Книги по разным темам
Известия Челябинского научного центра, вып. 1 (27), 2005 МАТЕМАТИКА УДК 517.983.54 МЕТОД УСТАНОВЛЕНИЯ ДЛЯ ЗАДАЧИ СВЯЗАННОГО ПСЕВДООБРАЩЕНИЯ С ПРИБЛИЖЕННЫМИ ДАННЫМИ Е.А. Бондарь (1), И.Ю. Ястребова (2) eЦmail: Irina_Yastrebova@rambler.ru (1) Нижегородская государственная сельскохозяйственная академия, г. Нижний Новгород, Россия (2) Нижегородский государственный педагогический университет, г. Нижний Новгород, Россия Статья поступила 19 февраля 2005 г. 1. Введение Пусть заданы два линейных ограниченных оператора A: X Y и B: X Z, где X, Y, Z Ч гильбертовы пространства, и элементы yY, zZ. Рассмотрим множество X2 = Arg min Ax -y, xX1 где X1= Arg min Bx -z.
xX Всякий элемент x множества X2 называется связанным псевдорешением уравнения Ax = y, (1.1) при дополнительных линейных связях Bx = z. (1.2) Связанное псевдорешение x, наименее уклоняющееся от заданного элемента x0X, называется нормальным относительно x0 связанным псевдорешением уравнения (1.1), а при x0 =0 Ч нормальным связанным псевдорешением, которое будем обозначать x. Задача нахождения таких элементов называется задачей связанного псевдообращения. Для простоты эту задачу будем называть основной задачей, а элементы x, x Ч соответственно решением и нормальным решением основной задачи. Впервые основная задача поставлена независимо в работах [1, 2] (см. также [3]). Она является абстрактной моделью многих практических задач оптимального управления, геофизики, механики, математической физики и других областей знания (см. [1Ч3], а также [4], где приводятся формулировки некоторых из задач).
При отсутствии связей (1.2) (B =0, z =0) основная задача переходит в классическую задачу псевдообращения уравнения (1.1) [5, 6] (см. также учебник [7]), то есть в задачу нахождения нормального относительно x0 псевдорешения уравнения (1.1).
2 Е.А. Бондарь, И.Ю. Ястребова В данной работе рассматривается метод установления решения основной задачи в случае, когда известны приближения Al, Bh, y, z к исходным данным и их уровни погрешностей:
Al -A l, Bh -B h, y -y, z -z. (1.3) Для определения метода введем семейство операторов и векторов:
r Bh r z r = : X G, gr = G, Al y где r >0, G =ZY Ч декартово произведение пространств Z и Y. Непрерывный регуляризирующий алгоритм xr (t)+r xr (t)=gr, 0
В работе установлена стабилизация решения возмущенной задачи Коши (1.4) к решению основной задачи, получены оценки погрешности, предложен вариант априорного выбора параметров регуляризации.
2. О решениях основной задачи Приведем нужные результаты, полное изложение которых можно найти, например, в [8].
Пусть N() Ч ядро соответствующего оператора, PN() Ч ортопроектор на подпространство N(), I Ч PN() =PN(). Чтобы не писать индексов у ортопроекторов, введем обозначения B P =PN(B), Q =PN(), где =. Очевидно, N()=N(A)N(B).
A С помощью псевдообратных операторов необходимое и достаточное условие разрешимости основной задачи записывается в виде:
zD(B+ )=R(B)N(B), y -AB+zD (AP)+ =R(AP)N(PA).
( ) При выполнении этого условия в X2 существует единственное нормальное решение основной задачи x N() и любой элемент из X2 имеет вид: x = x +Qu, uX.
Для любого x0X ближайшее от x0 решение основной задачи определяется равенством x = x +Qx0 и характеризуется соотношением x0 -xN(). (2.1) Кроме того, элементы множества X2 характеризуются равенствами B(Bx -z)=0, PA(Ax -y ) = 0. (2.2) Метод установления для задачи связанного псевдообращения с приближенными данными 3. Необходимые оценки Пусть U: X G Ч ограниченный оператор. Тогда UU Ч самосопряженный оператор в X.
n (-1)n Согласно определению [10, c. 25] e-tU U = tUU. Рассмотрим скалярную функцию ( ) n! n=2 (t)= e-tU U x, x =e-t Ux промежутке [0; +). Так как (t)=- Ux e-t Ux 0 xX, то функ( ) ция (t) Ч убывающая, а поэтому при s t 0= lim e-t Ux (t)(t -s)(0). Отсюда получаем t+ 0e-tU U e-(t-s)U U I, 0s t <+, (3.1) где, как обычно, для самосопряженных операторов W и V неравенство W V означает, что (W ( -V )x, x 0 для xX.
