Книги по разным темам Журнал технической физики, 2006, том 76, вып. 9 01;03 Конвективные движения в слое вязкой жидкости с однородно заряженной свободной поверхностью й Д.Ф. Белоножко, А.И. Григорьев Ярославский государственный университет им. П.Г. Демидова, 150000 Ярославль, Россия e-mail: grig@uniyar.ac.ru (Поступило в Редакцию 17 января 2005 г.) Теоретически обнаружен эффект снижения в результате взаимодействия капиллярно-гравитационных и конвективных движений жидкости критических условий реализации неустойчивости заряженной поверхности жидкости по отношению к избытку электрического заряда. Выявлено, что при стремлении плотности поверхностного заряда к критической в смысле проявления неустойчивости Тонкса-Френкеля конвективные движения жидкости возникают при сколь угодно малых значениях градиента температуры, причем этот эффект зависит от толщины слоя жидкости.

PACS: 47.55.pb Введение гидродинамика слоя хорошо описывается системой уравнений Буссинеска-Обербека [1], в которой локальное Феномен тепловой конвекции представляет как ака- значение температуры жидкости управляет плавучестью демический интерес, так и в связи с многочисленными малых элементов ее объема, а значит, и условиями приложениями в технике и технологии. Он неоднократно возникновения тепловой конвекции. В отсутствие констановился предметом исследования [1Ц3], в том числе векции в равновесном состоянии в жидком слое поле и при наличии волнового возмущения формы свободной скоростей течения жидкости тождественно равно нулю, поверхности жидкости [4,5]. Тем не менее до сих пор не кроме того постоянны: вертикальный градиент равновесисследована конвекция в неоднородно нагретом плоском ной температуры T0 = -Aez (ez Ч орт оси Oz ), градислое жидкости на твердом дне, когда по свободной по- ент равновесного давления p0 = -0g (0 Ч средняя верхности жидкости распределен электрический заряд, по температуре плотность в определенном выше слое хотя такая ситуация достаточно часто встречается как жидкости) и поверхностная плотность электрического в геофизических, так и технических, и технологических заряда 0 на свободной поверхности.

приложениях. Очевидно, что возникновение конвектив- В описанной физической системе при определенных ного движения в поверхностно заряженном слое жидко- параметрах могут реализоваться две качественно разсти конечной глубины вызовет деформацию равновесной личных неустойчивости: Тонкса-Френкеля (неустойчиее свободной поверхности с амплитудой, много большей вость свободной поверхности жидкости по отношению амплитуды тепловых возмущений [6], что в свою очередь к поверхностному электрическому заряду) и конвекдолжно привести к снижению порога устойчивости по тивная, проявляющаяся в возникновении под действием отношению к собственному заряду [7,8]. архимедовых сил вихревого движения в плоскости Oxz.

Зададимся целью исследовать устойчивость равновесного состояния слоя жидкости по отношению к Постановка задачи малым возмущениям полей: температуры T (r, t), поверхностной плотности электрического заряда (x, t), Пусть в декартовой прямоугольной системе коорди- давления p(r, t), плотности (r, t), скорости U(r, t) и нат Oxyz с осью Oz, направленной вертикально вверх, деформации (x, t) свободной поверхности жидкости, против направления действия поля сил тяжести g, гори- имея в виду возможное влияние на устойчивость равзонтальный слой вязкой теплопроводной идеально про- новесных состояний вариаций градиента температуры и водящей жидкости конечной толщины занимает область поверхностной плотности электрического заряда.

