МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ СОЦИАЛЬНЫХ И ЭКОНОМИЧЕСКИХ СИСТЕМ РАЗМЕЩЕНИЕ ОТДЕЛЕНИЙ БАНКА.

ОБЗОР ПРОБЛЕМЫ С.Г. Кисельгоф, преподаватель кафедры высшей математики факультета экономики ГУ ВШЭ, sriselgov@gvail.com Ф.Т. Алескеров, научный руководитель, доктор технических наук, ГУ ВШЭ Построена классификация существующих подходов к решению задачи размещения отделений банков, проанализированы их достоинства и недостатки. Описаны и проанализированы типичные подходы к построению математических моделей в задачах размещения отделений банков.

1. Введение банку, то есть достаточно платежеспособны и заин тересованы в тех банковских продуктах, которые адачи размещения отделений банка можно приносят банку большую прибыль.

разделить на три основных класса: Исследования [13] показывают, что клиенты, З как правило, посещают отделение банка в непо 1. Размещение новых отделений. Эти задачи средственной близости от места работы или места возникают при выходе банка на новый для себя тер жительства. Именно поэтому для успешности отде риториальный рынок. ления большое значение играет место размещения.

2. Оптимизация существующей сети. В задачах Город или другая крупная территория, на которой этого класса решается проблема реорганизации су решено размещать отделения, является, как прави ществующей сети отделений. Эти задачи актуальны ло, неоднородной по спросу на банковские услуги.

в случае слияния нескольких независимых банков Именно поэтому некоторые места для размещения или при необходимости снизить издержки и повы отделений оказываются привлекательнее прочих.

сить эффективность существующей сети отделений Для построения модели задаётся математичес банка. кое описание характеристик спроса на рассматри 3. Комплексные задачи. Комплексная реоргани ваемой территории. Как правило, для описания вы зация сети, включающая открытие новых отделе деляются небольшие подобласти (кварталы, микро ний и закрытие либо изменение профиля деятель районы), относительно однородные по спросу. Для ности старых отделений. каждой такой подобласти задаются различные ха Несмотря на разное практическое значение, для рактеристики спроса: уровень доходов жителей, решения задач всех трех классов используются число сотрудников офисов, доля пенсионеров и очень близкие подходы и математические модели. другие. Перечень используемых характеристик за висит от конкретной модели, условий применения и от того, какие достоверные данные могут быть 2. Общее описание и классификация моделей получены по выбранному для размещения району.

2.1. Характеристики и поведение потребителей При создании сети в совершенно новой для бан ка области используются данные государственной Для того, чтобы отделение было успешным, статистики и данные социологических исследова должны выполняться два основных условия: ний. В тех случаях, когда проводится реорганиза во первых, отделение должно привлечь клиентов ция уже существующей сети, большую ценность и, во вторых, эти клиенты должны быть интересны представляет статистика отделений по их текущей БИЗНЕС-ИНФОРМАТИКА №1(07)Ц2009 г. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ СОЦИАЛЬНЫХ И ЭКОНОМИЧЕСКИХ СИСТЕМ деятельности и информация об уже имеющихся модель в общем случае не учитывает конку клиентах банка. ренцию. Для устранения этого недостатка мо Для характеристики спроса в области в некото дели часто в регрессионную модель вводят рых моделях используются данные не только о ха объясняющую переменную, характеризую рактеристиках жителей и работников в районе, но и щую уровень конкуренции, но такая оценка данные о потоках людей, перемещающихся в райо является неточной и подчас субъективной;

не. Например, в торговых зонах или центральных аналоговая модель предполагает относитель зонах городов число постоянных жителей и работа ную однородность размещаемых отделений.

ющих не очень велико, однако спрос на банковские услуги может быть велик, так как большое количес В [12] все отделения банка группируются - в од тво людей проходит через зону в течение дня. ну группу попадают отделения со схожими параме После того, как описаны характеристики имею трами окружающей среды. Например, выделены щихся в интересующем районе потребителей, воз группы: богатый жилой район с маленькими доро никает необходимость математически смоделиро гими магазинами, торговые зоны около транспорт вать поведение и предпочтения этих потребителей. ных узлов, туристическая зона вдоль главных улиц Существует несколько подходов к описанию пове города. Банковские отделения корректно сравни дения клиента банка или другого розничного пред вать только в пределах своих групп. По показателям приятия: модель аналогий, модель покрытия, гра существующих отделений группы можно найти от витационная модель и модель потоков. деления, выделяющиеся из общей массы, и рассма Разработано несколько модификаций модели тривать их на предмет эффективности управления.

аналогий, основная идея которой состоит в том, что Также становится видна прибыльность предостав новое отделение будет работать так же, как сущест ления какой либо услуги для каждой группы. Су вующие отделения, похожие на него. Одна из мо ществующие показатели позволяют оценивать по дификаций модели аналогий применена в [2], рас тенциальные места размещения новых отделений.

