Книги, научные публикации
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ И АЛГОРИТМЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ БИЗНЕС-ИНФОРМАТИКИ МНОГОМЕРНАЯ ABC-КЛАССИФИКАЦИЯ.
КРИТЕРИИ КАЧЕСТВА И КАНОНИЧЕСКИЕ АЛГОРИТМЫ В.В. Белов, доктор технических наук, профессор кафедры вычислительной и прикладной математики Рязанского государственного радиотехнического университета Ю.Л. Коричнева, аспирант кафедры вычислительной и прикладной математики Рязанского государственного радиотехнического университета Адрес: г. Рязань, ул. Гагарина, д. 59/1 E-mail: compvv@mail.ryazan.ru;
кoritchneva@mail.ru Предложены канонические алгоритмы многомерной АВС-классификации, предназначен ные для решения задачи сокращения информационного пространства управления товарно материальными ресурсами хозяйствующих субъектов.
Ключевые слова: ABC-классификация, скалярная классификация, многомерная классификация, крите рии качества, канонические алгоритмы.
Введение целесообразного и обоснованного распределения усилий по различным направлениям управления товарно настоящее время для большинства отече материальными ресурсами. Бауэрсоскс [1] называет ственных предприятий производственного данный подход классификацией по приоритетно В сектора одной из ключевых задач развития яв сти, но в научной литературе он обычно определяет ляется управление оборотным капиталом. Матери ся как ABC-классификация [1, 2, 3].
альной составляющей оборотного капитала являют Классический ABC-метод основан на разбиении ся ресурсы и запасы. В качестве методов повышения всей номенклатуры используемых материалов на эффективности процесса управления материаль три неравноценных группы A, B, и C - в зависимо ными запасами и снижения объемов финансовых сти от значения определяющего показателя (пара вливаний на контроллинг их состояния в логисти метра, критерия). Для классификации применимы ческой практике используются методы структу различные параметры, но чаще всего используется ризации материальных ресурсов, иными словами, стоимость запасов, наряду с ней применяются: нор классификация. Цель классификации - повысить ма потребления, стоимость и сроки транспорти эффективность логистической системы за счет более ровки. ABC-классификация используется и для ис БИЗНЕС-ИНФОРМАТИКА №1(19)Ц2012 г.
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ И АЛГОРИТМЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ БИЗНЕС-ИНФОРМАТИКИ следования частоты определенных экономических ми элементами.
явлений и фактов. В этом случае она называется Необходимо осуществить разделение элементов XYZ-классификацией. Синонимами термина ABC- множества X на три группы таким образом, что классификация являются: первоначальный ана- бы каждая из групп была сопоставима (в смысле не лиз, правило 80/20 и принцип Парето [2, 3, 4, которого критерия сходства) с результатами ABC 5]. Это правило практическое, выведенное на основе классификаций тех же элементов по всем заданным большого множества наблюдений. Согласно этому частным скалярным критериям. Такое разделение правилу 80% выручки компании обеспечивают 20% учётных элементов назовём многомерной, или про наименований продукции, и 80% затрат приходится странственной ABC-классификацией. Критерий сход на 20% товарно-материальных запасов. Эта клас- ства результата пространственной классификации с сификация показывает ранг отдельных элементов совокупностью результатов частных скалярных ABC номенклатуры и позволяет выделить основные пун- классификаций будем называть критерием качества кты, особенно важные для целенаправленных ме- рассматриваемой многомерной ABC-классификации.
