Экономические Математические и инструментальные 8(57) 327 науки методы экономики 2009 Системные закономерности неравенства доходов населения й 2009 Г.А. Грачев Научно исследовательский институт физики

Южного федерального университета, г. Волгоград В статье предлагается однопараметрическая модель самоорганизующихся систем, обобщающая модель неравенства доходов населения В. Парето. Теоретически показано, что при естествен ном развитии социально экономических систем 80% граждан имеют доход ниже среднего уров ня, индекс Джини возрастает с ростом доходов населения. Приводится пример схемы прогрес сивного налогообложения.

Ключевые слова: доходы, концентрация, неравенство, модель, самоорганизующаяся система, про грессивный налог.

Социально экономическое неравенство меж цию, т.е. w wk, если k>n. Ширина ступенек ра n ду членами общества возникает как следствие раз стет с уменьшением доходов и определяется ко личия граждан по их способностям, по их иму личеством членов общества, имеющих одинако щественному наследству и другим не всегда яв вый доход.

ным причинам. Исследования В. Парето показа Введем в рассмотрение безразмерные функ ли, что распределение доходов и богатства в об ции:

ществе может быть крайне неравномерным, что, n по общему мнению, было основной причиной wn S = (1) vn =, n l v.

социальных потрясений в конце ХIХ в. Напря K l = жение в обществе также возникает и в случае Функция S является возрастающей, т.е.

уравнивания доходов населения, что в конце XX в. n S >Sk, если k

удовлетворяет граничным усло стало одной из причин реформирования коман n виям S0=0, SN=1. Смысл этой функции: n я часть дно административной системы хозяйствования наиболее богатых членов общества владеет S й в странах СЭВ. В данной связи возникает воп n частью всего общественного дохода.

рос: УВ каких пределах должно находиться нера Аппроксимируем S дважды дифференциру венство доходов населения, в рамках которых n емой неотрицательной возрастающей однопара общество может сохранять устойчивое социаль метрической функцией W(,x) (где параметр, но экономическое развитие?Ф Однозначного от 0 x 1), удовлетворяющей граничным услови вета на него до сих пор нет.

ям W(,0)=0, W(,1)=1. Используя W(,x), пост В поисках ответа мы исходим из синергети роим дискретный ряд ческого подхода, согласно которому общество яв ляется самоорганизующейся социально экономи r r - f (, xr ) = W, - W,. (2) ческой системой. При этом мы считаем, что со N N циально экономическая система устойчиво раз В результате получаем упорядоченный ряд вивается только в том случае, если минималь элементов, у которого f(x )>f(x ), если n>r. Функ ный доход членов общества гарантирует им дос r n ция f(,x ) называется ранговым распределением тойный уровень и качество жизни, естественное r элементов системы.

неравенство между членами общества при пол При N>>1, f(,x) можно записать в виде:

ном их равенстве перед законом не вызывает социально экономической напряженности.

W (, x ) f (, x ) = W (, x )x =. (3) Для изучения системных закономерностей N неравенства доходов населения используем ран Из (3) следует, что при N>>1 независимо от говое распределение доходов, которое определим вида первообразной функции W(,x) член обще следующим образом. Пусть всего членов обще ства, имеющий средний доход, находится в точ ства N, доход всего общества равен K. Обозна ке x, в которой производная функции W (, x ) чим w величину дохода n го члена общества m n равна 1. В этой же точке кривая W(,x) находит (1 n N). Расположим всех членов общества в ся на максимальном удалении от линии равно порядке убывания их доходов на отрезке [0,1], n й член при этом будет находиться в точке x = мерного дохода населения S (x) = x.

n = n/N. Ранжированный ряд w будет представ n Ранг элемента r означает, что N r элементов лять собой ступенчатую невозрастающую функ системы имеют значение f меньше, чем у эле n g a e h V C i X e w F e D r P w Click to buy NOW!

m w o w c.

.

d k o c c a r u t Экономические Математические и инструментальные 8(57) науки методы экономики мента с рангом r. Теоретическая вероятность того, области средних значений рангов. Поэтому во многих работах предлагаются различные моди что f fr (где fr значение величины f с рангом фикации степенных законов (например, распре r), равна:

деление Вейбулла4, Мандельброта5 и др.). Урав (4) F ( fr ) = P ( f fr ) = (N - r ) / N = 1 - r / N.

нения для ранговых распределений строятся в Формально функцию плотности вероятнос них исходя из соображений наилучшей аппрок симации экспериментальных данных, так как ти можно получить по формуле p( f ) = dF / df.

теоретически вывести ранговые распределения Однако для счетного количества элементов сис систем также невозможно, как и многие фунда темы с ранговым распределением f(x ) она не r ментальные законы физики (например, закон имеет физического смысла, так как вероятность всемирного тяготения И. Ньютона).

обнаружить любой доход из заданного множе Известно, что система эффективна, если для ства доходов равна 1/N.

достижения цели она расходует минимум ресур Таким образом, интегральная функция W(,x) сов (усилий). Исследования Ципфа6 показали, полностью определяет все свойства системы и в что у систем, удовлетворяющих Узакону наимень этом смысле является первообразной функцией ших усилийФ, независимо от их природы, пер системы.

