Книги по разным темам Складн системи процеси № 2, 2005 НФОРМАЦЙН СИСТЕМИ ТЕХНОЛОГп НФОРМАЦЙН СИСТЕМИ ТЕХНОЛОГп УДК 519.2:519.95:536 ПОРВНЯЛЬНИЙ АНАЛЗ АЛГОРИТМВ ПОБУДОВИ ВИПАДКОВИХ ПОСЛДОВНОСТЕЙ, ПРИЗНАЧЕНИХ ДЛЯ МОДЕЛЮВАННЯ ВИПАДКОВИХ БЛУКАНЬ МОЛЕКУЛ ДЕАЛЬНОГО ГАЗУ Бахрушин В.к.

Гумантарний унверситет "Запорзький нститут державного та мунципального управлння", вул. Жуковського, 70-б, Запоржжя, Украна, 69002 Vladimir.Bakhrushin@zhu.edu.ua Вступ У звТязку з розвитком компТютерно технки при дослдженн складних природних соцально-економчних систем усе бльшого значення набувають методи мтацйного статистичного моделювання. пх реалзаця зазвичай передбача побудову випадкових послдовностей з певним законом розподлу. сну багато алгоритмв побудови рвномрних випадкових послдовностей, а також випадкових послдовностей з заданими законами розподлу. Деяк з них описан у [1Ц3]. Як правило, вс алгоритми передбачають попередню побудову послдовностей, елементи яких пдпорядковуються рвномрному розподлу на вдрзку [0, 1]. сну велика кльксть методв х побудови, що зумовлено суперечливими вимогами до одержуваних послдовностей. З одного боку, алгоритм повинен забезпечувати необхдну яксть послдовност. При цьому поняття якост може стотно залежати вд того, де вона буде використовуватися надал. З ншого боку, враховуючи, що побудова випадково послдовност лише попереднм етапом дослдження, застосовуваний алгоритм ма бути таким, що не виявля стотного впливу на потрбн для моделювання ресурси памТят ЕОМ, часу тощо. Згдно з [4], у багатьох випадках зазначен властивост подну алгоритм, що рунтуться на використанн трикутного вдображення. Це зумовлю необхднсть його порвняння з ншими алгоритмами та переврки в робот при дослдженн тестових систем з вдомою поведнкою.

Метою ц роботи було проведення порвняльного аналзу алгоритму побудови випадкових послдовностей, що рунтуться на використанн трикутного вдображення, з деякими ншими стандартними алгоритмами генерац таких послдовностей.

Яксть алгоритмв перевряли за допомогою 2-тесту в робот при моделюванн випадкових блукань молекули деального газу.

Алгоритми побудови випадкових послдовностей Для побудови рвномрних випадкових послдовностей, заданих на вдрзку [0, 1], у робот було використано так алгоритми.

1. Метод остач [1]. У цьому раз для одержання послдовност використовували рекурентне спввдношення k +1 = Mk, де хвилястими дужками позначено дробову частину { } числа. Як початкове значення 0 брали А2Ц32, де 32 числом двйкових розрядв у мантис комрки ЕОМ. Число М брали рвним В513 як число виду 52p+1 з максимальним цлим р, для якого виконуться умова 52p+1 < 232. Числа А В брали близькими до одиниц.

2. Вбудований алгоритм генерац рвномрних випадкових послдовностей, що застосовуться в електронних таблицях MS Excel.

Складн системи процеси № 2, 3. Алгоритм [4], що рунтуться на використанн рекурентно формули, яка утворю наступний елемент з попереднього за допомогою трикутного вдображення:

xn +1 = C 1- 2 0,5 - xn, де С близьким до одиниц.

() Для мтац броунвського руху необхдно було використовувати також нормальн випадков послдовност з середнм, рвним нулю, заданим стандартним вдхиленням. Для х генерац використовували два методи, описан у [1].

1. Метод вдбору, що рунтуться на використанн тако властивост. Нехай 1 та 2 - це чергов числа, як належать до рвномрно випадково послдовност, задано на вдрзку [0, 1]. Зробимо перетворення:

x' =1 b - a + a; y' =2c. (1) ( ) Випадков величини x' та y' мають рвномрний розподл на вдрзках [a, b] [0, c], вдповдно. Можна довести, що випадкова величина, яка визначаться умовою x = x ', якщо y' < f(x'), ма щльнсть розподлу f(x). Для генерування випадково послдовност з щльнстю розподлу f(x) брали чергов два числа рвномрно випадково послдовност 2iЦ1 та 2i. Потм розраховували вдповдн значення xi' та yi'. Псля цього перевряли виконання умови yi' < f(xi'). Якщо вона виконувалася, то xk = xi' вдбирали як черговий елемент послдовност, що треба побудувати. Якщо умова не виконувалася, поточну пару значень рвномрно випадково послдовност вдкидали переходили до переврки наступно пари.