роприятий управления. ABC-классификация может 1. Альтернативные представления использоваться практически в любой области, где результатов ABC-классификации есть сложно классифицируемый достаточно боль шой набор объектов [5] и требуется их разделение Результат скалярной ABC-классификации можно с целью квалификации или дифференцированного представить в виде кортежа R =< R,RB,RC >, где A управления. Несмотря на известные преимущества, R,RB, RC - подмножества, на которое множество A метод таит в себе массу концептуальных недостат- ~ X разбивается в результате классификации, такие, ков. Ключевым из них использование единствен что справедливо утверждение:
ного критерия в процедуре классификации. Со временный менеджмент не может опираться на видение бизнес-процесса с одной стороны - одно- X критериальное. Для преодоления указанного недо статка было предложено использовать интегральные Индексы в обозначениях множеств RA, RB, RC критерии [2], представляющие собой ту или иную символизируют тот факт, что элементы множества свертку частных критериев. Однако практическое RA образуют классификационную группу A, эле применение интегральных критериев показало, менты множества RB образуют группу B и элементы что результаты многомерной (через свёрку) ABC- множества RC образуют группу C.
классификации весьма часто оказываются трудно Для указания того факта, что классификация интерпретируемыми, - плохо согласуемыми с инту осуществлена по конкретному критерию, будем итивными представлениями аналитиков. Возникла использовать верхние индексы. При этом резуль потребность в разработке альтернативных методов таты скалярных ABC-классификаций по n критери многомерной ABC-классификации и явно обозна ям представимы в виде совокупности (системы) n чилась актуальность задачи создания критерия каче классификационных кортежей:
ства различных многомерных ABC-классификаций.
, j = 1, 2,..., n, Целью настоящей статьи является изложение предлагаемых авторами критериев качества и ме где - подмножества, на которое мно тодов многомерной (пространственной) ABC жество X разбивается в результате классификации классификаций учётных данных, альтернативных по j-му скалярному критерию, такие что справед методу интегрального критерия.
ливо утверждение:
Неформальная постановка задачи j {1, 2,, n} [( R[ j ] R[ j ] = R[ j ] R[ j ] = ) )( A B A C Пусть X =< X1, X,, X > - некоторый кортеж, ( R[ j ] R[ j ] = ) ( R[ j ] R[ j ] R[ j ] = X )].
2 m B C A B C состоящий из m элементов, каждый из которых ха рактеризуется n количественными показателями Для указания результата пространственной ABC (частными скалярными критериями). Неупорядо- классификации используем другую букву в обозна ченную совокупность тех же элементов будем обо- чении классификационного кортежа:
значать так: X = Set(X) = {X1, X,, X }. Элементы 2 m, Q =< QA,QB,Q > C кортежа X (множества ) будем называть учетны X БИЗНЕС-ИНФОРМАТИКА №1(19)Ц2012 г.
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ И АЛГОРИТМЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ БИЗНЕС-ИНФОРМАТИКИ расстояний между классификационным вектором QA,QB,QC где - подмножества, на которое множе ~ K[l] и классификационными векторами частных ство разбивается в результате пространственной X скалярных ABC-классификаций по учитываемым классификации. Эти множества обладают свой критериям. Формула критерия имеет вид:
ствами результатов скалярной классификации, т.е.
для них также справедливо утверждение:
(1) ( QA QB = )( QA QC = )( Q QC = ) B [ QA QB QC = X (.
где C1l] - значение критерия качества простран ственной ABC-классификации l-м методом;
Пространственная ABC-классификация может осу l = 1, 2,..., L.
ществляться различными способами. Для указания Смысл предложенного критерия таков. Сумма конкретики способа пространственной классифика m ции будем использовать верхний индекс. Обозначе (Ki[l ] - ki[ j]) ние Q[l ] =< Q[l ],Q[l ],Q[l ] > символизирует результат A B C i = пространственной классификации l-м способом, имеет семантику квадрата расстояния между векто l = 1, 2,..., L;
L - количество рассматриваемых мето рами дов пространственной ABC-классификации.
[ [ [ K[l ] = (K1l ], K2l ],, Kml ]) В качестве альтернативного представления ABC [ [ [ и, k[ j] = (k1 j], k2 j],, kmj]) классификации будем использовать классифи кационные векторы: k = (k1, k2,, km) - для порождаемых пространственной и j-й ска скалярной классификации;
K = (K1, K2,, K ) m лярной ABC-классификациями в эвклидо - для пространственной классификации. Кон вой метрике. Она выражает степень сход кретику скалярного критерия и способа простран ства между указанными классификациями.
