Книги, научные публикации
Экономические Математические и инструментальные 1(62) 450 науки методы экономики 2010 Моделирование активных стратегий управления краткосрочным портфелем ценных бумаг й 2009 В.В. Казарян Всероссийский
НИИ проблем вычислительной техники и информатизации E mail: ross Предложен подход к сведению задачи выбора оптимальных активных стратегий управления пор тфелем ценных бумаг к задаче булева программирования.
Ключевые слова: портфель ценных бумаг, булево программирование, финансовый рынок, спеку лятивные операции, фондовый рынок, менеджер аналитик, государственные ценные бумаги.
К настоящему времени стало ясно, что на торые заключают с менеджером договоры по пе ступил масштабный кризис представлений о фон редаче ему денежных средств на определенных довом рынке. Рынок потерял привычное обли условиях. Условия передачи денежных средств чье, картина мира обновилась, новая непредска могут быть самыми разными. В частности, ин зуемость рынка вызвала потребность в ревизии вестор может дать менеджеру какую то сумму ранее построенных моделей. Все это вызывает денег на определенный срок с условием возврата большие трудности оценки и прогнозирования их в конце срока под заданные проценты или с значений рыночных показателей и усложняет условием, что менеджер должен возвратить сум применение долгосрочных инвестиционных стра му с процентами частями в оговоренные заранее тегий, вследствие чего наиболее популярна сей сроки и т.п. Кроме того, предполагается, что у час активная стратегия управления портфелем, менеджера имеется единственный вид деятельно которая сводится к частому пересмотру портфе сти, помимо заключения договоров с инвестора ля в поисках финансовых инструментов, невер ми, а именно спекулятивные операции по купле но оцененных рынком, и торговле ими с целью продаже ценных бумаг на фондовом рынке.
получить более высокую доходность. В текущий момент времени t менеджер име Анализ существующих подходов позволяет ет определенное количество заключенных дого утверждать, что в настоящее время отсутствуют воров с инвесторами, которое, в частности, мо эффективные методы определения активных стра жет быть равно 0. Предположим, что на плано тегий решения задачи управления портфелем вый период [t1, t2] ему предлагается заключить ценных бумаг. В этих условиях менеджер, уп еще один новый договор. В узком смысле, зада равляющий портфелем, имеет широкий спектр ча, которую мы хотим решить, состоит в том, разнообразных вариантов осуществления сдел чтобы ответить на вопрос: выгоден ли менедже ки, и ему приходится принимать решение о ее ру новый договор? В более широком смысле, целесообразности таким образом, чтобы с уче рассматриваемая нами задача состоит в том, что том рисков обеспечить требуемую доходность бы составить оптимальный по прибыли план портфеля на заданном временном интервале. купли и продажи ценных бумаг на период [t1, Таким образом, объективная реальность раз t2]. При этом период может рассматриваться как вития финансового рынка свидетельствует о том, скользящий.
что на данном этапе требуются новые подходы к При решении названных задач мы будем формированию портфеля ценных бумаг, новые использовать принцип гарантированного резуль способы оценки рыночного риска в условиях тата, суть которого в том, чтобы с учетом слу невозможности долгосрочного и среднесрочного чайных колебаний объемов продаж и цен полу прогнозирования тенденций фондового рынка. чить максимально возможный приток капитала.
Содержательная постановка задачи. На со Формальная постановка задачи. Для удоб держательном уровне сформулирована постановка ства изложения мы начнем наше рассмотрение с задачи управления портфелем ценных бумаг на самого простого вида ценных бумаг, а именно с плановом интервале [t1, t2], которая основана на государственных ценных бумаг (ГЦБ). Удобство следующем сценарии. Рассмотрим плановый ин ГЦБ состоит в том, что для них не предусмотре тервал [t1, t2]. Предположим, что имеется юри ны дивиденды и нет налогов на покупку и про дическое лицо (будем называть менеджером), дажу. Предположим, кроме того, что отсутству которое работает на фондовом рынке с ценными ют ограничения на объемы покупок и продаж бумагами. Кроме того, имеются инвесторы, ко ГЦБ. При этих условиях единственным источ n g a e h V C i X e w F e D r P w Click to buy NOW!
m w o w c.
.
d k o c c a r u t Экономические Математические и инструментальные 1(62) науки методы экономики ником неопределенности является цена ГЦБ в t2 NN моменты покупки и продажи, т.е. в моменты, Если yi (t ) CBi (t) xi (t) CH i (t ) < 0, принадлежащие плановому периоду [t1, t2]. От i t t1 1 i метим вместе с тем, что рассматриваемая далее модель относится как к ГЦБ, так и к другим t2 NN ценным бумагам (ЦБ). то yi (t ) CBi (t) xi (t ) CH i (t ) V, i Введем следующие обозначения: N коли t t1 1 i (5) чество видов ЦБ, обращающихся на первичном и вторичном фондовом рынке;
i номер ЦБ;
N i = 1, Е, N. Снi(t) прогноз нижней, а Свi(t) где V M (t1 ) + (t1 ) S (t1 ).
H i C i прогноз верхней границы цены ЦБ, номер i на i момент t. Очевидно, что Снi(t) Свi(t) для всех i В формулировке (3) (5) рассматриваемая и t. M(t) количество свободных денежных задача трудноразрешима. Рассмотрим способ при средств на расчетном счете у менеджера на мо ближенного представления этой задачи в виде мент t;
Si(t) количество ЦБ вида i, которым задачи булевого программирования.
располагает менеджер в момент t;
xi(t) количе Предположим, что в непрерывном интерва ство ЦБ вида i, которое менеджер предполагает ле [t1, t2] выделено конечное множество точек t, е приобрести в момент t;
yi(t) количество ЦБ вида е = 1,Е,Е. В частности, е может обозначать но i, которое менеджер предполагает продать в мо мер дня по порядку от начала планового перио мент t.
да [t1, t2]. В каждый момент времени t объемы е Минимальный капитал, которым будет рас покупок и продаж любой ценной бумаги могут полагать менеджер на момент t2 и который сле быть различными. Определим для каждой ЦБ дует максимизировать, составит:
номер i и каждого момента времени t некоторые е возможные объемы покупок и продаж, т.е. уста N новим значения величин:
K (t) M (t1 ) + (t1 ) Si (t1 ) + H C i i xir,i 1, N,r 1, R, e 1, E,e (1) t N N (6) и yir,i 1, N, r 1, R, e 1, E.
.
+ ( yi (t ) C (t) (t ) C (t)) max,e Hi i Bi X t t1 i 1 i Надо отметить, что определение значений Должны соблюдаться балансовые ограниче yir величин xir и не является технически слож,e,e ния, а именно: в каждый момент времени дол ной задачей. В частности, можно установить жен соблюдаться баланс денежных средств (этот минимальное значение покупок и продаж, а так баланс не должен быть отрицательным):
же чувствительный размер приращения этой ве K(t) > 0 для всех t t2.
(2) личины i для каждой ГЦП, номер i и положить:
Кроме того, должен соблюдаться баланс каж дой ценной бумаги: r x yir xi,e + i r, i 1, N,r 1, R,e 1, E.
i,e,e tt Как показывает опыт, обычно R 7.
Si (t1) yi (t ) + xi (t ) 0 (3) Введем в рассмотрение булевы переменные:
t t1 t t r r (7) i,e, i,e, r, i, e.
для всех t1 t t2 и всех i.
В совокупности система уравнений (1) (3) С учетом введенных переменных и обозна представляет собой условно экстремальную за чений систему неравенств (3) можно приближен дачу. Ее решением являются графики оптималь но представить в виде совокупности систем не ных покупок и продаж ценных бумаг, иными равенств (8) и (9):
словами, набор функций: xi(t) и yi(t), i = 1, Е, N, k R k R определенных на интервале [t1, t2].
r r r r S (t1 ) i y i,e + x i,e 0, Условия (1) и (2) эквивалентны условиям i,e i,e e 1 r 1 e 1 r (4) и (5), соответственно:
t2, (8) N N k 2, E, i 1, N i Bi i H y (t ) C (t) x (t ) C (t) max.
i R t t1 i 1 i r (4) 1,e 1, E,i 1, N ;
i,e r n g a e h V C i X e w F e D r P w Click to buy NOW!
m w o w c.
.
d k o c c a r u t Экономические Математические и инструментальные 1(62) науки методы экономики R yir,i 1, N, r 1, R, e 1, E. Чем большую точ,e r (9) 1,e 1, E,i 1, N.
i,e ность мы хотим получить, тем на большее коли r чество точек следует разбивать плановый период Условие (4) приближенно представляется и интервалы возможных значений объемов по совокупностью систем неравенств (9) и (10):
купок и продаж ценных бумаг. Это означает уве личение размерности задачи с увеличением ее E N R r r точности. Вместе с тем при решении булевых H y i,e C (t ) i,e i задач объем вычислений существенно зависит от e 1 i 1 r размерности задачи, а также от ее структуры.
