Авторефераты по всем темам >>
Авторефераты по разное
На правах рукописи
УДК 531.352: 531.36:
534.01: 521.135 Бардин Борис Сабирович УСТОЙЧИВОСТЬ ДВИЖЕНИЯ И НЕЛИНЕЙНЫЕ КОЛЕБАНИЯ В ЗАДАЧАХ КЛАССИЧЕСКОЙ И НЕБЕСНОЙ МЕХАНИКИ
Специальность 01.02.01 теоретическая механика
АВТОРЕФЕРАТ
диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук
Москва 2008
Работа выполнена на кафедре теоретической механики Московского авиационного института (государственного технического университета) Научный консультант - доктор физико-математических наук, профессор Анатолий Павлович Маркеев
Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор Юрий Владимирович Баркин доктор физико-математических наук, профессор Алексей Владимирович Борисов доктор физико-математических наук, профессор Сергей Александрович Мирер Ведущая организация - Вычислительный центр им. А.А.Дородницына РАН
Защита состоится " 27 " июня 2008 г. в часов на заседании диссертационного совета Д 212.125.14 при Московском авиационном институте (государственном техническом университете) по адресу: 125993, г.
Москва, А-80, ГСП-3, Волоколамское шоссе, д.4.
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского авиационного института (государственного технического университета) по адресу: 125993, г. Москва, А-80, ГСП-3, Волоколамское шоссе, д.4.
Автореферат разослан " " 2008 г.
Ученый секретарь диссертационного совета к. ф-м. н., доцент В.Ю. Гидаспов
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Диссертация посвящена исследованию нелинейных колебаний и разработке методов аналитического построения семейств частных решений гамильтоновых систем в случаях резонансов, а также анализу устойчивости движения в ряде задач классической и небесной механики.
Актуальность темы. Изучение общих закономерностей движения механических систем требует проведения качественного исследования решений систем дифференциальных уравнений, которые, как правило, являются нелинейными и в общем случае не могут быть проинтегрированы в квадратурах. Современные качественные методы исследования нелинейных дифференциальных уравнений берут свое начало в работах А. Пуанкаре, заложившего основы качественной теории дифференциальных уравнений и А.М.Ляпунова, создавшего общую теорию устойчивости движения. Методы теории устойчивости и качественного анализа дифференциальных уравнений нашли широкое применение в приложениях и получили дальнейшее развитии в трудах отечественных и зарубежных ученых.
Для классической и небесной механики особый интерес представляют гамильтоновы системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Существенный прогресс в качественном анализе поведения гамильтоновых систем был достигнут во второй половине двадцатого века после опубликования фундаментальных результатов А.Н. Колмогорова, В.И. Арнольда и Ю. Мозера, в последствии получивших название КАМ теории. В настоящее время методы КАМ теории совместно с методами локального анализа являются основным инструментом исследования устойчивости и нелинейных колебаний гамильтоновых систем в критических случаях.
Поскольку уравнения движения механической системы в общем случае не интегрируемы, то особую важность имеет задача нахождения точного или приближенного аналитического представления семейств частных решений. При этом наибольший интерес представляют те частные решения, само существование которых и их свойства во многом определяют характер поведения системы. К этим решениям относятся решения, асимптотически приближающиеся к стационарным или периодическим решениям.
Асимптотические решения интересны тем, что соответствующие им траектории разделяют фазовое пространство на области с различным характером поведения системы и тем, что они тесно связаны с неустойчивостью предельного движения и явлениями стохастичности в детерминированной динамике. Другим важным классом частных решений, определяющим характер движения системы, являются периодические решения. Эти решения играют важную роль при исследовании движения системы в локальных областях ее фазового пространства, при анализе резонансных явлений и при изучении регулярного и хаотического поведения траекторий.
Одной из целей диссертации является разработка методов построения и исследование свойств асимптотических и периодических решений гамильтоновых систем в резонансных случаях, когда известные классические подходы и методы неприменимы.
Как с теоретической точки зрения, так и для приложений к задачам классической и небесной механики большой интерес представляет изучение поведения системы вблизи периодического решения. Важные качественные выводы в этом направлении можно сделать на основании анализа устойчивости. Периодическое решение гамильтоновой системы может быть устойчивым по Ляпунову лишь в критических случаях, когда характеристические показатели линеаризованной в окрестности этого решения системы имеют нулевые действительные части. Поэтому для строгого решения задачи об устойчивости необходим нелинейный анализ. В диссертации дается строгое решение задачи об устойчивости периодических решений гамильтоновых систем в ряде резонансных случаев.
Анализ устойчивости частных решений позволяет сделать общие качественные выводы о поведении системы в их бесконечно малой окрестности.