) Аналогично [6, c.27] рассмотрим систему функций t ft ()= (3.2) ( ) e-(t-s)ds = 1 1-e-t.
Из (3.1) и (3.2) находим 0ft (UU)tI, 0t <+. Отсюда следует оценка ft (UU) t, (3.3) а также существование положительного квадратного корня ft12(UU) с нормой ft12(UU) t12.
Рассмотрим оператор K =ft12(UU)U. Согласно (3.2) и (3.1) имеем 0KK = UUft (UU)=I -e-tU U I, откуда следуют оценки ft12(UU)U 1 и ft (UU)UU 1.
С помощью установленных оценок получаем ft (UU)U ft12(UU) ft12(UU)U t12. (3.4) Из (3.1) и (3.2) вытекает также следующая цепочка соотношений tt 1 U 0I -UUft (UU)=e-tU U = e-tU ds t 0 t e-(t-s)U Uds = 1 ft (UU).
t Отсюда согласно (3.3) имеем I -UUft (UU) 1, (3.5) I а также -UUft (UU) x ft12(UU)x и, значит, tI -UUft (UU)U 1.
(3.6) t4 Е.А. Бондарь, И.Ю. Ястребова 4. Сходимость возмущенного метода t -(t-s)r r Задача Коши (1.4) имеет решение xr (t)=e-tr r x0 + gr ds, которое с помощью r e системы функций (3.2) можно записать в виде:
xr (t)= I -r ft r x0 +ft r gr. (4.1) r ( r ) ( r ) r ( ) Лемма 1. Для любого xN() I -r ft r x 0 (4.2) r ( r ) ( ) при t +, h, l 0.
Доказательство. Воспользуемся принципом равномерной ограниченности [11, c. 98]. Согласно (3.2) и (3.1) r I -r ft r = e-t r 1 (4.3) r ( r ) при всех t 0, r >0, и ограниченность семейства операторов из (4.2) установлена.
Далее, в виду того, что R()=N(), то взяв xR(), имеем x =g, gG и I -r ft r g = I -r ft r - g + I -r ft r g. Учитывая равенство r ( r ) r ( r ) ( ) r ( r ) ( ) ( ) ( ) I = r, отсюда в силу (3.6) и (4.3) находим r 0 I I I -r ft r g - g + r g. (4.4) r ( r ) ( )t ( ) 0 I Следовательно, (4.2) справедливо на множестве, плотном в N(), и лемма доказана.
Лемма 2. Для любого xD(B+ ) t ft (r )Px th+ B+x. (4.5) r r B+x Доказательство. Так как Px =BB+x = -Bh +x +, то (B )B 1 r r B+x ft (r )Px =ft (r ) -Bh +x + ft (r ).
r r (B )B 1 r r r Теперь (4.5) вытекает из этого соотношения применением оценок (3.3), (3.4) и условия аппроксимации (1.3).
Теорема 1. Пусть основная задача разрешима и выполнено условие A Ax -y D B+, (4.6) ( ) ( ) Если в возмущенном методе установления (4.1) параметры регуляризации t =t(, ), r =r (, ), где =(h, ), =(I, ), выбирать так, что t t +, r +, 0, rt 2 +h 0, t 2 +l 0 (4.7) ( ) ( ) r Метод установления для задачи связанного псевдообращения с приближенными данными при 0, 0, то xr (t) x при 0, 0 (4.8) где x Ч ближайшее к x0 решение основной задачи.
Если начальная погрешность метода (4.1) представима в виде v x0 -x =g, g =, (4.9) u то xr (t)-x h+ v +l + u + tr +h x +rth PN(B)z + () tr t t + t +l x +tl y -Ax +th+ B+A(y - Ax).