ственной классификации будем отражать верхни Сумма ми индексами:
n m [ C1l ] = (Ki[l ] - ki[ j]) [ [ [ k[ j ] = (k1 j ], k2 j ],, kmj ]) j = 1, 2,, n j =1i =, ;
[ [ [l K[l ] = (K1l ], K2l ],, Km ]) l = 1, 2,, L.
, является суммой квадратов расстояний от клас сификационного вектора K[l] до всех классифи Элементы указанных векторов имеют следую k[ j] кационных векторов, j=1, 2,..., n скалярных щую семантику: ki[ j] - номер группы i-го элемента ABC-классификаций. Эта сумма может квалифици номенклатуры в скалярной ABC-классификации по роваться как квадрат расстояния между вектором и j-му скалярному критерию;
Ki[l ] - номер группы системой векторов. Она характеризует степень раз i-го элемента номенклатуры в пространственной личия/сходства пространственной классификации ABC-классификации l-м способом;
i = 1,2,,m;
с системой скалярных классификаций.
m - количество учитываемых элементов, т.е. это мощность множества : m = X.
X 2.2. Критерий № 2 на основе При использовании альтернативного представле классификационных кортежей ния ABC-классификации будем предполагать, что названия A, B, C групп ABC-классификации ото В качестве альтернативного критерия качества бражены в числа 1, 2, 3 соответственно, поэтому пространственной ABC-классификации можно ис элементы классификационных векторов являются пользовать показатель степени отличия заданного числами, причём: ki[ j] {1, 2, 3} и Ki[l ] {1, 2, 3}.
классификационного кортежа Q[l ] =< Q[l ],Q[l ],Q[l ] > A B C от кортежа простых объединений элементов клас 2. Критерии качества пространственной сификационных кортежей частных скалярных ABC-классификации для случая проблемной ABC-классификаций, который мы назовём объеди симметричности скалярных критериев нённым классификационным кортежем.
2.1. Критерий № Для вычисления критерия необходимо предва на основе классификационных векторов рительно осуществить n скалярных ABC-класси Критерием качества пространственной ABC- фикаций по всем учитываемым критериям, и полу классификации может служить сумма квадратов чить систему n классификационных кортежей:
БИЗНЕС-ИНФОРМАТИКА №1(19)Ц2012 г.
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ И АЛГОРИТМЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ БИЗНЕС-ИНФОРМАТИКИ R[ j ] =< R[ j ],R[ j ],R[ j ] >, j = 1, 2,, n, Последняя формула является следствием очевид A B C ного равенства Далее следует выполнить объединение элементов n [ j ] множеств по правилу:
R UA UB = X C j = n n n [ j ] [ j ] [ j ] UA = UC = R \ UA R UB = B ;
R \ UA \ UB и общего свойства множеств:
A ;
C j = j =1 j = (M1 M2 = M) (M1 \ M2 = M \ M2 ) и сформировать объединённый классификацион-, M1, M ный кортеж U =< UA,UB,UC >. где - произвольные множества.
Указанное правило реализует следующий прин 3. Критерии качества пространственной цип: если учётный элемент помещён в группу A хотя ABC-классификации для случая проблемной бы одной частной скалярной классификацией, то асимметричности скалярных критериев этот элемент помещается в группу A объединённо го классификационного кортежа U;
если учётный 3.1. Формальное представление проблемной элемент помещён в группу B хотя бы одной частной асимметричности скалярных критериев скалярной классификацией, то этот элемент по Учитываемые критерии назовём проблемно асим мещается в группу B объединённого классифика метричными, если они не являются равноценными ционного кортежа U, но только в случае, если этот по степени влияния на результативность актуаль элемент не был помещён в группу A хотя бы одной ного (обычно производственно-хозяйственного) скалярной классификацией;
если учётный элемент процесса. Асимметричность критериев формаль помещён в группу C хотя бы одной частной скаляр но выразим вектором весовых коэффициентов ной классификацией, то этот элемент помещается w = (w1, w2,, wn), элементы которого таковы, что в группу C объединённого классификационного справедливо утверждение:
кортежа U, но только в случае, если этот элемент не n был помещён в группу A или группуB хотя бы одной ( ) ( j {1, 2,, n} 0 < wj < w = 1).