0 z h. Верхняя, свободная однородно электрически Естественно считать, что на верхней и нижней гразаряженная с плотностью 0, и нижняя, опирающаяся на ницах слоя жидкости, в силу принятого утверждения о плоское твердое дно, границы жидкости поддерживают- постоянстве температур, при которых они поддерживася при постоянных температурах. Примем толщину слоя ются, возмущения температуры, связанные с деформажидкости такой, что изменения плотности жидкости, цией равновесной свободной поверхности, обращаются вызванные изменением с глубиной гидростатического в нуль. Будем, однако, учитывать изменения капиллярдавления, пренебрежимо малы по сравнению с измене- ных, гравитационных и электрических сил, действуюниями плотности, обусловленными неравномерным рас- щих на элемент площади, деформированной тепловым пределением температуры жидкости. При этих условиях капиллярным волновым движением свободной поверхКонвективные движения в слое вязкой жидкости с однородно заряженной свободной поверхностью ности, полагая что возмущение физических параметров Вывод критических условий обусловлено тепловым движением молекул [6], и для возникновения конвективного движения оценки порядка величины амплитуды возмущений положим, что в случае рассматриваемых безразмерных Решение задачи (1) будем искать, полагая, что зависиниже переменных T p U kT/, где k Чпо- мости физических параметров от координат и времени стоянная Больцмана, Ч коэффициент поверхностного имеют вид натяжения жидкости.

v(x, z, t) V (z ) exp(st - ikx);

Примем, что коэффициенты кинематической вязкости жидкости, поверхностного натяжения, теп- u(x, z, t) U(z ) exp(st - ikx);

-лового расширения жидкости = -0 (/T )p и p(x, z, t) p(z ) exp(st - ikx);

температуропроводности незначительно изменяются (x, z, t) (z ) exp(st - ikx);

с температурой, и их можно принять за постоян = 0 exp(st - ikx);

ные исходные параметры. Без ограничения общности можно считать возмущения всех физических велиT (x, z, t) (z ) exp(st - ikx), (2) чин независящими от горизонтальной координаты y:

здесь s Ч комплексная частота, k Чволновое число.

= (x, t), p = p(x, z, t), T = T (x, z, t), = (x, z, t), Подставив (2) в (1), из требования совместимости U = u(x, z, t)ex + v(x, z, t)ez, где t Ч время, ex Чорт граничных условий можно найти дисперсионное уравоси Ox.

нение задачи, которое, однако, имеет весьма громоздкий Учтем, что плотность жидкости связана с изменением вид и поэтому не приводится. Целью настоящего растемпературы известным соотношением [9]:

смотрения является определение критических условий начала возникновения конвекции, которые можно найти, = T -0T. если в дисперсионном уравнении положить комплексT p ную частоту s равной нулю. В этом случае критические условия выводятся в виде алгебраического соотношения Напряженность же электрического поля над искамежду безразмерными физическими параметрами систеженной волновым движением свободной поверхностью мы (1) в виде z = h + (x, t) определим соотношением E = - det(M) =0; (3) + (x, z, t), где малая поправка = (x, z, t) M = является величиной того же порядка малости, что и (x, t), а = -40ez [10].

0 1 G1 0 Ch(q1)G1 Ch(q1)G2 k2 Ch(q1 ) - q1G1(-3k2 + q2)Sh(q1 ) 1 Все рассмотрение проведем в безразмерных перемен- 0 0 q1 G1 Sh(q1)G1 Sh(q1 )G2 k2 Sh(q1) - q1G1 (-3k2 + q2)Ch(q1 ) 1 ных, в которых h = 0 = = T0 = 1. За всеми физиче- 1 G2 0 Ch(q2)G2 Ch(q2)G2 k2 Ch(q2 ) - q2G2(-3k2 + q2)Sh(q2 ) 2 ;

= скими величинами оставим их прежние обозначения. 0 0 q2 G2 Sh(q2)G2 Sh(q2 )G2 k2 Sh(q2) - q2G2 (-3k2 + q2)Ch(q2 ) 2 1 G3 0 Ch(q3)G3 Ch(q3)G2 k2 Ch(q3 ) - q3G3(-3k2 + q2)Sh(q3 ) Математическая формулировка задачи о расчете ка3 0 0 q3 G3 Sh(q3)G3 Sh(q3 )G2 k2 Sh(q3) - q3G3 (-3k2 + q2)Ch(q3 ) пиллярно-гравитационного и конвективного движения 3 жидкости в указанных безразмерных переменных в ли 1 + k22 - kW ;

