Geum.ru
   Авторефераты по всем темам  >>  Авторефераты по физике  

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ОБРАЗОВАНИЯ

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

УНИВЕРСИТЕТ ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ,

МЕХАНИКИ И ОПТИКИ

На правах рукописи

УДК 535.317.2 + 535.317.6

Смирнов Александр Павлович

Методика расчетов оптических систем с плоскостной симметрией

Специальности: 05.11.07 - Оптические и оптико-электронные приборы и 

комплексы

  01.04.05 -  Оптика

 

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание учёной степени

доктора технических наук

Санкт-Петербург

2008

Работа выполнена в Санкт-Петербургском Государственном Университете

Информационных Технологий, Точной Механики и Оптики

на факультете Оптических Информационных Систем и Технологий (ФОИСТ)

на кафедре Компьютеризации и Проектирования Оптических Приборов (КиПОП)

Научный консультант

Доктор технических наук,

профессор С.М.Латыев

Официальные оппоненты:

доктор технических наук  М.А.Ган

доктор технических наук  М.Н.Сокольский

доктор технических наук В.А.Зверев

Ведущая организация: Государственный Оптический Институт им. С.И.Вавилова

(г. Санкт-Петербург)

Защита состоится У_____Ф____________2008 г. в _________часов

На заседании диссертационного совета Д.212.227.01. УОптические и оптико-электронные приборы и комплексыФ Санкт-Петербургского Государственного Университета Информационных Технологий, Точной Механики и Оптики по адресу: 197101, г. Санкт-Петербург, пер. Гривцова, д.14.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке университета.

Автореферат разослан У________Ф_________________2008 г.

Ваши отзывы и замечания по автореферату (в двух экземплярах), заверенные печатью, просим направлять в адрес университета:

197101, г. Санкт-Петербург, Кронверкский пр., д.49, секретарю диссертационного совета.

Учёный секретарь диссертационного

совета, кандидат технических наук, доцент  В.М.Красавцев

  1. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Методика расчёта оптических систем, как осесимметричных, так и с плоскостной симметрией, на первом этапе при получении исходной схемы из бесконечно тонких элементов базируется на системе алгебраических уравнений, выбор которых связан с набором аберраций третьего порядка, подлежащих исправлению. На втором этапе, следующее приближение, производится учёт толщин и аберраций высших порядков и вычисление конструктивных параметров. На третьем этапе, на основании тригонометрического расчёта по соответствующим программам, осуществляется численная оценка аберраций по критериям качества изображения, например, по частотно-контрастной характеристике. Выбранные критерии качества изображения являются целевыми функциями, оптимизация которых осуществляется, автоматизировано в рамках выбранной программы расчёта, с применением численных методов нахождения направления движения к оптимуму. Численное дифференцирование, применяемое на стадии оптимизации оптической системы, неизбежно обладает ошибкой дискретизации. Кроме того, задача оптимизации в общем случае не является выпуклой, поэтому обычно требуется многократный расчёт хода лучей с возвратом к первому этапу расчёта, в том числе и при каждом вычислении приращения целевой функции, положительного и отрицательного, при численном дифференцировании. Это обычно длительный процесс, занимаемый до 90% всего времени расчёта оптической системы.

Предлагаемая методика призвана усовершенствовать второй и третий этапы расчёта, создания реальной оптической системы и её оптимизации, на основе точных аналитических зависимостей, связывающих параметры оптической системы с целевыми функциями, построенными  с помощью разработанной в данной диссертации теории полурезкого изображения оптической системы, осесимметричной или с плоскостной симметрией.

Цели и задачи работы.  Целью являлось разработать теории оптических систем с плоскостной симметрией: параксиальную, аберрационную, теорию построения изображения, которые позволили бы адекватно описать преобразование нормальной системы лучей, то есть образующих нормальную конгруэнцию, с помощью оптических поверхностей второго порядка, ось симметрии которых занимает в меридиональной плоскости произвольное пространственное положение относительно преобразуемого ими пучка лучей.

  Другой целью являлась разработка методики расчёта оптики,  не требующей операции доводки системы с помощью расчёта хода лучей, поскольку глобальная стационарная область достигается на стадии оптимизации при использовании точных целевых функций. 

Достижение поставленных целей сопровождалось решением следующих задач:

  1. Получение точных выражений угловых эйконалов для оптических  поверхностей типа коникоида, имеющих произвольное пространственное положение во внешней системе координат.
  2. Разработка теории абсолютной оптической системы, то есть системы строящей стигматическое, но не подобное предмету изображение,  с плоскостной симметрией.
  3. Построение удобной модели для исследования произвольной оптической системы, позволяющей проверять аналитические выводы.
  4. Исследование разработанных теорий при аберрационном анализе оптических систем как осесимметричных, так и с плоскостной симметрией.
  5. Вывод соотношений параксиальной оптики в случае наклонной или параллельно смещённой оптической оси.
  6. Апробация  предлагаемой методики расчёта оптики на конкретном примере.

Научная новизна. Научная новизна выполненных исследований заключается в том, что в них впервые

  1. Получены точные выражения для угловых эйконалов коникоида.
  2. Разработана теория абсолютной оптической системы с плоскостной симметрией.
  3. Получены аналитические выражения для вычисления астигматических характеристик наклонных пучков, а также выражения, пригодные для анализа астигматизма косых лучей.
  4. Получены соотношения параксиальной оптики наклонных лучей.
  5. Разработана методика аналитического описания  полурезкого изображения.

Достоверность и обоснованность теоретических результатов подтверждается исследованиями на протестированной модели оптической системы и прямым расчётом апробированной оптической системы (склеенного объектива), взятой из каталога и значительно улучшенной по её аберрационным характеристикам с сохранением эксплуатационных требований, а также актом использования научных результатов работы в космическом проекте УОЗИРИСФ.

Практическая значимость.  Методика расчёта оптики, основанная на точном выражении углового эйконала, позволяет использовать в качестве корригируемых функций выражения, точно описывающие аберрационные характеристики изображения и не требующие дополнительного этапа улучшения системы путём расчёта хода лучей. Задача оптимизации оптической системы становится полностью автоматизированной. Таким образом, предлагаемая методика позволит сократить время поиска оптимального решения при конструировании оптических систем как осесимметричных, так и с плоскостной симметрией, а также повысить характеристики рассчитываемых систем.

Научные положения, выносимые на защиту:

  1. Функция углового эйконала коникоида в произвольном пространственном положении имеет точное аналитическое  описание.
  2. Характеристики астигматизма оптической поверхности второго порядка наклонных и косых узких пучков есть второе приближение в разложении функции углового эйконала в ряд Тейлора.
  3. Стигматическое преобразование пространств предмета и изображения системами с плоскостной симметрией есть дробно-линейное преобразование.
  4. Для оптической системы из одной и двух поверхностей с плоскостной симметрией существуют условия, позволяющие реализовать абсолютную оптическую систему в окрестности наклонного главного луча.
  5. Полурезкое изображение, построенное произвольной оптической системой, имеет аналитическое описание на основе свойств углового эйконала.
  6. Оптическая система может быть оптимизирована аналитически  на основе теории полурезкого изображения.