j скалярной классификацией.
j = В качестве показателя степени различия двух кор- Указанные весовые коэффициенты могут быть по тежей, элементами которых являются множества, лучены с помощью матрицы парных сравнений по схе можно использовать сумму максимальных мощно- ме, используемой в методе анализа иерархий Саати [6].
стей разностей однопозиционных множеств. Для Альтернативное представление проблемной асим кортежей Q[l ] =< Q[l ],Q[l ],Q[l ] > и U =< UA,UB,UC > метричности критериев может состоять в следующем.
A B C этот показатель объявляем критерием № 2. Форму Учитываемые критерии распределяются по трём кате ла его вычисления имеет вид:
гориям посредством скалярной ABC-классификации, в которой в качестве классифицирующего крите рия используется вектор весовых коэффициентов w = (w1, w2,, wn). Результат этой классификации. (2) J =< JA, JB, JC > представим кортежем, элемента Заметим следующее:
ми которого являются множества номеров критериев.
1) элементы U обладают свойствами обычного Критерии в зависимости от попадания в ту или иную классификационного кортежа, представляющего классификационную группу называются соответ результат ABC-классификации:
ственно AЦ, B - и CЦкритериями.
( ) ( U UC = UA UB = UA UC =) ( B ) 3.2. Критерий № UA UB UC = X ( ;
на основе классификационных векторов 2) формула для вычисления элементов множества Критерием качества пространственной ABC n классификации в случае проблемной асимметрич [ j ] UC = \ UA \ UB R C ности учитываемых критериев может служить j = имеет концептуальный характер, при этом она полно взвешенная сумма квадратов расстояний между стью эквивалентна структурно более простой формуле K[l ] классификационным вектором и классифи кационными векторами частных скалярных ABC UC = X \ UA \ UB.
классификаций по учитываемым критериям. Фор БИЗНЕС-ИНФОРМАТИКА №1(19)Ц2012 г.
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ И АЛГОРИТМЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ БИЗНЕС-ИНФОРМАТИКИ мула критерия имеет вид: Заметим следующее:
n m 1) элементы G обладают свойствами обычного [ C3l ] = Ki[l ] - ki[ j ] 2. (3) () w j классификационного кортежа, представляющего j =1 i = результат ABC-классификации:
[ Заметим, что критерий концептуально ана C3l ] [ логичен критерию, отличие состоит только в ( ) ( C1l ] GA GC = GA GB =) ( G GC =) B использовании весовых коэффициентов при вы ( GA GB GC = X ;
числении суммы квадратов расстояний от вектора K[l ] до векторов k[ j ], j = 1, 2,, n.
2) формула для вычисления GC отражает пред лагаемую концепцию объединения результатов 3.3. Критерий № скалярных классификаций;
в то же время, она на основе классификационных кортежей полностью эквивалентна структурно более простой формуле:
В качестве альтернативного критерия качества пространственной ABC-классификации в случае GC = X \ GA \ GB.
проблемной асимметричности учитываемых кри Доказательство последней формулы аналогично териев можно использовать показатель степени доказательству формулы для вычисления UC. Заме отличия заданного классификационного кортежа тим, что замена Q[l ] =< Q[l ],Q[l ],Q[l ] > от кортежа ранговых объеди A B C нений элементов классификационных кортежей GC = R[ j ] R[ j ] R[ j ] R[ j ] R[ j ] \ GA \ GB C C A B C частных скалярных ABC-классификаций, который jJ jJB jJC jJC jJC A мы назовём рангово-объединённым классифика GC = X \ GA \ GB на приводит к важному выводу:
ционным кортежем.
