Экономические Математические и инструментальные 1(62) 428 науки методы экономики 2010 Формирование оптимальной структуры портфеля ценных бумаг на основе концепции управления риском как ресурсом й 2010

В.Д. Селютин доктор педагогических наук, профессор Орловский государственный университет E mail: selutin_v_d В данной работе излагается подход к выявлению оптимальной структуры инвестиционного пор тфеля, основанный на концепции управления риском как ресурсом.

Ключевые слова: риск как ресурс, модель Марковица, оптимальный уровень риска.

Наиболее известным подходом к решению за ность акций i й компании (обозначим ее X ) в i дачи выделения оптимальной структуры портфе предстоящем периоде владения во многом явля ля ценных бумаг, по видимому, следует считать ется величиной неопределенной, причем ее зна подход, предложенный Г. Марковицем1. Основ чение зависит от множества различных факто ная идея данного подхода состоит в следующем.

ров, например от прибыли данной компании.

При формировании портфеля рациональному ин Поэтому будем считать, что величина X явля вестору следует одновременно максимизировать i доходность и минимизировать риск, т.е. при про ется случайной. Тогда (X, X,..., X ) случай 1 2 n чих равных условиях инвестору следует выбрать ный вектор доходностей активов портфеля, а портфель, обеспечивающий заданную или мак (m1, m2,..., mn ) вектор их ожидаемых значений симальную доходность с минимальным уровнем риска. Дальнейшее развитие данный подход по в предстоящем периоде владения. Следователь лучил в работах Г. Александера, Д. Бэйли, Д. То n бина, У. Шарпа и др. Фактически управление рис X yi X i но, доходность портфеля случай ком портфеля в рамках этого подхода основыва i ется на концепции минимизации риска, т.е. при ная величина. При этом ожидаемая доходность формировании портфеля риск следует снижать.

портфеля равна:

В настоящей работе предлагается альтерна тивный подход к формированию оптимального E (X ) E (X y1 ) +... + E (X yn ) 1 n инвестиционного портфеля, основанный на кон цепции управления риском как ресурсом2. n Предположим, что лицом, принимающим ре m1 y1 +... + mn yn yi (1) i m.

шение, уже реализованы этапы выбора инвести i ционной политики и анализа конкретных видов В качестве меры риска инвестиционного пор активов, включаемых в портфель, т.е. определе тфеля будем использовать дисперсию ны общий объем средств и отдельные виды ак тивов.

n n Рассмотрим более подробно этап формиро V (X ) E((X E(X ))2) E i yi yi i X m вания портфеля ценных бумаг, заключающийся i 1 i в установлении пропорций распределения инве стируемого капитала между выбранными акти n n n n вами. Введем обозначения, необходимые для ма E y (Xi mi )(X mj ) i j j ij j y v yi y, i 1 j тематического описания данного этапа.

i 1 j (2) Пусть доля инвестируемого капитала в yi vij E (X mi )(X m ) где соответствую i j j n щие коэффициенты ковариации. Тогда во вве i акции i й компании, причем y 1. Доход денных обозначениях модель Марковица за i пишется в виде См.: Markowitz H. Portfolio Selection // The J. of n n Finance. 1952. Vol. VII. No 1. P. 77 91;

Шарп У., Алексан V (X ) ij j v yi y min (3) дер Г., Бэйли Дж. Инвестиции. М., 2001.

2 i 1 j Бублик Н.Д., Силантьев В.Б. Риск ресурс: Пробле мы венчурно стохастической деятельности. Уфа, 1999.

n g a e h V C i X e w F e D r P w Click to buy NOW!

m w o w c.

.

d k o c c a r u t Экономические Математические и инструментальные 1(62) науки методы экономики r ropt ;

1) M (r ) возрастает для всех m1 y1 +... + mn yn M, y +... + yn 1, r > ropt ;

2) M (r ) убывает для всех y 0.

i ropt 3) единственная точка максимума.

Здесь M значение доходности портфеля, Проверим обоснованность выдвинутых пред заданное экзогенно.

положений.

Таким образом, модель (3) для заданного Рассмотрим функцию риска портфеля V (X ), уровня доходности M позволяет определить оп определенную выражением (2), и множество до тимальные пропорции распределения инвести пустимых портфелей:

ционного капитала между активами, соответству ющие минимальному уровню риска.

A {yi | y1 + y2 +... + yn 1, yi 0, i 1,2,..., n}.

Рассмотрим альтернативный подход к фор Так как функция V (X ) является непрерыв мированию портфеля, основанный на концеп ции управления риском как ресурсом.

ной в Rn, а множество A компакт, то V (X ) Основная идея данного подхода состоит в принимает наименьшее и наибольшее значения следующем. Известно, что между уровнями до на данном множестве.

ходности и риска существует определенная за Для нахождения наименьшего (наибольше висимость. Так, при низком уровне риска следу го) значения функции V (X ) на множестве A ет, как правило, ожидать небольшой уровень до ходности. При высоком уровне риска портфеля сформулируем следующую задачу условной оп ожидаемая доходность также минимальна, по тимизации:

скольку увеличивается возможность потерь. Тог n n да можно предположить, что существует некий V (X ) ij j v yi y min (max) оптимальный уровень риска, при котором уро i 1 j вень доходности будет максимальным. Также не исключены варианты, когда наименьшему или y1 + y2 +... + yn 1, наибольшему значению уровня риска соответ 0, i 1,2,..., n.

(4) yi ствует максимальное значение доходности. Так, при анализе статьи Г. Марковица3 были выявле Для решения такой оптимизационной зада ны следующие виды качественного поведения чи могут быть использованы соответствующие методы условной оптимизации, например, мо функции доходности M (r ), зависящей от уров дифицированный метод Лагранжа4, позволяю ня риска r (рис. 1).

щий учитывать условие неотрицательности пе На данных рисунках представлены результа ременных.

ты применения модели Марковица для случая двух Пусть r0 и R0 наименьшее и наиболь активов. Множество A={abc} определяет множе ство допустимых портфелей, т.е. тех портфелей, шее значения функции V (X ) на множестве A, для которых пропорции распределения y1 и y найденные при решении задачи (4). Рассчитаем инвестируемого капитала между двумя видами ropt [r0, R0 ] уровень оптимального риска, при активов удовлетворяют следующим условиям:

котором функция доходности портфеля E (X ) y1 + y2 1, принимает наибольшее значение. Для этого за 0, y2 0.

y пишем следующую оптимизационную задачу:

Точка y это точка, в которой функция min n риска (2) достигает минимума. Взаимное располо M (r ) E (X ) yi mi max жение точки y и множества {abc} допустимых min i портфелей (рис. 1 УаФ, УвФ, УдФ, УжФ) определяет n n 0 ij j поведение функции M (r ) (рис. УбФ, УгФ, УеФ, УзФ). v yi y r, r [r0, R0 ], i 1 j Исходя из этого, выдвинем следующие предполо y + y2 +... + yn 1, жения относительно поведения функции доход y 0, i 1,2,..., n.

(5) ности M (r ) в зависимости от уровня риска r: i Bazaraa M.S., Sherali H.D., Shetty C.M. Nonlinear Markowitz H. Cit. op. Programming: Theory and Algorithms. Wiley Interscience, 2006.

n g a e h V C i X e w F e D r P w Click to buy NOW!

m w o w c.

.

d k o c c a r u t Экономические Математические и инструментальные 1(62) науки методы экономики Рис. 1. Качественное поведение зависимости доходности портфеля от уровня риска n g a e h V C i X e w F e D r P w Click to buy NOW!

m w o w c.

.

d k o c c a r u t Экономические Математические и инструментальные 1(62) науки методы экономики Рис. 2. График функции доходности портфеля M(r) блюдения к первому. Доходность любого инст Здесь r параметр задачи, принимающий румента за весь период определялась как средняя значения из отрезка [r0, R0 ]. Так как целевая фун этих величин. Далее определялись функции до кция непрерывна, а допустимое множество явля ходности (2) и риска (3) портфеля, и решались ется компактным, то задача (5) имеет решение. оптимизационные задачи (4) и (5). Для форми рования портфеля использовались акции как оте Перебирая значение параметра r с некоторым чественных, так и зарубежных компаний. В со шагом, получим последовательность оптимиза h став пакета входило от 4 до 10 инструментов.

ционных задач вида (5). Далее, решив каждую из Приведем основные результаты вычисли полученных задач, возьмем наибольшее из после тельного эксперимента по формированию одно довательности найденных оптимальных значений го из портфелей.

Портфель составлялся из акций 4 отечествен целевой E (X ). Значение параметра, соответству ных компаний. Полученная зависимость доход ющее выбранному наибольшему значению целе ности портфеля от уровня риска приведена на вой функции, примем в качестве оптимального рис. 2. В соответствии с результатами экспери уровня риска. При этом найденное оптимальное мента максимальная ожидаемая доходность пор * * * решение задачи (5) (обозначим его ) y1, y2,..., yn тфеля 1,0266 достигается при уровне риска 0,0024. Оптимальные пропорции распределения определяет пропорции распределения инвестируе инвестируемого капитала между акциями ком мого капитала между выбранными видами активов.

Таким образом, следует принять предположе * * паний следующие:,, y1 0,8374 y2 0, ние о существовании единственной точки оптималь * * ного уровня риска, при котором значения доходно,.

y3 0,0265 y4 0, сти портфеля будет максимальными. Обоснование Аналогично проводились другие вычислитель двух других предположений (о возрастании и убы ные эксперименты по формированию портфеля. При вании) приводится в статье А.Б. Секерина5.

этом с точки зрения промежутков возрастания и Проверка выдвинутых предположений про убывания для всех рассмотренных портфелей пове водилась также эмпирически с помощью вычис дение зависимости доходности от уровня риска было лительных экспериментов по формированию пор схожим с поведением теоретически выявленных за тфеля ценных бумаг. Приведем общую схему висимостей (см. рис. 1 УбФ, УгФ и УеФ).

реализации вычислительного эксперимента.

Таким образом, на основании результатов По акциям каждой из выбранных компаний проведенной эмпирической проверки следует за один и тот же период времени составлялась принять все выдвинутые выше гипотезы о каче выборка объемом 300 наблюдений цены закры ственном поведении функции доходности в за тия. Затем данная выборка разбивалась на 20 ин висимости от уровня риска.

тервалов по 15 наблюдений. По каждому интер Предложенный подход к формированию оп валу рассчитывалось отношение последнего на тимальной структуры портфеля позволяет выя вить оптимальный уровень риска, при котором Секерин А.Б. Концепция риска как ресурса и ее применение к портфельным инвестициям // Вестн. ВГУ.

доходность максимальна.

Сер. УЭкономикаФ. Воронеж, 2006. № 1. С. 155 161.

Поступила в редакцию 03.12.2009 г.

n g a e h V C i X e w F e D r P w Click to buy NOW!

m w o w c.

.

d k o c c a r u t    Книги, научные публикации