Апробация работы: Основные результаты докладывались на Международном оптическом конгрессе УОптика-XXI векФ, Санкт-Петербург 16-20 октября, 2006 г., опубликованы в 33 научных работах, в том числе 25 из которых в журналах, рекомендованных ВАК.

Объём и структура диссертации. Объём диссертации 243 страницы, диссертация состоит из семи глав, введения,  заключения и 8 приложений.

  1. СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ.

Во введении уточняются типы исследуемой в диссертации плоскостной симметрии: 1) плоскостная симметрия (ПС) относительно главного луча наклонного пучка в осесимметричной системе (ОС),  2) ПС с наклонными  или децентрированными поверхностями в системе с осевой симметрией, 3) брахитные системы, 4) обобщение брахитных ОС, в которых ПС обеспечивается произвольным смещением оптической поверхности в меридиональной плоскости или наклоном относительно оси, перпендикулярной  к  плоскости симметрии.

Одной из трудностей при исследовании ОС с ПС является отсутствие параксиальной теории, а, следовательно, и понятия зрачков таких систем, другая трудность связана с отсутствием аналитических соотношений для построения целевой (корригируемой) функции (отклика системы) на окончательном этапе оптимизации ОС.  Поскольку основным инструментом достижения поставленных целей является теория эйконала, то кратко рассмотрены выводы эйконалов из уравнения Гамильтона и обсуждены условия их применения, а также система уравнений относительно лучевых компонент на основе эйконалов Брунса.

Глава 1  является обзорной. Согласно литературным источникам все работы, затрагивающие наличие ПС в ОС, ограничиваются использованием теории аберраций Зейделя и разложением углового эйконала до невысоких степеней, что автоматически накладывает ограничения на величину децентрировки. Это направление достаточно долго и тщательно разрабатывалось в течении почти 100 летнего периода, начиная с работ Конради. Аналитический обзор и исследование приближённых методов анализа ОС, имеющих небольшую децентрировку выполнен Губелем Н.Н. В этой связи в главе 1 обсуждены идеи методов анализа аберраций децентрировки Конради, Слюсарева, Марешаля, Киути, Кокса и самого Губеля.  Из всех этих методик лишь методика Кокса обращалась к идее эйконала, к его разложению до пятого порядка. Аналитическое выражение разложения отсутствовало, а коэффициенты определялись численно, что вызывало обоснованную критику Губеля. В этом же направлении была выполнена и первая по данной тематике работа автора [1], в которой дан вывод разложения углового эйконала T по параметрам децентрировки x, y,  осевого смещения z и  углов наклона , оптической поверхности типа коникоида. Оно имеет вид

(1)  Здесь и лучевые компоненты падающего и преломлённого луча, R- вершинный радиус кривизны и A -  параметр деформации коникоида, - аппликаты плоскостей в пространствах предмета и изображения, для которых определён угловой эйконал. Функцию W можно рассматривать как волновую аберрацию децентрировки.  Поскольку угловой эйконал системы оптических поверхностей равен сумме угловых эйконалов её составляющих, то лучевая аберрация согласно известному свойству углового эйконала разъюстировки  выразится как

  (2)

где N - номер последней поверхности оптической системы.

Как видим, наличие явного выражения углового эйконала позволяет аналитически исследовать аберрации и по ним вести оптимизацию ОС.  Для вычисления передаточных коэффициентов частичных аберраций разъюстировки требуется определить следующие соотношения

  (3)

В общем случае, когда поверхность не последняя, , то угловой эйконал последней поверхности явно не зависит от разъюстировок предыдущих поверхностей. Чтобы выявить эту зависимость воспользуемся известными соотношениями для согласованных угловых эйконалов, связывающими промежуточные лучевые компоненты между поверхностями

(4)

Тогда  передаточные коэффициенты разъюстировок k-той поверхности запишутся в виде

(5)

имеет симметричный вид с взаимной заменой p и q.

В частности, располагая выражениями (5) можно провести компенсацию остаточных аберраций Зейделя. Так далее в главе на примере звёздного интерферометра [3] получена система уравнений относительно параметров подвижек поверхностей главного и вторичного зеркал, удовлетворяющих условии минимизации остаточных аберраций.

  Этот результат можно рассматривать как развитие идеи Кокса использования разложения углового эйконала и иллюстрацию полезного использования явного вида углового эйконала. Задача в такой постановке, т.е. с использованием разложения, не имела продолжения, поскольку в дальнейшем предполагалось найти точное выражение углового эйконала.

Плоскостная симметрия используется при описании астигматизма ОС с помощью инвариантов Гульстрандта-Юнга. Русинов М.М. в монографии УТехническая оптикаФ использует их для построения теории солинейного сродства, а точнее, варианта параксиальной оптики с наклонной оптической осью. При этом сама модель солинейного сродства, т.е. абсолютная оптическая система, описываемая дробно-линейными преобразованиями, в этом построении отсутствует.  Такой подход внутренне противоречив. Основное противоречие как раз связано с наличием двух фокусов: меридионального и сагиттального, тогда как параксиальная система как приближение теории солинейного сродства, или абсолютной оптической системы, должна иметь один фокус. Далее рассмотрена теория волновых аберраций ОС с ПС американского исследователя Сесяна. В своей постановке она сформулирована с общих позиций, но  её решение с помощью аберраций третьего порядка Зейделя и инвариантов Гульстранда-Юнга ограничено малыми значениями децентрировок.

В конце главы дан обзор работ автора, посвящённых методам анализа оптических систем при когерентном и частично-когерентном освещении

Выводы из главы 1.

  1. Все рассмотренные теории, учитывающие плоскостную симметрию оптических систем, направлены на расчёт аберраций децентрировки осесимметричных систем. Теория солинейного сродства Русинова создана на основе интуитивных аналогий с осесимметричным случаем и требует доработки.
  2. Базой всех рассмотренных теорий является разложение эйконалов, что ограничивает точность результатов, полученных с их помощью.
  3. Очевидна насущная необходимость в получении точного аналитического выражения эйконалов оптических поверхностей наиболее общего вида и положения, а также в разработке теории солинейного сродства для систем с плоскостной симметрией.