Для более полного изучения структуры фазового пространства системы вблизи ее частных решений требуется рассматривать не бесконечно малую, а некоторую конечную окрестность этих решений. Большой интерес представляет собой задача о поведении системы в окрестности ее стационарных и периодических решений в резонансных случаях. При приближении к резонансу поведение системы качественно изменяется, а исследование значительно усложняется. Каждый резонансный случай, как правило, требует отдельного детального изучения, разработки новых подходов и методов. Поэтому несмотря на то, что анализу различных аспектов движения гамильтоновых систем при резонансах было посвящено много работ, эта область нелинейной динамики остается актуальной и привлекает немалый интерес. В диссертации проводится полный нелинейный анализ поведения гамильтоновой системы в окрестности положения равновесия в неисследованных ранее резонансных случаях. На основании полученных общетеоретических результатов в диссертации выполнено исследование ряда задач классической и небесной механики.
Современные методы теории устойчивости гамильтоновых систем позволяют получать строгие выводы об устойчивости движения достаточно широкого класса механических систем. Известно, что устойчивая в линейном приближении гамильтонова система может оказаться неустойчивой при учете нелинейных членов в уравнениях возмущенного движения. По этой причине выполнение нелинейного анализа устойчивости движения имеет большое значение как с теоретической, так и с прикладной точек зрения. Значительная часть диссертационной работы посвящена исследованию устойчивости движения в задачах классической и небесной механики. Все рассмотренные задачи об устойчивости решаются в нелинейной постановке.
Цель работы. Целью работы является построение теории нелинейных колебаний гамильтоновых систем с одной и двумя степенями свободы в резонансных случаях; разработка методов построения решений, асимптотических к положению равновесия гамильтоновой системы при однократных резонансах первого и второго порядков; использование разработанных методов и алгоритмов для анализа движений в задачах классической и небесной механики при наличии резонансов; исследование устойчивости движения в ряде задач классической механики и динамики спутников.
Научная новизна. Разработаны новые методы построения семейств решений, асимптотических к положению равновесия гамильтоновой системы при резонансах. При помощи данных методов исследованы новые классы асимптотических движений в задачах динамики спутников.
На основе нелинейного анализа получены строгие выводы о поведении решений периодической по времени гамильтоновой системы с одной степенью свободы и автономной гамильтоновой системы с двумя степенями свободы в окрестности положения равновесия в ряде резонансных случаев. В частности, установлено, что для большинства начальных условий решения в окрестности положения равновесия будут условно периодическими, а мера дополнения к множеству условноЦпериодических решений экспоненциально мала. В работе показано, что неустойчивость положения равновесия гамильтоновых систем при рассмотренных резонансах является лишь локальной и дана оценка области ограниченного движения. На основании полученных теоретических результатов дано полное качественное описание движения в окрестности стационарных и периодических движений в некоторых задачах небесной механики и динамики спутников.
Рассмотрены новые задачи об орбитальной устойчивости периодических движений:
Х получено строгое решение задачи об орбитальной устойчивости плоских периодических движений спутникаЦпластинки на круговой орбите;
Х получено строгое решение задачи об орбитальной устойчивости маятниковых периодических движений тяжелого твердого тела с неподвижной точкой в случае БобылеваЦСтеклова.
Выполнено также полное нелинейное исследование ряда задач об устойчивости движения в классической и небесной механике. Ранее указанные задачи рассматривались только в линейной постановке, либо при некоторых частных значениях параметров.
Положения и результаты, выносимые на защиту.
1. Разработана теория асимптотических решений гамильтоновых систем в случаях резонансов первого и второго порядков. Получены достаточные условия существования новых классов решений, асимптотически стремящихся к положению равновесия гамильтоновой системы, изучена их аналитическая структура и предложен метод построения в виде сходящихся рядов по отрицательным степеням независимой переменной.
2. Предложен метод построения уравнения разветвления периодических решений, рождающихся из положения равновесия системы Ляпунова. Показано, что точке ветвления соответствует ровно два периодических решения, представимых в виде сходящихся рядов по дробным степеням малого параметра.
3. Разработана теория нелинейных колебаний периодически зависящей от времени гамильтоновой системы с одной степенью свободы в случае резонанса первого порядка и в одном особом случае резонанса в вынужденных колебаниях. Дано приближенное аналитическое описание движения системы в окрестности положения равновесия. Установлено существование 2-периодических решений, близких к положению равновесия, и исследована их устойчивость. Доказана ограниченность движения в некоторой конечной окрестности неустойчивого положения равновесия.
4. Разработана теория нелинейных колебаний автономной гамильтоновой системы с двумя степенями свободы при резонансе второго и четвертого порядков. Дано приближенное аналитическое представление условнопериодических движений системы в окрестности устойчивого положения равновесия. Получено полное решение нелинейной задачи об орбитальной устойчивости периодических решений, рождающихся из положения равновесия. Показано, что в некоторой конечной окрестности положения равновесия движение носит ограниченный характер, а неустойчивость периодических движений может быть лишь локальной.
5. На основании новых методов и подходов, разработанных в диссертации:
- построены новые семейства движений динамически симметричного спутника, асимптотически приближающиеся к его регулярным прецессиям на круговой орбите при резонансах первого и второго порядков;
- исследованы нелинейные колебания динамически симметричного спутника вблизи его цилиндрической прецессии на круговой орбите при резонансе четвертого порядка;
- изучен качественный характер движения в окрестности треугольной точки либрации при критическом соотношении масс;
- исследованы плоские нелинейные колебания спутника при значениях параметров, отвечающих точке бифуркации его периодических движений, установлена локальная неустойчивость последних;
- изучена бифуркация периодических движений маятника с вибрирующей по горизонтали точкой подвеса.