смотрим её несколько подробнее. Другая модель, описывающая поведение потреби Среди действующих отделений банка отбирают телей, - модель MCI (Multiplicative Interaction Choice) ся несколько отделений, работающие в условиях, [5], которая является модификацией гравитационной похожих на предполагаемые условия работы новых модели. Область, в которой размещаются отделения, отделений. Для этих отделений строится регресси делится на точки спроса;

точек может быть достаточ онная модель зависимости уровня депозитов от па но много, каждая точка получает вес сообразно уров раметров окружающей местности, влияющих на ус ню спроса в том районе, который она обозначает. За пешность отделения. В [2] использовались такие тем определяется вероятность того, что клиент из i ой параметры, как уровень образования жителей, точки отправится в j ое отделение за услугой, которая средний размер домохозяйств, количество фирм, рассчитывается следующим образом:

расстояние до торгового центра, возраст отделения и другие. Полученная таким образом на основе ис торических данных модель используется для про гноза объема привлеченных депозитов в потен циальных отделениях. То есть предполагается, что потребители вокруг точки размещения нового по где n - количество отделений;

тенциального отделения будут вести себя примерно Aj - привлекательность j ого отделения;

так же, как и клиенты уже существующих отделе dij - расстояние от i ой точки до j ого отделе ний банка. Основным преимуществом аналоговой ния.

модели является простота применения, но у модели есть и существенные недостатки: Далее можно вычислить ожидаемое количество аналоговая модель не рассматривает возмож клиентов j ого отделения из i ого района (Eij):

ные места размещения филиалов как единую сеть. Предполагается, что все они изолирова ны и не влияют друг на друга. На практике где Ci - количество клиентов в i ой точке.

расположенные рядом отделения одного банка могут переманивать клиентов друг у друга;

Величину ожидаемого количества клиентов уже данная модель не учитывает влияние расстоя можно использовать в целевой функции, напри ния на выбор потенциальных клиентов;

мер, максимизируя её для открываемого отделения.

60 БИЗНЕС-ИНФОРМАТИКА №1(07)Ц2009 г.

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ СОЦИАЛЬНЫХ И ЭКОНОМИЧЕСКИХ СИСТЕМ В самом простом случае под привлекательнос тель потребляет услугу в любом случае, если прохо тью понимают размер отделения [5]. дит непосредственно через место, где расположено Для получения картины близкой к реальности отделение, в других случаях рассчитывается вероят при расчете привлекательности, как и в аналоговом ность посещения потребителем отделения в зависи методе, учитывается более полная информация об мости от расстояния от его маршрута до отделения отделениях банка [8]. На привлекательность могут и от привлекательности отделения.

влиять как факторы, напрямую зависящие от банка, Во всех моделях, кроме аналоговой, большое например, спектр услуг, так и окружающие характе влияние на выбор потребителя о посещении отде ристики: наличие подъезда, парковки, близость ления оказывает расстояние. В тех моделях, где по торгового центра и даже возраст отделения [1,10]. требители и отделения банка располагаются на Важным достоинством модели MCI является плоскости, чаще всего используется евклидово рас возможность учета взаимовлияния рассматривае стояние, поскольку его применение наиболее удоб мого отделения и отделений конкурирующих бан но для проведения расчетов. В моделях, где для ков, а также влияние отделений нашего банка друг описания потребителей, отделений и территории на друга. Существенным недостатком данной моде используются графы, в качестве расстояния берется ли является сложность поиска оптимальных реше кратчайшее расстояние по сети.

ний для задач, построенных на ее основе. Однако разработаны эвристические подходы, позволяю щие найти решение, близкое к оптимальному. 2.2. Выбор мест для размещения и конфигурации Третья модель, условно называемая моделью по отделений крытия, в основном используется для размещения новых отделений и так же, как и модель аналогий, После того, как определены характеристики в явном виде не учитывает влияния конкурентов на спроса в районе, для размещения новых отделений поведение потребителей. Спрос в модели покрытия необходимо отобрать потенциальные точки. Здесь моделируется так же, как и в модели MCI - выде могут быть использованы два разных подхода.

ляются точки спроса, каждая из которых имеет опре В первом случае (см. например, ) при решении зада деленные характеристики и соответствует микро чи считается, что отделение может быть помещено району или кварталу. Затем задаётся максимальное в любой точке района. Исходя из этого предположе расстояние (назовем его R), которое готовы преодо ния, модель находит набор оптимальных мест для леть потенциальные клиенты для получения банков размещения отделений. При реальном размещении ских услуг. Это расстояние может быть определено отделений в соответствии с полученными из модели различными способами: по данным социологичес рекомендациями выбираются точки размещения, ких исследований либо из собственной статистики максимально близкие к указанным моделью.

банка по местам жительства и работы клиентов, ис Во втором случае (см., например, [11],[15]) перед ходя из плотности населения и типа застройки на началом использования модели ответственными со местности и т.п. Иногда расстояние R задается исхо трудниками банка отбирается конечное число потен дя из заинтересованности банка в клиентах соответ циальных мест для размещения отделений. Разумеет ствующей области. При расчетах в данной модели ся, количество отобранных потенциальных мест считается, что все точки спроса, попавшие в круг ра должно быть больше, чем предполагаемое количест диуса R вокруг размещенного отделения, являются во новых отделений, иначе задача теряет смысл.