Глава 2 посвящена выводу точных выражений для угловых эйконалов оптической поверхности второго порядка (коникоида, т.е. поверхности, полученной вращением коники относительно одной из осей симметрии). Поверхность коникоида может быть обобщена на асферическую поверхность с помощью представления конической постоянной в виде разложения ki по радиальной координате поверхности в локальной системе координат с вершиной в полюсе (R- вершинный радиус кривизны) и осью аппликат, совпадающей с осью симметрии поверхности:

  (6)

Первоначально эйконалы были введены Брунсом на основе характеристических функций в уравнении Гамильтона, т.е. имели геометрическую природу. В волновой оптике эйконал вводят как обобщение решения  волнового уравнения в части  его фазового множителя, а именно: представляют решение следующим образом: , где  k - волновое число, n - показатель преломления, с - скорость света.  Подстановка представленного в таком виде волнового поля в качестве пробного решения в волновое уравнение приводит к двум дифференциальным уравнениям, одно из которых имеет вид:  и далее к дифференциальному уравнению эйконала как скалярной функции пространства: при условии, малости длины волны . Однако область использования эйконала может быть, очевидно, расширена. Как следует из приведенного дифференциального уравнения уравнение эйконала  справедливо, если  выпол-

Рис.1. К определению общей формулы углового эйконала. (X0, Y0, Z0), (X1, Y1, Z1), (X2, Y2, Z2) - взаимно коллинеарные координатные системы, связанные соответственно с поверхностью, пространствами предмета и изображения, AP, BPТ - лучевые вектора падающего и преломлённого лучей.

няется уравнение Пуассона относительно амплитудной функции волны . 

  Угловой эйконал представляет собой приращение эйконала для точек на преломлённом и падающем лучах, являющихся основаниями перпендикуляров из начал координат произвольных взаимно коллинеарных систем в пространствах предмета и изображения: T=n[AB]+nТ[BC] (рис.1).

После преобразований получим:

  (7)

Выражение составляет ядро эйконала, общее для всех эйконалов поверхности. Основное преобразование эйконала осуществляется относительно его ядра и представляет собой исключение пространственных переменных , координат точки поверхности. В качестве независимых переменных углового эйконала выступают поперечные компоненты лучевых векторов .

Рис.2. К построению углового эйконала двух поверхностей.

Угловой эйконал системы поверхностей строится по подобию углового эйконала двух поверхностей.  Одну из поверхностей выбираем основной, например, первую и полагаем, что координатная система второй оптической поверхности  (КСОП2)  параллельно смещена вдоль оси аппликат на величину L  относительно КСОП1 (рис.2). 

  КСОП выбирается таким образом, чтобы  формула поверхности имела наиболее простой вид, начало координат помещается либо в вершину, либо центр кривизны. В результате подвижек и наклонов поверхности, вызванных конструктивными соображениями или погрешностями положения, поверхность занимает относительно КСОП произвольное положение. Значение углового эйконала двух поверхностей есть функция поперечных угловых компонент в пространствах 0 и 3, предмета и изображения соответственно и представляет собой оптический путь [AD], расстояние между основаниями перпендикуляров, опущенных из начал координат o0 и о3. Оно выражается как сумма составляющих его оптических путей.   (8)

Здесь верхний индекс указывает на номер КСОП. В окончательном выражении ядра не имеют верхнего индекса, так как после исключения пространственных координат ядро инвариантно относительно параллельного сдвига КСОП. В окончательном выражении эйконала пространство предмета, скалярное произведение , представлено в КСОП1, а пространство изображения, - в КСОП2. Кроме того, появился дополнительный член , отображающий промежуточное пространство.

  Заметим, что выбор начал координат промежуточных пространств не отражается на окончательном выражении углового эйконала.

Исключение пространственных координат из выражения эйконала происходит на основе формулы поверхности и закона преломления, которые имеют вид системы из одного нелинейного и двух линейных уравнений:

,

(9)

Здесь c=cos(), s=sin(). Для осесимметричного коникоида достаточно рассмотреть наклон в одной из меридиональных плоскостей. Пусть это будет плоскость OYZ. Обозначим угол наклона в этой плоскости . (NX,NY,NZ) - вектор нормали в точке преломления, - лучевые векторы, - показатели преломления соответственно до и после поверхности, - углы падения и преломления.

  Для своего решения система (9) требует чрезвычайно громоздких много- ступенчатых преобразований и они не были выполнены раньше, по-видимому, вследствие их УбесперспективностиФ. Для наклонного коникоида с конической постоянной полученное решение имеет вид

  (10)

В частном случае выражение для осесимметричного коникоида при = 0:

(10а)

Здесь Z и ZТ аппликаты начал систем координат в плоскостях предмета и изображения, .

  Выражение углового эйконала наклонного параболоида:

  (11)

Выражения эйконалов при децентрировке на величину h связаны аддитивной добавкой:

(12) 

Для плоской поверхности, как телескопической системы, угловой эйконал не определён. Плоская поверхность, ориентированная в пространстве нормалью N,  описывается смешанной характеристикой , где A - точка в пространстве предмета, В - точка пересечения лучом  поверхности, находится из уравнения , где - лучевой вектор падающего луча, а точка изображения в плоскости Z=zТ имеет координаты

  (13)

Выводы из главы 2.

  1. Точные формулы углового эйконала коникоида имеют два вида: для параболоида и для остальных типов коникоидов.
  2. Децентрировка поверхности описывается смещением начала координат  в пространствах предмета и изображения и не отражается на УядреФ формулы, зависящем от углов наклона и не зависящем от параллельного смещения поверхности.
  3. Формула углового эйконала для асферической поверхности может быть построена с помощью введённой в данной главе асферики третьего рода, согласно которой коническая постоянная есть функция полярного радиуса.

Глава 3 посвящена исследованию параксиальных свойств наклонных лучей с использованием точного выражения углового эйконала.

  1) Получены обобщённые выражения, аналогичные инвариантам Гульстрандта-Юнга, для параксиальной оптики наклонных лучей в тангенциальном и сагиттальном приближении, справедливые для коникоида.

2) Дан вывод выражений для вычисления кривизны фокальных поверхностей в меридиональном сечении. Проведены расчёты положений меридиональных и сагиттальных фокусов, а также  главных точек оптической поверхности при наклонном падении лучей на множествах апертурных и полевых лучей. Построены графики фокальных и главных поверхностей в зависимости от угла наклона главного или апертурного луча пучка.

3) Исследована аберрация  астигматизма в функции апертурного или полевого угла, зависимость среднего астигматизма от конической постоянной. Получены выражения для вычисления астигматической разности коникоида и наклона фокальных плоскостей, плоскости изображения в зависимости от угловой координаты луча. Рассмотрен пример оптимизации по критерию минимума астигматической разности аберраций линзы иммерсионного объектива Амичи. Получены и обсуждены выражения для суммарных аберраций: дисторсии, комы, сферической аберрации.

  4) Получены выражения и проведены расчёты астигматической разности  для косых лучей.

