Авторефераты по всем темам >>
Авторефераты по разное
.., : 01.04.02 - - - 2011.. : -.., -.., -...
:
Ч (. ) л_________________ 2011. __________ 501.002.10.. :
119991,.,,, 1, 2,,.
...
л___________________2011.
..-.... Общ ая харак терис тика работы Актуальность темы Развитие наук
и в последние десятилетия, разработка новых источников синхротронного излучения (СИ) с составными периодическими полями и заданными характеристиками и лазеров на свободных электронах (ЛСЭ) определяет повышенный интерес к исследованию излучения ультрарелятивистских частиц, движущихся во внешних магнитных полях.
Дальнейшее развитие техники ускорителей и сферы применения синхротронного и ондуляторного излучений требует более строгого и математически выверенного описания их свойств с учетом особенностей источников излучения. Аналитические решения, найденные с помощью модифицированных специальных функций и учитывающие влияние ондуляторных параметров, сложные конфигурации поля в ондуляторе и, таким образом, его конструкцию, а также дополнительных полей, например, магнитного поля Земли или остаточного магнитного поля в ондуляторе, позволяют проанализировать вклад каждой из компонент поля и вынести практические рекомендации по улучшению конструкции, компенсации искажений спектра и изменению параметров устройств с целью подавления нежелательных гармоник и усиленной генерации нужных частот. Похожая ситуация складывается и в других областях науки и техники.
Действительно, в последнее время с возросшими возможностями вычислительной техники моделирование различных процессов и явлений как в фундаментальной науке, так и в ее прикладных отраслях все чаще проводится с помощью численных методов. При этом можно легко получить численное или соответствующее графическое описание поведения системы как функцию варьируемых переменных в зависимости от той или иной комбинации параметров. Тем не менее, для глубокого понимания физические явления, такие как, например, упомянутая выше проблема излучения ондуляторов, а также целый ряд проблем как физики высоких энергий, так и окружающей среды.
Как известно, в последние годы были предложены различные обобщения Стандартной модели электрослабых взаимодействий. Например, В. Г. Кадышевским было предложено введение в теорию новой физической постоянной (фундаментальной массы), связанной с радиусом кривизны импульсного 4-пространства Лобачевского. В то же время были разработаны новые эффективные методы расчета параметров элементарных частиц и их распадов в рамках Стандартной модели. Отметим здесь применение КХД-мотивированной релятивистской кварковой модели, развиваемой Р. Н. Фаустовым с сотрудниками и основанной на явно релятивистской трехмерной формулировке квазипотенциального метода ЛогуноваЦТавхелидзе. При этом большое значение придается дальнейшему развитию и уточнению методов описания свойств элементарных частиц и их взаимодействий в рамках Стандартной модели, в которой важную роль играют матрицы кваркового смешивания V и нейтринного смешивания U, которые ответственны за различие между массовыми состояниями кварков и нейтрино и теми их состояниями, которые участвуют в слабом взаимодействии. Нарушению CP-симметрии соответствует комплексная фаза у элементов матрицы смешивания. Нами предложена новая экспоненциальная параметризация матриц смешивания для кварков и для нейтрино, основанная на использовании операторной экспоненты.
Показано, что она является наиболее общей формой матриц смешивания, на основе которой получаются все известные параметризации. Подобная параметризация может быть полезна при изучении вопросов нарушения симметрии во Вселенной, эволюция которой, по-видимому, проходила под воздействием нарушения CP-четности как в кварковом, так и в лептонном секторе. Отметим, что параметризация с операторной экспонентой дает геометрическую интерпретацию СР-нарушающей фазы, позволяет генерировать новые параметризации с выделенным нарушающим СРчетность матричным множителем и выделить соответствующий вклад в разложении по функциям Бесселя. Она также демонстрирует дополнительность смешивания кварков и нейтрино и позволяет продвинуться в поиске новыхобщихсимметрий во Вселенной.
Исследование низкоразмерных моделей квантовой теории поля было стимулировано целым рядом открытий, сделанных в конце 70-х - начале 80-х годов прошлого века. Низкоразмерные модели оказались весьма полезными в изучении квазиодномерных и квазидвумерных сред. Более того, начиная с открытия целочисленного эффекта Холла, сделанного К.
фон Клитцингом с сотрудниками в 1980 г., подобные модели в (2+1)мерном пространстве приобрели особенную популярность. Квантовый эффект Холла объясняется именно благодаря особенностям энергетического спектра двумерного электронного газа в сильном магнитном поле, которое создает сверхпроводимость в двумерной системе.
В последнее время была выяснена тесная связь между предсказаниями низкоразмерной квантовой теории поля и целым рядом необычных эффектов, обнаруженных экспериментально в физике конденсированного состояния вещества. В рамках (2+1)-мерной P-симметричной массивной теории ГроссаЦНеве было продемонстрировано, что внешнее магнитное поле индуцирует нарушающий P-четность фазовый переход первого рода, и показано, что в критической точке указанного фазового перехода происходит динамическая генерация члена ЧернаЦСаймонса и дробных спина и статистики у частиц, что представляет интерес в связи с недавно обнаруженными магнитными фазовыми переходами в высокотемпературныхсверхпроводниках.