() (4.10) r Доказательство. Для погрешности приближения (4.1) имеем I xr (t)-x = -r ft r x0 -x +ft r gr -r x. (4.11) ( ) ( ) ( r ) r r ( r ) Так как в силу (2.1) x0 -xN(), то согласно лемме 1 первое слагаемое в (4.11) стремится к нулю при условиях (4.7). Проведем оценку второго слагаемого в (4.11). Решения основной задачи характеризуются равенствами (2.2), которые равносильны следующим равенствам Bx -z = PN(B)z, A(Ax -y ) = PA(Ax - y ). (4.12) Используя (4.12) и соотношения (3.3), (3.4), (1.3) и (4.5), для второго слагаемого в (4.11) получаем оценку ft (r )(gr -r x) tr +h x + t +l x +rth PN(B)z + ( ) ( ) r r t +tl y -Ax +th+ B+A(y -Ax).
(4.13) r Отсюда и второе слагаемое в (4.11) стремится к нулю при выполнении условий (4.7), и сходимость (4.8) доказана.
v Пусть начальная погрешность имеет вид (4.9). Тогда, подставляя g = в оценку (4.4), поu лучим [I -r ft (r )](x0 -x) h+ v +l + u. (4.14) r r tr t Оценка погрешности (4.10) получается сложением оценок (4.13) и (4.14), что завершает доказательство теоремы.
5. Выбор параметров регуляризации Оценка (4.10) дает возможность априорного выбора параметров регуляризации t и r. Это можно сделать, например, следующим образом. Предположим, что приближенные оператор Bh и правая часть z вычислены с большей точностью, чем оператор Al и правая часть y, а именно, справедливо соотношение:
6 Е.А. Бондарь, И.Ю. Ястребова +hc =O(1) при, l 0, (5.1) +lc ( )1+p 2 где c x, a p Ч некоторое число: < p.
3 Параметр r зададим произвольно, а t найдем, частично минимизируя правую часть оценки (4.10). Получаем r = t +lc, t = (+lc), (5.2) ( )-p c u где =.
2 PN(B)z O(1)+ y -Ax ( ) При таком выборе параметров регуляризации справедлива следующая Теорема 2. Пусть основная задача разрешима и выполнено условие (4.6). Если начальная погрешность представима в виде (4.9) и выполнено соотношение (5.1), то при выборе параметров (5.2) имеет место асимптотическая оценка погрешности:
xr (t)-x lim B+A y -Ax + ( ) p (,l ) +lc ( ) 2 22 p - 33 + +lc c-1 PN(B)z O(1)+c-1 y - Ax + u.
3 ( ) (5.3) Доказательство. При выполнении условия (4.9) справедлива оценка погрешности (4.10).
Асимптотическая оценка (5.3) следует из (4.10), если в качестве параметров приняты выражения (5.2).
Заключение В работе для решения задачи связанного псевдообращения предложен метод задачи Коши. Установлена стабилизация решения возмущенной задачи Коши к решению данной задачи.
Получены оценки погрешности метода, рассмотрен вопрос априорного выбора параметров регуляризации.
Список литературы 1. Minamide N., Nakamura K. A restricted pseudoinverse and its application to cotrained minima // SIAM J. Appl. Math., 1970. V. 19. P. 167Ч177.
2. Морозов В.А., Кирсанова Н.Н. Об одном обобщении метода регуляризации // Вычислительные методы и программирование. М.: МГУ, 1970. Вып. 14. С. 40Ч45.
3. Морозов В.А. Регулярные методы решения некорректно поставленных задач. М.: Наука, 1987. 360 с.
4. Groetsch C.W. Regularization with linear equality constraints // Lect. Notes Math., 1986. № 1225. P. 168Ч181.
5. Иванов В.К., Васин В.В., Танана В.П. Теория линейных некорректных задач и ее приложения. М.: Наука, 1978. 206 с.
6. Вайникко Г.М., Веретенников А.Ю. Итерационные процедуры в некорректных задачах. М.: Наука, 1986.
179 с.
7. Вержбицкий В.М. Основы численных методов. М.: Высш. шк., 2002. 840 с.
8. Шафиев Р.А. Псевдообращение операторов и некоторые приложения. Баку: Элм, 1989. 152 с.
9. Шафиев Р.А., Ястребова И.Ю. О выборе параметров в методе регуляризации LЦпсевдообращения // Известия вузов. Математика, 2001. № 11. С. 71Ч76.
10. Крейн С.Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве. М.: Наука, 1967.
464 с.
11. Садовничий В.А. Теория операторов. М.: Высш. шк., 1999. 368 с.