  Для исследования астигматических свойств наклонного узкого пучка лучей, заданного лучевыми компонентами: , лежащего в бесконечно малой окрестности главного луча, который наклонно падает и преломляется на оптической поверхности в меридиональной плоскости (лучевые компоненты  преломлённого пучка соответственно находятся в бесконечно малой окрестности преломлённого главного луча: ) угловая характеристика сферической поверхности отнесена к координатным системам в пространствах предмета и изображения с началами в точках А(0,0,s) и АТ(0,0,sТ).  Воспользуемся известным свойством углового эйконала :

(14)  Представим в (14) угловой эйконал линейными членами ряда Тейлора в точке (0,q,0,qТ) меридиональной плоскости (p=pТ=0) и  перепишем их в виде  системы  уравнений, в которых  нижние индексы указывают на номер аргумента и порядок дифференцирования: 

. (15)

В точке (0,q,0,qТ) меридиональной плоскости первые горизонтальные производные и часть смешанных вторых производных, содержащих дифференцирование по p и pТ, равны нулю: Т1000=Т0010=Т1100=Т1001=Т0110=Т0011=0.  В этом случае система из четырёх уравнений (15) распадается на две независимых подсистемы по два уравнения относительно вертикальных и горизонтальных компонент. Их решения относительно угловых компонент в пространстве предмета (, ) запишутся в виде

(16) 

Из (16) следует:  для того чтобы в первом приближении (xТ, yТ) были координатами стигматического (резкого) изображения, они не должны зависеть от угловых компонент, поэтому необходимым условием построения параксиальной оптики на основе коникоида будет удовлетворение системе уравнений

  (17)

Первое уравнение (17) описывает преобразования в сагиттальной плоскости, второе - в меридиональной плоскости. Аппликата переднего  фокуса Fz = s отвечает условиям    для сагиттальной плоскости и, соответственно, условиям - для меридиональной плоскости. Получаем выражения для передних меридиональных и сагиттальных фокусов (18) и задних фокусов (19), полагая FТz = sТ и учитывая,  что T0020=0, T0002 = 0.

  (18)

(19)

Здесь введены обозначения:

В случае, когда оптически сопрягаются точки предмета и изображения, находящиеся на конечном расстоянии. условия (17) запишется в виде аналогов соотношения Аббе для наклонных пучков, в меридиональной плоскости:

(20)

и сагиттальной плоскости:

  (21) 

Результаты, полученные с помощью соотношений (20), (21) для сферической поверхности полностью совпадают с результатами, полученными с использованием инвариантов Гульстрандта-Юнга. Это продемонстрировано на рис.3.

Рис.3. Графики сечений меридиональной (Um, Sm) и сагиттальной (Us,Ss) полей изображения осевой точки (S=-3r), сферой c радиусом r, ограниченной диафрагмой на сфере (D=0,4r)  и разделяющей воздух и среду с показателем преломления 1,5 в зависимости от апертурного угла. Графики Um, Us - рассчитаны с помощью инвариантов Гульстранда-Юнга , а графики Sm, Ss - рассчитаны с помощью соотношений (20) и (21).

  Параксиальные характеристики оптической системы с наклонными лучами  для меридиональной и сагиттальной плоскости строим по аналогии с осесимметричным случаем. Помещаем  аппликаты начал пространств предмета и изображения в точки фокусов:

(22)

  Преобразования координат поперечных координат запишутся в виде дробно линейных преобразований

  (23)

Величины fm, fmТ, fs, fsТ есть проекции фокусных отрезков на ось аппликат.

  Кривизна кардинальных поверхностей наиболее просто может  быть исследована в случае, когда плоскость падения совпадает с одной из меридиональных плоскостей оптической поверхности. Ограничимся этим случаем.  В случае осесимметричного расположения оптической поверхности главные и фокальные поверхности имеют осевую симметрию. Осевая симметрия сохраняется  для апертурных лучей при осевом положении точки предмета. Тогда исследование кривизны поверхностей сводится к исследованию кривизны кривых меридионального сечения, так как нормали к поверхности лежат в меридиональной плоскости. Кривизна кривой ,  -аппликата, а - ордината кривой сечения, определяется известным соотношением:. Используя связь , производные кривых запишем в виде

  (24)

Для примера на рис.4 представлены графики кривизны апертурных главных и фокальных поверхностей в пространстве изображения для сферической поверхности, разделяющей среды с показателями преломления 1 и 1,5, в предположении, что сама поверхность имеет кривизну в одну единицу.

Рис.4. Графики зависимости кривизны задних главных поверхностей от апертурного угла, меридиональной (а) и сагиттальной (б), а также задних фокальных  поверхностей, меридиональной (в) и сагиттальной (г).

  Астигматизм.  В литературе астигматизм определяется для полевых лучей как полуразность кривизны, тангенциальной и сагиттальной, фокальных поверхностей вблизи оптической оси. Обобщим это определение

Рис.5.  Астигматизм апертурных лучей () сферической поверхности (а) и коникоида (k=-0,423) (в) и зависимость среднего астигматизма апертурных лучей от конической постоянной (б).

и на апертурные лучи и введём усреднение по текущей разности кривизны:

(25)

Здесь черта обозначает среднее значение, С - коэффициент астигматизма.

  На рис.5а представлены расчёты астигматизма апертурных лучей по фокальным кривым (рис.4), получена величина среднего астигматизма,  Аs=-0,012. Варьируя постоянной коникоида (рис.4б), находим положение, когда средний астигматизм равен нулю. Соответствующая кривая астигматизма в зависимости от апертурного угла приведена на графике (рис.4в). Астигматическая разность Зейделя, как аберрация третьего порядка определяется на заданной высоте от оптической оси в пространстве изображения. В общем случае эти точки на фокальных поверхностях построены лучами, имеющими разные полевые углы. В данном же случае целесообразно рассматривать уровни фокальных поверхностей по одному значению полевого (или апертурного) угла.  Используя соотношения (20) и (21), мы определяем величины меридиональных и сагиттальных задних отрезков и как их разность, проекцию на ось OZ астигматической разности по главному лучу. Несмотря на указанное различие обе характеристики, астигматическая разность Зейделя и проекция наклонной астигматической разности для полевых углов, очевидно,  эквивалентны как критерии оптимизации.

  Для произвольной плоскости предмета и системы, заданной множеством угловых компонент, астигматическую разность как функцию параметров системы запишем в виде

(26)

  Функция (26) определена на множестве гиперплоскости пространства угловых компонент {q,qТ,m,mТ}, определяемом структурой оптической системы..

  Наклон изображения. С помощью аналогов соотношения Аббе (21) получим  аналитические выражения для вычисления заднего отрезка, меридионального sТm и сагиттального, sТs  и определим наклон изображения как тангенс угла  наклона к плоскости OXY касательных к соответствующим фокальным кривых

  (27)

Рис.6. Положение точек меридионального и сагиттального изображения, построенного наклонными лучами от точечного предмета, расположенного под углом 5о к оптической оси (а). Зависимость тангенса угла наклона меридионального и сагиттального изображения этой же точки от угла наклона луча к оптической оси (б). Поверхность - сфера, R=100мм, передний отрезок S=-300мм.

  На рис.6 приведены графики положения апертурных меридиональной и сагиттальной поверхностей изображения и наклон изображения, рассчитанный по (27). 

Методика исследования астигматизма наклонных лучей, применённая выше для меридиональных пучков, может быть использована и для косых лучей. Для косых пучков, то есть пучков, главный луч которых по отношению к оси поверхности является скрещивающимся, система (15) не разбивается на две подсистемы. Для того чтобы удовлетворить требованию стигматичности пучков, необходимо потребовать независимости свободного столбца системы (15) от вектора-столбца угловых компонент. Это условие удовлетворяется, если определитель системы равен нулю. Если полагать, что передний отрезок задан, то в результате определитель системы, приравненный нулю, даёт уравнение относительно заднего отрезка.

Используя известные свойства определителя, нижний левый 2х2-квадрат коэффициентов обнуляем. В результате получаем в неявном виде квадратное уравнение, содержащее искомое неизвестное - задний отрезок, от которого зависят производные Т0020(sТ), Т0002(sТ) и T0011(sТ).

(28) 

  Преобразуем (28) к явному виду

(29) 

  Два решения (29) на множестве пар угловых компонент, на гиперплоскости системы, образуют две фокальные поверхности: (меридиональную) в вертикальном и (сагиттальную) в горизонтальном приближении угловых компонент. Весь же косой пучок фокусируется на отрезке между этими поверхностями. Длина каждого отрезка равна астигматической разности данного косого бесконечно узкого пучка.

  В качестве примера рассмотрены каустики, образованные широким наклонным пучком, преломляющемся на сфере с радиусом R=1, полевой угол =5о, входной зрачок находится в плоскости, касающейся вершины сферы, Плоскость предмета помещается в апланатическую точку сферы: . Пучок разбивается на 5 полых конусов, опирающихся на эквидистантные концентрические окружности на входном зрачке. Фокальные поверхности, развёрнутые по этим окружностям (верхняя часть) и соответствующая астигматическая разность (нижняя часть) представлены на графиках рис.7.

  Рис.7. Значения аппликат точек двух фокальных поверхностей для лучей широкого пучка, образующих 5 концентрических окружностей  на передней главной плоскости (вверху). Соответствующая астигматическая разность (внизу). Гауссова плоскость изображения - 2,5 r.

Численно астигматическая разность рассчитывалась для каждого косого луча, проходящего через пять концентрических окружностей, на входной поверхности и расположенных равномерно по этим окружностям: на первой окружности - 6 лучей, второй - 12, третьей - 18, четвёртой - 25 и пятой - 31 луч. На рис.3.15 эти окружности выделены вертикальными полосами. Радиусы окружностей составляли от 0,1r до 0,5r, где r - радиус поверхности.

По оси абсцисс отложены обороты. Меридиональная плоскость находится на расстояниях (/2)  и  (3/2) от границ полных оборотов лучей по окружностям. На первой окружности меридиональная плоскость не попала в число 6 лучей, а на последующих минимумы соответствуют положению лучей на меридиональной плоскости, первый из наиболее глубоких минимумов соответствует ближнему к внеосевой точке предмета лучу, в последний минимум в полосе - дальнему меридиональному лучу. Из графиков видно, каких значительных величин достигает астигматическая разность для косых лучей.

Выводы из главы 3.

  1. Полученные экстремальные соотношения для параксиальной оптики наклонных лучей в тангенциальном и сагиттальном приближении для коникоида являются удобным инструментом анализа аберраций астигматизма, кривизны поля изображения, наклона изображения для любых типов лучей, наклонных и косых.
  2. Точное выражение углового эйконала позволило расширить возможности анализа астигматических поверхностей. Если в рамках теории Зейделя они описываются одним параметром, кривизной на оптической оси, то с помощью эйконала они имеют полное аналитическое описание.
  3. Впервые появилась возможность исследовать наклон астигматических поверхностей и их свойства для косых лучей. Получены формулы точных интегральных аберраций.
  4. Так как в основе анализа лежит угловой эйконал, то развитая в этой главе теория астигматизма одной поверхности автоматически обобщается на любую оптическую систему, для которой известен её угловой эйконал.

В главе 4  построена теория системы с плоскостной симметрией  на основе  дробно-линейных преобразований, являющейся моделью абсолютной оптической системы. Основное внимание уделено нормальной конфигурации системы, в которой главные плоскости и плоскости предмета и изображения перпендикулярны оси аппликат коллинеарной системы.

  Согласно проективному, или дробно-линейному, преобразованию каждая из координат изображения (x1,y1,z1) есть дробно-линейная взаимно однозначная функция координат предметной точки (x0,y0,z0) (30).

  Приравнивая нулю те или иные коэффициенты преобразований, можно получить требуемую систему. Модель абсолютной оптической системы с плоскостной симметрией имеет в общем случае 9 степеней свободы

(30)

(). Требование изоморфизма увеличений отнимает одну (), переход к нормальной конфигурации - две степени (), переход к осесимметричному случаю () - ещё две. Телескопическая анаморфотная конфигурация имеет 7 (), а изоморфная - 6 степеней свободы.

Рис.8. Положение фокальных, главных плоскостей и кардинальных точек в абсолютной оптической системе с плоскостной симметрией. На верхнем рисунке пространства предмета и изображения вложены друг в друга, на нижнем они отнесены к началам в точках фокусов. - главные, - узловые точки.

  На рис. 8 изображена нормальная конфигурация абсолютной оптической системы с плоскостной симметрией. Фокуса находятся на пересечении  в общем случае наклонных оптических осей с осью аппликат в точках , углы наклона оптических осей: . Проекции фокусных отрезков на ось аппликат: Преобразования координат в косоугольных координатах, связанных соотношениями:

имеют вид внешне не отличающийся от осесимметричного случая. Плоскостная симметрия отражена коэффициентами и . Углы наклона оптической оси в пространствах предмета и изображения соответственно выразятся формулами

. (31)

  Выводы из главы 4:

  1. В рамках абсолютной оптической системы с плоскостной симметрией можно проводить исследование линейной дисторсии из-за наклона элементов системы (в реферате не отражено).
  2. При выборе двух косоугольных систем координат в пространствах предмета и изображения с началами на фокальных плоскостях и продольными осями, направленными по наклонным оптическим осям, преобразования осуществляются по формулам, внешне похожими на формулы для осесимметричной системы, если вместо косых фокальных расстояний использовать их косые проекции на ось аппликат.
  3. Система, изначально изоморфная по линейному увеличению, проявляет анаморфизм углового увеличения, возрастающий по мере роста разности  модулей углов наклона оптической оси, в пространствах предмета и изображения (в реферате не отражено).