группа CЦкритериев не влияет на результат объе Рангово-объединённый классификационный динения частных скалярных классификаций, т.е.
кортеж обозначим так: G =< GA,GB,GC >. Отличие выполнять скалярные классификации по CЦкри кортежа G от объединённого классификационного териям необязательно, достаточно классифика кортежа U, использованного при формировании [ ций по AЦи BЦкритериям. Эти группы критериев критерия C2l ], состоит в более сложной процедуре определяют GA и GB - первые два элемента корте объединения результатов частных скалярных ABC жа G, а последний элемент GC может быть найден классификаций, представленных системой класси как дополнение объединения GA и GB до множества фикационных кортежей всех учётных элементов X. Таким образом группа R[ j ] =< R[ j ],R[ j ],R[ j ] > j = 1, 2,, n,, A B C CЦкритериев может быть категорирована как несу щественная.
Во множество GA, включаются только те учётные Формула для вычисления критерия № 4 полно элементы, которые оказываются помещёнными в стью совпадает с формулой критерия № 2, отличие группу A хотя бы одним AЦкритерием. Во множество состоит только в использовании элементов кортежа GB, включаются не вошедшие в GA учётные элемен G вместо элементов кортежа U:
ты, которые оказываются помещёнными в группу B, хотя бы одним AЦкритерием, а также элементы из групп A и B скалярных ABC-классифика-ций по BЦкритериям. Во множество GC, включаются не во. (4) шедшие в GA и GB учётные элементы, которые ока зываются помещёнными в группу C, хотя бы одним 4. Канонические алгоритмы пространственной A - или BЦкритерием, а также элементы из групп A, ABC-классификации для случая проблемной B и C скалярных ABC-классификаций по CЦкрите симметричности скалярных критериев риям. Формально это правило выражается так:
GA = R[ j ] 4.1. Алгоритм № A j JA на основе классификационных векторов GB = R[ j ] R[ j ] R[ j ] \ GA ;
B A B jJA jJB jJB Канонический алгоритм № 1 ориентирован на GC = R[ j ] R[ j ] R[ j ] R[ j ] R[ j ] \ GA \ GB минимизацию критерия № 1 качества простран.
C C A B C jJA jJB jJC jJC j JC ственной ABC-классификации.
БИЗНЕС-ИНФОРМАТИКА №1(19)Ц2012 г.
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ И АЛГОРИТМЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ БИЗНЕС-ИНФОРМАТИКИ Теорема 1. ной ABC-классификации кортежа, X =< X1, X,, X Если расстояние между вектором состоящего из m элементов, каждый из которых [ [ [l K[l ] = (K1l ], K2l ],, Km ]), l {1, 2,, L} и системой характеризуется n скалярными критериями, опти [ [ [ векторов k[ j ] = (k1 j ], k2 j ],, kmj ]), j = 1, 2,, n ха- мальный по первому критерию, должен состоять из рактеризуется суммой квадратов расстояний следующих шагов.
2 1. Осуществим n скалярных ABC-классифи n m [,, C1l ] = Ki[l ] - ki[ j ] l {1, 2,, L} () каций множества X = Set(X) по каждому из n ска j =1 i = лярных критериев. Результаты скалярных ABC то это расстояние минимально, если выполняется классификаций представим в виде совокупности n система равенств:
классификационных векторов:
n [ [ [ 1 k[ j ] = (k1 j ], k2 j ],, kmj ]), j = 1, 2,, n ;
.
Ki[l ] =, i = 1, 2,, m.
k i,j n j = 2. Оптимальную по первому критерию простран Доказательство.