6. Решен ряд задач об устойчивости периодических движений спутников:
а) Выполнено строгое исследование орбитальной устойчивости плоских периодических движений динамически симметричного спутника на круговой орбите.
б) Проведен полный нелинейный анализ орбитальной устойчивости плоских периодических движений спутникаЦпластинки, центр масс которого движется по круговой орбите.
в) Получено строгое решение задачи об устойчивости плоского периодического движения спутника на эллиптической орбите, при котором он совершает один оборот в абсолютном пространстве за два оборота центра масс по орбите.
7. Исследована устойчивость движения в ряде задач классической механики:
а) Получено полное и строгое решение задачи об устойчивости положений относительного равновесия маятника с вибрирующей по вертикали точкой подвеса.
б) В случае БобылеваЦСтеклова проведен нелинейный анализ орбитальной устойчивости плоских периодических движений тяжелого твердого тела с одной неподвижной точкой.
в) В случае ГорячеваЦЧаплыгина получено строгое решение задачи об устойчивости колебаний и вращений тяжелого твердого тела с одной неподвижной точкой относительно его экваториальной оси инерции.
Практическая и теоретическая ценность. В диссертации разработана теория нелинейных колебаний в окрестности положения равновесия гамильтоновой системы с одной степенью свободы и автономной гамильтоновой системы с двумя степенями свободы в ряде резонансных случаев.
Выводы данной теории могут быть использованы для строгого исследования движения в окрестности стационарных и периодических движений механических систем достаточно широкого класса.
Разработаны эффективные алгоритмы построения семейств асимптотических и периодических решений гамильтоновых систем в резонансных случаях. Данные алгоритмы позволяют выполнять аналитическое построение и изучать свойства новых классов движений в задачах классической и небесной механики.
В диссертации выполнено строгое и полное исследование ряда задач об устойчивости движения. Полученные результаты имеют как теоретическое значение для развития классической и небесной механики, так и практическую важность для конкретных задач ориентации и стабилизации космических аппаратов.
Часть результатов диссертации может быть включена в качестве дополнительных глав к общему курсу теоретической механики, а также в спецкурсы по кафедре теоретической механики. Проведенные в диссертации исследования по бифуркации в системах близких к системам Ляпунова вошли в состав учебного пособия, выпущенного в издательстве МАИ для студентов факультета "Прикладная математика и физика" в 2005 году.
Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на научных семинарах:
Х на 447-м заседании семинара при Научном Совете РАН по механике систем и Научном Совете РАН по проблемам управления движением и навигации под руководством академика РАН А.Ю. Ишлинского и академика РАН Д.М. Климова (1995);
Х на семинаре "Аналитическая механика и устойчивость движения" под руководством академика РАН В.В.Румянцева, члена-корреспондента РАН В.В.Белецкого, профессора А.В.Карапетяна, кафедра теоретической механики МГУ (1996);
Х на семинаре "Динамика относительного движения" под руководством члена-корреспондента РАН В.В.Белецкого, профессора Ю.Ф.Голубева, доцента К.Е.Якимовой кафедра теоретической механики и мехатроники МГУ (2001);
Х на семинаре по небесной механике под руководством проф. А. Мациевского, Астрономический центр университета г. Торун, Польша (1999, 2000) Х на семинаре "Иерархия и симметрии в математических моделях" под руководством проф. Ф. Енса, Математический факультет, Технический университет г. Аахен, Германия (2004);
Х на семинаре "Анализ и прикладная математика" под руководством профессора В. Ланчареса, факультет Математики и вычислений университета Ла Риоха, г. Логроно, Испания (2004, 2006);
Х на семинаре по гамильтоновой механике под руководством профессора Х. Паласиана, факультет Математики и информатики, университет Наварры, г. Памплона, Испания (2004, 2005, 2006);
Х на семинаре отдела Небесной механики под руководством профессора А. Элипе, университет г. Сарагоса, Испания (2004, 2005, 2006);
а также на следующих Всероссийских и международных конференциях:
Х XII научные чтения по космонавтике, посвященные памяти С.П. Королева и других советских ученых - пионеров освоения космического пространства (1988, Москва);
Х Республиканская конференция по динамике твердого тела (1990, Донецк);
Х Конференция немецкого общества прикладной математики и механики (Прага, 1996);
Х XXXI Симпозиум по математической физике (1999, Торун, Польша);
Х XXXIII Симпозиум по математической физике (2001, Торун, Польша);
Х НАТО Advanced Study институт (Блаер Атол, Великобритания, 2000);
Х Международный семинар по небесной механике (Познань, Польша, 2000);
Х НАТО Advanced Study институт (Кортина Дампрезо, Италия, 2003);
Х VI Испанский семинар по небесной механике (Бертиз, Испания 2003);
Х Пятый международный симпозиум по классической и небесной механике (Великие Луки, 2004);
Х Всероссийская конференция по проблемам математики, информатики, физики и химии (Москва, 2005);
Х VIII Испанский семинар по небесной механике (Риансо, Испания 2005);
Х Всероссийская конференция по проблемам математики, информатики, физики и химии (Москва, 2006);
Х Международная научная конференция по механике "Четвертые поляховские чтения" (СанктЦПетербуг, 2006);
Х IX Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике (Нижний Новгород, 2006);
Х Шестой международный симпозиум по классической и небесной механике (Великие Луки, 2007);
Х XXXI Академические чтения по космонавтике, посвященные 100-летию академика С.П.Королёва (Москва, 2007).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1Ц21].
