На правах рукописи

Работа выполнена в Новосибирском государственном техническом университете.

Научный консультант: доктор технических наук

, Гобыш Альбина Владимировна профессор Элла Петровна Шурина.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, Моделирование внутренних течений доцент Бердников Владимир Степанович, доктор физико-математических наук вязкой несжимаемой жидкости Федорук Михаил Петрович.

методом конечных элементов с использованием противопотоковых схем

Ведущая организация: Институт вычислительной математики и математической геофизики СО РАН, г. Новосибирск, проспект Академика М.А. Лаврентьева, 6.

05.13.18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Защита состоится "9" ноября 2007 г. в 9:00 часов на заседании диссертационного совета Д003.046.01 при Институте вычислительных технологий СО РАН по адресу: 6300090, г. Новосибирск, проспект Академика М.А. Лаврентьева, 6.

АВТОРЕФЕРЕТ диссертации на соискание ученой степени

С диссертацией можно ознакомиться в специализированном читальном кандидата физико-математических наук зале вычислительной математики и информатики ГПНТБ СО РАН (проспект Академика М.А. Лаврентьева, 6).

Автореферат разослан "8" октября 2007 г.

Новосибирск 2007

Ученый секретарь диссертационного совета, доктор физико-математических наук, профессор Л.Б.Чубаров 2

Общая характеристика работы

элементов и серединах их ребер для моделирования течений с преобладанием конвективного переноса. В контексте метода конечных элеАктуальность работы. Математическое моделирование процессов ментов предложен новый способ аппроксимации потоков через гранистановится одним из наиболее распространенных методов исследования цы ячеек двойственной сетки.

объектов и явлений различной природы. Широкий круг задач, стоящих Х Разработана и программно реализована вычислительная схема на осперед современной наукой и техникой, связан с решением уравнений двинове смешанных постановок с введением функции штрафа, позволяюжения жидкости. Возникает потребность в моделировании внутренних тещая единообразно моделировать стационарные внутренние течения чений несжимаемой жидкости с преобладанием конвективного переноса в вязкой несжимаемой жидкости (уравнения Навье - Стокса, Стокса) и каналах сложной геометрии, являющихся элементами различных техничеидеальной несжимаемой жидкости (уравнения Эйлера). Предложен ских устройств.

способ учета краевого условия u n = h ( n - вектор нормали к гра Движение вязкой несжимаемой жидкости описывается уравнениями нице, h - заданная функция) в вариационных постановках уравнеНавье - Стокса. При изучении движения несжимаемой жидкости необходимо наличие программных реализаций не только сложных моделей, но и ний Эйлера. Разработана структура данных для хранения элементов более простых приближенных моделей, с помощью которых можно полу- матриц системы линейных алгебраических уравнений с расчетом неизчить предварительное представление о характере течения. В случае боль- вестных компонент вектора скорости и давления в гипервекторе.

ших значений кинематической вязкости или при малых значениях вектора Х Реализованы стабилизированные схемы Галеркина для моделирования скорости решение уравнений Навье - Стокса может быть заменено реше- трехмерных течений на тетраэдральном разбиении, в которых испольнием уравнений Стокса. Решения уравнений Эйлера, описывающих тече- зуется метод стабилизации давления и в качестве стабилизирующего ние идеальной несжимаемой жидкости, могут служить начальным при- оператора выбирается конвективная часть исходного оператора.

ближением для итерационных методов решения уравнений Навье - Стокса.

Х Показана зависимость интенсивности вторичного течения от величины Поэтому актуальной задачей является разработка и программная реализасдвига скорости на входе. Определено влияние соотношения узкого и ция вычислительных алгоритмов, позволяющих единообразно решать широкого сечений на погрешность вычислений при измельчении сетки уравнения данного класса задач.

в трубопроводах, состоящих из различных конструктивных включений Для решения уравнений Навье - Стокса (Стокса и Эйлера), описываю(элементов сужения и расширения).

щих течения несжимаемой жидкости, существуют различные численные Обоснованность и достоверность результатов, полученных в диссерметоды. Одним из распространенных методов аппроксимации несжимаетации, обеспечивается корректностью постановок рассматриваемых задач мых течений является метод конечных элементов (МКЭ). Важными требои методов их решения, основывается на расчетах широко известных и реваниями к вычислительным схемам на базе метода конечных элементов комендуемых тестовых задач и сопоставлении результатов численных расявляются эффективные способы учета (аппроксимации) уравнения неразчетов с результатами, полученными другими авторами.