покрытыми и спрос из этих точек будет привлечен Что же касается количества размещаемых отделе банком. По сути предпочтения клиентов в такой мо ний, то эта величина может быть как задана экзоген дели не учитываются. Модель максимизирует не ко но, так и определяться самой моделью. Модели, личество привлеченных клиентов, а количество по в процессе оптимизации определяющие одновре тенциальных клиентов, попадающих в зону влия менно и места, и оптимальное количество размещае ния банковской сети. мых отделений, являются, как правило, существен Модель потоков предлагает моделировать пове но более сложными для нахождения оптимума и тре дение потребителей с помощью описания движе буют эвристических алгоритмов для нахождения ния человеческих потоков. В таком случае задаются близкого к оптимальному решения. Авторы моделей характеристики потоков: начальные и конечные с экзогенным заданием количества отделений, раз точки, потребительские характеристики. Поведение умеется, предполагают возможность многократной потребителей в потоке может быть описано разными оптимизации для разного количества отделений для способами: в одних случаях считается, что потреби нахождения оптимального результата.

БИЗНЕС-ИНФОРМАТИКА №1(07)Ц2009 г. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ СОЦИАЛЬНЫХ И ЭКОНОМИЧЕСКИХ СИСТЕМ Если решается задача оптимизации существую среда, зависимость спроса от цен, удаленности щей сети, то места, в которых размещены отделе и т.п. Предлагается каждому открываемому магази ния, банку уже известны. Известны и текущие кон ну ставить в соответствие вектор параметров, на фигурации отделений. Под конфигурацией мы бу пример, размер магазина, парковка, наличие бан дем понимать набор параметров отделения, задава комата. От этих параметров зависит привлекатель емых головным банком, таких как: ность отделения и издержки на его открытие. Часть размер отделения (площадь);

параметров может варьироваться при принятии ре число операционистов;

шения, а часть является характеристикой места. Та число кассиров;

кой подход интересен, но представляет трудность объём предоставляемых услуг и т.д. выбор численного выражения привлекательности разных наборов параметров.

Конфигурация отделения, как правило, описы Однако во многих работах (см., например, [3,7]), вается несколькими параметрами. В некоторых особенно решающих задачу размещения новых от банках приняты стандартные конфигурации от делений, различные конфигурации отделения не делений, например, мини отделение, отделение учитываются, а издержки на открытие отделения и главный офис. Конфигурация влияет с одной считаются одинаковыми либо зависят только от ме стороны, на привлекательность отделения для ста расположения отделения.

клиентов (предоставление большего спектра услуг привлекает больше клиентов) и качество обслужи вания клиентов, а с другой стороны на стоимость 2.3. Ограничения открытия или обслуживания отделения.

В [11] описывается решение задачи реструктури При размещении отделений или реорганизации зации сети отделений банка для одной области Пор существующей сети банк сталкивается и с некоторы тугалии. В модели отделение может иметь одну из ми внутренними и внешними ограничениями.

трех конфигураций - малое, среднее и большое. Для Прежде всего, почти всегда в том или ином виде су каждой конфигурации и района заданы свои уровни ществует бюджетное ограничение. Оно может быть издержек - стоимость открытия и закрытия отделе задано как в виде прямого ограничения на затра ния, административные расходы, стоимость аренды чиваемую на открытие отделений сумму денег, так помещений, цены на предоставляемые услуги, эко и косвенным образом, например, через ограничение номическая активность населения и т.д. Учтено появ на количество открываемых отделений. Так или ина ление экономии от масштаба при увеличении разме че, такое ограничение вводится в математическую ров отделения. Область страны поделена на регионы, модель и, таким образом, гарантируется, что вы те, в свою очередь, на более мелкие районы. Предпо бранная оптимальная схема размещения отделений лагается, что все клиенты района находятся в его гео не превысит установленный финансовый рубеж.

графическом центре. На каждый район приходится В задачах реорганизации сети бюджетное огра одно потенциальное или существующее отделе ничение также имеется, однако оно имеет иной ние. Каждый клиент имеет какую либо потребность смысл. Здесь не предполагается размещение новых в банковских услугах. Неудовлетворение этой по отделений, однако реорганизация и закрытие отде требности рассматривается как неявные издержки. лений тоже требуют затрат. Затраты на закрытие или В целевую функцию входят издержки на откры реорганизацию зависят от конфигурации отделения тие/закрытие/изменение параметров отделений, рас и имеют достаточно сложную структуру, т.к. вклю ходы на их содержание, а также неявные издержки. чают затраты на переоборудование помещения, за Влияние конфигураций отделений также рас траты на увольнение/найм персонала, затраты на сматривается в [10]. В построенной авторами моде извещение и перевод клиентов в другое отделение ли размер отделения влияет на его привлекатель (при закрытии), управленческие расходы и т.д.

ность, причем размер выбирается при размещении Кроме того, могут быть ограничены текущие за отделения. Привлекательность и расстояние до траты на обслуживание. Такое ограничение гаран отделения дают оценку вероятности появления тирует, что после реорганизации сети затраты на клиентов из различных областей, то есть поведение обслуживание всех её отделений не превысят задан потребителей описывается моделью MCI. ного уровня. Текущие затраты включают затраты на В [1] рассматривается проблема размещения не аренду помещения, заработную плату персонала, скольких магазинов. Задачи размещения магазинов затраты на расходные материалы, затраты на и банков имеют много общих черт: конкурентная обновление техники и т.п.

62 БИЗНЕС-ИНФОРМАТИКА №1(07)Ц2009 г.

