты будут при времени поступлении требований от безработных равном 8 мин., это решение не будет оптимальным. В этом случае будут малые вероятности занятости биржи труда, т.е. отделы биржи труда будут простаивать основную часть периода моделирования. При увеличении времени между поступлениями требований от безработных их количество уменьшается, но при этом и уменьшается время, проведенное в очередях.
Результаты имитационных экспериментов представлены в таблицах, рисунках и графиках.
На рисунке 2 показана вероятность обслуживания требований от безработных на бирже труда.
0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. Номер эксперимента Рисунок 2 - Вероятность обслуживания Статистика проведенных экспериментов свидетельствует о том, что работа Ставропольского городского центра занятости населения требует корректировки на различных временных этапах. Поэтому необходимо следить за ситуацией по отделам и вовремя регулировать процесс обслуживания безработных.
Приложение содержит листинг комплекса программ, реализующих алгоритм исследования на устойчивость математической модели самоорганизации рынка труда, разработанной в данном исследовании.
Комплекс программ разработан в системе MathCad. Приведены структурная схема работы биржи труда г. Ставрополя, Q-схема биржи, блок-диаграмма ее модели, листинг модуля функционирования на языке GPSS.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ Проведенные в диссертационной работе исследования позволили разработать модель самоорганизации рынка труда для нескольких отраслей Вероятность обслуживания экономики, исследовать рынок труда на устойчивость и определить основные его характеристики (параметры), разработать вероятностную модель биржи труда. Получены следующие научные и практические результаты.
1. Разработана аналитическая модель самоорганизации рынка труда многоотраслевой экономической системы, позволяющая исследовать на устойчивость конкретный ее сектор при возмущении начального его состояния. Данная модель является обобщением начатого в этом направлении исследования для одной отрасли экономики (см. Васильев А.Н.
Модель самоорганизации рынка труда // Экономика и математические методы. - 2001. Том 37. № 2. - С. 123-127). Приведены примеры, иллюстрирующие использование предложенной модели.
2. Разработана программная реализация модели самоорганизации рынка труда для нескольких отраслей экономики.
3. Предложена методика исследования на устойчивость процесса самоорганизации рынка труда. Данная методика реализована на ЭВМ с помощью пакета прикладных программ MathCad.
4. Разработана вероятностная модель функционирования биржи труда, использующая методы теории массового обслуживания и позволяющая определить основные вероятностные характеристики биржи.
5. С помощью системы моделирования GPSS World разработана имитационная модель функционирования биржи труда, позволяющая воспроизводить процесс ее работы.
6. Проведен анализ данных, полученных в результате моделирования, работы Ставропольского городского центра занятости населения. Установлено, что выполнение указанных в работе условий функционирования биржи на рынке труда позволяет существенно повысить эффективность ее работы с безработными по своевременному обеспечению их работой.
Основные результаты диссертации опубликованы в работах:
1. Зайцева И.В. Имитационное моделирование работы биржи труда // Материалы 49-й научно-методической конференции преподавателей и студентов Университетская наука - региону. - Ставрополь: Изд-во СГУ, 2004. - С. 109 - 111.
2. Зайцева И.В. Использование имитационного моделирования для анализа процессов биржи труда // Актуальные вопросы социальной теории и практики: Сборник научных статей. - Вып. III. - Ставрополь: СКСИ, 2004. - С. 352-354.
3. Зайцева И.В. Применение имитационного моделирования для исследования работы биржи труда // Рынок труда, занятость, доходы:
проблемы и тенденции развития. Материалы всероссийской научно практической конференции. - Орел: Орловский государственный университет, 2005. - С. 74-77.
4. Зайцева И.В. Уточнение математической модели самоорганизации рынка труда для нескольких отраслей // Обозрение прикладной и промышленной математики, 2004. - Т.11. в.4. - С. 809-810.
5. Зайцева И.В. Функциональное описание модели биржи труда // Материалы 50-й юбилейной научно-методической конференции преподавателей и студентов Университетская наука - региону, посвященной 60-летию Победы в Великой Отечественной войне. - Ставрополь: Изд-во СГУ, 2005. - С. 164 -167.
6. Семенчин Е.А., Зайцева И.В. Вероятностная модель функционирования биржи труда // Вестник Ставропольского государственного университета. - 2004. Выпуск 38. - С. 58-60.
7. Семенчин Е.А., Зайцева И.В. Имитационная модель работы биржи труда// Обозрение прикладной и промышленной математики, 2005.
Т.12. в.2. - С. 508 - 509.
8. Семенчин Е.А., Зайцева И.В. Математическое моделирование работы биржи труда // Обозрение прикладной и промышленной математики, 2004. Т.11. в.2. - С. 398-399.
9. Семенчин Е.А., Зайцева И.В. Математическая модель самоорганизации рынка труда двухотраслевой экономики: Сборник трудов третьей региональной научной конференции. - Ставрополь: СевКавГТУ, 2003. - С. 223 - 225.
10. Семенчин Е.А., Зайцева И.В. Математическая модель самоорганизации рынка труда для двух отраслей экономики // Экономика и математические методы, 2004. Т. 40. № 4. - С. 137-139.
11. Семенчин Е.А., Зайцева И.В. Математическая модель самоорганизации рынка труда для нескольких отраслей // Обозрение прикладной и промышленной математики, 2003. Т.10. в.3. - С. 740 - 741.
12. Семенчин Е.А., Зайцева И.В. Математическая модель самоорганизации рынка труда для нескольких отраслей экономики:
Материалы Воронежской весенней математической школы Понтрягинские чтения - XIV. - Воронеж: Воронежский государственный университет, 2003. - С. 129 -130.
Изд. лиц. серия ИД №05975 от Подписано в печать 30.10.2001 л_ Формат 60х84 1/16 Усл. печ. л. Уч.-изд. л. Бумага офсетная Тираж 100 экз. Заказ Отпечатано в Издательско-полиграфическом комплексе Ставропольского государственного университета 355009, г. Ставрополь, ул. Пушкина,
Книги, научные публикации