Книги по разным темам
Журнал технической физики, 1997, том 67, № 9 03;05;12 Автоколебательные режимы роста тонких пленок из многокомпонентного пара: динамика и управление й П.Ю. Гузенко, С.А. Кукушкин, А.В. Осипов, А.Л. Фрадков Институт проблем машиноведения РАН, 199178 Санкт-Петербург, Россия (Поступило в Редакцию 29 апреля 1996 г.) Проведено подробное исследование модельной системы, описывающей процесс зарождения пленок из многокомпонентного пара с учетом химических реакций между различными компонентами в исходной фазе. Показано, что в зависимости от значений внешних параметров, таких как температура или скорость осаждения частиц той компоненты, которая лимитирует химическую реакцию, конденсация тонких пленок может протекать различными путями. В частности, для низких значений скорости осаждения характерен режим устойчивой конденсации, при котором любые отклонения от равновесия затухают. При средних значениях скорости осаждения фазовый переход протекает в автоколебательном режиме, отвечающем устойчивому предельному циклу. И наконец, при высоких значениях скорости осаждения устойчивый предельный цикл разрушается и конденсация новой фазы обычно протекает в пилообразном (накопительном) режиме. Разработана методика управления данными колебательными процессами путем целенаправленного изменения со временем внешних параметров. Обнаружено, что исследуемая система обладает своеобразной памятью, так как конденсация пленок при одинаковых внешних параметрах, но с различной их предысторией протекает по-разному, причем даже небольшое различие в предыстории внешних параметров может привести к различным режимам осаждения. Сделан вывод, что именно данные эффекты памяти ответственны за слабую воспроизводимость экспериментов по росту пленок с использованием химических реакций, имеющую место в ряде случаев.Введение Модельная система и ее основные свойства при постоянных внешних Исследования процессов зарождения и роста новой параметрах фазы на поверхностях твердых тел уже длительное время вызывают повышенный интерес [1,2]. Это связано с тем, Рассмотрим химическую реакцию типа A+B C. Бучто, во-первых, тонкие пленки широко используются в дет считать, что концентрация веществ A и B достаточно микроэлектронике, оптике и т. д. и являются основой низка для конденсации их смеси и тем более конденсации многих технологий, и, во-вторых, данные процессы являA и B по отдельности, но продукта реакции C образуется ются типичными для многих фазовых переходов первого больше равновесной концентрации Ce, поэтому продукт рода. Характерной особенностью этих фазовых перехореакции испытывает фазовый переход первого рода [4].
дов является наличие разнообразных нелинейных связей, Если C не образует твердых растворов с A и B, то будет порождающих целый ряд нелинейных явлений [3Ц6]:
расти пленка вещества C стехиометрического состава.
самоорганизацию, образование солитонов, кинков, ударДля определенности предположим, что вещества B на ных волн, автомодельность различных параметров, рост подложке так много, что лимитирует протекание химинеустойчивостей, автоколебания в многокомпонентных ческой реакции только вещество A. Пусть A и C Ч системах. В частности, возникновение автоколебаний концентрации соответствующих веществ, Чскорость обязано нелинейному взаимодействию химической рехимической реакции, (C -Ce) Ч скорость образования акции в исходной фазе с фазовым переходом, который островков новой фазы, N Ч их концентрация, (N, C) Ч испытывает продукт реакции. Действительно, с одной скорость убыли продукта реакции C в островки новой стороны, химическая реакция поставляет вещество в фазы, тогда в рамках простейшей модели кинетика хиисходную фазу и тем самым ускоряет фазовый переход, мической реакции и фазового превращения описывается с другой Ч новая фаза потребляет продукт реакции, следующей системой уравнений:
который является катализатором и, следовательно, замедляет химическую реакцию. Такая ситуация характерdA/d = J0 - (A, C, N), на для многих методов выращивания тонких пленок, использующих химические реакции, в частности для dC/d = (A, C) - (N, C), MOCVD-метода. Исследованию свойств таких автоколебаний и разработке методики управления ими и dN/d =(C-Ce). (1) посвящена настоящая работа.
48 П.Ю. Гузенко, С.А. Кукушкин, А.В. Осипов, А.Л. Фрадков Рис. 1. Зависимость концентрации островков новой фазы z от времени t при режиме роста пленок (J = 0.7).
Рис. 2. Зависимость концентрации островков новой фазы z от времени t при устойчивом колебательном режиме роста и соответствующий фазовый портрет (J = 0.96).