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех частей основного текста, разбитых на шесть глав, заключения и списка литературы из 307 наименований. Работа содержит 33 рисунка. Общий объем диссертации составляет 380 страниц.
СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ Во введении кратко описаны проблемы, рассматриваемые в диссертации и дан обзор их современного состояния. Здесь же изложено содержание диссертационный работы и ее основные результаты.
В первой части, объединяющей первую и вторую главы, исследуются семейства асимптотических и периодических решений гамильтоновых систем в случаях резонансов, а также решается задача существования, построения и бифуркации периодических решений системы, близкой к системе Ляпунова, при резонансе в вынужденных колебаниях. Проводится исследование орбитальной устойчивости семейств периодических решений при резонансе четвертого порядка.
Первая глава диссертации посвящена исследованию задачи о существовании и аналитическом построении решений, асимптотически приближающихся к положению равновесия гамильтоновой системы dqi dH dpi dH =, = - (i = 1, 2,..., n) (1) dt dpi dt dqi при t + или при t -. Функция Гамильтона H аналитична в окрестности положения равновесия, которое совпадает с началом координат фазового пространства qi = pi = 0 (i = 1, 2,..., n); коэффициенты разложения гамильтониана H в ряд по степеням канонических переменных являются постоянными или 2-периодически зависят от t. Предполагается, что характеристические показатели линеаризованной в окрестности положения равновесия системы (1) имеют нулевые действительные части. В этом случае для изучения асимптотических решений системы (1) результаты классической теории А.М. Ляпунова и А. Пуанкаре неприменимы.
В диссертации исследованы все возможные однократные резонансы первого и второго порядков, как в случаях простых, так и в случаях кратных элементарных делителей матрицы линеаризованной системы. Найдены достаточные условия существования и указано число семейств асимптотических решений. Изучена аналитическая структура асимптотических решений и указан способ их построения в виде сходящихся рядов по отрицательным степеням |t|. Более полные результаты получены для неавтономной системы с одной степенью свободы (з 1.2) и автономной системы с двумя степенями свободы (з 1.3). В этих случаях выполнено полное качественное исследование окрестности положения равновесия и получены необходимые и достаточные условия существования семейств асимптотических решений. Кроме того, показано, что других решений асимптотически приближающихся к положению равновесия не существует.
В качестве приложения в з 1.4 рассматривается задача о движениях динамически симметричного спутника, асимптотических к его регулярным прецессиям на круговой орбите. Исследование выполняется на границе областей устойчивости регулярных прецессий, где имеют место резонансы первого и второго порядков. На основании полученных общетеоретических результатов найдено приближенное аналитическое представление движений спутника, асимптотических к его цилиндрической, конической и гиперболоидальной прецессиям.
Вторая глава диссертации посвящена изучению периодических решений систем, близких к системам Ляпунова, и гамильтоновых систем. В з 2.дается обзор, полученных на сегодняшний день результатов по обобщению теоремы Ляпунова о голоморфном интеграле на резонансные случаи. В з 2.2 решается задача об орбитальной устойчивости периодических движений, рождающихся из положения равновесия автономной гамильтоновой системы с двумя степенями свободы. Функция Гамильтона предполагается аналитической и знакопеременной в некоторой окрестности положения равновесия, собственные значения матрицы линеаризованной системы чисто мнимы, а частоты линейных колебаний удовлетворяют отношению 3:1.
Задача об орбитальной устойчивости периодических движений решается в строгой нелинейной постановке. Показано, что короткопериодические движения орбитально устойчивы за исключением лишь случая, отвечающего бифуркации короткопериодических и долгопериодических движений. В этом особенном случае имеется неустойчивая короткопериодическая орбита. Установлено, что если положение равновесия устойчиво, то в зависимости от значений параметров система имеет либо одно семейство орбитально устойчивых долгопериодических движений, либо два семейства орбитально устойчивых и одно семейство неустойчивых долгопериодических движений. Если же положение равновесия неустойчиво, то имеется либо одно семейство неустойчивых долгопериодических движений, либо одно семейство орбитально устойчивых и два семейства неустойчивых долгопериодических движений. Исключение могут составить только особые случаи, отвечающие бифуркации долгопериодических движений или вырождению в задаче об устойчивости, когда нужно проводить дополнительный анализ. В качестве приложения рассмотрена задача об орбитальной устойчивости периодических движений динамически симметричного спутника вблизи его стационарного вращения при резонансе четвертого порядка.