нейном приближении по малым величинам имеет вид q1 = Q1; q2 = Q2; q3 = Q3; Gi k2 - Q2;

i U 0 z 1 : = -p + U + GrT ez ;

Q1 = k2 - k2/3Ra1/3, Q2 = k2 + (1 - i 3)k2/3Ra1/3, t Q3 = k2 + (1 + i 3)k2/3Ra1/3;

T - (Uez ) = T ; U = 0;

t Pr h/; /gh3; Ra Cr Pr; W E0/4 g, z 1 : = 0; z : | | 0;

где Ra Ч число Рэлея, характеризующее порог возникновения конвекции; W Ч параметр Тонкса-Френкеля, v E0 характеризующий устойчивость заряженной свободной z = 1 : = v; -g + p - 2 - + = 0;

t z 4 z xповерхности жидкости по отношению к собственному заряду. При W 2 заряженная равновесная плоская u v поверхность жидкости становится неустойчивой по от+ = 0; - E0 = 0; T - = 0;

z x ношению к капиллярным волновым возмущениям бесконечно малой амплитуды с размерным волновым числом v z = 0 : v = 0; = 0; T = 0;

k 1/, где Ч капиллярная постоянная жидкости z ( /os). При этом сила давления электрического поля превосходит давление сил поверхностного натяжеGr gAh4/2; Pr /. (1) ния, и с заряженной поверхности жидкости начинается Здесь Gr Ч число Грассгофа; Pr Ч число Прандтля. сброс избыточного заряда [6].

Журнал технической физики, 2006, том 76, вып. 44 Д.Ф. Белоножко, А.И. Григорьев Анализ влияния электрического заряда на условия развития конвективной неустойчивости Примеры расчетов по уравнению (3) приведены на рисунке в виде зависимостей критического для начала реализации конвективной неустойчивости значения параметра Рэлея Ra от безразмерного волнового числа k при различных значениях отношения толщины слоя к капиллярной постоянной. В пределе W 0 полученные результаты совпадают с результатами работы [5], где показано, что при 0.01 влияние деформации поверхности на критические условия возникновения конвекции наиболее заметно.

Из рисунка видно, что увеличение поверхностной плотности электрического заряда существенно влияет на критические условия реализации конвективной неустойчивости: с ростом поверхностной плотности электрического заряда уменьшается критическое значение Ra, при котором развивается неустойчивость, и увеличивается (при принятом обезразмеривании) значение волновых чисел, соответствующее наиболее неустойчивой волне, определющееся положением минимумов на приведенных кривых.

Из рисунка, c видно, что при W = 2 критическое значение градиента температуры, пропорциональное Ra при определенных значениях волнового числа обращается в нуль для слоев жидкости конечной толщины.

Причем, оказалось, что для каждой из зависимостей наиболее неустойчивое безразмерное волновое число (положение минимума) определяется из условия k/ = 1. Для размерного волнового числа это условие будет иметь вид k = 1 (что означает: при обезразмеривании вида = 0 = g = 1 волновое число наиболее неустойчивой моды остается неизменным с изменением толщины слоя жидкости). Но значение параметра Тонкса-Френкеля W = 2 соответствует критическому значению поверхностной плотности электрического заряда, выше которого развивается неустойчивость заряженной поверхности жидкости по отношению к избытку электрического заряда. Это означает, что на пороге реализации неустойчивости Тонкса-Френкеля конвективная неустойчивость может начать развиваться при весьма незначительной разности температур между дном и свободной поверхЗависимости критического для начала возникновения тепловой ностью.