Здесь Ч время, J0 Ч скорость поступления на под- от C - Ce является очень сложной [1], однако, училожку вещества A. При наиболее часто встречающемся тывая, что анализ особых точек все равно проводится в диффузионном режиме роста все островки новой фазы линейном приближении и что (0) =0, ограничимся липотребляют одинаковое число молекул C, т. е. =NC, нейной зависимостью =0(C -Ce), где 0 Ч соответгде Ч коэффициент пропорциональности. Зависимость ствующий коэффициент пропорциональности. В качестве Журнал технической физики, 1997, том 67, № Автоколебательные режимы роста тонких пленок из многокомпонентного пара... Метод управления колебательными режимами роста тонких пленок Задача управления системой (2) ставится как задача поддержания на заданном уровне значений локальных максимумов величины z(t) путем изменения функции J(t). Таким образом, управлением является функция J(t), измеряемой переменной Ч z(t), а цель управления (ЦУ) записывается в виде |zk - z|, (3) где zk = z(tk), tk Ч моменты времени достижения k-го локального максимума z(t).
Предлагается решение задачи на основе алгоритмов адаптивного управления, не требующих значения правых Рис. 3. Зависимость концентрации островков новой фазы z от частей модели (2) [7]. Величина управляющего воздейвремени t при неустойчивом ФнакопительномФ режиме роста ствия J(t) меняется в моменты tk с учетом измерения (J = 1.2).
величины zk, причем закон изменения Jk = J(tk) также изменяется в ходе процесса по мере уточнения оценок параметров модели объекта управления, вычисляемых скорости реакции, следуя [4], выберем простейшую алгоритмом адаптации. Особенностью предлагаемого алфункцию с положительной обратной связью = k0AC2, горитма является переход от непрерывной нелинейной где k0 Ч константа реакции. Введем новые безразмерные модели объекта (2) к линейной дискретной модели, 2/3 -1/3 2/3 -1/получаемой путем линеаризации отображения Пуанкаре переменные x = Ak0 0 -1/3, y = Ck0 0 -1/3, 1/3 -2/3 -1/3 2/3 в точках последовательных локальных максимумов z(t) z = Nk0 0 -1/3, t = k0 0 2/3 и безразмерные и перехода к разностному уравнению 2/3 -1/константы J = k0J0/0, y0 = Cek0 0 -1/3, тогда система (1) примет следующий вид: zk+1 + a1zk + a2zk-1 + a3zk-= b0Jk + b1Jk-1 + b2Jk-2 + fk (4) = J - xy2, = xy2 - yz, = y - y0 (z 0). (2) относительно измеряемых величин zk и управляющих воздействий Jk. В (5) a1, a2, a3, b0, b1, b2 Ч неизвестные Анализ особых точек этой системы, выполненной в коэффициенты, fk Ч ограниченное возмущение (погрешлинейном приближении, показывает, что точка J = y3-ность модели). Можно показать, что погрешность fk является точкой бифуркации, приводящей к образованию подчиняется оценке устойчивого предельного цикла. Выберем для определенности значение y0, равное 5/4, тогда бифуркация будет | fk| C1|zk - z| + C2|Jk - J|, (5) иметь место в точке J1 (5/4)3 - 1 0.95. Значение этой величины, найденное в результате компьютерного где C1 > 0, C2 > 0, J Ч значение управления, моделирования, равно J1 0.888 (с точностью 0.0002), соответствующее условию zk = z.
т. е. при постоянных потоках J, меньших J1, система стре- Таким образом, точность модели повышается по мере приближения к решению. Оценка (5) справедлива не мится к равновесию(рис. 1), а при J1
пленки осуществляется в неустойчивом ФнакопительАлгоритм адаптивного управления включает алгоритм номФ режиме (рис. 3). В такой ситуации чрезвычайно основного контура, вычисляющий новое значение упраактуальной задачей является управление колебаниями в вляющего воздействия Jk, и алгоритм адаптации, подсистеме, поскольку структура и свойства пленок будут страивающий оценки 1k, 2k, 3k, b0k, b1k, b2k параметров зависеть от амплитуды и периода колебаний [1]. В модели (4). Алгоритм основного контура, записываемый частности, возникает вопрос, как нужно изменять во в виде времени внешний поток J, чтобы максимальное значение концентрации островков zmax приближалось при больших Jk = z + 1kzk + 2kzk-1 + 3kzk-2 - b1kJk - b2kJk-1 /b0k, временах к заданному значению z. С этой целью в (6) настоящей работе разработан общий алгоритм решения выбран таким образом, чтобы обеспечить достижение данной задачи, справедливый, вообще говоря, для широ- цели (3) за один шаг, если оценки совпадают с истинныкого класса функций, и. ми параметрами модели объекта. Алгоритм адаптации, 4 Журнал технической физики, 1997, том 67, № 50 П.Ю. Гузенко, С.А. Кукушкин, А.В. Осипов, А.Л. Фрадков уточняющий оценки параметров, выбирается по методу рекуррентных целевых неравенств [8] и имеет вид i, k+1 = i, k - kzk-i+1, i = 1, 2, 3, bi, k+1 = bi, k - kJk-i, i = 0, 1, 2, zk+1 - k+1, |zk+1 - k+1| >, k = (7) 0, |zk+1 - k+1|, где k+1 = -1kzk - 2kzk-1 - 3kzk-2 + b0kJk + b1kJk-1+ +b2kJk-2 Ч прогнозируемое по текущей модели значение локального максимума на очередном шаге, >0 Ч коэффициент усиления.