2. Згдно з методом пдсумовування величину =, що ма нормальний розподл з параметрами m = 0 та = 1, розраховували за формулою:

n = 2i (2) ( -1, ) n i=у якй n брали рвним 30. Це стотно вище, нж рекомендуться в тератур [1], але при нижчих значеннях n яксть одержуваних послдовностей за критерм 2 не завжди була задовльною.

Для отримання послдовност випадкових чисел, що мали нормальний розподл з параметром = b, робили перетворення k = bk.

Переврка якост рвномрних послдовностей за критерм Як один з методв переврки якост одержуваних рвномрних випадкових послдовностей було використано 2-тест електронних таблиць MS Excel, який да моврнсть р того, що дослджувана вибрка задовольня заданому закону розподлу.

Для 100 послдовностей обсягом вд 200 до 10000 елементв, отриманих за допомогою вбудованого генератора випадкових послдовностей MS Excel, значення моврност р варювали в нтервал вд 0,013 до 0,980 не залежали вд клькост елементв послдовност (рис. 1). Середн значення моврност p для кожно з отриманих серй випадкових послдовностей близьким до 0,5, а стандартне вдхилення - до 0,3.

Для послдовностей обсягом вд 200 до 10000 елементв, отриманих методом остач, значення моврност р також варювали в нтервал вд 0 до 1 не залежали вд клькост елементв послдовност (рис. 2). Але ц значення стотно й немонотонно залежали вд параметрв А, В (рис. 3, 4). Змнюючи х, можна дещо пдвищити середн значення зменшити стандартне вдхилення для моврност p. У нашому випадку максимальн значення Складн системи процеси № 2, моврност р в серях з 20 послдовностей дорвнювали 0,7 - 0,75, а мнмальн значення стандартного вдхилення - 0,1 - 0,15.

p 0,n 100 1000 Рис. 1. Залежнсть значень моврност Рис. 2. Залежнсть значень моврност 2-тесту вд обсягу n для послдовностей, 2-тесту вд обсягу n для послдовностей, отриманих за допомогою вбудованого ге- отриманих методом остач нератора MS Excel Рис. 3. Залежнсть середнього значення р Рис. 4. Залежнсть середнього значення р та стандартного вдхилення s моврност та стандартного вдхилення s моврност 2-тесту вд параметра А для послдовнос- 2-тесту вд параметра В для послдовностей, отриманих методом остач тей, отриманих методом остач Для послдовностей, отриманих за допомогою трикутного вдображення, результат 2-тесту стотно залежить вд обрання початкового елемента х1 (рис. 5). Ця залежнсть хаотичною, тому придатн для досягнення мети моделювання значення х1 мають бути визначен попередньо.

Переврка якост випадкових послдовностей за результатами моделювання випадкових блукань молекули деального газу При моделюванн випадкових блукань молекули деального газу припускали, що зткнення молекул центральними й абсолютно пружними, а сам молекули мають однаков маси. У цьому раз пд час зткнення молекули обмнюються своми швидкостями. З огляду на це застосовували таку схему розрахунку. Спочатку задавали початков значення координат проекцй швидкостей молекули, рух яко спостергався. Вони були взят рвними нулю.

Крм того, були побудован три випадкових послдовност, що давали значення проекцй швидкост чергових молекул, з якими вона зштовхуться. Вони були отриман з нормально послдовност, середн значення яко дорвнювало нулю, а стандартне вдхилення s = kT / m, де k - стала Больцмана, Т - температура, m - маса молекули.

Складн системи процеси № 2, Рис. 5. Залежнсть значення 2-тесту вд величини х1 при використанн трикутного вдображення Цю послдовнсть будували одним з описаних вище методв, використовуючи рвномрн випадков послдовност, що мстили 30000 елементв мали значення моврност р за результатами 2-тесту понад 0,9. Отримана послдовнсть була нормальною з моврнстю 0,87 вдповдала заданому закону розподлу з моврнстю 0,50. п було роздлено на три рвних частини, як й використовували як проекц швидкостей чергових молекул.

При моделюванн припускали, що вдстань, яку молекула проходить мж зткненнями, 0,дорвню середнй довжин вльного пробгу =, де d - даметр молекули, а n - d2n концентраця молекул. Час мж -м та +1 зткненнями розраховували як ti = / v2 + v2 + v2. Як чергов значення проекцй швидкост молекули, за якою велося xi yi zi спостереження, брали значення вдповдних проекцй для молекули, що зштовхуться з нею. Чергов значення координат розраховували за формулами рвномрного руху:

xi = xi-1 + vx i-1ti; yi = yi-1 + vy i-1ti; zi = zi-1 + vz i-1ti. Такий алгоритм можна вважати занадто спрощеним для моделювання випадкових блукань молекули, але вн достатнм для визначення якост вихдних випадкових послдовностей з погляду х придатност для такого моделювання.