конвекции значения Ra от k, рассчитанные при = 0.01 для Проведенный анализ указывает на взаимное влияние слоев жидкости различной толщины. Кривая 1 получена для друг на друга электрокапиллярно-гравитационных и конслоя толщиной = 0.2; 2 Ч 0.5; 3 Ч 0.77; 4 Ч ;

вективных движений. Это влияние наиболее интенсив- a Ч W = 0; b Ч1; c Ч2.

но вблизи значений W = 2. При W чуть меньше даже небольшая разность температур между дном и свободной поверхностью приведет к развитию конвек- поверхностной плотности электрического заряда) реализации неустойчивости Тонкса-Френкеля минимальны по тивной неустойчивости. Эта неустойчивость приведет к появлению на свободной поверхности волн конечной сравнению с волнами других длин и заметно снижаются амплитуды с волновым числом, близким к k = 1/. Но с увеличением их амплитуды [7,8]. Иными словами, именно для периодических волн с такими волновыми конвективная неустойчивость инициирует именно то числами критические условия (критическая величина волновое движение свободной поверхности жидкости, Журнал технической физики, 2006, том 76, вып. Конвективные движения в слое вязкой жидкости с однородно заряженной свободной поверхностью которое ответственно за снижение порога проявления неустойчивости Тонкса-Френкеля. Сказанное можно также интерпретировать как возникновение вихревого конвенктивного движения электропроводной жидкости при реализации неустойчивости ее заряженной поверхности по отношению к собственному заряду, что согласуется с данными экспериментальных наблюдений [11].

Из рисунка видно также, что зависимость критической для возникновения конвективной неустойчивости в поверхностно заряженном слое вязкой электропроводной жидкости величины параметра Рэлея от толщины слоя немонотонна.

Заключение Критические условия возникновения конвекции в слое вязкой жидкости конечной толщины заметно снижаются с увеличением поверхностной плотности электрического заряда на свободной поверхности жидкости. Независимо от толщины слоя жидкости наиболее неустойчивой является волна с размерным волновым числом k = 1/. В результате взаимодействия электрокапиллярно-гравитационных и конвективных движений снижаются критические условия реализации неустойчивости заряженной поверхности жидкости по отношению к избытку электрического заряда.

Работа выполнена при поддержке грантов РФФИ № 03-01-00760 и 06-01-00066-a, и гранта президента РФ № МД-1990-2005-1.

Список литературы [1] Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М. Конвективная устойчивость несжимаемой жидкости. М.: Наука, 1972. 392 с.

[2] Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М., Непомнящий А.А. Устойчивость конвективных течений в жидкостях. М.: Наука, 1989. 320 с.

[3] Гебхарт Б., Джалурия Й., Махаджан Р., Саммакия Б.

Свободноконвективные течения, тепло- и массообмен.

Т. 1. М.: Мир, 1991. 678 с.

[4] Изаксон В.Х., Юдович В.И. // Изв. АН СССР. МЖГ. 1968.

№4. С. 23Ц28.

[5] Изаксон В.Х. // ПМТФ. 1969. № 3. С. 89Ц92.

[6] Френкель Я.И. // ЖЭТФ. 1936. Т. 6. № 4. С. 348Ц350.

[7] Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Гидродинамика. М.: Наука, 1989. 733 с.

[8] Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Электродинамика сплошных сред. М.: Наука, 1982. 620 с.

[9] Григорьев А.И., Ширяева С.О., Белоножко Д.Ф., Климов А.В. // ЭОМ. 2004. № 4. С. 34Ц40.

[10] Григорьев А.И., Ширяева С.О., Белоножко Д.Ф., Климов А.В. // ЖТФ. 2005. Т. 75. Вып. 2. С. 19Ц27.

[11] Hayati J., Bailey A.J., Tadros H.F. // Nature. 1986. Vol. 319.

N1. P. 41Ц43.

   Книги по разным темам