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ СОЦИАЛЬНЫХ И ЭКОНОМИЧЕСКИХ СИСТЕМ Кроме финансовых ограничений некоторые мо размещении отделений учитывает решение, кото дели позволяют учитывать так называемые ограни рое примет последователь. Лидер не знает число от чения на качество обслуживания. Такое ограниче делений, которые планирует разместить, но имеет ние вводится в [10] в виде ограничения на длину ограничение на затрачиваемую сумму. Спрос в ме очереди в отделении. В математической модели за стности представлен точками, каждая из которых дается такое ограничение, которое не позволяет имеет вес, соответствующий уровню спроса в точке.

выбрать схему размещения отделений так, что в не Если точка попадает в торговую зону отделения, то которых из новых отделений могут возникать оче весь спрос из точки целиком отдается этому отделе реди длиннее заданного норматива. Принимается нию. Функция, описывающая предпочтения потре гипотеза о том, что поток посетителей в отделении бителя, в модели не определена и в общем случае является пуассоновским, при этом характеристики может зависеть от расстояния и различных факто потока зависят от привлекательности отделения ров привлекательности. При этом считается, что на и величины привлекаемого им спроса. рынке действуют и другие банковские фирмы, по этому задача не сводится к переделу рынка между двумя игроками.

2.4. Целевые показатели В работе рассматривается два случая: полностью неопределенного и экономически разумного пове Большая часть исследователей в качестве цели дения последователя. В первом случае предполага при решении задач выбирает максимизацию полез ется, что о последователе ничего неизвестно и он ности клиентов [10], охватываемого спроса [3] или может выбрать любой вариант размещения отделе уровня депозитов [9]. В таком случае всегда вводит ний с равной вероятностью. Для этого случая авто ся бюджетное ограничение либо ограничения на рами предлагается два варианта целевой функции.

число открываемых отделений. В первом варианте лидер выбирает размещение та Другой вариант целевой функции, используемой ким образом, чтобы максимизировать свою долю в [1], - максимизация прибыли. В таком случае в за рынка при самом плохом для себя поведении по даче не вводится бюджетное ограничение, а при следователя. Во втором случае лидер минимизирует быль рассчитывается как разница доходов от при сожаления. Сожаления - это разница между той влеченных клиентов и расходов на содержание от долей рынка, которую лидер получил бы при нали делений. Проблема здесь заключается в том, что чии полной информации о последующем поведе оценить уровень, которые принесут клиенты допол нии последователя, и той долей рынка, которую ли нительного отделения, не всегда возможно в силу дер получает после выбора последователя. Оба ва специфики банковской деятельности. Привлечен рианта позволяют фирме лидеру обезопасить себя ные депозиты и выданные кредиты сами по себе не от самых плохих вариантов развития событий, но, являются доходами фирмы. Поэтому применение в то же время, лидер, скорее всего, потеряет какую подхода, основанного на максимизации прибыли, то долю рынка из за излишней предосторожности.

в отношении банков представляется спорным. Поэтому авторами предлагается другой подход, Еще один подход - минимизация издержек предполагающий разумное поведение последовате фирмы [11]. При таком подходе в целевую функ ля и построение модели Штакельберга. В данном цию в виде неявных издержек включаются штрафы случае считается, что последователь, так же как ли за непривлеченный спрос. дер, желает максимизировать свою долю рынка.

Соответственно лидер размещает свои отделения таким образом, чтобы последователь, выйдя на ры 2.5. Модель конкурентного взаимодействия нок и выбрав оптимальный для себя способ разме щения, отобрал у лидера как можно меньшую долю Как правило, банк не работает в какой то облас рынка. На поведение последователя в обоих случа ти в одиночку. Даже если банк выходит на совершен ях авторами было наложено дополнительное ог но новую территорию, где еще нет других игроков, раничение - он может разместить только одно то можно ожидать их скорого появления. Соответ отделение. Это ограничение позволило упростить ственно, были разработаны модели, которые позво модель и разработать эвристический алгоритм для ляют еще на этапе выбора мест размещения отделе решения задачи, но сильно сузило ее практическую ний учесть возможную экспансию конкурентов. применимость.

В [9] рассматривается два игрока - лидер и по В [3] предлагается решение задачи о размеще следователь. Лидер выходит на рынок первым и при нии отделений абстрактной сети, но эта модель БИЗНЕС-ИНФОРМАТИКА №1(07)Ц2009 г. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ СОЦИАЛЬНЫХ И ЭКОНОМИЧЕСКИХ СИСТЕМ может быть интересна и для банковского сектора. демографические характеристики (14), экономиче В описываемой модели также вводятся два игрока - ские характеристики (16), конкурентная среда (4) лидер и последователь. Преимущество этой модели и внутренние характеристики отделения (4). Раз перед описанной ранее в том, что для описания по умеется, такое количество переменных показалось ведения потребителей используется модель MCI. авторам избыточным, поэтому были проведены Авторы предлагают составить модели, максимизи процедуры для устранения мультиколлинеарности рующие прибыль лидера и последователя, и затем среди объясняющих переменных. Это позволило последовательно решать их так, как если бы лидер сократить их общее количество. После этого были и последователь играли в игру и последовательно построены регрессионные модели для четырех объ меняли расположение своих отделений. Авторы ясняемых переменных. В каждой модели были ос предполагают, что после некоторого количества тавлены объясняющие переменные, имевшие на итераций получаются решения для лидера и после ибольшую значимость. В качестве примера приве дователя, представляющие собой равновесие по дём таблицу объясняющих переменных для общего Нэшу, однако не указаны дополнительные ограни уровня депозитов.