В з 2.3 и з 2.4 исследуется вопрос о бифуркации и построении периодических решений системы, близкой к системе Ляпунова при резонансе в вынужденных колебаниях. Впервые задача о существовании и построении периодических решений, рождающихся из положения равновесия системы Ляпунова при малом периодическом возмущении последней, исследовалась И.Г. Малкиным. Случай резонанса в вынужденных колебаниях был подробно исследован А.П. Маркеевым и Т.Н. Чеховской. В частности, было показано, что в зависимости от значений параметров система, близкая к системе Ляпунова может иметь одно или три периодических решения, указанного типа.
В з 2.3 разработан алгоритм построения периодических решений системы, близкой к системы Ляпунова, при резонансе в вынужденных колебаниях. На основании данного алгоритма указанные периодических решений строятся в виде сходящихся рядов по дробным степеням малого параметра. Строго показано, что при изменении параметров число периодических решений изменяется в результате их бифуркации. Показано, что бифуркационной кривой соответствует ровно два периодических решения, рождающихся из положения равновесия невозмущенной системы. В з 2.предложен метод аналитического построения, как самой бифуркационной кривой, так и соответствующих ей периодических решений в виде сходящихся рядов по дробным степеням малого параметра. Данный метод применяется в задаче о плоских движениях спутника на слабоэллиптической орбите. С точностью до второй степени эксцентриситета орбиты получено выражение кривой разветвления плоских 2Цпериодических колебаний спутника, а также построены соответствующие данной кривой решения. Рассмотрена также задача о бифуркации 2Цпериодических колебаний маятника с вибрирующей по горизонтали точкой подвеса. Получено уравнение бифуркационной кривой и выполнено аналитическое построение отвечающих ей периодических движений.
Во второй части диссертации, объединяющей третью и четвертую главы, проводится полный нелинейный анализ поведения решений гамильтоновой системы в окрестности положения равновесия в ряде резонансных случаев.
В третьей главе рассматриваются 2-периодические по времени гамильтоновы системы с одной степенью свободы. Предполагается, что гамильтониан системы содержит один или нескольких параметров. Среди параметров имеется малый параметр , при нулевом значении которого система становится автономной. В з 3.1 исследуется случай резонанса первого порядка, когда элементарные делители матрицы линеаризованной системы непростые. Проведено полное аналитическое исследование укороченной системы, гамильтонианом которой является нормализованная до членов четвертой степени функция Гамильтона исходной системы. Получено общее решение укороченной системы в эллиптических функциях Якоби. В нелинейной постановке решена задача об устойчивости 2-периодических решений, рождающихся из положения равновесия невозмущенной системы. Методами КАМ теории проведен строгий анализ поведения траектории в окрестности положения равновесия полной системы. Установлено, что имеет место случай собственного вырождения. На основании теорем В.И. Арнольда и А.И. Нейштадта показано, что для большинства начальных условий решения в Цокрестности положения равновесия являются условно-периодическими. При этом мера дополнения множества условно - периодических траекторий экспоненциально мала. Сделан вывод о том, что неустойчивость положения равновесия носит локальный характер, т.е.
траектории, начинающиеся вблизи положения равновесия, вечно остаются в его малой, но конечной окрестности порядка . В областях фазового пространства, соответствующих малым окрестностям сепаратрис укороченной системы, потребовалось специальное исследование. Показано, что движение вблизи сепаратрис можно приближенно описать при помощи стандартного отображения Б.В. Чирикова. На основании метода Б.В. Чирикова получена верхняя оценка ширины стохастического слоя вблизи сепаратрис.
В з 3.2 рассмотрен особый случай резонанса в вынужденных колебаниях, когда параметры задачи соответствуют бифуркации 2-периодических решений, рождающихся из положения равновесия. Получено общее решение укороченной системы, проведен анализ устойчивости по Ляпунову периодических решений полной системы. Установлено, что неустойчивость одного из 2-периодических решений является локальной и получена оценка окрестности, в которой траектории системы являются ограниченными. Теоретические результаты третьей главы применяются в задаче о плоских движениях спутника в окрестности его эксцентриситетных колебаний при резонансе. Показано, что при значениях параметров, отвечающих кривой бифуркации эксцентриситетных колебаний спутника, существуют как устойчивые, так и неустойчивые 2-периодические колебания.
При этом движения спутника, начинающиеся вблизи неустойчивого 2периодического колебания, остаются в его окрестности сколь угодно долго (неустойчивость носит локальный характер). Получена оценка указанной окрестности.