рывности и линеаризации конвективных членов в уравнении движения.

Поэтому построение вычислительных алгоритмов с указанными свойстваАпробация работы. Созданный комплекс программ внедрен в расчетми является на сегодняшний день актуальной задачей.

ную практику в Сибирском центре научно-технического обеспечения АНО УПромбезопасность - СибирьФ. Результаты решения задач с доминироваЦель работы состоит в моделировании внутренних течений несжимаением конвекции применяются в учебном процессе на факультете летательмой жидкости с преобладанием конвективного переноса в каналах сложных аппаратов Новосибирского государственного технического универсиной геометрии, являющихся элементами различных технических усттета в курсе лекций УЭкологические проблемы энергетикиФ и УЧисленные ройств.

методы в задачах экологииФ.

Научная новизна работы.

Представление работы. Основные результаты работы были представХ Разработана технология реализации противопотоковых схем на нелены и докладывались на: международной конференции молодых ученых структурированных сетках с расчетом неизвестных в узлах конечных по математическому моделированию и информационным технологиям (г.

3 Новосибирск, 2002 г.); региональной научной конференции студентов, ас- и к.ф.-м.н., с.н.с. ИВТ СО РАН Нине Юрьевне Шокиной за помощь и подпирантов и молодых ученых УНаука. Техника. ИнновацииФ (г. Новоси- держку при работе над диссертацией.

бирск, 2002 г.); международной конференции УВычислительные и инфор- мационные технологии в науке, технике и образованииФ (г. Усть- Каменогорск, 2003 г.); IV всероссийской конференции молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям (г. Основное содержание работы

Красноярск, 2003 г.); всероссийской научной конференции студентов, асВо введении обоснована актуальность темы, сформулированы постапирантов и молодых ученых УНаука. Технологии. ИнновацииФ (г. Новосиновка исследуемой проблемы, цели и методы исследований, представлены бирск, 2003 г., 2004 г.); международной конференции по вычислительной научная новизна и значимость работы. Анализируются современные подматематике МКВМ-2004 (г. Новосибирск, 2004 г.); V всероссийской конходы в моделировании течений несжимаемой жидкости, их преимущества ференции молодых ученых по математическому моделированию и инфори недостатки. Кратко описаны структура и основное содержание диссертамационным технологиям с участием иностранных ученых (г. Новосибирск, ции по главам.

2004 г.); семинарах Новосибирского государственного технического униВ диссертационной работе исследованы стационарные, внутренние, одверситета, Института вычислительных технологий СО РАН и Института нофазные, химически однородные течения. Уравнения Навье - Стокса вычислительной математики и математической геофизики СО РАН.

описывают движение вязкой несжимаемой жидкости. Для полноты исслеПубликации. По теме диссертации опубликовано 6 работ, в том числе дования явлений в рассмотрение включены уравнения Стокса и Эйлера. В (в скобках в числителе указан общий объем этого типа публикаций, в зна- случае больших значений кинематической вязкости или при малых значеменателе - объем, принадлежащий лично автору) 1 статья в издании, реко- ниях вектора скорости решение уравнений Навье - Стокса может быть замендованном ВАК для представления результатов докторских диссертаций менено решением уравнений Стокса, а решения уравнений Эйлера, описы(0.62/0.4 печ. л.), 2 - в трудах международных конференций (0.68/0.5 печ. вающие течение идеальной жидкости, могут служить начальным приблил.), 3 - в сборниках научных трудов (1.37/1.2 печ. л.). жением для итерационных методов решения уравнений Навье - Стокса.

Существуют несколько формулировок уравнений движения жидкости:

ичный вклад автора. В публикации [1] автор участвовала в постав естественных переменных вектор скорости - давление, в переменных новке задачи, осуществляла программную реализацию вычислительных векторный потенциал - вектор вихря, в переменных вектор скорости - алгоритмов и сравнение полученных результатов с конечно-разностным вектор вихря. Достоинства и недостатки перечисленных формулировок решением рассматриваемых задач. В работе [2] диссертант осуществляла приведены в работах С. Патанкара, Р. Темама, К. Флетчера, F. Brezzi, M.