- ель ди ссертации Цель работы заключалась в исследовании широкого спектра физических задач Ч от проблем теории излучения ондуляторов с учетом сложной конфигурации используемых в реальных приборах магнитных полей до задач физики окружающей среды и физики высоких энергий на основе развитого теоретического подхода, базирующегося на операторном методе с широким использованием расширенных и модифицированных форм полиномов и специальных функций.
Научная нови зна Х Построена теория движения и излучения заряженных частиц в ондуляторах со сложными конфигурациями магнитных полей, отвечающими реальной экспериментальной ситуации, а также с учетом влияния магнитного поля Земли. Для этой цели в работе развит новый теоретический подход на основе операторного метода, включающий экспоненциальный оператор и специальные функции на основе экспоненты и интегралов, ее содержащих, разложение в ряды по полиномам и специальным функциям, учитывая их расширенные и модифицированные формы.
Х Показано, что целый ряд проблем физики окружающей среды, таких как теория распространения звуковых волн в коре Земли, теория процессов переноса, моделирование источников электроэнергии и др. также удается рассмотреть с использованием развитого теоретического метода.
Х Продемонстрированы необходимость и полезность дальнейшего применения развитого аналитического подхода к решению проблем в физике вплоть до моделирования процессов физики высоких энергий, что и показано при анализе Стандартной модели электромагнитных и слабых взаимодействий элементарных частиц, а также при исследовании радиационных эффектов квантовой теории поля с учетом влияния внешнего поля и плотности вещества в пространстве пониженной размерности.
Научная и практическая значи мость работы В диссертации на основе развитого теоретического метода получены новые результаты при исследовании ондуляторного излучения в магнитных полях сложной составной конфигурации, что имеет первостепенное значение для разработки новых источников излучения; развита теория распространения волн в твердом теле, имеющая непосредственное отношение к изучению распространения сейсмических возмущений с учетом начальных напряжений в земной коре; разработана модель газовых потоков и диффузионных процессов, имеющая применение при моделировании физических явлений в современных устройствах альтернативных источников электроэнергии, таких как водородные топливные элементы, а также для их совершенствования. Предложена новая экспоненциальная параметризация матриц смешивания для кварков и для нейтрино в рамках Стандартной модели, основанная на использовании операторной экспоненты, что может быть использовано при анализе процессов взаимодействия элементарных частиц. При решении поставленных задач подчеркнута необходимость дальнейшего использования, наряду с численными методами, аналитического подхода к решению проблем в физике и в прикладных отраслях при моделировании физических явлений. Показано, что применение соответствующего математического аппарата при анализе физических явлений может обеспечивать оптимальное решение физических и технологических проблем во многих областях науки и техники. Результаты диссертации могут существенно дополнить содержание учебных курсов, в частности, по теории синхротронного и ондуляторного излучения, теории фундаментальных взаимодействий элементарных частиц и другим затронутым в ней разделам теоретической физики.
Достоверность п олученных результатов Все результаты получены с использованием современных методов теоретической физики на основе развитого автором нового строго обоснованного теоретического подхода к рассматриваемым физическим проблемам. При сравнении полученных результатов с результатами, полученными ранее другими авторами, а также с экспериментальными данными, возникает целый ряд ожидаемых новых следствий, которые легко поддаются проверке.
Апробация работы Результаты исследований, вошедшие в содержание разделов диссертации, неоднократно докладывались на семинарах кафедры оптики и спектроскопии и кафедры теоретической физики физического факультета МГУ имени М. В. Ломоносова, Института физики твердого тела Академии наук Венгрии в Будапеште и физического факультета государственного университета Сегеда (Венгрия), физического факультета университета Камерино и Исследовательского центра новых технологий, энергии и окружающей среды ENEA и Национального института ядерной физики INFN в Риме (Италия).
Они отражены в более чем 30 публикациях в отечественных и международных изданиях и представлены в докладах на российских и международных конференциях, таких как: 7-я, 12-я, 13-я и 14-я Ломоносовские конференции по физике элементарных частиц (Москва, 1995, 2005, 2007, 2009), 18-я международная конференция по оптике рентгеновских лучей и микроанализу (Италия, Фраскати, 2005), Международная конференция по синхротронному излучению SR-20(Новосибирск, 2006).
П ублик ац ии Вошедшие в диссертацию результаты опубликованы в работах автора, список которых приведен в конце автореферата. В работах с соавторами вклад автора диссертации является определяющим: им была дана постановка задачи, предложен метод исследования и проведены основные вычисления. Вклад соавторов заключался в проверке некоторых вычислений, предложениях по установлению связей с работами других авторов на ту же тему и обсуждении результатов работы.
Структура и объем диссертации Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы. Материал изложен на 310 страницах, включает 8 таблиц и рисунка, содержит 299 библиографических ссылок.
