На правах рукописи

НИКАБАДЗЕ МИХАИЛ УШАНГИЕВИЧ ВАРИАНТЫ ТЕОРИЙ ТОНКИХ ТЕЛ В МЕХАНИКЕ ДЕФОРМИРУЕМОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА 01.02.04 - механика деформируемого твердого тела А В Т О Р Е Ф Е Р А Т диссертаци и на соискание ученой степени доктора физикоЦматематических наук

МОСКВА - 2007 г.

Работа выполнена на кафедре механики композитов Механико-математического факультета Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова Научный консультант - доктор физнко-математических наук, профессор Б.Е. ПОБЕДРЯ Официальные опоненты: доктор физнко-математических наук, профессор Д.Л. Быков;

доктор технических наук, профессор С.А. Лурье;

доктор физнко-математических наук, профессор Ю.И. Дмитриенко.

Ведущая организация - Институт Проблем Механики РАН, г.Москва

Защита диссертации состоится 21 декабря 2007 г. в 16 часов 45 мин. на заседании Диссертационного совета Д 501.001.91 по механике при Московском государственном университете им. М.В. Ломоносова по адресу: 119991, ГСП-1, Москва, Ленинские горы, Главное здание МГУ, Механико-математический факультет, аудитория 16Ц10.

С диссертацией можно ознакомится в библиотеке Механико-математического факультета МГУ.

Автореферат разослан 15 ноября 2007 г.

Ученый секретарь Диссертационного совета доктор физико-математических наук, профессор С.В. Шешенин

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. К настоящему времени развит целый ряд теорий тонкостенных конструкций (стержней, пластин, оболочек и многослойных конструкций). Анализ опубликованных работ свидетельствует, что создание уточненных теорий оболочек и многослойных конструкций продолжает активно развиваться.

Появление и широкое внедрение в различные отрасли техники композитных материалов слоистой и волокнистой структуры вызвало необходимость в разработке новых методов расчета и проектирования тонких тел, изготовляемых из этих материалов. Оказалось, что классическая теория, которая до этого безраздельно господствовало в прикладных методах расчета тонкостенных конструкций, не способна удовлетворительно описать напряженно-деформированное состояние композитных тонких тел.

Применение многослойных конструкций при их рациональном проектировании позволяет обеспечить достижение высокой удельной жесткости и прочности, требуемых звуко- и теплоизоляционных свойств, демпфирующих вибропоглащающих характеристик. В ряде случаев необходимость применения многослойных тонких тел вызывается конструктивными и эксплуатационными соображениями. Это очень важно при повышенных требованиях к безопасности конструкций, особенно в самолето- и ракетостроении, тем более, что прогресс вычислительной техники обеспечивает возможность проведения все более и более сложных численных расчетов.

В связи с широким использованием тонких тел (одно-, двух-, трех- и многослойных конструкций) возникает потребность создания новых уточненных теорий и усовершенствованных методов их расчета. Поэтому построение уточненных теорий, что и предпринимается ниже и развитие эффективных методов расчета тонких тел являются важной и актуальной задачей.

Цель работы. Создание теории тонких тел (трехмерных тел, один или два размера которого меньше, чем остальные или двумерное тело, один размер которого меньше другого) в механике деформируемого твердого тела и на их основе решение некоторых важных практических задач.

Научная новизна работы заключается в следующем:

впервые, построены различные варианты теории тонких тел, более доступные к экспериментальному изучению, применяя системы ортогональных полиномов (Лежандра и Чебышева) при новой параметризации областей этих тел;

рассмотрены различные способы построения линейно независимых изотропных, гиротропных, ортотропных и трансверсально-изотропных тензоров.

Сформулированы утверждения и теоремы, позволяющие построить эти тензоры; построены линейно независимые вышеуказанные тензоры с первого до шестого ранга включительно, когда компоненты тензора не обладают никакой симметрией и в том случае, когда имеются разные виды симметрии;

даны обобщения теории матриц для модулей комплексных и действительных тензоров произвольного четного ранга; подробней изучена задача о собственных тензорах и собственных значениях тензора произвольного четного ранга;

впервые на основании новых кинематических гипотез построены теории многослойных конструкций при новой параметризации их областей.

решены задачи о кручении слоистого цилиндра, слоистого цилиндра под внутренним давлением, задача о растяжении и сжатии слоистого цилиндра.

Для упругой среды дается сравнение полученных результатов с известными результатами теории оболочек и некоторыми решениями толстых тел других авторов. Описывается применение сформулированной теории к решению задач о сложном нагружении в общей теории пластичности А.А. Ильюшина.

Обоснованность и достоверность теоретических положений и выводов диссертации подтверждена строгими математическими выводами, основанными на положениях механики, линейной алгебры, функционального анализа, теории матриц и тензорного исчисления и которые согласуются с имеющимися экспериментальными данными.

Теоретическая и практическая значимость работы. Результаты имеют важное теоретическое и прикладное значение и могут быть использованы для решения многих важных практических задач в тех областях техники, в которых применяются тонкие тела. В частности, могут быть использованы в ЦАГИ, ЦИАМ, МГУ, ИТПМ СО РАН, ИПМ РАН, ЦНИИМаш, МАИ и в других организациях, занимающихся разработкой и совершенствованием образцов автомобильной, ракетной и авиационной техники.

На защиту выносится построение теории тонких тел в МДТТ, а также некоторые обобщенные утверждения и теоремы тензорного исчисления (обобщенной теории матриц).

Апробация работы. Основные результаты, полученные в диссертации, докладывались и обсуждались на международной конференции, посвященной памяти заслуженного деятеля науки ТАССР проф. А.В. Саченкова. Казань. г., на 16-ой межреспуб. конф. по численным методам решения задач теории упругости и пластичности. Новосибирск. 1999 г., на междунар. конф. Dynamical Systems Modelling and Stability Investigation Киев. 1999 г., на научно-исследовательских семинарах кафедры механики композитов механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова под руководством проф. Б.Е.

Победри и на конференциях Ломоносовские чтения 2003Ц2007 г.г., а также на других научно-исследовательских семинарах механико-математического факультета МГУ.

Публикация результатов. Результаты диссертации достаточно полно опубликованы в работах, список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, обзора литературы, семьи глав, заключения, списка литературы, содержания и двух приложений. Диссертация изложена на 300 страницах.

ичный вклад автора. Представленные в работе научные результаты получены лично автором. Во всех случаях использования результатов других исследований в работе приведены ссылки на источники информации.

Автор выражает искреннюю благодарность за постоянное внимание к работе и ценные советы научному консультанту, профессору Б.Е.Победре, а также профессорам кафедры механики композитов: Д.В.Георгиевскому, В.И.Горбачеву, А.С.Кравчуку и С.В.Шешенину.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ Во введении дан обзор литературы, обоснована актуальность научных теоретических исследований. Сформулированы: цель работы, ее научная новизна, теоретическая и практическая значимость.

В первой главе Новая параметризация области тонкого тела трехмерного евклидова пространства рассмотрена эффективная параметризация области тонкого тела трехмерного евклидова пространства R3, заключающаяся в использовании, в отличие от классических подходов, двух базовых поверхностей, называемых условно внутренней и внешней базовыми поверхностями.

Дано векторное параметрическое уравнение области тонкого тела. Введены в рассмотрение свойственные предложенным семействам параметризаций геометрические характеристики. В частности, рассмотрены различные семейства базисов (реперов) и порожденные ими соответствующие семейства параметризаций. Введены в рассмотрение компоненты переноса единичного тензора второго ранга (ЕТВР), а также основные компоненты ЕТВР, посредством которых выражены сопровождающие рассмотренные в работе семейства параметризаций различные геометрические объекты. Получены выражения для компонент ЕТВР через основные компоненты ЕТВР при различных частных случаев параметризаций области тонкого тела. Даны представления ЕТВР, единичного тензора четвертого ранга (ЕТЧР), а также изотропных тензоров четвертого ранга при рассматриваемых семействах параметризаций области тонкого тела трехмерного евклидова пространства. Введены в рассмотрение мультипликативные базисы и получены деривационные формулы для них. Даны выражения ковариантных производных от компонент тензора при рассматриваемой параметризации. С помощью компонент переноса ЕТВР осуществлена связь между различными семействами параметризаций. Получены выражения для семейств символов Кристоффеля, компонент вторых тензоров и средних и гауссовых кривизн поверхностей посредством компонент переноса единичного тензора второго ранга. Компоненты переноса и компоненты ЕТВР, зависящие от поперечной координаты x3, представлены в виде рядов относительно этой координаты. Рассмотрены некоторые вопросы, касающиеся тензора Римана-Кристоффеля при новой параметризации, а также приведены тождества Ламе. Сформулирована фундаментальная теорема для области тонкого тела при ее новой параметризации:

Наличие единичного тензора второго ранга необходимо и достаточно для существования, и притом единственной, с точностью до движения в Rнекоторой регулярной области тонкого тела при ее новой параметризации.

При этом число независимых основных компонент ЕТВР зависит от типа семейства параметризации.

Во второй главе Рекуррентные соотношения для полиномов Лежандра и Чебышева. Моменты тензорных полей, некоторых выражений и дифференциальных операторов относительно этих систем полиномов выписаны основные рекуррентные формулы для полиномов Лежандра и Чебышева первого и второго родов, с помощью которых в свою очередь получены несколько дополнительных соотношений, играющих важную роль при построении различных вариантов теорий тонких тел (негипотетических теорий стержней, пластин, оболочек и многослойных конструкций), как при классической, так и при новой (неклассической) параметризации областей этих тел. Определены моменты тензорных полей, их компонент и некоторых дифференциальных операторов от них в криволинейных координатах. В частности, определены моменты скалярных и тензорных функций, а также их производных и повторных производных.

Кроме того, получены представления и найдены моменты относительно полиномов Чебышева лапласиана, градиента, ротора, повторного градиента, дивергенции, повторной дивергенции тензора второго ранга, градиента дивергенции.

Получены выражения для моментов k-го порядка произведения двух функций на произвольную степень поперечной координаты x3. Приведены некоторые утверждения относительно классического и обобщенного (Б.Е.Победри) тензоров несовместности. Дано представление тензора несовместности Б.Е.Победри через пятнадцать изотропных тензоров шестого ранга.

В третьей главе Представления основных уравнений и определяющих соотношений механики деформируемого твердого тела для теории тонких тел. Граничные и начальные условия. Постановки задач приведены различные представления уравнений и определяющих соотношений (ОС) МДТТ как для классической, так и для моментной теорий тонких тел при новой параметризации области тонкого тела, а также уравнения притока тепла и закона теплопроводности Фурье. В частности, выписаны трехмерные постановки задач при новой параметризации области тонкого тела. Рассмотрены различные способы построения линейно независимых изотропных, гиротропных, ортотропных и трансверсально-изотропных тензоров. Сформулированы утверждения и теоремы, позволяющие построить эти тензоры. Построены линейно независимые вышеуказанные тензоры с первого до шестого ранга включительно, когда компоненты тензора не обладают никакой симметрией и в том случае, когда имеются разные виды симметрии. Дано представление обобщенного тензора несовместности в дивергентном виде, а также через тензор напряжений. Кроме того, получены представления классического и обобщенного тензоров несовместности, обобщенных уравнений (уравнений Б.Е.Победри), уравнений в перемещениях (Ламе) и уравнений в перемещениях и вращениях моментной теории как при изотермических, так и неизотермических процессах при новой параметризации области тонкого тела. Выписаны законы термодинамики и теплопроводности Фурье, а также уравнение притока тепла, граничные и начальные условия и даны их представления при новой параметризации.

Далее из представленных уравнений (движения, притока тепла и др.) и ОС (законов Гука и теплопроводности Фурье) при новой параметризации области тонкого тела, используя рекуррентные соотношения для систем полиномов Лежандра и Чебышева второго рода, а также выражения для моментов величин, выражений и дифференциальных операторов из второй главы, получены соответствующие уравнения и ОС в моментах для теории тонких тел. Выведены граничные и начальные условия в моментах. При этом получены системы уравнений движения нулевого и первого приближений в моментах как классической (в тензоре напряжений), так и моментной (в тензорах напряжений и моментных напряжений) механики деформируемого твердого тонкого тела (МДТТТ), а также системы обобщенных уравнений в напряжениях нулевого и первого приближений в моментах. Выведены системы уравнений в перемещениях, перемещениях и вращениях нулевого и первого приближений в моментах как при изотермических, так и неизотермических процессах, а также системы уравнений притока тепла нулевого и первого приближений в моментах.