В главе 5 на основе сопоставления свойств коллинеации с плоскостной симметрией и характеристик реальных оптических поверхностей, описываемых точным выражением углового эйконала,  исследованы принципы реализации параксиальных оптических систем, являющихся приближением абсолютной оптической системы.

  Угловую характеристику как функцию четырех угловых компонент оптического луча  представим разложением в ряд Тейлора до второго порядка в окрестности угловых компонент главного луча, принимаемого за оптическую ось, в меридиональной плоскости, совпадающей с плоскостью симметрии оптической системы OYZ:

(32)

Здесь p и q соответственно X и Y-оптические компоненты произвольного луча в пучке, Q0 и Q1 - оптические направляющие косинусы главного луча относительно оси ординат, индекс 0 относится к пространству предмета, а индекс 1 - к пространству изображения. Коэффициенты разложения есть частные производные углового эйконала по соответствующим переменным в точке (0,Q0,0,Q1).

При этом согласно свойству эйконала будут выполняться следующие дифференциальные уравнения:

  (33)

Для установления связи между координатами изображения и предмета с помощью угловой характеристики дифференцируем (32) с учетом (33), получаем систему уравнений.

  (34)

Исключив из получившейся системы уравнений  величину q1, получаем зависимость ординат в пространствах предмета и изображения в виде (35).

  Поскольку координаты стигматического изображения не должны зависеть от угловых компонент, то с необходимостью второе слагаемое в (35) полагаем равным нулю. В результате этой операции установим зависимость

(35)

между Z-координатами предмета и изображения и устанавливаем положение аппликат переднего F0  и заднего F1 фокусов:

(36)

где М0, М1 - z-угловые компоненты оптической оси в пространствах предмета и изображения, соответственно. Выберем две системы координат с началами в точках аппликат фокусов, положив ,

тогда зависимость между Z-координатами предмета и изображения будет иметь вид: В частности, это соотношение выполняется для главных плоскостей: , тогда для Z-проекций фокусных расстояний f0 и f1  справедливо следующее равенство

(37)

  Следовательно, для аппликат точек предмета и изображения справедливо  соотношение Ньютона:  Соотношение (35) (без второго нулевого слагаемого), если ввести обозначения перепишется в виде

  (38) 

При этом между параметрами АОС2 и коэффициентами разложения углового эйконала установим следующие соответствия:

(39)

Таким образом, проблема реализации параксиальной оптической системы сводится к решению системы уравнений:

(40)

В первой части главы показано, что использование разложения углового эйконала при решении системы (40) недостаточно для построения реальной, необходимо точное выражение углового эйконала.

  На рис.9. изображена рассчитанная система для случая сферической поверхности, имеющей наклон к оси аппликат 5о.

Рис.9. Параксиальная схема с наклонными оптическими осями.

  На рис.10. представлены графики плотности лучей в плоскости параксиального фокуса, соответствующие семейству лучей, равномерно распределённых по концентрическим окружностям на входном зрачке (рис.10а). Главный луч, идущий вдоль оптической оси, пересекает ось аппликат в заднем фокусе, а все остальные лучи пучка расположены по одну сторону от него. Изображение осевой точки обладает несимметричной положительной аберрацией, СКО которой почти линейно изменяется в зависимости от величины светового диаметра на входном зрачке (рис.10б).

  В качестве примера использования двух поверхностей при построении оптической системы с плоскостной симметрией  рассмотрена схема изображающего звёздного интерферометра, скомпонованного около обзорного телескопа на основе предфокальной укорачивающей системы двухзеркальных телескопов. Главные зеркала ветвей интерферометра расположены на периферии главного зеркала обзорного телескопа (рис.11).

Рис.10. Графики плотности лучей в плоскости параксиального фокуса (а) и зависимость СКО суммарной аберрации в параксиальном фокусе от величины светового радиуса пучка на входном зрачке (б).

Рис.11. Схема изображающего звёздного интерферометра,

ГЗ - главные зеркала, ВЗ - вторичные зеркала, ПИ - плоскость изображения.

В начальном положении использована брахитная схема относительно главного и вторичного зеркал модулей интерферометра. В результате габаритного расчёта получены следующие характеристики: вершинные  радиусы кривизны - R1=-1, R2=0,4, алгебраическое расстояние между зеркалами - L=-0,3, эффективный диаметр главного зеркала - D1=0,1. Конические постоянные выбраны по критерию апланатизма: k1=-6,3, k2=4,3. Решение системы, аналогичной (40),  согласования параметров коллинеации и параксиальной системы с наклонными оптическими осями, направление которых задано начальной брахитной схемой, представлено на рис. 12. В качестве свободного параметра выбрана децентрировка главного зеркала.

  Рис.12. Зависимости параметров АОС2 от свободного параметра, поперечного смещения главного зеркала: а) угла наклона главного зеркала, б) ординаты начала координат в пространстве изображения, в) поперечного смещения вторичного зеркала, г) угла наклона вторичного зеркала.

Для одного из решений:

проведено сравнение аберрационных характеристик брахитной и

рассчитанной параксиальной схем (рис.13). В отличие от графиков (а,б),

где использовалась брахитная схема модулей, эллиптическая форма аберрационного пятна на (в,г) не меняется по полю. Поле изображения практически плоское: , а разность дисторсий для двух модулей , тогда как аналогичные характеристики для неисправленной схемы составляют: Кривизна поля уменьшена в 40 раз, а разность дисторсий - в 5 раз, а именно эти аберрации являются ограничивающим фактором при разработке звёздных изображающих интерферометров.

Рис.13. Распределение лучей в плоскостях изображения брахитной апланатической системы  (а,б) и рассчитанной параксиальной системы (в,г) двухзеркального телескопа. Графики на (а,б) получены в плоскостях наилучшей наводки, графики на (в,г) в расчётной параксиальной плоскости.

  Заметим, что при этом никаких специальных операций по минимизации кривизны поля и изменения дисторсии не проводилось. Как и ожидалось, параксиальная схема относительно наклонной оптической оси привела к улучшению осесимметричных свойств наклонного изображения. Кроме того, не проводилось и расчётов хода лучей через систему, вся система и положение кардинальных точек и изображения, подвижки зеркал были указаны аналитически в результате решения системы уравнений.

Выводы из главы 5.