Четвертая глава посвящена анализу нелинейных колебаний в окрестности положения равновесия автономной гамильтоновой системы с двумя степенями свободы. Рассмотрены два резонансных случая: резонанс второго порядка и резонанс четвертого порядка. В з 4.1 рассмотрен случай резонанса второго порядка. Предполагается, что гамильтониан системы зависит от малого параметра , при нулевом значении которого собственные значения матрицы линейной системы чисто мнимы и попарно равны, а элементарные делители непростые. Проведена редукция укороченной системы к системе с одной степенью свободы, построены фазовые портреты редуцированной системы и получено ее общее решение. Исследована задача о существовании, построении и орбитальной устойчивости семейств периодических решений, рождающихся из положения равновесия полной системы. Методами КАМ теории показано, что многие свойства решений укороченной системы сохраняются и в малой окрестности положения равновесия полной системы. В частности, для большинства начальных условий движение в окрестности положения равновесия полной системы является условно-периодическим, а мера множества траекторий, не являющихся условноЦпериодическими, экспоненциально мала. Установлено, что несмотря на неустойчивость положения равновесия, решения в некоторой его конечной окрестности ограничены. Получена верхняя оценка данной окрестности. В качестве приложения полученных результатов исследовано движение в окрестности треугольной точки либрации круговой ограниченной задачи трех тел, когда отношение масс тел точно или приближено равно критическому отношению Рауса. Сделаны строгие выводы об орбитальной устойчивости периодических движений вблизи точки либрации, а также получена оценка области, в которой движение носит ограниченный характер.
В з 4.2 рассмотрен случай резонанса четвертого порядка, когда частоты линейных колебаний удовлетворяют отношению 3:1. Предполагается, что функция Гамильтона знакопеременна, а положение равновесия устойчиво.
Проведен подробный анализ укороченной системы, отвечающей нормализованному гамильтониану, в котором отброшены члены выше четвертой степени. Выполнена редукция укороченной системы к системе с двумя степенями свободы. Получено общее решение редуцированной системы в эллиптических функциях Якоби. Подробно описаны бифуркации фазовых портретов редуцированной системы. Показано, что решения укороченной системы описывают либо периодические движения, либо движения асимптотические к периодическим, либо условно-периодические движения. Проведен строгий анализ движения в окрестности положения равновесия полной системы. В областях условноЦпериодического движения полной системы введены переменные действиеЦугол и показано, что в полной системе имеет место случай собственного вырождения. Проверены условия теорем В.И. Арнольда и А.И. Нейштадта и установлено, что большинство условно-периодических движений сохраняются и в малой окрестности положения равновесия полной системы. Более того, траектории полной системы, не являющиеся условно-периодическими, образуют множество экспоненциально малой меры. Сделаны выводы о нелокальной устойчивости орбитально неустойчивых периодических движений.
Результаты исследования применены в задаче о движении динамически симметричного спутника вблизи его цилиндрической прецессии. При значениях параметров, отвечающих резонансу четвертого порядка, дано описание характера нелинейных колебаний в малой окрестности цилиндрической прецессии.
Третья часть диссертации посвящена исследованию устойчивости движения в ряде задач небесной и классической механики, она объединяет пятую и шестую главы. Все задачи решаются в нелинейной постановке. В основе применяемой методики анализа устойчивости лежит метод нормальных форм и КАМ теория. Данная методика была разработана в работах А.П. Маркеева и А.Д. Брюно, ее суть состоит в следующем. В окрестности невозмущенного движения вводятся локальные координаты и задача сводится к исследованию устойчивости положения равновесия гамильтоновой системы. Проводится анализ линейной системы. Для значений параметров задачи, при которых характеристические показатели линейной системы имеют отличные от нуля вещественные части, можно сделать вывод о неустойчивости невозмущенного движения. Если же характеристические показатели линейной системы имеют нулевые вещественные части, то невозмущенное движение устойчиво в линейном приближении. В этом случае для строгих выводов об устойчивости требуется нелинейный анализ. С этой целью гамильтониан возмущенного движения приводится к нормальной форме до членов четвертой степени. По коэффициентам нормальной формы на основании известных критериев делаются выводы об орбитальной устойчивости или неустойчивости периодического движения.
В пятой главе диссертации исследуется устойчивость плоских периодических движений спутника на круговой и эллиптической орбитах. В з 5.1 рассматривается движение динамически симметричного спутника относительно центра масс. Орбита центра масс предполагается круговой.
Известно, что уравнения движения спутника допускают семейство частных решений, отвечающих плоским движениям, при которых ось динамической симметрии спутника движется в плоскости орбиты центра масс.
Данные движения описываются уравнением математического маятника и представляют собой либо периодические движения: колебания или вращения, либо движения асимптотически приближающиеся к неустойчивому положению относительного равновесия.
Плоские колебания и вращения являются неустойчивыми по отношению к возмущениям координат и скоростей, т.к. их периоды зависят от начальных условий. Поэтому представляет интерес задача об орбитальной устойчивости, т.е. устойчивости плоских периодических движений по отношению к возмущениям, выводящим ось динамической симметрии из плоскости орбиты (пространственные возмущения) и возмущениям частоты колебаний или средней угловой скорости вращений. Впервые в такой постановке данная задача исследовалась А.П. Маркеевым для случая "сплюснутого спутника", когда ось динамической симметрии меньше экваториальной оси.
В диссертации задача об орбитальной устойчивости решается в нелинейной постановке для всех значений параметров, за исключением двух особых случаев: колебания спутника близкого к динамически симметричному и колебания или вращения, период которых значительно превосходит период орбитального движения. В случаях, когда удается ввести малый параметр (колебания с малыми амплитудами или вращение спутника, близкого к сферически симметричному) исследование выполняется полностью аналитически. Для произвольных значений параметров критерии устойчивости проверены численно. Результаты исследования представлены в виде диаграмм устойчивости.