ственную ABC-классификацию представим в виде [ Рассмотрим сумму как функцию искомых C1l ] классификационного вектора K[l ] l {1, 2,, L} значений элементов вектора,, и [1] [1] [1] K[1] = (K1, K2,, Km ), Opt для поиска минимума указанной суммы составим систему уравнений: элементы которого вычисляются по формуле (5).
[ [ [ [l C1l ](K1l ], K2l ],, Km ]) = 0, i = 1, 2,, m.
4.2. Алгоритм № 2 на основе Ki[l ] классификационных кортежей Очевидно:
Канонический алгоритм № 2 ориентирован на n [ [ [ [l C1l ](K1l ], K2l ],, Km ]) = Ki[l ] - ki[ j ] () 2, минимизацию критерия № 2 качества простран ственной ABC-классификации. Поскольку базой Ki[l ] j = для сравнения альтернативных пространственных поэтому рассматриваемая система уравнений при классификаций по этому критерию служит клас нимает вид:
сификационный кортеж, составленный из про n стых объединений элементов классификационных Ki[l ] ( - ki[ j ] = 0, i = 1, 2,, m.
) j =1 кортежей частных скалярных ABC-классификаций, то именно этот кортеж и определяет опти Далее с учетом мальный алгоритм пространственной ABC nn n n [l ] [ j ] Ki[l ] ( - ki[ j ] = - = nKi[l ] -[ j ] ) K k k классификации. Указанное означает, что алгоритм i i i j =1 j =1 j =1 j =1 пространственной ABC-классификации кортежа X =< X1, X,, X >, состоящего из m элементов, получаем систему: 2 m n каждый из которых характеризуется n скалярными [ j ] nKi[l ] - = 0, k i = 1, 2,, m.
i критериями, оптимальный по второму критерию, j = должен состоять из следующих шагов.
n Откуда Ki[l ] = k, i = 1, 2,, m. 1. Осуществим n скалярных ABC-классификаций i,j n j = множества по каждому из n скаляр X = Set(X) К сожалению, указанная система равенств в ных критериев. Результаты скалярных ABC общем случае не может выполняться по причине классификаций представим в виде совокупности n целостности значений элементов вектора K[l ]. Эта классификационных кортежей:
специфика приводит к следующему условию опти R[ j ] =< R[ j ],R[ j ],R[ j ] >, j = 1, 2,, n, A B C мальности пространственной ABC-классификации по предлагаемому критерию:
2. Оптимальную по второму критерию простран 1 n ственную ABC-классификацию представим в виде Ki[l ] = (5) k, i = 1, 2,, m, i,j Q[2] =< Q[2],Q[2],Q[2] > классификационного кортежа, A B C n j = элементы которого вычисляются по формуле:
где квадратные скобки символизируют опера Х] [ n n n цию округления до ближайшего целого значения.
[ j ] [ j ] [ j ] Q[2] = ;
Q[2] = \ Q[2] ;
Q[2] = \ Q[2] \ Q[2] R R R A A B B A C C A B Изложенное означает, что алгоритм пространствен- j =1 j =1 j =.
БИЗНЕС-ИНФОРМАТИКА №1(19)Ц2012 г.
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ И АЛГОРИТМЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ БИЗНЕС-ИНФОРМАТИКИ 5. Канонические алгоритмы Конечно же, указанная система равенств в общем пространственной ABC-классификации случае не может выполняться по причине целост для случая проблемной асимметричности ности значений элементов вектора K[l ]. Эта спец скалярных критериев ифика приводит к следующему условию оптималь ности пространственной ABC-классификации по 5.1. Алгоритм № 3 на основе рассматриваемому критерию:
классификационных векторов n Ki[l ] = ki,j i = 1, 2,, m. (6) w, j Канонический алгоритм № 3 ориентирован на j = минимизацию критерия № 3 качества простран Изложенное означает, что алгоритм про ственной ABC-классификации. К сожалению, как странственной ABC-классификации кортежа и в случае проблемной симметричности скалярных X =< X1, X,, X >, состоящего из m элементов, критериев, синтезировать алгоритм, обращающий 2 m каждый из которых характеризуется n скалярными в ноль минимизируемый критерий, не удаётся.
