Экономические 5(78) 61 Экономическая теория науки 2011 Энтропия как мера неопределенности в анализе рисковых ситуаций при выборе финансовых решений й 2011 А.И. Пилипенко доктор педагогических наук,

профессор Российский государственный университет дружбы народов E-mail: OET2004 Автором предложен способ количественной оценки и учета неопределенности при выборе фи нансовых решений, основанный на понятии энтропии.

Ключевые слова: риск, рисковая ситуация, мера риска, ситуация неопределенности, мера неопре деленности.

Однако, как будет видно из нашего предварительного рассмотрения проблемы прибы ли, источником затруднений, возникающих в данной области, является путаница мыслей, глубоко уходящая корнями в самые основы нашего мышления. Чтобы распу тать этот клубок, следует обратиться к понятию риска или неопределенности и к той неоднозначности, которая кроется в этих понятиях. Поэтому на них, в конце концов, будут сосредоточены основные наши рассуждения.

Найт Ф.Х. Риск, неопределенность и прибыль Понятия риск и неопределенность фигури- нов. На необходимость такого противопостав руют в ситуациях принятия финансово-эконо- ления в связи с экономическими расчетами мических решений в контексте отсутствия или субъектов рынка, действующих в условиях кон недостатка определенности, т.е. отсутствия твер- куренции, еще в 1921 г. указал американский дой уверенности в конечном результате. Напри- экономист Фрэнк Хейнеман Найт4. Согласно мер, менеджеры компаний должны ежедневно его классификации термин УрискФ следует ис принимать решения о продажах, покупках, орга- пользовать, когда известно распределение слу низации работы производственных и иных под- чайной величины, с помощью которой моде разделений фирмы. При этом они сталкиваются лируют рисковую ситуацию. По-другому это с изменением конъюнктуры на рынках, действи- можно назвать Уизмеримой неопределеннос ями конкурентов, сменой предпочтений потре- тьюФ. Слово УнеопределенностьФ Найт пред бителей, экологическими ограничениями, особен- лагал применять в тех случаях, когда исход не ностями законодательства и другими фактора- определен и распределение вероятностей неиз ми. При ведении бизнеса менеджеры преследу- вестно (так называемая Унеизмеримая неопре ют различные цели: увеличение прибыли, рост деленностьФ)5.

стоимости компании, расширение своей доли Развивая информационный подход Ф. Най рынка выпускаемой продукции и т.д. Перечис- та, обратим внимание на то обстоятельство, что ленные факторы и цели могут частично проти- анализ рисковой ситуации, как ситуации Уиз воречить друг другу, что усиливает степень нео- меримой неопределенностиФ, должен быть до пределенности при принятии решений. Очевид- полнен еще одной количественной характерис но, никакой бизнес не может вестись в условиях тикой - мерой неопределенности. Действитель полной определенности. но, в тех случаях, когда рассчитанные значе Таким образом, усложнение хозяйственной ния математического ожидания и среднеквад практики, развитие финансовых рынков дела- ратического отклонения от него не дают воз ют критически важным учет риска и неопреде- можности однозначно выбрать лучшее реше ленности1. ние, главным аргументом может стать числен Понятия УрискФ и УнеопределенностьФ ное значение меры неопределенности.

очень близки и, воспринимаемые с позиций Покажем, как можно ввести такую меру.

житейского, не научного, знания, часто исполь- Вначале ограничимся качественными рассуж зуются как синонимы2 (см., например3). Но для дениями.

корректного использования построенного на Пусть доходность некоторой финансовой этих понятиях аналитического инструментария операции как случайная величина представля необходимо четкое разграничение этих терми- ет собой следующую систему событий:

n g a e h V C i X e w F e D r P w Click to buy NOW!

m w o w c.

.

d k o c c a r u t Экономические 5(78) 62 Экономическая теория науки (1) (5) A1, A2,..., A. pi loga pi n Очевидно, это будет полная система собы- суммы (4).

тий. Соответствующие данным событиям веро- Величина (5) всегда неотрицательна. Она ятности пусть оцениваются как стремится к нулю при pi 1 и при pi 0.

Следовательно, равна нулю мера неопределен p1 p( A1), p2 p( A2 ),..., ности системы событий, у которой вероятность (2), pn p( An ) какого-то события равна 1, а вероятности всех причем остальных событий равны 0. Только при таком n распределении вероятностей событий мера нео pi 1. (3) пределенности системы событий равна нулю.

i Очевидно, это минимально возможное значение Полагая, что n > 2, рассмотрим три частных введенной нами меры неопределенности финан случая:

совой операции. Действительно, при любом ином 1) p1 = 0,99, и следовательно, вероятность распределении вероятностей событий мера нео каждого из остальных событий мала;

пределенности (4) положительна.

2) p1 = 0,49, p2 = 0,49, и следовательно, ве Заметим, что в физических измерениях ве роятность каждого из остальных событий мала;

личина H, определяемая формулой (4), называ 3) вероятности всех событий сравнимы между ется энтропией данного опыта.

собой.

Заметим также, что величина (4), введенная В случае 1 можно достаточно уверенно пред нами как мера Уизмеримой неопределенностиФ, сказать, что, по-видимому, произойдет событие в предельном случае оказывается мерой полной, А1. В случае 2 предсказание будет менее опреде или УнеизмеримойФ неопределенности. В самом ленным - произойдет, по-видимому, либо собы деле, если мы будем искать максимум выраже тие А1, либо событие А2. В случае 3 предсказать ния (4) при условии (3), например, с помощью что-либо трудно.

функции Лагранжа Можно сказать, что в случае 2 система собы n n тий более неопределенна, чем в случае 1, а в слу L pi loga pi pi, (6) чае 3 более неопределенна, чем в случае 2.

i1 i Вводя количественную меру неопределенно где - неопределенный коэффициент, сти полной системы событий, вполне логично мы придем к выводу, что все pi равны между потребовать, чтобы каждое событие вносило свой собой (это непосредственно вытекает из выра вклад в эту величину следующим образом. Со жений вида бытие, вероятность которого близка к единице, (7) loga pi 1 0, должно вносить малый вклад в меру неопреде ленности системы, так как относительно этого L события с большой степенью уверенности мож отражающих требование ). Следователь pi но считать, что оно случится. Точно так же ма но:

лый вклад в меру неопределенности должно вно сить событие, вероятность которого очень мала, pi, i 1,n (8).

так как с большой степенью уверенности можно n предсказать, что это событие не случится. И на Таким образом, при фиксированном п наи оборот, вклад в меру неопределенности события, большую меру неопределенности имеет система вероятность которого заметно отлична и от 0 и событий, в которой вероятности всех событий от 1, существенна, ибо трудно предвидеть, про одинаковы. Но в этом случае мы как раз и ока изойдет это событие или нет.

зываемся в ситуации полной неопределенности.

Основываясь на данных соображениях, це Причем равные вероятности исходов появляют лесообразно за меру неопределенности H систе ся в соответствии с постулатом Байеса, который мы событий (1) принять величину гласит, если вероятности явления неизвестны, n то они должны приниматься за равные.

H pi loga pi (4) i Подставляя (8) в (4), находим, что мера нео (о выборе основания логарифма a скажем чуть пределенности полной системы событий в этом позднее). Здесь i-e событие системы (1) вносит случае равна в меру неопределенности H вклад, равный сла (9) H loga n.

гаемому n g a e h V C i X e w F e D r P w Click to buy NOW!

m w o w c.

.

d k o c c a r u t Экономические 5(78) Экономическая теория науки Данный результат означает, что в случае вой операции будет приблизительно равна 2-k.

полной неопределенности, чем больше число со- Если после k разбиений в какой-либо из полу бытий в системе, тем больше мера неопределен- ченных групп окажется только один возможный ности этой системы. Стало быть, введенная нами результат, то дальнейшее разбиение этой группы мера неопределенности может оказаться полез- будет невозможным, и мы выразим номер со ной при выборе из альтернативных вариантов и ставляющего эту группу значения Ai полученным в случае Унеизмеримой неопределенностиФ. k-значным двоичным числом. Легко видеть, что Рассмотрим теперь строгое введение меры если вероятность какого-нибудь возможного ре неопределенности (4). зультата исхода равна 2-k, где k - какое-нибудь Для того чтобы выяснить, что может слу- целое положительное число, то его номер выра жить мерой неопределенности системы (1), оха- зится k-значным двоичным числом. Для того что рактеризуем каждый возможный результат фи- бы понять, как можно измерить неопределенность нансовой операции Ai его номером в двоичной результата рассматриваемой рисковой ситуации, системе счисления. Вспомним, что в данном слу- предположим: вероятности всех возможных ис чае всякое число z представимо в виде ходов выражаются числами 2 mi (i =1,..., n), где (10) z = а020 + a121 + а222 +... + ak2k, m1,...,т - целые положительные числа, такие, что n где каждое из чисел а0, a1,..., ak может быть n mi (11) равно единице или нулю. Число z вполне опре 2 1.

i деляется в двоичной системе последовательнос Тогда номер результата исхода, вероятность ко тью чисел а0, a1,..., ak совершенно так же, как в i десятичной системе всякое число вполне опре- торого равна, выразится mi-значным двоичным 2m деляется последовательностью десятичных цифр, числом. При таком способе нумерации количество показывающих, сколько в данном числе содер- двоичных знаков (в том числе которым придется зарегистрировать полученный результат исхода, чтобы жится единиц, десятков, сотен и т.д. Число k + полностью определить его) можно рассматривать как 1 является числом двоичных знаков, которыми случайную величину с возможными значениями изображается число z.

m1,...,т, вероятности которых равны соответственно n Установим следующие правила нумерации n 2m возможных значений финансовой операции:,...,. Естественно попытаться принять за 2m меру неопределенности рассматриваемой рисковой равновероятные результаты опыта будем ситуации математическое ожидание числа двоичных обозначать одним и тем же числом двоичных знаков, необходимых для того, чтобы полностью оп знаков;

ределить результат этого опыта, т.е. величину чем больше вероятность данного резуль 1 тата опыта, тем меньшим числом двоичных зна H m12m m22m ков будем стараться его обозначить.

n (12)... mn 2m.

Произвести нумерацию возможных резуль Совершенно так же можно определить номе татов системы (1) в двоичной системе, руковод ра возможных результатов опыта в какой-нибудь ствуясь перечисленными двумя правилами, мож другой, например, в a-ичной системе. Для этого но, например, следующим образом. Разобьем все следует разбить все возможные результаты опыта возможные значения Ai на две группы так, чтобы на а групп и каждой группе приписать одно из а сумма вероятностей результатов, входящих в одну возможных значений первого знака a-ичного чис группу, была как можно ближе к 1/2. Всем ре ла. Затем каждую из групп разбить на а под зультатам, входящим в одну группу, припишем групп, приписав каждой из подгрупп одно из a первый двоичный знак 1, а всем результатам, вхо возможных значений второго знака a-ичного чис дящим в другую группу, припишем первый дво- ла. Если вероятности всех возможных результа ичный знак 0. Для определения второго двоич тов опыта равны a mi (i =1,..., N), где m1,...,тN ного знака разобьем каждую из двух групп, в такие целые положительные числа, что свою очередь, на две подгруппы так, чтобы сум N mi ма вероятностей значений исходов, входящих в (13) a 1, каждую подгруппу, была как можно ближе к 1/4. i Продолжая таким образом, мы получим после k то результат опыта, имеющий вероятность a mi, разбиений такие группы, что сумма вероятностей получит номер, выражаемый mi-значным числом входящих в каждую группу значений финансо в a-ичной системе счисления. Рассматривая число n g a e h V C i X e w F e D r P w Click to buy NOW!

m w o w c.

.

d k o c c a r u t Экономические 5(78) 64 Экономическая теория науки знаков в a-ичном числе, которым придется обо- ностью определить неопределенность результата, значить полученный результат опыта, чтобы пол- в соответствии с формулой (12) равно ностью определить его как случайную величи 1 ну, можно принять за меру неопределенности H 2 2 2 4 результата опыта математическое ожидание этой 1 случайной величины:

4 4 2 бит.

16 1 H m1am m2am Очевидно, тот же самый результат будет N (14)... mNam.

получен и при использовании формулы Формулы (12) и (14) могут быть объедине n ны формулой H pi log2 pi.

(16) i N (15) Легко убедиться, что в случае полной неопреде H pi log pi, i ленности в условиях примера 1, т.е. если вероятнос аналогичной величине (4), где логарифмы сле- ти всех восьми возможных исходов финансовой опе дует взять при основании 2 в случае формулы рации равны друг другу, мы получим меру неопре (12) и при основании a в случае формулы (14). деленности данной ситуации равной H = 831/8 = 3 бит.

Так как loga u log2 u loga 2, то вопрос о вы Пример 2. Акции фирм А и В по-разному боре основания логарифмов является вопросом чувствительны к рыночной конъюнктуре. Про о единицах измерения неопределенности опыта.

гнозируемые доходности по акциям фирмы А и В случае формулы (12) неопределенность изме В и соответствующие распределения вероятнос ряется в двоичных знаках, а в случае формулы тей по оценкам экспертов имеют следующие зна (14) - в a-ичных знаках.

чения:

Выбор основания логарифмов определяет еди p(Ai) Доходность акций Ai, % ницу измерения энтропии. Для практических при 0, ложений удобно выражать энтропию через дво 0,65 ичные логарифмы. Единицей измерения энтро 0,10 пии в этом случае служит один двоичный знак.

0,05 - Эта единица имеет специальное название бит.

p(Bi) Доходность акций Bi, % Заметим, что в общей теории единицы из 0,25 мерения безразличны, поэтому в дальнейшем 0,50 можно считать, что в записи log p основание 0,25 логарифмов равно некоторому положительному Акциям какой фирмы следует отдать пред числу a: log p loga p.

почтение?

Пример 1. Пусть в системе (1) рассматрива- Традиционный подход, когда лицо, прини ется восемь возможных результатов финансовой мающее решение, опирается на ожидаемую до операции с вероятностями 1/4, 1/4, 1/8, 1/8, 1/ ходность и меру риска в виде среднего квадра 16, 1/16, 1/16, 1/16. Тогда изложенный способ тического (стандартного) отклонения, дает сле разбиения на группы и определения номера каж- дующие результаты:

дого исхода в двоичной системе можно предста- А = 0,2019 + 0,6516 + вить следующей таблицей: + 0,109 + 0,05(-3) = 14,95;

0, 20 (19 14,95) pi Двоичные знаки Двоичный A номер 1-й 2-й 3-й 4-й 0,65(16 14,95)2 0, 1/4 1 1 1/4 1 0 (9 14,95)2 0, 1/8 0 1 1 1/8 0 1 0 (2 14,95)2 4,86;

1/16 0 0 1 1 B = 0,2520 + 0,5010 + 0,2520 = 15;

1/16 0 0 1 0 1/16 0 0 0 1 1/16 0 0 0 0 0000 0, 25 (20 15) A 0,50(10 15) Математическое ожидание количества двоич ных знаков, необходимых для того, чтобы пол 0, 25 (20 15)2 5.

n g a e h V C i X e w F e D r P w Click to buy NOW!

m w o w c.

.

d k o c c a r u t Экономические 5(78) Экономическая теория науки По этим результатам трудно отдать пред- определяет энтропию физической системы. Эн почтение какому-либо из вариантов. Расчет ко- тропия характеризует меру хаоса, меру неупоря эффициентов вариации тоже мало проясняет кар- доченности физической системы. В этом поня тину: тии можно усмотреть определенную аналогию с CVА = 0,325, CVB = 0,333. мерой неопределенности полной системы собы В данной ситуации следует принять во вни- тий. Поэтому наряду с выражением Умера нео мание меры неопределенности альтернативных пределенностиФ, возможно, целесообразно упот вариантов А и В, рассчитанные по формуле (16): реблять выражение Уэнтропия рисковой ситуа HА = 1,4 и HB = 1,5. цииФ или Уэнтропия ситуации полной неопреде Теперь, поскольку мера неопределенности ленностиФ.