  1. Использование приближённой формулы углового эйконала не позволяет построить параксиальную абсолютную оптическую систему вследствие ограничений на величину подвижек оптической поверхности. Решение задачи возможно только с применением точной формулы эйконала возмущённой поверхности.
  2. Существует множество решений при построении параксиальной АОС2 на основе одной оптической поверхности. Наиболее простое решение достигается при выборе фокусных отрезков в качестве свободных параметров.
  3. Аберрационное пятно параксиальной АОС2 на основе одной поверхности несимметрично. Оно расположено по одну сторону от идеального изображения. Аберрационное пятно в случае двух поверхностей обладает симметрией относительно оптической оси. Оно имеет овальную форму .
  4. Построение АОС2 в случае двухзеркальной системы позволило улучшить аберрационные характеристики, дисторсия уменьшена в 5 раз, кривизна поля изображения - в 40 раз, по сравнению с аналогичной брахитной системой.
  5. Выбор оптимальных подвижек параксиальных АОС2 и расчёт характеристик системы, положение фокусов, кардинальных точек направлений оптической оси, осуществляется аналитически без применения программ расчёта хода лучей.

  Глава 6 посвящена разработке аналитического метода аберрационного расчёта оптической поверхности для нормальной системы лучей. В основе метода лежит  точное выражение углового эйконала, его дифференциальные свойства и известное положение, что полурезкое изображение точечного предмета оптической поверхностью лежит на побочной оси XXТ (рис.14),

Рис.14. Преломление лучей внеосевой точки предмета на коникоиде.

соединяющей точку предмета и центр кривизны поверхности в точке преломления.  Зная положение побочной оси, и используя выражение координат точки изображения через производную углового эйконала, можно определить множество полурезких изображений следующим образом:

  (41)

  На рис.15 представлены результаты расчёта по формуле (41) плотности точек полурезкого изображения внеосевой точки предмета для сферы (а), параболоида (б) и гиперболоида (в)

Рис.15. Зависимости продольной плотности множества  изображения внеосевой точки предмета (передний отрезок S=-300 мм, вершинный радиус поверхности R=100мм) от величины заднего отрезка. На графиках указаны значения конической постоянной (k), угла поля зрения () и коэффициент продольной асимметрии. Вертикальными штриховыми линиями отмечены положения максимальной плотности и среднего значения.

Коэффициент продольной асимметрии рассчитан по формуле

(42)

Здесь N - общее число лучей в пучке.

Коэффициент продольной асимметрии характеризует форму кривой плотности точек изображения. Плоскость максимальной плотности точек изображения обычно не совпадает с плоскостью максимальной плотности лучей, поскольку кроме точек изображения в плоскости изображения присутствует фон в виде лучей, строящих изображение в других плоскостях. Если плотность лучей в изображении точки оценивать с помощью среднеквадратического отклонения (СКО), то для сравнения на рис. 16 приведены распределения координат лучей в плоскостях максимальной плотности (а) и плоскости минимального СКО для внеосевой точки изображения (б). С точки зрения энергетики, если плотность лучей ассоциировать с плотностью энергии, то предпочтение в выборе плоскости наводки следует отдать случаю максимальной плотности точек изображения.

Рис.16. Распределения координат лучей  в плоскостях изображения внеосевой точки предмета (передний отрезок S=-300 мм, вершинный радиус поверхности R=100мм, полевой угол  =5о).

Выводы из главы 6.

  1) Точный аберрационный анализ  изображения точечного предмета в плоскости сечения может быть проведён с использованиемточных выражений углового эйконала поверхностей вращения второго порядка. 

  2) Оптимизация системы может быть проведена по критерию минимума  продольной аберрации с учётом дисторсии и асимметрии изображения.

  Глава 7 посвящена проверке методики расчёта и оптимизации оптических систем, развитой в главе 6. Для примера рассмотрен расчёт склеенного объектива для телескопической системы. Аналогом служил объектив из каталога. Поскольку расчёт множества полурезких изображений для заданной схемы  происходит аналитически, то выбор параметров исходной схемы проводился прямым перебором всех возможных сочетаний пар стёкол из каталога. Уже на этой стадии были получены объективы, превосходящие аналог по продольной хроматической и продольной аберрации полурезкого изображения. На следующем этапе по критерию минимума продольной протяжённости множества полурезкого изображения методом градиентного спуска получен оптимальный объектив. В таблице представлены конструктивные параметры объектива-аналога и

Таблица. Параметры каталожного объектива (слева) и объектива, имеющего УабсолютныйФ оптимум по критерию минимума продольной протяжённости множества полурезкого изображения (справа). Поле зрения объективов 12о, диаметр  диафрагмы первой поверхности  24 мм.

рассчитанного объектива. Объектив МЛИ-1 имел протяжённость множества полурезкого изображения 165 мкм и продольную хроматическую разность 149 мкм. Соответствующие характеристики рассчитанного объектива - 85 и 114 мкм.

Рис.17. Распределение лучей в плоскости минимума СКО лучевой аберрации для точки предмета на краю поля зрения объектива МЛИ-1 (а) и рассчитанного объектива (б) и разность СКО плотности лучей данных объективов в зависимости от полевого угла (в).

Распределение лучей в плоскостях наилучшей наводки для полевой точки предмета при 6о для сравниваемых объективов представлено на рис.17.

Там же приведена разность СКО плотности лучей для аналога и рассчитанного объектива в зависимости от полевого угла.

  Как видим, предложенный метод позволил улучшить интегральные аберрационные характеристики телескопического объектива, причём это достигнуто с использованием аналитического метода расчёта и оптимизации..

Выводы из главы 7.

  1. Основанный на точном выражении для углового эйконала оптической поверхности аналитический метод оптимизации оптических систем является достаточно эффективным и допускает полную  автоматизацию расчётов.
  2. Использование простых формул при определении положения множества точек изображения позволяет эффективно применять метод прямого перебора при улучшении характеристик оптических систем, рассчитанных и оптимизированных по другим методикам.

Заключение

  В работе была поставлена задача создания методики анализа и расчёта оптических систем с плоскостной симметрией. Предполагалось в основу положить разработку тех положений теоретической оптики, которые до последнего времени содержали пробелы. Не была развита теория коллинеации систем с плоскостной симметрией, поскольку не было перспективы её применения. Развитие такой теории было бы оправдано, если бы существовало выражение для углового эйконала оптической поверхности, имеющей, в результате перемещений в пространстве, плоскостную симметрию. Такого выражения также не существовало.

  Когда эти две задачи в данной работе были решены, то оказалось, что сфера применений точного выражения углового эйконала значительно шире узкой задачи создания аналога оптики Гаусса для наклонных лучей. Во-первых, появился инструмент для исследования свойств параксиальной оптики, более совершенный, чем инварианты Гульстрандта-Юнга, а во-вторых, процесс расчёта и оптимизации оптических систем, осесимметричных с плоскостной симметрией и других, перешёл в разряд аналитических. Единственное требование - это наличие точного выражения для углового эйконала оптических поверхностей системы - и оно было получено в данной работе.