вообразная функция удовлетворяет приближен В своих исследованиях В. Парето аппрокси ному неравенству 0,6 W (,0,2) 0,8.

мировал функцию распределения дохода гипер болой1: Простая проверка показывает, что соответ ствующее требованиям задачи уравнение для пер вообразной функции можно записать в виде7:

f f0, (5) F ( f ) = 1 - ( f0 / f ), где f0 минимальное значение f.

W (, x) = 1 - (1 - x)3, (7) x [0,1], Q Соответствующее модели (5) ранговое рас пределение Парето может быть записано в виде:

где - (1 - x ) нормировочный множитель.

Q = N - Действительно функция W(,x) удовлетворя C = 1 /, n fr = C / r, (6) ет граничным условиям W(,0)=0, W(,1)=1;

n = W(,x2)>W(,x1) при x2>x1;

W(2,x)>W(1,x) при 2>1;

W (, x) < 0. Подставляя в (7) x=0,2, полу где = 2 / 3. При N>>1 C 1 /(3N ).

чаем W(1,0,2) 0,787;

W(0,0,2) 0,587. Таким об В настоящее время степенной закон (6) ши разом, модель (7) соответствует Узакону наимень роко используется в различных областях знания ших усилийФ Ципфа, так как для всех допустимых для аппроксимации ранговых распределений2. значений параметра выполняется неравенство:

Одним из первых, кто поднял вопрос о коррект 0,587 W (,0,2) 0,787.

(8) ности применения уравнения (6) для описания Дифференцируя (7) по x, получаем:

ранговых распределений систем, был Герберт Саймон. Решая задачу от обратного, он рассмот (1 - x ) (9) W (, x ) =.

рел процесс написания текста как стохастичес Q кий процесс, в котором вероятность появления (1 - (1 - x )3) определенного слова зависит от набора уже на писанных слов. Исходя из общих предположе Решая уравнение W (, x) = 1 относительно ний, Саймон построил уравнение и нашел его решение, которое асимптотически стремится к x, получаем xm 1 / 3 0,2. Из этого следует, степенному распределению3. Таким образом, им было показано, что ранговые распределения си Laberrere J., Sonette D. Stretched exponential стем только приближенно можно аппроксими distributions in nature and economy: Уfat tailsФ with characteristic ровать степенными законами. Чаще всего такая scales // Eur. Phys. J. 1998. V. 2. P. 525 539.

аппроксимация возможна лишь в небольшой Mandelbrot B.B. The Fractal Geometry of Nature. N.Y., 1977.

Zipf G. K. Human behaviour and the principle of least Pareto V. Cours dТconomic politique. Rouge, Lausanne effort. Cambridge (Mass.), 1949.

et Paris, 1897. Грачев Г.А. Моделирование Упринципа ПаретоФ // Хайтун С.Д. Наукометрия: Состояние и перспек Развитие инновационного потенциала агропромышлен тивы. М., 1983. ного производства, науки и аграрного образования: Ма Simon H.A. On a>

1955. № 42(3/4). P. 425 440. П. Персиановкий, 2009. Т. 4. С. 32 35.

n g a e h V C i X e w F e D r P w Click to buy NOW!

m w o w c.

.

d k o c c a r u t Экономические Математические и инструментальные 8(57) науки методы экономики что в рамках модели (7) 80% членов общества следует, что F (v, ) 0 при выполнении нера всегда имеют доход ниже среднего уровня. Доля венства:

приходящегося на этих членов общества всего об щественного дохода в зависимости от значения параметра может составлять от 20 до 40%. w min 1 -, (11) Из (3), (7) видно, что f(,x) является моно тонно убывающей функцией и, следовательно, существует обратная монотонно убывающая фун (w ) + w min кция x = f (, x). Решая уравнение (9) относи тельно x, получаем:

где w = K / N среднедушевой доход членов об щества.

Из (11) видно, что при = 1 w = 0. Это min 1 означает, что при = 1 государство полностью 2 устраняется от распределительных механизмов, 1 f F ( f ) = 1 - 1, ориентированных на устойчивое развитие обще (10) 3 3 = /(NQ ).

ства, не гарантируя своим гражданам даже фи 2 зического прожиточного минимума. Таким об + f разом, у социально ориентированных государств по определению < 1.

Сравним предлагаемую модель системы с мо Используя W (, x), индекс Джини можно делью неравенства доходов населения В. Паре вычислить по формуле то. На рис. 1 в двойном логарифмическом мас штабе представлены ранговые распределения (12) модели (7) для = 1 (тонкая линия) и Парето (толстая линия) для N = 1000. Из рис. 1 видно, что при = 1 существенным отличием рангово Подставляя (7) в (12), получаем:

го распределения модели (7) от рангового рас 1 1 пределения Парето является более быстрое убы 2Г Г 1 + J = 2 (, x )dx - 1.