N R В данной связи возникает вопрос и вычис r r C реализуемости задачи. Размерность Bi x i,e (t) max, (10) лительной (11) определяется следующими па i,e задачи (6) i 1 r раметрами:
а система неравенств (5) в виде совокупности во первых, количеством значений перемен систем неравенств (9) и (11):
yir ных или, которое равно произведе xir k N R,e,e r r M (ti ) + H y i,e C (t ) нию N R E;
i,e i e 1 i 1 r во вторых, количеством ресурсных огра ничений, которое равно количеству уравнений N R (8) и (11), т.е. величине: (E 1) N + E 1 = r r C Bi x i,e (t ) 0, k 2, E. (11) i,e = (E 1) (N + 1);
i 1 r в третьих, количеством логических усло вий (9), равным N;
В задаче (6) (11) в уравнениях присутству в четвертых, количеством элементов, вхо ют разности, или, что то же самое, отрицатель дящих в уравнение типа (9), оно равно N.
ные величины, что делает ее неразрешимой. Вме в пятых, типом логических условий, т.е.
сте с тем при любых заранее заданных условий (9).
r i,e, r, i, e задача (6) (11) превращается в Несильно ограничивая практические возмож ности применения модели, можно сказать, что ко задачу булевого программирования в каноничес личество периодов, обычно измеряемых в днях, кой форме относительно переменных составляет, как правило, не более 3, но часто равно r i,e, r, i, e, а при любых заранее заданных 1 дню. Так что Е 3. Количество вариантов воз можных значений покупки или продажи ценной r i,e, r, i, e задача (6) (11) является задачей бумаги, рассматривать которые имеет реальный смысл, также не более 3. Например, речь может булевого программирования в канонической фор идти о приобретении пакета ЦБ в 1000, либо в r ме относительно переменных i,e, r, i, e.
5000, либо в 15000. Нет необходимости рассмат ривать варианты в 1000, 1001, 1002, Е, 15000. Сле Содержательный смысл этих задач состоит в том, довательно R 3. Количество ценных бумаг, с что если менеджер составит любой план поку которыми оперативно работает менеджер также пок, то, решив задачу, можно получить опти невелико от 7 до 10, иными словами, R 10.
мальный план продаж и, наоборот, для любого плана продаж можно составить оптимальный Количество значений переменных N R E план покупок. С помощью итерационного ре 3 3 10 = 90. Эта величина вполне приемле шения задач, а также с применением скольже ма. Что касается других условий, то они тем бо ния временного интервала можно исследовать сце лее не являются существенными.
нарии на различные плановые периоды.
Формулировка (6) (11) позволяет снять все Преобразование исходной формулировки за упрощающие предположения, которые были при дачи (1) (3) в задачу булевого программирова няты при получении формулировки (1) (3). В ния (6) (11) приводит, как уже отмечалось, к частности, не изменяя структуры модели, можно некоторой потере точности. Это связано с тем, учесть налоги на покупку и продажу ценных бумаг, необходимость выплаты дивидендов, а что непрерывные функции xi(t) и xi(t), t [t1,t2 ], также ограничения на объемы покупок и про i = 1,Е,N заменены наборами дискретных значе даж. Все эти условия могут быть учтены при ус ний xir,i 1, N,r 1, R, e 1, E и,e yir тановлении значений величин xir и, вхо,e,e n g a e h V C i X e w F e D r P w Click to buy NOW!
m w o w c.
.
d k o c c a r u t Экономические Математические и инструментальные 1(62) науки методы экономики дящих в соотношения (6) (9). Это означает, что R рассмотренная постановка распространяется на r (13) 1,i 1, N, i случай не только ГЦБ, но и ЦБ других видов.
r Представление задачи в виде модели булево го программирования открывает возможность и N R r r для других ее обобщений. В частности, формули H y i C (t) max, (14) i i ровка, которая нами проанализирована, является i 1 r пессимистической в том смысле, что в ней пред N R полагается: покупки будут сделаны по высоким r r H y i C (t ) S, (15) i ценам Св, а продажи по низким ценам Сн. Вме i i 1 r сто этого допущения можно рассматривать наи более вероятные цены, учитывая при необходи N R r r мости соответствующие доверительные интерва S Bi где x i C (t ) M (t1 ).
i лы. Расчет наиболее вероятных значений может i 1 r быть сделан с помощью вспомогательных сер Условия (15) отличаются от канонической висных программ или средствами Excel.
формулировки направлением знака неравенства.
Таким же образом могут быть учтены раз Условия (12) и условия (15) в совокупности оп личные варианты поступления и выплат средств.
ределяют допустимый интервал возможных зна Нет никакой необходимости предполагать, что чений для целевого показателя (14).