разработку алгоритмов для решения уравнений Навье - Стокса, основанFortin, Z.U.A. Warsi и др. Отмечено, что при использовании моделей в есных на методе конечных элементов. В публикации [3] автору принадлежат тественных переменных вектор скорости - давление на уровне вычисликонструирование и реализация алгоритмов решения задач конвективнотельной схемы возникают трудности корректного учета условия, накладыдиффузионного переноса с использованием противопотоковых схем. В ваемого на дивергенцию аппроксимируемого поля скоростей, так называепубликации [6] автор участвовала в постановке задач, проведении расчетов мого дивергентного условия.

и анализе результатов.

На сегодняшний день ведущие позиции при численном решении дифференциальных уравнений занимают сеточные методы. Наиболее попуСтруктура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, лярными для решения уравнений Навье - Стокса, Стокса и Эйлера являюттрех глав, заключения, списка использованных источников (131 наименося методы конечных разностей, конечных объемов и конечных элементов.

вание) и приложения. Полный объем диссертации составляет 138 страниц, Численный анализ вычислительных схем, основанных на МКЭ, представвключая 23 таблицы и 40 иллюстраций.

ен в работах Р. Темама, К. Флетчера, F. Brezzi, M. Fortin, T.J.R. Hughes, D.

L. Coulliette, M. Koch, L.J.P. Timmermans, T. Tezduyar и др.

Автор выражает искреннюю признательность и глубокую благодарНесмотря на ряд достоинств МКЭ при решении задач гидродинамики ность научному руководителю д.т.н., профессору Элле Петровне Шуриной (например, возможность конструирования конечно-элементных аппрокси 5 маций на неструктурированных сетках), остаются актуальными следующие В параграфе 1.1 приведена математическая постановка задачи об устазадачи: выбор базисных функций для компонент вектора скорости и дав- новившимся движении вязкой несжимаемой жидкости через ограниченную ления, гарантирующих существование и единственность решения; учет односвязную область, которая заключается в определении вектора сконелинейности, связанной с конвективными членами; и выбор способа учерости u и давления p, удовлетворяющих в уравнениям Навье - Стота дивергентного условия (способ учета взаимосвязи поля скоростей и давкса:

ения).

уравнение движения В диссертационной работе представлен обзор схем аппроксимации не-v2u + (u )u + p = f, x, линейности, связанной с конвективными членами в уравнении движения.

уравнение неразрывности При доминировании конвекции используются противопотоковые схемы, u = 0, x, стабилизированные и разрывные схемы Галеркина. Среди представленных в научной литературе противопотоковых схем выделены схемы с расчетом и краевым условиям на границе области : заданному вектору скорости на неизвестных в узлах конечного элемента, серединах его ребер и в центрах входе в область, условиям непротекания на твердых стенках и заданной конечного элемента. нормальной компоненте тензора напряжения на выходе. Уравнения Навье Несмотря на то, что диссертационная работа посвящена стационарным - Стокса с введенными на границе области краевыми условиями имеют течениям, проведено исследование разработанных вычислительных схем решение, определяемое с точностью до произвольной постоянной для давна нестационарных задачах. В работе представлен обзор схем аппроксима- ления.

ции по времени, используемых при численном решении дифференциаль- В случаях больших значений кинематической вязкости или при малых ных уравнений: явных, неявных и полунеявных схем. Рассмотрены спосо- значениях вектора скорости решение уравнений Навье - Стокса может бы диагонализации матрицы массы в схемах аппроксимации по времени. быть заменено решением уравнений Стокса:

Преобразование элементов матрицы с целью ее диагонализации применя- уравнение движения ется для обращения матрицы массы в вычислительных схемах расчета -v2u + p = f, x, компонент вектора скорости и давления.

уравнение неразрывности В диссертационной работе проведен обзор методов решения системы u = 0, x, линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Несамосопряженность опес соответствующими краевыми условиями на границе области.

ратора порождает ряд сложностей при применении многих численных меВ параграфе 1.2 приведена математическая постановка задачи об устатодов. В сеточных методах несамосопряженным операторам, как правило, новившимся протекании идеальной несжимаемой жидкости через огранисоответствуют несимметричные матрицы СЛАУ, что затрудняет решение ченную односвязную область, которая заключается в определении вектаких систем. Для решения СЛАУ, получаемых при дискретизации нелитора скорости u и давления p, удовлетворяющих в уравнениям Эйленейных задач, одними из наиболее эффективных методов являются проекционные методы с использованием проектирования на подпространства ра: