Сибирский математический журнал Сентябрь октябрь, 2003. Том 44, № 5 УДК 517.55 ВЫРАЖЕНИЕ СУПЕРПОЗИЦИИ ОБЩИХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ ЧЕРЕЗ ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ И. А. Антипова Аннотация: Показано, что

суперпозиция общих алгебраических функций может быть представлена в виде отношения гипергеометрических рядов.

Ключевые слова: алгебраическая функция, гипергеометрический ряд, преобра зование Меллина, суперпозиция, многомерные вычеты.

В 1921 г. Меллин [1] получил формулу для решения общего алгебраическо го уравнения ym + xm-1ym-1 + + x1y - 1 = 0. (1) Для решения y(x) = y(x1,..., xm-1), которое мы будем называть общей алгеб раической функцией, он привел две формулы: представление в виде интеграла, называемого теперь интегралом Меллина Барнса [2Ц4], и формулу разло жения в степенной ряд с центром в точке x = 0. Указанный степенной ряд является гипергеометрическим рядом по Горну (см. [5, 6]): отношения сосед них коэффициентов ряда являются рациональными функциями от переменных суммирования ряда.

В настоящей работе обобщаются формулы Меллина для суперпозиции об щих алгебраических функций. Как отмечено в [7], суперпозицию n алгебра ических функций можно проинтерпретировать как n-ю координату решения системы n алгебраических уравнений треугольного вида, причем под тре угольностью понимается, что первое уравнение зависит только от первой неиз вестной переменной, второе от первой и второй и т. д. Имея в виду обобщение уравнения (1), такую треугольную систему запишем в виде k m y1 + xk1y1 - 1 = 0, 0

n n k1 kn mn n n yn + xk...kny1... yn - 1 = 0, n 0

й 2003 Антипова И. А.

Выражение суперпозиции общих алгебраических функций n n по k1,..., kn-1, а предполагается лишь, что суммы конечные. Таким образом, в i-м уравнении системы суммирование ведется по множеству мультииндексов i Zi вида i = mi - 1], где Zi-1 конечное множество.

+ i i + [1, i i Набор показателей k1,..., ki i, обслуживающих i-е уравнение в (2), будем кратко обозначать через ki, а соответствующий коэффициент xki i в...ki этом уравнении через xki.

n Для вычисления n-й координаты yn(x) = yn({xk1},..., {xk }) решения y(x) = (y1(x),..., yn(x)) системы (2) исследуем любую мономиальную функцию n y(x) := y1 (x) ... yn (x), где 1 > 0,..., n > 0.

В п. 1 вычислено преобразование Меллина для y(x), а в п. 2 с помощью пре образования Меллина выписано интегральное представление (теорема 2) и раз ложение в ряд Тейлора для y(x) (теорема 3). Последняя теорема утверждает, что для ветви y(x) со свойством yi(0) = 1, i = 1,..., n, функция y разлагается в ряд Тейлора:

n (-1)|p| pkj y(x) = 1 + Cp xk.

j p1! ... pn!

j= |p| 1 kj j Коэффициенты Cp = Cp1 определяются по формуле...pn |pj|- n n n i i j kj j kj + pki + pki - |pj| + q, mj i=j+1 ki i mj q=1 mj i=j ki i mj j= где pj! = pkj !, |pj| = pkj, kj j kj j причем в случае |pj| = 1 произведение полагается равным 1.

q= Степенной ряд для y(x) получается вычислением обратного преобразова ния Меллина с помощью многомерных вычетов на основе метода разделяющих циклов А. К. Циха [2Ц4].

Из структуры коэффициентов Cp видно, что степенной ряд для y(x) яв ляется гипергеометрическим. Координата yn(x) может быть представлена, на пример, в виде отношения y1(x) ... yn-1(x) yn(x) yn(x) =.

y1(x) ... yn-1(x) yn(x) Поэтому мы получаем (теорема 4): суперпозиция yn(x) общих алгебраических функций представляется в виде отношения двух гипергеометрических рядов.

Это обстоятельство уместно сравнить с замечанием Б. Штурмфельса [8] о том, что в отличие от случая одного уравнения решения систем уравнений не всегда зависят от коэффициентов гипергеометрическим образом.

Автор благодарен рецензентам за полезные замечания.

1. Преобразование Меллина для y(x) n Преобразование Меллина для y(x) = y1 (x) ... yn (x) определяется ин тегралом n uki - n M(u) = y1 (x) ... yn (x) xk dx, (3) i i= ki i Rs1 Rsn + + 974 И. А. Антипова где n dx = dxki, i= ki i а si равно количеству коэффициентов в i-м уравнении системы (2), т. е. мощ ности i.

Для вычисления интеграла (3) введем замену переменных x:

r r k kr m1 mr - r r xk = k W1 ... Wr Wr, kr r, r = 1,..., n, (4) где r Wr = 1 + k, r = 1,..., n.

kr r Учитывая соотношения (2), легко видеть, что mr yr = Wr.

Для вычисления якобиана n (x) ({xk1},..., {xk }) = n () ({k1},..., {k }) матрицу Якоби рассмотрим как блочную с n2 блоками r ({xk }), r, s = 1,..., n, s ({l }) у которой диагональные блоки квадратные. В клетках, стоящих на диагонали, диагональные элементы следующие:

r kr r kr r r k1 k r-1 kr r-1 kr r r xk kr - mr-1 mr - mr- m1 m1 mr r = W1 ... Wr-1 Wr + k W1 ... Wr-1 - 1 Wr.

r k mr Вне диагоналей в этих клетках стоят элементы вида r kr r k r-1 kr r r xk kr - mr- m1 mr r = k W1 ... Wr-1 - 1 Wr, kr = lr.

r l mr Клетки, расположенные выше диагонали, состоят из нулей ввиду треугольности системы (2). Определитель этой матрицы равен произведению определителей блоков, стоящих на диагонали. Несложные вычисления приводят к следующе му выражению для якобиана.

Лемма. Якобиан замены (4) выражается формулой n i (x) ki i = WiA 1 + ki, () mi i= ki i где n j i ki ki Ai = - 1 + - 1.

mi mi j=i+ ki i kj j Теперь сформулируем и докажем основное утверждение настоящего пунк та.

Выражение суперпозиции общих алгебраических функций Теорема 1. Преобразование Меллина M(u), определяемое интегралом (3), равно n j i - kjuki n mj mj i=j ki i n j i j= - kjuki + ukj + mj mj i=j ki i kj j n j i - kjuki (ukj ).

mj mj i=j+1 ki i kj j Интеграл (3) сходится при условиях n j i Re ukj > 0 (kj j), Re - kjuki > 0, j = 1,..., n.

mj mj i=j ki i Замечание. Для случая n = 1 преобразование M(u) вычислено Мелли ном в [1].

Доказательство. Заметим, что замена переменной (4) определяет биек цию пространства R|s|. В самом деле, эта замена на каждой из плоскостей вида + p r = R|s| : k = rp, p = 1,... n + kp p представляет собой обычное растяжение, и потому она инъективна на таких плоскостях. При разных r плоскости r не пересекаются в октанте R|s|, причем + таким же свойством обладают образы этих плоскостей. Следовательно, заме на (4) инъективна, а ее сюръективность вытекает из того, что при r [0;

+)n образы плоскостей r исчерпывают весь октант R|s|.

+ В преобразовании Меллина (3) произведем замену переменной (4) и под ставим значение якобиана, найденное в лемме. В результате M(u) запишется интегралом n j kj ukj - 1 + kj k d j mj j= kj j kj j .

n j 1 i j- (kj -mj)(ukj -1)- kj(uki -1)-mjAj mj Rs1 Rsn n i=j+ + + kj j ki i Wj j= Перепишем степень величины Wj в знаменателе подынтегрального выражения в виде n j i j - kj - mj (ukj - 1) - kj(uki - 1) - mjAj mj kj j i=j+ ki i n j i = - kjuki + ukj + 1.

mj mj i=j ki i kj j Тогда n M(u) = Jj, j= 976 И. А. Антипова где j kj ukj - 1 + kj k dkj j mj kj j kj j Jj =. (5) j 1 n i - kjuki + ukj + sj mj mj i=j R+ ki i kj j Wj Для вычисления интегралов Jj воспользуемся формулой (см. [9]) :

ukj - k dkj (ukj ) p - ukj j kj j kj j kj j. (6) p = (p) 1 + kj sj R+ kj j Интеграл (6) сходится, если Re ukj > 0, Re p > 0, следовательно, интегралы (5), а поэтому и интеграл (3) будут сходиться при условиях n j i Re(ukj ) > 0, Re - kjuki > 0, kj j, j = 1,..., n.

mj mj i=j ki i Воспользовавшись формулой (6), получим ukj - k dkj j kj j Jj = j 1 n i - kjuki + ukj + sj mj mj i=j R+ ki i kj j Wj j kj ukj - kj k dkj j mj kj j kj j + j 1 n i - kjuki + ukj + sj mj mj i=j R+ ki i kj j Wj n j i (ukj ) - kjuki + mj mj i=j kj j ki i = n j i - kjuki + ukj + mj mj i=j ki i kj j n j i (ukj ) (ulj + 1) - kjuki mj mj i=j ki i kj j j lj kj=lj + n mj j i lj j - kjuki + ukj + mj mj i=j ki i kj j n j i - kjuki mj mj i=j ki i = (ukj ) n j i kj j - kjuki + ukj + mj mj i=j ki i kj j n j kj j i - kjuki + ukj mj mj i=j ki i mj kj j Выражение суперпозиции общих алгебраических функций n j i - kjuki mj mj i=j ki i = (ukj ) n j i kj j - kjuki + ukj + mj mj i=j ki i kj j n j i, - kjuki mj mj i=j+1 ki i откуда вытекает утверждение теоремы.

2. Интегральная формула и ряд Тейлора для y(x) Следуя Меллину [1], приведем интегральную формулу для n y = y1 (x) ... yn (x) (1 > 0,..., n > 0), где y(x) = (y1(x),..., yn(x)) решение системы (2). А именно, формула обра щения для преобразования Меллина приводит к следующему утверждению.

Теорема 2. Мономиальная функция y(x) решения системы (2) представ ляется следующим интегралом Меллина Барнса:

n j i - kjuki n mj mj 1 i=j ki i n (2i)|s| j i j= - kjuki + ukj + +iR|s| mj mj i=j ki i kj j n j i kj - kjuki (ukj )(xkj )-u du, (7) mj mj i=j+1 ki i kj j n где |s| = s1 + + sn, du = dukj. Вектор R|s| выбирается из j= kj j многогранника n j i u R|s| : ukj > 0, kj j, - kjuki > 0, j = 1,..., n.

mj mj i=j ki i Для вычисления интеграла (7) воспользуемся теорией многомерных выче тов. Результат вычисления интеграла через сумму вычетов и даст нам ряд Тейлора для y(x).

Теорема 3. Для любого Rn функция y(x) разлагается в некоторой + окрестности начала координат x = 0 в ряд Тейлора (гипергеометрический ряд) n kj y(x) = 1 + Cp (xkj )p, (8) j= |p| 1 kj j где коэффициенты Cp определяются по формуле n n (-1)|p| j i Cp = + kjpki p1! ... pn! mj mj i=j+1 ki i j= 978 И. А. Антипова |pj|- n j i + kjpki - |pj| + q, (9) mj mj i=j ki i q= pj! = pkj !, |pj| = pkj, kj j kj j в случае |pj| = 1 произведение полагается равным 1.

q= Доказательство. Нам потребуется один из фактов многомерной теории вычетов, а именно принцип разделяющих циклов [2Ц4]. Адаптация этого прин ципа к нашему случаю касается вычисления интегралов от мероморфных диф ференциальных форм вида ( Ak, u + ak) m k 1 m = (uj) P (u)x-u ... x-u du, 1 m ( Bl, u + bl) j= l где ak, bl R, Ak, Bl Rm, P (u) полином. Обозначим I = (1,..., 1) Zm.

Утверждение [2, с. 235;

3]. Если I+ Ak = Bl и вектор = (1,..., m) Rm таков, что ни одно из полупространств Ak, u + ak 0 не пересекает октант {u Cm : Re u1 < 1,..., Re um < m}, то справедливо равенство = resu(p), (10) (2i)m +iRm pNm где resu(p) это вычет в точке пересечения u(p) = (-p1,..., -pm) гиперплос костей u1 = -p1,..., um = -pm, являющихся полюсами для (u1),..., (um).