менеджер получает от инвестора средства в мо В отсутствие условия (15) решение задачи мент t1 и возвращает их с процентами в момент (12) (15) может быть получено путем выбора t2. Возможен любой договорный режим получе максимально возможных, т.е. удовлетворяющих ния и выплаты средств.
условиям (12) объемов продаж. Наличие усло Целью деятельности менеджера не всегда вия (15) делает необходимым исследовать все воз может быть максимум прибыли, а это может быть, можные варианты продаж, включая варианты с например, максимальное увеличение свободных частичной продажей. Для выполнения такого ис денежных средств к определенному моменту вре следования следует ввести в рассмотрение ус мени, либо получение периодического дохода на ловный ограниченный ресурс общее количе как можно большем интервале времени, либо ство продаваемых ЦБ, которое формально дол получение нескольких фиксированных выплат в жно быть ограничено. Таким образом, мы вво заранее определенные моменты времени и т.п.
дим дополнительное условие:
Модель может быть модифицирована для учета R N данных целей.
r r (16) Модель (6) (11) распадется на две взаимо y i C.
i r 1 i дополнительные, а именно на модель оптимиза ции плана продаж при заданном плане покупок При этом должно быть больше или рав C и модель оптимизации плана покупок при за но сумме имеющихся в наличии ЦБ и планиру данном плане продаж. Рассмотрим эти модели в емых покупок.
единичном интервале времени. Вначале обратим Обратимся теперь к задаче оптимизации пла ся к модели оптимизации плана продаж в еди на покупок в единичном временном интервале ничном временном интервале при заданном плане при заданном плане продаж. То, что план про покупок.
r даж задан, означает, что переменным i,e при То, что план покупок задан, означает, что r даны определенные значения. Единичность ин i,e переменным приданы определенные значе тервала, как уже отмечалось, означат е = k = 1.
ния. Единичность интервала, в свою очередь, В этом случае соотношения (8) (11) приобрета означат, что е = k = 1. В этом случае соотноше ют вид (17) (20), соответственно:
ния (8) (11) приобретают вид (12) (15), соот R ветственно:
r r (17) i x i V,i 1, N, i R r r r i y i C,i 1, N, (12) i R r r r где, V i S (t1 ), i 1, N i i y i R r r где Сi xir i + Si (t1),i 1, N, r n g a e h V C i X e w F e D r P w Click to buy NOW!
m w o w c.
.
d k o c c a r u t Экономические Математические и инструментальные 1(62) науки методы экономики ный ресурс общее количество покупаемых ЦБ, R r которое формально должно быть ограничено.
(18) 1, i 1, N, i Таким образом, мы вводим дополнительное ус r ловие:
N R R N r r r r Bi x i C (t) min, (19) i (21) x i V.
i i 1 r r 1 i N R r r Bi x i C (t) W, (20) При этом V выражает количество ЦБ, ко i торое необходимо непременно закупить.
i 1 r Вывод. Представление задачи в виде булевого программирования открывает возможности и для N R r r других обобщений модели. В частности, формули W H y i C (t ) + M (t1 ).
i i ровка, которая нами проанализирована, является i 1 r пессимистической в том смысле, что в ней пред Условия (17) отличаются иной, нежели при полагается покупки будут сделаны по высоким нято в канонической формулировке, направлен ценам Св, а продажи по низким ценам Сн. Вместо ностью знака неравенства. Условия (17) и усло этого допущения можно рассматривать наиболее вия (20) в совокупности определяют допусти вероятные цены, учитывая при необходимости со мый интервал возможных значений для целево ответствующие доверительные интервалы. Расчет го показателя (19).
наиболее вероятных значений может быть сделан В отсутствие условия (20) решение задачи с помощью вспомогательных сервисных программ (17) (20) может быть получено путем выбора или средствами Excel. Таким же образом могут минимально возможных, т.е., удовлетворяющих быть учтены различные варианты поступления и условиям (17) объемов покупок. Наличие усло выплат средств. Нет никакой необходимости пред вия (20) делает необходимым исследовать все полагать, что менеджер получает от инвестора сред возможные варианты покупок, включая вариан ства в момент t1 и возвращает их с процентами в ты с большими, чем минимальные, покупками.
момент t2. Возможен любой договорный режим Для выполнения такого исследования необходи получения и выплаты средств.
мо ввести в рассмотрение условный ограничен Поступила в редакцию 08.11.2009 г.
n g a e h V C i X e w F e D r P w Click to buy NOW!
m w o w c.
.
d k o c c a r u t
Книги, научные публикации