чения, при которых возможно такое равновесие.

Коэффи- Стандарт- Уровень Название Блок циент ное значимо регрессии отклонение сти 3. Математические подходы к построению моделей Количество Соц-дем 0,3616 0,1094 0, арендодателей В данном разделе будут рассмотрены формули Работа Характеристик 986,3117 382,7157 0, в ночное время и отделения ровки конкретных математических моделей из рас смотренных работ. Такие описания позволят выде Количество Характеристик 39,8148 7,8139 0, служащих и отделения лить типичные подходы к построению математиче ских моделей в задачах размещения отделений бан Возраст Характеристик 27,1675 6,7123 0, отделения и отделения ков или других розничных сетей.

R2 = 0,6509, SE = 854, 3.1. Применение аналогового подхода к описанию поведения потребителей Полученные регрессионные модели показали хороший уровень предсказания на тестовом масси В [2] описывается модель, использованная в ос ве данных по другим отделениям того же банка. По нове системы поддержки принятия решений для лученные результаты были применены авторами коммерческого банка Греции. Для оценки сущест как для размещения новых отделений, так и для вующих и потенциальных отделений авторы выбра оценки качества работы существующих отделений.

ли аналоговый подход, который состоит в построе По мнению авторов, исходящих из полученных нии регрессионной модели с объясняемой пере коэффициентов качества регрессии и качества про менной в виде выбранного целевого показателя, гноза, применяемая для описания поведения по объясняющими переменными являются различные требителей модель аналогий оказалась достаточно характеристики внешней и внутренней среды отде успешной. Однако сравнения результатов, получае ления. В качестве целевого показателя авторы вы мых с помощью этой модели, с результатами других брали уровень депозитов, причем эта величина рас моделей не проводилось. Одним из факторов успе считывается как сумма сберегательных, бессрочных ха оказался широкий спектр параметров, на основе и срочных депозитов. Таким образом, модель учи которых строилась модель и большое количество тывает, что спрос на разные типы депозитов зави исторических данных для верифицирования моде сит от разных факторов. В качестве возможного це ли. Другим фактором могла стать относительная левого показателя рассматривался также спрос на однородность отделений и характеристик населе кредиты, но этот вариант был отброшен авторами ния в выбранной для исследования области Греции.

после консультаций с руководством банка. Исход На основе модели можно оценить потенциал от ными данными для построения модели послужили дельных точек для размещения отделений, а также исторические данные банка по 62 существующим оценить относительную эффективность отделений отделениям. Было отобрано 38 потенциальных существующих, однако выработка рекомендаций объясняющих переменных. Все переменные были по общему реформированию сети по прежнему разбиты на четыре основные группы: социально остаётся на лицах, принимающих решения.

64 БИЗНЕС-ИНФОРМАТИКА №1(07)Ц2009 г.

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ СОЦИАЛЬНЫХ И ЭКОНОМИЧЕСКИХ СИСТЕМ 3.2. Максимизация спроса (MCI) коэффициент чувствительности, характеризую щий степень влияния увеличения размера отделения В качестве примера работы, использующей мо на привлекательность отделения. По оценкам авто дель MCI для моделирования поведения потреби ров, этот коэффициент должен оказаться меньше 1, телей, рассмотрим модель из [10]. Построенная то есть каждый прирост размера дает все меньший авторами модель позволяет оптимизировать сеть прирост привлекательности. Во вторых, степенная отделений фирмы, работающей в условиях конку зависимость привлекательности от размера замене ренции с отделениями других сетевых фирм. В рам на на экспоненциальную. Это позволяет упростить ках оптимизации сети могут как закрываться суще расчёты при сохранении характера зависимости.

ствующие отделения, так и открываться новые, Согласно модели MCI величина, которая стоит причем для вновь открываемых отделений может в числителе выражения (1), пропорциональна по быть выбран размер отделения. лезности потребителей от посещения отделения.

3.4.1. Принятые авторами допущения: 3.4.6. Целевая функция в модели строится как во время проведения оптимизации конкурен суммарная полезность всех клиентов нашей сети:

ты не производят изменений своей сети;

потенциальные места для размещения отделе ний отбираются менеджерами фирмы;

возможные размеры отделений и соответствую где щие им уровни издержек определены заранее;

до начала работы модели известно макси мально возможное количество отделений фирмы - ;

3.4.7. Бюджетное ограничение включает издерж закрытие старых офисов и открытие новых ки на закрытие старых отделений и открытие новых происходит одновременно, переходный пе отделений.

риод не рассматривается.

3.4.8. Авторы выдвигают предположение, что кон 3.4.2. Моделирование происходит на плоскости. куренция вынуждает окрестные банки поддержи вать среднее время ожидания в своих отделениях на 3.4.3. Спрос описывается как совокупность точек одинаковом, приемлемом для клиентов уровне. Ог i, где I - общий спрос на услуги, предлагаемые раничение на качество обслуживания гарантирует фирмами соответствующей отрасли. Каждая точка размещение отделений таким образом, чтобы вы характеризуется числом C1, показывающим объём полнялось условие: вероятность того, что перед спроса в данной точке. клиентом в очереди окажется менее k человек, боль Совокупность всех мест для размещения отделе ше чем . Предполагается, что посещения банка ний (как мест, где уже открыты отделения нашей клиентами из i ой точки являются пуассоновским или конкурирующих фирм, так и мест потенциаль потоком с интенсивностью i (т.е. в час из точки вы ного размещения отделений) обозначена через J. ходит i клиентов. Поскольку отделение могут посе Подмножество отделений, принадлежащих нашей щать клиенты из всех i, то интенсивность пото сети, обозначено N. j ое отделение характеризу ка посетителей в отделении j вычисляется как:

ется размером Sj.

3.4.4. Поведение потребителя описывается с по мощью модели MCI. Вероятность посещения i ым При этом обслуживание в отделении имеет ин потребителем j го отделения имеет следующий вид: тенсивность, равную количеству операционистов 3.4.5. в отделении. Если bj - это максимальное соотно шение интенсивности спроса к интенсивности об (1) суживания, при котором выполняется выдвинутое выше ограничение на качество, то математически ограничение на качество обслуживании записы вается как:

Авторам внесены некоторые изменения по сравнению с моделью MCI. Во первых, введён БИЗНЕС-ИНФОРМАТИКА №1(07)Ц2009 г. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ СОЦИАЛЬНЫХ И ЭКОНОМИЧЕСКИХ СИСТЕМ Итак, общая формулировка модели выглядит так: ний в рассматриваемой области у фирмы не имеет ся, то есть данная задача является чистой задачей размещения новых отделений.

- бюджетное ограни Рассматривается сеть G = (N,A), где N - множе чение, ство узлов сети, А - множество рёбер. Y - набор - ограничение на качес всех возможных точек размещения отделений на тво обслуживания, сети G (в общем случае размещение возможно как - ограничение на количество отделе у узлах сети, так и на рёбрах).

ний, В узле i N проживает ki потенциальных клиен тов, причём потребители первой группы (окрест ные клиенты) составляют hi = *ki, где - доля ок рестных потенциальных клиентов среди всех по где j, uj, mj - функции от размера отделения - sj;

тенциальных клиентов в области. Остальные кли j - функция от количества работников - mj. енты узла относятся ко второй группе (прохожие клиенты). P - множество всех непустых путей Для применения модели к решению реальных клиентов в сети, поток потенциальных клиентов по задач необходимо оценить значения параметров любому пути p P равен fp, а Pi P - множество модели. Для оценки параметров и (характерис всех непустых путей, выходящих из узла i. Таким тики потребительского выбора) авторами примене образом, для любого узла выполняется соотноше на методика регрессионного анализа, причём путём ние:

преобразований удаётся прийти к линейной регрес сионной модели. Другие параметры, в том числе вид некоторых функциональных зависимостей, предлагается определять эмпирически. Для описания поведения потребителей делается предположение о том, что локрестные клиенты посещают только ближайшее к ним отделение, 3.3. Моделирование потоков потребителей а прохожие клиенты - только отделение, до кото рого нужно меньше всего отклониться от их обыч В данном разделе на примере [15] будет рассмо ного маршрута. Никакие параметры отделения, трен особый подход к моделированию поведения кроме расстояния, не влияют на его привлекатель потребителей, основанный на том, что потребитель ность для клиентов. При этом количество клиен не находится постоянно в одной точке, но передви тов, посещающих ближайшее отделение, среди ок гается по некоторым стандартным для себя марш рестных (прохожих) клиентов является убывающей рутам. Вводится предположение о том, что потре выпуклой функцией от расстояния между отделе бители могут выбирать банк или иную сервисную нием и точкой обитания (соответственно между либо розничную торговую фирму, учитывая не рас отделением и маршрутом).

стояние до своего места постоянного обитания (до Целевой функцией в задаче является общее ко ма или работы), а расстояние от своего обычного личество клиентов, которые посетят отделения сети маршрута движения.

В [15] построены 4 различные модели. Все эти модели объединяет предположение о наличии двух групп потребителей: Функция D определяет расстояние от точки i до посещающие отделение в окрестностях по множества отделений Y как расстояние до бли стоянной точки обитания;

жайшего отделения, а расстояние от потока p посещающие отделение по пути, например, до множества отделений Y как минимальное откло на работу. нение от маршрута, необходимое, чтобы достичь отделения.

Далее будет рассмотрена одна из моделей, на Функция g определяет долю жителей точки i (до званная авторами обобщенной моделью максими лю людей в потоке), которые посетят отделение, зации рыночной доли. Данная модель разработана находящееся на определенном в соответствии с для абстрактной сети розничных точек обслужива функцией D расстоянии от точки (от потока).

ния (отделений), работающих в конкурентной сре Описанная задача переформулируется как зада де. Предполагается, что на момент расчета отделе ча целочисленного программирования. Вводятся 66 БИЗНЕС-ИНФОРМАТИКА №1(07)Ц2009 г.

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ СОЦИАЛЬНЫХ И ЭКОНОМИЧЕСКИХ СИСТЕМ бинарные переменные xpj (xij), которые приравни 3.4. Модель покрытия ваются к 1, если потенциальные клиенты из потока с различными типами издержек p (точки i) посещают j ое отделение, а также бинар ные переменные xj, которые приравниваются к 1, Особенностью модели, описанной в [11], кото если в точке j размещается отделение. рую мы теперь рассмотрим, является комплексный Переменные Cpj (Cij) определяют количество учет издержек, которые несет банк при оптимиза клиентов из потока p (из точки i), которые придут в ции сети отделений: закрытии неэффективных от отделение j, если оно будет открыто. делений и открытии новых.

Задача целочисленного программирования фор Рассматривается задача оптимизации банков мулируется так: ской сети в одном из регионов Португалии. Соглас но принятому в стране административному деле нию, регион делится на n округов (counties) j C, а каждый из округов, в свою очередь, на mj районов - ограничение на количество разме (parishes) i Dj, i = 1,..., mj Принимается допуще щаемых отделений;

ние о том, что в каждом районе есть только один - клиенты из потоков потребитель, который находится в его географичес посещают только от ком центре и характеризует спрос всего района.

крытые отделения;

Спрос района на услуги банка характеризуется дву - клиент из точек мя параметрами: минимальным необходимым посещают только уровнем сервиса Wim и идеальным уровнем сервиса Ч Ч открытые отделе Wim. Минимальный уровень сервиса должен быть ния;

удовлетворен для любого клиента. Что касается - клиенты потока p посещают идеального уровня, то модель стремится к его удов ровно одно отделение;

летворению за счет того, что неудовлетворение та - клиенты точки i посе кого дополнительного спроса трактуется как неяв щают ровно одно отде ные издержки, на каждую единицу неудовлетворен ление;

ного спроса накладывается штраф Pim, где l, m - ок руг и район соответственно. Идеальный уровень сервиса на самом деле характеризует величину Для нахождения оптимального решения в этой спроса в районе. Для расчетов в рассматриваемой задаче может быть использовано большое количес работе было принято предположение о наличии тво методик, уже разработанных для аналогичных типов городов, отличающихся плотностью населе задач, поскольку формулировка модели математи ния и доходом. Далее району присваивалось значе чески аналогична задачам покрытия с неограни ние идеального уровня сервиса в зависимости от ченными мощностями. того, на территории города с каким типом он нахо Данная модель интересна для иллюстрации не дится. Потребитель из района посещает отделение, обычного подхода к описанию поведения потре если расстояние до отделения не превышает норма бителей. Однако для практического применения тив расстояния DS. Для учета удаленности районов к размещению банков здесь не хватает нескольких (а значит, отделений и клиентов) друг от друга вво важных аспектов: учета конкуренции, учета иных, дится матрица переменных aijlm.

кроме расстояния, факторов привлекательности Отделения также размещаются в географичес отделения и других. Кроме того, как отмечают сами ком центре района, поэтому в районе может быть авторы, для задачи в такой постановке крайне размещено не более одного отделения. В некоторых сложно найти исходные данные. Действительно, районах уже существуют отделения, Bj - существу для сколько нибудь крупного населенного пункта ющие отделения округа j. Существующие отделе получить данные обо всех людских потоках в горо ния района делятся на закрываемые CBj и незакры де (ведь нужно знать начало, конец и маршрут каж ваемые NCBj отделения. Отделения могут быть дого человека) невозможно. Среди направлений разного размера, для существующих отделений их дальнейших исследований авторы указывают по размеры известны k(i,j). Размер отделения влияет строение модели, использующей только вероятно практически на все виды издержек по отделению, стные данные, например, о вероятности поездки а также на количество единиц спроса, которые мо жителей точки i в точку j. жет удовлетворить данное отделение у одного клиен та (т.е. у клиентов из одного района). Все районы, БИЗНЕС-ИНФОРМАТИКА №1(07)Ц2009 г. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ СОЦИАЛЬНЫХ И ЭКОНОМИЧЕСКИХ СИСТЕМ не имеющие отделений, Dj\Bj считаются потен Целевая функция модели, включающая все пе циальными точками размещения отделений. речисленные издержки банка, минимизируется, т.е.

В модели учитываются следующие типы издержек:

1. Издержки на открытие отделений hijk.

1.1. Ремонт, R - зависит от размера отделения, ijk, учитывается экономия от масштаба за счет на личия фиксированной части издержек и перемен ной части, зависящей от размера отделения.

1.2. Оборудование, EQ - зависит от количества сотрудников, ijk, есть экономия от масштаба, ана Полная формулировка модели очень громоздка, логично. поэтому полностью она здесь не приводится.

1.3. Охранное оборудование - STD - фиксиро Для полученной оптимизационной задачи непо ванная сумма для любого отделения. средственное нахождение решения невозможно, поэтому автором была разработана эвристическая 2. Издержки на закрытие отделений gijk - вычис процедура поиска оптимального решения.

ляются как процент от издержек на открытие отде ления, поскольку непосредственная оценка крайне сложна. 4. Заключение 3. Операционные издержки на содержание отде В работе сделан обзор методов решения задач, лений fijk - тратятся как на вновь открытые, так и на связанных с размещением филиалов банка. Мы рас существующие отделения, зависит от размера отде смотрели основные проблемы, возникающие при ления, округа и количества работников. решении задач подобного рода: моделирование по 3.1. Административные издержки. ведения потребителей, постановка целей и форму 3.2. Зарплата. лирование ограничений, а также возможности учета 3.3. Аренда. конкурентного взаимодействия, а также предлагае мые в настоящий момент пути их решения.