На рис. 6, 7 показано проекц трактор руху молекули у площинах xOy та xOz при використанн нормальних послдовностей, отриманих, вдповдно, методами 1 та 2 з рвномрних послдовностей, одержаних за допомогою вбудованого генератора MS Excel. З наведених даних видно, що стотний вплив на результати моделювання випадкових блукань виявля корельовансть елементв отримуваних послдовностей, яка призводить до систематичного вдхилення модельованого процесу вд стинно трактор появи досить довгих длянок, на котрих виявляться переважний напрямок руху молекули. При цьому результати, отриман при побудов нормальних послдовностей методом вдбору, дещо кращими з погляду вдтворення стинного характеру руху молекули при випадкових блуканнях. Тому для нших способв отримання рвномрних послдовностей х перетворення до нормальних здйснювали саме за методом вдбору.

Складн системи процеси № 2, y x Рис. 6. Проекц трактор руху молекули у площинах xOy та xOz при використанн нормальних послдовностей, отриманих методом вдбору Рис. 7. Проекц трактор руху молекули у площинах xOy та xOz при використанн нормальних послдовностей, отриманих методом пдсумовування На рис. 8 наведено трактор руху молекули, отриман при застосуванн методу остач для побудови рвномрних послдовностей методу вдбору - для побудови нормальних послдовностей Рис. 8. Проекц трактор руху молекули у площинах xOy та xOz при використанн рвномрних послдовностей, отриманих методом остач У цьому раз тракторя руху дещо ближчою до очкувано при випадкових блуканнях. Крм того, на вдмну вд попереднх випадкв, вдалося отримати рвномрн послдовност, для яких значення моврност р 2-тесту було практично рвним одиниц, а для побудовано нормально послдовност воно дорвнювало 0,91 при порвнянн з послдовнстю, що мала заданий закон розподлу.

На рис. 9 наведено трактор руху молекули, отриман при застосуванн трикутного перетворення для побудови рвномрних послдовностей методу вдбору - для побудови нормальних послдовностей. Для вихдних рвномрних послдовностей значення моврност р 2-тесту перевищувало 0,97, а побудована нормальна послдовнсть була нормаль Складн системи процеси № 2, ною з моврнстю 0,86 вдповдала заданому закону розподлу з моврнстю 0,41. У цьому раз тракторя руху бльш далекою вд очкувано при випадкових блуканнях, нж у попередньому випадку.

Рис. 9. Проекц трактор руху молекули у площинах xOy та xOz при використанн рвномрних послдовностей, отриманих за допомогою трикутного перетворення Висновки Проведено порвняльний аналз методв побудови випадкових послдовностей при моделюванн випадкових блукань молекули деального газу. Показано, що з розглянутих методв стинний характер трактор руху найкраще вдтворю алгоритм, який використову метод остач для побудови рвномрно випадково послдовност, метод вдбору - для побудови послдовностей з нормальним законом розподлу. При цьому в усх випадках спостергаються досить довг длянки, на яких рух молекули ма постйний напрямок переважного руху, що не вдповда закономрностям руху молекул при х вльних блуканнях. Це може бути наслдком корельованост елементв одержуваних послдовностей.

тература 1. Бахрушин В.к. Математичне моделювання. - Запоржжя: ГУ УЗДМУФ, 2004. - 140 с.

2. Гайдышев И. Анализ и обработка данных. - С.Пб.: Питер, 2001. - 752 с.

3. Брандт З. Анализ данных: Статистические и вычислительные методы для научных работников и инженеров. - М.: Мир, 2003. - 686 с.

4. Кириченко Л.О., Гавриш О.Л. Исследование распределений последовательностей псевдослучайных чисел, полученных с помощью хаотических отображений // Дн науки:

Зб. тез доповдей: В 3т. / Гумантарний унверситет ДЗДМУФ, 27-28 жовтня 2005; Ред. кол.

В. М. Огаренко та н. - Запоржжя: ГУ "ЗДМУ", 2005. - Т. 1. - С. 298Ц299.

нформаця нформаця Новиков О.М., Грайворонський М.В. Захист нформац в компТютерних системах мережах. - Кив: БХВ, 2005.

Викладено сучасн погляди на проблеми захисту нформац у компТютерних системах та мережах запропоновано пдходи до х розвТязання. У пдручнику докладно розглянуто питання проектування, побудови й супроводження захищених систем, мжнародн нормативн документи, що регламентують дяльнсть у цй сфер дють в Укран та за межами, а також особливост захисту на рвн операцйних систем. Велику увагу придлено питанням захисту нформац в локальних глобальних компТютерних мережах.

   Книги по разным темам