Ряд из вычетов сходится в некоторой окрестности точки x = 0.

Вычислим интеграл (7) как сумму вычетов по всем точкам u(p):

uk1 = -pk1 0 < k1 < m1, 1 uk2 2 = -pk2 2 0 < k2 < m2, k2 1k.........

n n n n n uk...kn = -pk...kn 0 < kn < mn.

1 В этих точках одновременно имеют полюсы все (ukj ), j = 1,..., n.

Обозначим через подынтегральное выражение (7). Так как в точке u(p) полярность формы обеспечивается только множителями (ukj ), вычет resu(p) равен произведению вычетов в точках ukj = -pkj гамма-функций (ukj ) и зна чения весового (голоморфного) множителя в точке u(p):

(-1)|p| resu(p) = p1! ... pn!

n n j 1 j i i + kjpki + kjpki n mj mj mj mj i=j i=j+ ki i ki i kj.

(xkj )p n j i j= kj j + kjpki - pkj + mj mj i=j ki i kj j Выражение суперпозиции общих алгебраических функций Согласно (10) имеем n y1 (x) ... yn (x) = resu(p). (11) |p| При |p| = 0 и |p| = 1 в сумме (11) получаются слагаемые вида 1 n 1 k1 n kn n 1 - + xk1 - - + xk.

m1 m1 mn mn 1 n 0

Имеем n n j 1 j i i + kjpki + kjpki mj mj mj mj i=j i=j+ ki i ki i n n j 1 j i i + kjpki - pkj + kjpki - pkj mj mj mj mj i=j i=j ki i kj j ki i kj j n n j 1 j i i + kjpki - |pj| + kjpki mj mj mj mj i=j i=j+ ki i |pj| ki i = n j i + kjpki - |pj| mj mj i=j ki i |pj|- n n j 1 j i i = + kjpki + kjpki - |pj| + q.

mj mj i=j+1 ki i mj mj i=j ki i q= Отсюда вытекает формула (9) для коэффициентов ряда (8). Теорема дока зана.

y1(x) ... yn-1(x) yn(x) Поэтому справедлива Теорема 4. Суперпозиция yn(x) общих алгебраических функций пред ставляется в виде отношения двух гипергеометрических рядов.

ЛИТЕРАТУРА 1. Mellin H. J. Resolution de lТequation algebrique generale a lТaide de la fonction // C. R. Acad.

Sci. 1921. V. 172. P. 658Ц661.

2. Passare M., Tsikh A., Zhdanov O. A multidimensional Jordan residue lemma with an appli cation to MellinЦBarnes integrals // Aspects Math. 1994. V. E 26. P. 233Ц241.

3. Жданов О. Н., Цих А. К. Исследование кратных интегралов Меллина Барнса с помо щью многомерных вычетов // Сиб. мат. журн. 1998. Т. 39, № 2. С. 282Ц298.

4. Семушева А. Ю., Цих А. К. Продолжение исследований Меллина о решении алгебраи ческих уравнений // Комплексный анализ и дифференциальные операторы: Сб. науч.

тр. Красноярск: КрасГУ, 2000. С. 134Ц146.

980 И. А. Антипова 5. Sadykov T. M. On the Horn system of partial differential equations and series of hypergeo metric type // Math. Scand. 2002. V. 91. P. 127Ц149.

6. Гельфанд И. М., Граев М. И., Ретах В. С. Общие гипергеометрические системы уравне ний и ряды гипергеометрического типа // Успехи мат. наук. 1992. Т. 47, № 4. С. 3Ц82.

7. Арнольд В. И. Топологические инварианты алгебраических функций. II // Функцио нальный анализ и его прил. 1970. Т. 4, № 4. С. 1Ц9.

8. Sturmfels B. Solving algebraic equations in terms of A -hypergeometric series // Discrete Math. 2000. V. 15, N 1Ц3. P. 171Ц181.

9. Градштейн И. С., Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.:

Физматгиз, 1963.

Статья поступила 1 марта 2002 г.

Антипова Ирина Августовна Красноярский гос. технический университет, кафедра прикладной математики, ул. Киренского, 26, Красноярск antipov@akadem.ru Книги, научные публикации

Blog