Используя результаты [7], можно показать, что при выполнении ограничения на погрешность модели | fk| < (8) и при достаточно малой величине цель управления (3) достигается за конечное число шагов, т. е. неравенство (3) выполнено для k > k при некотором k. Это доказывает принципиальную работоспособность предлоРис. 5. Зависимость внешнего потока J и концентрации женного метода адаптивного управления.
островков новой фазы z от времени t в задаче управления z = 1.5.
Основные результаты и их обсуждение Исследование точности и скорости сходимости алгопрограммная система ADAM [9], функционирующая в ритма (6), (7) было проведено путем компьютерного среде MATLAB.
моделирования. Для моделирования была использована На рис. 4 приведены зависимости J(t) и z(t), полученные для ЦУ (3) при z = 0.9. Были выбраны следующие начальные условия и параметры: J(0) =0.9, x(0) = 0, y(0) = 2.6, z(0) = 0, y0 = 5/4. Видно, что при больших временах J(t) 0.96, причем амплитуда колебаний концентрации островков новой фазы существенно уменьшается и становится примерно в два раза меньше, чем амплитуда колебаний при постоянном J = 0.96. На рис. 5 приведены те же зависимости, но для ЦУ z = 1.5. Как и следовало ожидать, амплитуда колебаний z в этом случае увеличивается, причем при t также J(t) 0.96. Таким образом, предложенная методика управления является эффективной. Видно, что поведение системы на больших временах определяется не только асимптотическими значениями внешних параметров задачи, но и тем, каким образом они изменялись в начальные моменты времени, что свидетельствует об эффектах памяти систем, претерпевающих фазовый переход первого рода с химическими реакциями. Повидимому, именно эти эффекты приводят к тому, что многие соответствующие эксперименты, в частности по выращиванию ВТСП пленок методом MOCVD имеют слабую воспроизводимость.
Работа выполнена при частичной поддержке РФФИ (коды № 96-03-32396, 96-01-01151) Международного Рис. 4. Зависимость внешнего потока J и концентрации научного фонда совместно с Российским правительством островков новой фазы z от времени t в задаче управления (грант № J58100) и гранта ISSEP.
z = 0.9.
Журнал технической физики, 1997, том 67, № Автоколебательные режимы роста тонких пленок из многокомпонентного пара... Список литературы [1] Kukushkin S.A., Osipov A.V. // Prog. Surf. Sci. 1996. Vol. 51.
N 1. P. 1Ц107.
[2] Трофимов В.И., Осадченко В.А. Рост и морфология тонких пленок. М.: Энергоатомиздат, 1993. 272 с.
[3] Kozak J.J. // Adv. Chem. Phys. 1979. Vol. 40. P. 229Ц368.
[4] Kukushkin S.A., Osipov A.V. // J. Phys. Chem. Solids. 1995.
Vol. 56. N 6. P. 831Ц838.
[5] Кукушкин С.А., Осипов А.В. // ФТТ. 1995. Т. 37. Вып. 7.
С. 2127Ц2132.
[6] Kukushkin S.A., Osipov A.V. // Phys. Rev. B. 1996. Vol. 53.
N 3. P. 856Ц860.
[7] Фрадков А.Л. Адаптивное управление в сложных системах.
М.: Наука, 1990. 294 с.
[8] Фомин В.Н., Фрадков А.Л., Якубович В.А. Адаптивное управление динамическими объектами. М.: Наука, 1981.
448 с.
[9] Егоренков Д.Л., Фрадков А.Л., Харламов В.Ю. Основы математического моделирования. Построение и анализ моделей с примерами на языке MATLAB. СПб.: БГТУ, 1994.
191 с.
Книги по разным темам