(энтропия) акций фирмы В оказалась больше, чем мера неопределенности акций фирмы А, мож- В частности, учет этих факторов может суще ственно повлиять на стимулы ведения бизнеса и его но ожидать, что акции фирмы А предпочтитель стоимость. Так, в 1999 г. 5%-ный пакет швейцар нее.

ской АЭС в Лейбштадте (Швейцария) был передан другому инвестору с доплатой в 60 млн. евро, что Вывод являлось отражением высокого (по оценке участ Вводимое нами понятие и количественная ников сделки) атомного риска (Neue Zrcher Zeitung.

характеристика Умера неопределенностиФ охваты 1999. 29 Dec. S. 19).

вает как ситуации риска, так и ситуации полной УТеоретики, занимающиеся вопросами при неопределенности. Показано, что в случае раз- нятия решений, часто проводят различия между по личных распределений вероятностей альтернатив- нятиями УрискФ и УнеопределенностьФ. О риске го ворят в ситуации, когда существует несколько воз ных рисковых вариантов мера неопределенности можных исходов и имеется релевантный прошлый вкупе с традиционно применяемыми характери опыт, позволяющий возможные исходы обработать стиками может оказаться действенным аналити статистически. Неопределенность проявляется в том ческим инструментом анализа.

случае, когда есть несколько возможных исходов, Насколько известно автору, развиваемый но предыдущих статистических данных мало, и это нами подход в экономической литературе не не позволяет предсказать возможные исходы. Боль встречается. В тех же случаях, когда все-таки шинство решений в бизнесе можно отнести имен говорится об Уизмерении степени неопределенно- но к категории неопределенности. Однако при про ведении анализа описанная разница между риском стиФ, речь на самом деле идет о вычислении и неопределенностью большого значения не име математического ожидания и среднеквадратичес ет, и потому в этой книге будем пользоваться этими кого отклонения (см., например6). Предлагаемый терминами как синонимамиФ. (Друри К. Управлен нами подход представляется более последователь ческий учет для бизнес-решений: пер. с англ. М., ным развитием идей Ф. Найта. В этом, на наш 2003. С. 264). УТаким образом, несмотря на очень взгляд, заключается и методологическая целесо близкие смысловые значения слов УрискФ и Унео образность: если есть возможность ввести коли пределенностьФ, их иногда разделяют, хотя это в зна чественную меру неопределенности, то уже не чительной мере вопрос соглашения о терминоло допустима существующая путаница в понятиях гииФ (Чернова Г.В., Кудрявцев А.А. Управление рис ками: учеб. пособие. М., 2003.С. 11).

УнеопределенностьФ и УрискФ.

См.: Друри К. Указ. соч. С. 264;

Чернова Г.В., Выражения (4) и (15) для меры неопреде Кудрявцев А.А. Управление рисками: учеб. пособие.

ленности полной системы событий по структуре М., 2003. С. 11.

совпадают с выражением для энтропии физи Knight F.H. Risk, Uncertainty and Profit. Boston, 1921.

ческих систем. Если объем физической системы Найт Ф.Х. Риск, неопределенность и прибыль:

мысленно разбит на элементарные объемы и ве пер. с англ. М., 2003.

роятность состояния, в котором находится i-й См.: Друри К. Указ. соч. С. 267;

Сио К.К. Управ элементарный объем, равна рi, то выражение (4) ленческая экономика: пер. с англ. М., 2000. С. 115.

Поступила в редакцию 04.04.2011 г.

n g a e h V C i X e w F e D r P w Click to buy NOW!

m w o w c.

.

d k o c c a r u t    Книги, научные публикации