критериями, оптимальный по третьему критерию, Теорема 2.
должен состоять из следующих шагов.
Если расстояние между вектором [ [ [l и системой K[l ] = (K1l ], K2l ],, Km ]), l {1, 2,, L} Предполагаем заданной характеристику про [ [ [ j = 1, 2,, n векторов k[ j ] = (k1 j ], k2 j ],, kmj ]), ха блемной асимметричности скалярных крите рактеризуется суммой квадратов расстояний риев в виде вектора весовых коэффициентов n m w = (w1, w2,, wn ).
[,, C3l ] = Ki[l ] - ki[ j ] l {1, 2,, L} () w j 1. Осуществим n скалярных ABC-классифи j =1 i = n причём каций множества X = Set(X) по каждому из n w = 1, j j = скалярных критериев. Результаты скалярных то это расстояние минимально, если выполняется ABC-классификаций представим в виде со система равенств:
вокупности n классификационных векторов:
n [ [ [ Ki[l ] = ki,j k[ j ] = (k1 j ], k2 j ],, kmj ]), j = 1, 2,, n.
w, i = 1, 2,, m.
j j = 2. Оптимальную по третьему критерию про Доказательство.
[ странственную ABC-классификацию пред C3l ] Рассмотрим сумму как функцию искомых ставим в виде классификационного вектора K[l ] l {1, 2,, L} значений элементов вектора,, и [3] [3] [3] K[3] = (K1, K2,, Km ), элементы которого вычис Opt для поиска минимума указанной суммы составим ляются по формуле (6).
систему уравнений:
[ [ [ [l i = 1, 2,, m,.
C1l ](K1l ], K2l ],, Km ]) = 5.2. Алгоритм № 4 на основе Ki[l ] классификационных кортежей Очевидно:
Канонический алгоритм № 4 ориентирован на n [ [ [ [l минимизацию критерия № 4 качества простран, C1l ](K1l ], K2l ],, Km ]) = 2 Ki[l ] - ki[ j ] () w j Ki[l ] j =1 ственной ABC-классификации. Поскольку базой поэтому рассматриваемая система уравнений при- для сравнения альтернативных пространствен нимает вид:
ных классификаций по этому критерию служит n классификационный кортеж, составленный из ] j ] ( - ) w Ki[l ki[ = 0, i = 1, 2,, m.
j ранговых объединений элементов классифи j = кационных кортежей частных скалярных ABC Далее с учетом классификаций, то именно этот кортеж и опреде nn n n n ляет оптимальный алгоритм пространственной ] j ] ] j ] ] j ] ( - ) w Ki[l ki[ = w Ki[l w ki[ = Ki[l w -w ki[ j j j j j ABC-классификации. Указанное означает, что j =1 j =1 j =1 j =1 j = n алгоритм пространственной ABC-классификации и = 1 получаем систему:
w j кортежа X =< X1, X,, X >, состоящего из m j =1 2 m n элементов, каждый из которых характеризуется Ki[l ] - ki[ j ] = w, i = 1, 2,, m.
j j = n скалярными критериями, оптимальный по чет n вёртому критерию, должен состоять из следующих Откуда Ki[l ] = ki,j i = 1, 2,, m.
w, j j =1 шагов.
БИЗНЕС-ИНФОРМАТИКА №1(19)Ц2012 г.
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ И АЛГОРИТМЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ БИЗНЕС-ИНФОРМАТИКИ Предполагаем заданной характеристику проблем- пространственной и совокупности частных скаляр ной асимметричности скалярных критериев в виде ных ABC-классификаций, для случаев одинаковой вектора весовых коэффициентов w = (w1, w2,, wn ) и различной проблемной значимости скалярных и результата ABC-классификации элементов этого критериев, используемых для характеристики учёт вектора в виде кортежа J =< JA, JB, JC >, элемен- ных элементов конкретной предметной области.
тами которого являются множества номеров крите 3. Предложено четыре алгоритма пространствен риев, попавших соответственно в группы A, B и C.
ной ABC-классификации, названные канонически 1. Осуществим n = JA + JB скалярных ABC ми, - оптимальные по предложенным показателям AB X = Set(X) классификаций множества по каждому качества многомерного группирования учётных из скалярных критериев, номера которых принад элементов для случаев одинаковой и различной про лежат множествам JA и JB. Результаты скалярных блемной значимости частных скалярных критериев.
ABC-классификаций представим в виде совокупно Область применения изложенных результатов n AB сти классификационных кортежей:
Изложенные результаты могут использоваться в качестве методологической платформы реализации j = j1, j2,, jnAB R[ j ] =< R[ j ],R[ j ],R[ j ] >,, где A B C средств сокращения информационного простран j1, j2,, jnAB {1, 2,, n}.
ства в логистической практике для повышения эф 2. Оптимальную по четвёртому критерию про фективности управления товарно-материальными странственную ABC-классификацию пред ресурсами за счет целесообразного и обоснованно ставим в виде классификационного кортежа го распределения усилий по различным направле Q[4] =< Q[4],Q[4],Q[4] >, элементы которого вычис A B C ниям контроля ситуации и выработки управляю ляются по формуле:
щих мероприятий.
Q[4] = R[ j ] Q[4] = R[ j ] R[ j ] R[ j ] \ Q[4] Опыт применения и сравнительный анализ AA ;
;
BBA B A j J A j J j JB j JB A Решение задачи многомерной ABC-классифи кации по предлагаемым каноническим алгорит Q[4] = X \ Q[4] \ Q[4] CA B мам, сопоставление полученных результатов и сравнение с результатом ABC-классификации на Заключение основе свёртки частных критериев осуществлено Новые теоретические результаты, представлен по учётным данным товарно-материальных запасов ные в статье:
предприятия наукоемкого производства, занимаю 1. Предложены альтернативные формы представ щегося выпуском среднесерийного, мелкосерий ления результатов ABC-классификации - в виде ного и штучного технологического оборудования, классификационных кортежей и векторов.
имеющего отлаженный механизм поставки мате 2. Предложено четыре альтернативных показа- риалов, комплектующих и сопутствующих товаров теля качества пространственной (многомерной) в цеха точно в срок. Результаты достаточно инте ABC-классификации, отражающих сходство клас- ресны и могут служить предметом самостоятельной сификационных векторов (1), (2) и кортежей (3), (4) публикации.
Литература 1. Бауэрсоскс Д.Дж., Клосс Д.Дж. Логистика: Интегрированная цепь поставок / Пер. с англ. Н.Н. Ба рышниковой, Б.С. Пинскера. - 2-е изд. - М.: ЗАО Олимп-Бизнес, 2008. - 640 с.
2. Стерлигова А.Н. Управление запасами широкой номенклатуры: с чего начать // Логинфо. - 2003. - № 12. С. 50 - 55.
3. Чейз Р.Б., Эквилайн Н.Дж., Якобс Р.Ф. Производственный и операционный менеджмент: Пер. с англ.
- 8-е изд. - М.: Издательский дом Вильямс, 2004. - 704 с.
4. Landford J. Logistics. Principles and Applications - USA: McGraw Hill Inc, 1995. - P. 390.
5. Gulyassy F., Hoppe М., Isermann М., K hler O. Materials planning with SAP. - Galileo Press GmbH, 2009.
- Р. 564.
6. Саати Т.Л. Принятие решений. Метод анализа иерархий: Пер. с англ. - М.: Радио и связь, 1989. - 316 с.
БИЗНЕС-ИНФОРМАТИКА №1(19)Ц2012 г.