Хочется надеяться, что применение развитых в данной работе теорий и методик даст новый толчок в исследовании свойств оптических систем и качества оптического изображения и приблизит  расчёт и оптимизацию оптических систем к чисто аналитическому процессу. Круг вопросов, которые могли бы быть рассмотрены с позиций точного выражения эйконалов, широк Ц  по сути, все положения современной вычислительной оптики.

Основные научные труды по теме диссертации.

  1. Смирнов А.П. Аберрации разъюстировки оптических систем, исследованные в рамках теории эйконала Зейделя// Оптика и спектроскопия. -1995. Т.78. №1. С.165-173.
  2. Смирнов А.П. Угловой эйконал коникоида// Оптика и Спектроскопия.  -2006. т.101, № 2.
  3. Смирнов A.П., Дёмин А.В., Серёгин А.Г., Канаев И.И., Сопряжение звёздного интерферометра с обзорным изображающим телескопом// Изв.ВУЗов. Приборостроение, -2006. Т.49. №1. С.48-52.
  4. Багров А.В., Лебедева Г.И., Лахтиков В.Б., Румянцев А.А., Серёгин А.Г., Смирнов А.П. Анализ оптических схем здёздного интерферометра ОЗИРИС// Оптический журнал. -2006, Т.73. №4.  с.93-101.
  5. Смирнов А.П. Идеальная оптическая система с двухсторонней симметрией// Оптика и спектроскопия. -2004. Т.97. В.6. С.1043-1049.
  6. Смирнов А.П. Оптика наклонных и косых лучей коникоида// Оптика и спектроскопия. -2006. Т.101. №3. С.502-510.
  7. Смирнов А.П. Аналитический метод аберрационного расчёта оптических систем// Оптика и спектроскопия. -2007. Т.102. №1.
  8. Смирнов А.П., Серёгин А.Г. Проектирование многозеркальных систем с плоскостной симметрией. Доклад на Международном оптическом конгрессе УОптика-XXI векФ,16-20 октября 2006 г. Санкт-Петербург.
  9. Смирнов А.П. Угловой эйконал и расчёт оптических систем. Доклад на Международном оптическом конгрессе УОптика-XXI векФ,16-20 октября 2006 г. Санкт-Петербург.
  10. Смирнов А.П. Метод Каули при анализе интерферометра с дифракционной решеткой. Оптика и спектроскопия, 1987, т.63, в.4, с.888-895.
  11. A.P.Smirnov Convolution formulation of diffraction for grating system, Proceeding of SPIE, Diffractometry and Scatterometry, Warsaw, Poland 24-28 may 1993, V.1991, p.87-94
  12. Смирнов А.П. Каскадные дифракционные системы при частично когерентном освещении: анализ методом свертки эффектов Тальбота и Лау. Оптика и спектроскопия, 1986, т.61, в.4, с.821-827.
  13. Смирнов А.П. О безлинзовом оптическом преобразовании Фурье с помощью дырчатой маски и метода анализа интерферограмм на его основе в модифицированном интерферометре Тальбота. Оптика и спектроскопия, 1987, т.62, в.3, с.636-643.
  14. Смирнов А.П. Об измерении фокусного расстояния линз на основе эффекта Тальбота. Сравнительный аналитический обзор. Оптика и спектроскопия, 1993, т.74, в.1, с.202-209.
  15. Смирнов А.П. О возможности измерения аберраций в выходном зрачке оптической системы с помощью интерферометра поперечного сдвига с протяженным источником белого света. Оптика и спектроскопия, 1993, т.75, и.1, с.193-203
  16. Смирнов А.П. Влияние частичной пространственной когерентности на контраст саморепродуцированных изображений периодического транспаранта. Оптика и спектроскопия, 1986, т.61, в.3, с.618-623.
  17. Смирнов А.П. Теория формирования изображений Френеля периодических транспарантов неограниченных размеров. Оптика и спектроскопия, 1977, т.43, в.4, с.755-759.
  18. Смирнов А.П. Изображения Френеля периодических транспарантов конечных размеров. Оптика и спектроскопия, 1978, т.44, в.2, с.359-365.
  19. Смирнов А.П. Глубина фокусировки изображений Френеля. Оптика и спектроскопия, 1979, т.46, в.3, с.574-578.
  20. Смирнов А.П. Синтез промежуточных ракурсов на основе эффекта Тальбота. Оптика и спектроскопия, 1980, т.48, в.5, с.980-982.
  21. Смирнов А.П. Дифракционное поле Френеля плоских объектов с дискретным пространственным спектром. Оптика и спектроскопия, 1986, т.61, в.2, с.380-386.
  22. Смирнов А.П. Развитие  принципов построения датчиков волновых фронтов Тальбота: 1.Определение параметров поля в плоскости периодического транспаранта. Оптика и спектроскопия, 1986, т.61, в.5, с.1096-1101.
  23. Смирнов А.П. Способ определения параметров поля в пучке электромагнитного излучения. А.С.№1363938 от 1.09.1987 г.
  24. Смирнов А.П. Исследование физических принципов интенсивностной интерферометрии, основанной на эффекте Тальбота. Диссертация. ЛГУ, 1988.
  25. Смирнов А.П. Поле дифракции Френеля многорешетчатой системы при освещении точечным источником: многорешетчатый эффект Тальбота. Оптика и спектроскопия, 1990, т.69, в.2, с.435-440.
  26. Смирнов А.П. Об эффекте Тальбота для амплитудно-фазовых периодических транспарантов. Оптика и спектроскопия, 1990, т.69, в.5, с.1179-1182.
  27. Смирнов А.П. Дифракционно-ограниченные характеристики в методе муаровой интерферометрии Тальбота. Оптика и спектроскопия, 1991, т.70, в.1, с.136-141.
  28. Смирнов А.П. О контрасте и форме сигнала в растровой измерительной системе. Оптика и спектроскопия, 1991, т.70, в.5, с.1156-1162.
  29. Смирнов А.П., Гальперн А.Д. Влияние ошибок  периодического транспаранта на изображения Френеля. Оптика и спектроскопия, 1980, т.48, в.3, с.589-593.
  30. Смирнов А.П. Новый метод оценки погрешности приближения Френеля дифракционного интеграла в ближней области дифракции. Оптика и спектроскопия, 1992, т.73, в.5, с.989-998.
  31. Смирнов А.П. Компьютерное моделирование измерительных процессов. Практикум в среде MathCAD на примерах их механики и оптики. СПб, ГУ ИТМО, 2006 г., 99с.
  32. Смирнов А.П. Исследование погрешностей оптической системы на её модели, Приборостроение, №4, 2007, 51-55
  33. Смирнов А.П. Модель оптической системы в среде MathCad, Приборостроение, №4, 2007, 56-62.
   Авторефераты по всем темам  >>  Авторефераты по физике