4. Издержки на обучение нанятых сотрудников - К сожалению, часто в реальных условиях невоз в расчете на одного сотрудника, зависит от региона. можно получить необходимые данные для приме нения какой либо модели. В дальнейшем необхо 5. Выплата пособий уволенным сотрудникам димо изучение подходов к решению задачи в случае CMPj. отсутствия полной исходной информации.

При размещении отделений необходимо учиты 6. Издержки на обслуживание клиентов из райо вать и тот факт, что отделение размещается на дли на (l,m) в отделении (i,j) - ijlm. Учитываются сум тельный срок, в течение которого могут происхо марные издержки по всем работающим отделениям. дить изменения спроса и конкурентной среды. Учет поведения конкурентов - лишь одно из направле 7. Неявные потери потенциальных депозитов от ний дальнейших исследований. Необходимо учи клиентов из района (l,m) (за счет недостатка обслу тывать также возможные изменения структуры живания) rlm. спроса, характеристик потребителей в районе и да Также в модели введены следующие обозначения: же рельефа местности, если речь идет о городской qijlm - объем потребления услуг отделения (i,j) среде. Также, применение методов сценарного пла посетителем из района (l.m);

нирования позволит обезопасить изменение в сети hej - число нанятых в округе j работников отделений от худших вариантов изменения окру fej - число уволенных в округе j работников жающего мира [4].

Литература 1. Achabal D.D., Gorr W.L., Mahajan V. Multiloc: A Multiple Store Location Decision Model // Journal of Retailing, Vol. 58, №. 2, 1982.

68 БИЗНЕС-ИНФОРМАТИКА №1(07)Ц2009 г.

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ СОЦИАЛЬНЫХ И ЭКОНОМИЧЕСКИХ СИСТЕМ 2. Boufounou P. V. Evaluating bank branch location and performance: A case study // European Journal of Operational Research, 87 (1995) 389Ц402.

3. Craig S.C., Ghosh A. Formulating Retail Location Strategy in a Changing Environment // Journal of Marketing, vol. 47 no. (summer 1983).

4. Daskin M.S., Owen S.H. Strategic facility location: a review // European Journal of Operational Research, 111 (1998) 423Ц447.

5. Huff L. D. Defining and Estimating a trading area // Journal of Marketing, 28 (1964).

6. Ioannou G., Mavri M. Performance Net: Decision Support System for Reconfiguring a BankТs Branch Network // International Journal of Management Science, 2005.

7. Min H. A Model Based Decision Support System for Locating Banks // Information & Management, 17 (1989) 207 - 8. Nakanishi M., Cooper L.G. Parameter Estimate for Multiplicative Interaction Choice Model: Least Squares Approach // Journal of Marketing Research, 1974, №11, Р. 303Ч311.

9. Plastria F., Vanhaverbeke L. Discrete models for competitive location with foresight // Computers and operations research, (2008) 683Ц700.

10. Rushton G., Zhang L. Optimizing the size and locations of facilities in competitive multi site service systems // Computers & Operations Research, 35 (2008) 327Ц338.

11. Rodrigues Monteiro M S. A Bank branch location and sizing under economies of scale. Universitate do Porto, 2004.

12. Aleskerov F., Ersel H., Gundes C., Minibas A., Yolalan R.Environmental Grouping of Bank Branches and their Performances // Yapi Kredi Discussion Paper Series, No:97Ц03, 1997, Istanbul, Turkey.

13. Soenen Luc A. Locating bank branches // Industrial Marketing Management 3 (1974) 21 lЦ228.

14. Alexandris G., Dimopoulou M., Giannikos I. A three phase methodology for developing or evaluating bank networks // International. Transactions in Operational Research 15 (2008) 215Ц237.

15. Berman O. Deterministic Flow Demand Location Problems The Journal of the Operational Research Society, Vol. 48, No.1, (Jan., 1997), pp. 75Ц81.

В рамках Инновационной образовательной про граммы вышла книга В.В.Липаева Программная инженерия.

Методологические основы (Допущено УМО по образованию в области ме неджмента в качестве учебника для студентов ВУЗов, обучающихся по направлению Бизнес информатика).

Владимир Васильевич Липаев - профессор кафедры управления разра боткой программного обеспечения ГУ-ВШЭ, главный научный сотрудник Института системного программирования РАН. Около 40 лет занимается ис следованиями и разработкой программного обеспечения, методов и инстру ментальных средств для создания управляющих программ реального вре мени высокого качества. Под его руководством разработаны крупные ин струментальные системы программной инженерии, широко использовав шихся в оборонной промышленности и частично эксплуатируемые до на стоящего времени.

Учебник содержит курс лекций, отражающий методологические основы современной программной инженерии, обес печивающей жизненный цикл (ЖЦ) сложных программных средств (ПС).

Учебник целесообразно использовать при обучении студентов старших курсов, аспирантов и менеджеров проектов при создании сложных комплексов программ на всём их Ж - (64 часа лекций и 32 часа семинарских занятий). Курс ориенти рован также на заказчиков, менеджеров крупных проектов, аналитиков и ведущих специалистов, обеспечивающих этапы Ж - сложных ПС и систем, к которым предъявляются высокие требования по качеству функционирования и ограничены доступные ресурсы разработки.

БИЗНЕС-ИНФОРМАТИКА №1(07)Ц2009 г.    Книги, научные публикации