3 W вание значимости элементов системы при r >> 1.

lim J = - 1 0,766, lim J = 0,5, В области средних значений рангов ранговое рас 0 3Г 1 + пределение модели (7) можно лишь приближен но аппроксимировать гиперболой с показателем степени = 2 / 3. где гамма функция.

Г (x) Пусть минимальный доход членов общества, С точностью до членов второго порядка ма установленный государством, равен w. Из (10) лости приближенное выражение для индекса min 1e+ 1e- 1e- 1e- 1e- 1e- 1e- 1e- 1e- 1e- 1e- 0,001 0,01 0,1 x Рис. 1. Ранговые распределения Парето (толстая линия) и модели (8) (тонкая линия) f(x) n g a e h V C i X e w F e D r P w Click to buy NOW!

m w o w c.

.

d k o c c a r u t Экономические Математические и инструментальные 8(57) науки методы экономики Джини можно вычислить по формуле ни наблюдается в большинстве экономически развитых странах. По оценкам специалистов J () 0,5 + 0,266.

предполагается, что в ближайшей перспективе Таким образом, в рамках модели (8) соци среднее для мира значение индекса Джини будет ально экономическая система устойчива при вы между 0,56 0,668, что хорошо согласуется с не полнении следующих условий:

равенством (13).

(13) < 1, 0,5 < J 0,766.

Отметим, что для вычисления индекса Джи Из неравенства (11) следует, что с ростом сред ни на практике используются квантильные груп недушевого дохода (при фиксированном значе пы и формула трапеций9. Простой численный нии w ) индекс Джини должен увеличиваться. эксперимент показывает, что в случае 5 кван min Отметим, что полученный результат расхо тильных групп полученное с помощью метода дится с устоявшимся мнением о том, что соци трапеций значение индекса Джини в 1,3 меньше ально экономическая система устойчива только аналитического. Соответствующая поправка к в том случае, если индекс Джини находится в значению индекса Джини США дает значение интервале 0,2 0,3. В качестве контраргумента J=0,6, что полностью соответствует модели (7).

можно вспомнить, что в странах СЭВ индекс При этом параметр 0,38.

Джини был равен 0,2 0,25, однако это не спас Определим условно оптимальное для соци ло командно административную систему управ ально экономической системы значение индекса ления экономикой данных стран от краха. С точ Джини. При этом будем исходить из того, что в ки зрения рассматриваемой модели, необходи развитых странах бедными считаются те члены мым условием для развития системы является общества, чей доход в 2 раза меньше среднеду правильное определение минимального дохода, шевого дохода. Заменяя в (11) знак неравенства необходимым и достаточным правильное оп на знак равенства и полагая wmin = w / 2 (в ределение минимального дохода и распределе стране нет бедных), получаем = 0,26, J = 0,57.

ние доходов с учетом естественного неравенства В этом случае на самых богатых членов обще граждан.

ства, чей доход выше среднего, вместо 80% бу 0, 0, 0, 0, 0, 1965 1970 1975 1980 1985 1990 1995 2000 2005 Год Рис. 2. Динамика индекса Джини США Источник. В подтверждение изложенному рассмотрим дет приходиться 63% всего общественного дохо представленную на рис. 2 динамику индекса да. Таким образом, уменьшив с помощью про Джини США в период с 1965 по 2007 г. Экспе грессивного налога доходы богатых членов об риментальные данные на рис. 2 показаны Ужир щества всего лишь на 21%, государство в состо нымиФ точками, линейный тренд тонкой ли янии увеличить доход наименее обеспеченных нией. Из рисунка видно, что средняя скорость граждан в 1,85 раза.

роста индекса Джини США в рассматриваемый период времени приблизительно равна 0,0023 в Курс социально экономической статистики: Учеб.

год. Аналогичная тенденция роста индекса Джи пособие. 5 е изд. / Под ред. М.Г. Назарова. М., 2006.

Индекс Джини США n g a e h V C i X e w F e D r P w Click to buy NOW!

m w o w c.

.

d k o c c a r u t Экономические Математические и инструментальные 8(57) науки методы экономики 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 - - - - - Рис. 3. Один из возможных вариантов прогрессивного налогообложения Разделим все общество на 20 квантильных 13 малодоходных групп должны дотироваться го групп. Обозначим D средний доход квантиль сударством.

m ной группы с номером m (m = 1,2, Е, 20). Про В заключение отметим, что применение ана цент налогообложения определим по формуле логичной схемы прогрессивного налогообложе.(14) ния к предпринимательской деятельности может E = [D( = 1) - D( = 0,26)]/ D( = 0,26) 100% Вычисленный по формуле (14) график на не только ускорить развитие малого и среднего логообложения, удовлетворяющий условию бизнеса в РФ и тем самым решить задачу заня w = w / 2, представлен на рис. 3. Из графи тости населения, но и существенно сократить min затраты на собирание налогов, что даст допол ка видно, что прогрессивному налогообложению подлежат только 7 из 20 квантильных групп, нительные ресурсы для развития экономики.

Поступила в редакцию 08.07.2009 г.

Налог, % n g a e h V C i X e w F e D r P w Click to buy NOW!

m w o w c.

.

d k o c c a r u t    Книги, научные публикации