В з 5.2 рассмотрена задача об орбитальной устойчивости плоских периодических движений спутника, обладающего геометрией масс пластинки. Невозмущенное движение представляет собой колебания и вращения спутника, при которых его наименьшая ось инерции, лежит в плоскости орбиты центра масс (плоскость пластинки перпендикулярна плоскости орбиты). Приведение гамильтониана возмущенного движения к нормальной форме выполнялось при помощи метода точечных отображений.
Это позволило существенно упростить процедуру вычисления коэффициентов нормальной формы. В плоскости параметров задачи построены области параметрического резонанса, в которых имеет место орбитальная неустойчивость. Для всех значений параметров вне указанных областей проведен нелинейный анализ и установлена либо орбитальная устойчивость для большинства начальных условий, либо формальная орбитальная устойчивость, либо орбитальная устойчивость, обнаруживаемая по членам конечного порядка функции Гамильтона возмущенного движения, либо орбитальная неустойчивость. В случае малых амплитуд колебаний и больших угловых скоростей вращения удается ввести малый параметр и провести аналитическое исследование. При произвольных значениях параметров потребовалось проведение численных расчетов.
В з 5.3 рассматривается задача об устойчивости одного плоского периодического движения спутника на эллиптической орбите. Если эксцентриситет орбиты e и инерционный параметр связаны равенством e = -2, то уравнение движения допускает частное решение, описывающее равномерное вращение спутника в плоскости орбиты, при котором он совершает один оборот в абсолютном пространстве за два оборота центра масс по орбите. В линейном приближении задача об устойчивости этого движения рассматривалась А.А. Хентовым. В диссертации выполнено строгое исследование устойчивости по Ляпунову данного решения. При значениях эксцентриситета, для которых имеет место неустойчивость, установлено существование и указана аналитическая структура семейств движений, асимптотически приближающихся к невозмущенному периодическому движению.
В шестой главе исследуется устойчивость движений твердого тела в однородном поле тяжести. В з 6.1 в строгой нелинейной постановке исследована задача об устойчивости положений относительного равновесия маятника, точка подвеса которого совершает гармонические колебания вдоль вертикали. Решение этой задачи в линейном приближении хорошо известно (диаграмма АйнсаЦСтретта). В ряде работ нелинейный анализ данной задачи выполнялся для некоторых частных значений параметров.
В диссертации дано полное и строгое решение задачи об устойчивости нормального и перевернутого положений маятника при всех возможных значениях параметров включая и границы областей параметрического резонанса. Показано, что в областях устойчивости в линейном приближении имеет место также и устойчивость по Ляпунову. На границах областей параметрического резонанса может иметь место как устойчивость, так и неустойчивость положения относительного равновесия. При этом границы, отвечающие устойчивости и неустойчивости положения относительного равновесия, чередуются при возрастании одного из параметров задачи.
Исследование устойчивости выполнено полностью аналитически, без проведения численных расчетов.
В з 6.2 и з 6.3 исследуется орбитальная устойчивость маятниковых движений твердого тела с одной неподвижной точкой. В з 6.2 рассматривается движение твердого тела относительно неподвижной точки в однородном поле тяжести. Геометрия масс тела соответствует случаю Бобылева - Стеклова, т.е. главные моменты инерции, вычисленные для неподвижной точки удовлетворяют равенству A = 2C, а центр масс тела лежит на главной оси инерции, соответствующей моменту инерции A. В этом случае уравнения движения допускают частное решение, описывающее плоские маятниковые движения твердого тела относительно неподвижной в абсолютном пространстве главной оси инерции, соответствующей моменту инерции C. Получено полное решение нелинейной задачи об орбитальной устойчивости маятниковых периодических движений, указанного типа (колебаний и вращений). Результаты исследования представлены в виде диаграмм устойчивости в плоскости параметров задачи: постоянной энергии невозмущенного движения и инерционного параметра, представляющего собой отношение двух главных моментов инерции тела. Уравнения границ областей орбитальной устойчивости удалось получить в явном аналитическом виде.
В з 6.3 рассматривается движение твердого тела относительно неподвижной точки в однородном поле тяжести в случае ГорячеваЦЧаплыгина, когда главные моменты инерции, вычисленные для неподвижной точки удовлетворяют равенству A = C = 4B, центр масс лежит в экваториальной плоскости эллипсоида инерции, а проекция кинетического момента твердого тела на вертикаль равна нулю. В качестве невозмущенного движения рассматриваются маятниковые колебания и вращения твердого тела вокруг экваториальной оси эллипсоида инерции, неподвижной в абсолютном пространстве.
А.П Маркеевым была доказана орбитальная неустойчивость данных периодических движений в линейном приближении и установлено, что для решения задачи об устойчивости в нелинейной постановке недостаточно анализа членов до четвертой степени в разложении функции Гамильтона в ряд по каноническим переменным. В диссертации показано, что в данной задаче имеет место особенный (трансцендентный) случай, когда стандартная методика анализа устойчивости по коэффициентам нормальной формы гамильтониана уравнений возмущенного движения неприменима. Дано строгое доказательство неустойчивости маятниковых периодических движений. Для доказательства неустойчивости используется тот факт, что в случае ГорячеваЦЧаплыгина помимо трех первых интегралов, которые всегда существуют при движении твердого тела относительно неподвижной точки, уравнения движения допускают еще один дополнительный первый интеграл. При помощи этого дополнительного первого интеграла, построена каноническая замена переменных, приводящая систему уравнений возмущенного движения к более простому виду, а затем применена теорема Четаева.
По теме диссертации опубликованы следующие работы:
1. Бардин Б.С. Об асимптотических решениях гамильтоновых систем при резонансе первого порядка // ПММ. 1991. Т. 55. Вып. 4. С. 587 - 593.
2. Бардин Б.С. О движениях спутника, асимптотических к его регулярным прецессиям // Космич. исслед. 1991. Т. 29. Вып. 6. С. 822Ц827.
3. Бардин Б.С. Об асимптотических движениях гамильтоновых систем при резонансе второго порядка // Межвуз. сб. научн. тр. УПроблемы механики управляемого движения. Оптимизация процессов управленияФ. Изд-во Пермского ун-та, 1992. P. 19Ц26.
4. Маркеев А.П., Бардин Б.С. Плоские вращательные движения спутника на эллиптической орбите // Космич. исслед. 1994. Т. 32. Вып. 6.
С. 43Ц49.
5. Бардин Б.С., Маркеев А.П. Об устойчивости равновесия маятника при вертикальных колебаниях точки подвеса // ПММ. 1995. Т. 59. Вып.
6. С. 922Ц929.
6. Bardin B. S. Non-linear oscillations of Hamiltonian system with one degree of freedom on the boundary of parametric resonance doman // Z. angew.
Math. Mech.,. 1997. Vol. 77. no. 2. P. 23Ц24.
7. Бардин Б.С. О ветвлении периодических решений системы, близкой к системе Ляпунова // ПММ. 1999. Т. 63. Вып. 4. С. 538Ц548.
8. Bardin B. S. Periodic solutions of nearly Lyapunov system in the external resonance case // Rep. Math. Phys. 2000. Vol. 46. no. 1-2. P. 27Ц34.
9. Bardin B. S., Maciejewski A. J. Non-linear oscillations of a Hamiltonian system with one and half degrees of freedom // Regul. Chaotic Dyn. 2000.
Vol. 5. no. 3. P. 345Ц360.
10. Bardin B. S. On nonlinear motions of a Hamiltonian system in the case of external resonance // Rep. Math. Phys. 2002. Vol. 49. no. 2-3. P. 133Ц142.
11. Bardin B. S. On motions near the Lagrange equilibrium point L4 in the case of RouthТs critical mass ratio // Celest. Mech. 2002. Vol. 82. no. 2.
P. 163Ц177.
12. Markeev A.P., Bardin B.S. On the stability of planar oscillations and rotations of a satellite in a circular orbit // Celest. Mech. 2003. Vol. 85.
no. 1. P. 51Ц66.
13. Бардин Б.С., Пунтус А.А., Чекин А.М., Чекина Е.А. Исследование устойчивости плоских движений динамически симметричного спутника на границах областей параметрического резонанса. // В сб. исследовательских, проектноЦконструкторских и технологических работ молодых студентов "Создание перспективной авиационной техники". M.:
ИздЦво МАИ, 2004. С. 50Ц55.
14. Bardin B. S. On orbital stability of planar motions of symmetric satellites in cases of first and second order resonances // Proceedings of the 6th Conference on Celestial Mechanics. Monogr. Real Acad. Ci. Exact. Fs.Qum. Nat. Zaragoza, 25. 2004. P. 59Ц70.
15. Бардин Б.С. Периодические решения систем, близких к системам Ляпунова. М:: Изд-во МАИ, 2005. 60 с.
16. Бардин Б.С. К задаче об устойчивости маятникообразных движений твердого тела в случае Горячева-Чаплыгина // Изв. РАН. МТТ. 2007.
№ 2. С. 14 - 21.
17. Бардин Б.С. О нелинейных колебаниях гамильтоновой системы в случае резонанса четвертого порядка // Нелинейная динамика. 2007. Т. 3.
№ 1. С. 57Ц74.
18. Бардин Б.С. Об орбитальной устойчивости периодических движений гамильтоновой системы с двумя степенями свободы в случае резонанса 3:1 // ПММ. 2007. Т. 71. Вып. 6. С. 976Ц988.
19. Bardin B. S. On nonlinear motions of Hamiltonian system in case of fourth order resonance // Regul. Chaotic Dyn. 2007. Vol. 12. no. 1. P. 86Ц100.
20. Бардин Б.С., Чекин А.М. Об орбитальной устойчивости плоских вращений спутникаЦпластинки на круговой орбите // Вестник МАИ. 2007.
Т. 14. № 2. С. 23 - 36.
21. Бардин Б.С., Чекин А.М. Об орбитальной устойчивости плоских колебаний спутника на круговой орбите // Космич. исслед. 2008. Т. 46.
Вып. 3. С. 278Ц288.