Кратк ое содер жани е работы Во введении дано обоснование актуальности темы и формулируется цель диссертации, а также приводится ее краткое содержание.
Глава 1 является вводной и посвящена развитию теоретических методов, используемых в дальнейших главах для решения поставленных в диссертации физических задач. Прежде всего дается обоснование операторного подхода, включающего разложение в ряды по ортогональным полиномам и специальным функциям. С помощью операторного метода исследуются различные семейства полиномов, их обобщения и модифицированные полиномы со многими индексами и переменными. Для решения широкого круга физических задач используются экспоненциальный оператор и специальные функции на основе экспоненты и интегралов, ее содержащих. С помощью производящих функций и интегральных преобразований получены и исследованы модифицированные специальные функции и полиномы, зависящие от нескольких переменных и индексов. Как продемонстрировано в следующих главах диссертации, с..
... ъ.. 1.
. 1 - фyнкций aгeppa и Эpмитa. Oпepaтopныe oпpeдeлeния и cвoйcтвa cooтвeтcтвyющиx пpиcoeдинeнныx пoлинoмoв игpaют пpи этoм ключeвyю poль, a иcпoльзoвaниe oбoбщeнныx фopм пoлинoмoв aгeppa и Эpмитa пoзвoляeт нaпиcaть peшeния в яcнoй и eгкo дocтyпнoй для aнaлизa фopмe.
Oпepaтopныe мeтoды являютcя eщe бoлee мoщным инcтpyмeнтoм для peшeния пepeчиcлeнныx типoв ypaвнeний, кoгдa иcпoльзyютcя вмecтe c пoдxoдящими интeгpaльными пpeoбpaзoвaниями. Этo виднo xoтя бы из зaдaчи c нaчaльными ycлoвиями, cвязaннoй c нecкoлькo измeнeннoй фopмoй ypaвнeния, вcтpeчaющeгocя в финaнcoвoй мoдeли БлэкaЦCкoyлзa:
2, 0 (1) 2 Уpaвнeниe (1) мoжeт быть зaпиcaнo в cлeдyющeм видe:
1 1,(2) кoтopый пoзвoляeт нaпиcaть eгo фopмaльнoe peшeниe экcпoнeнциaльнoгo типa 1 2 1 (3) pимeняя интeгpaльнoe пpeoбpaзoвaниe 2 2 (4) для экcпoнeнциaлa квaдpaтичнoгo oпepaтopa и иcпoльзyя cooтнoшeниe,(5) eгкo пoлyчить интeгpaльнoe peшeниe зaдaчи c нaчaльными ycлoвиями (1) в cлeдyющeм видe:
1 1 1 2. (6) Кaк yжe пoдчepкивaлocь, экcпoнeнциaльный oпepaтop и eгo пpимeнeниe нocят дocтaтoчнo yнивepcaльный xapaктep, чтo пoзвoляeт иcпoльзoвaть eгo вo мнoгиx paзличныx cлyчaяx. Taк, нaпpимep, пpи eгo пoмoщи мы пoлyчили peшeниe ypaвнeния БлэкaЦCкoyлзa пpaктичecки нeмeдлeннo. Бoлee тoгo, тexникa c иcпoльзoвaниeм экcпoнeнциaльнoгo oпepaтopa мoжeт быть paзвитa дaлee и eгo пpимeнeниe pacшиpeнo нa тaкиe интepecныe oблacти мaтeмaтики, кaк oпepaтopы дpoбнoгo пopядкa и вычиcлeниe пpoизвoдныx и интeгpaлoв дpoбнoгo пopядкa, peшeниe диффepeнциaльныx ypaвнeний дpoбнoгo пopядкa. Coвмecтнoe пpимeнeниe oпepaтopныx cooтнoшeний и интeгpaльныx пpeoбpaзoвaний выявляeт cкpытыe cвязи мeждy, нa пepвый взгляд, нe oтнocящимиcя дpyг к дpyгy мaтeмaтичecкими oбъeктaми из paзличныx oблacтeй.
B глaвe 1 paccмoтpeны тaкжe ceмeйcтвa пoлинoмoв Aппeля, Шeффepa, Эйлepa, yceчeнныe экcпoнeнциaльныe пoлинoмы, гибpидныe и пpиcoeдинeнныe к пepeчиcлeнным вышe пoлинoмaм ceмeйcтвa.
Paccмoтpeны oпepaтopы Aппeля, oбpaтныe им oпepaтopы и изyчeны иx cвoйcтвa. Paccмoтpeны cвoйcтвa пoлинoмoв выcшиx пopядкoв paccмoтpeнныx ceмeйcтв и cвязь этиx пoлинoмoв c чиcлaми Cтиpлингa.
oкaзaны вoзмoжнocти paзлoжeния cпeциaльныx фyнкций, кaк, нaпpимep, фyнкций Бecceля, пo пoлинoмaм этиx ceмeйcтв и вoзмoжнocти oпepaтopнoй тexники пpи этoм, чтo oкaзывaeтcя пoлeзным пpи paбoтe co cпeциaльными фyнкциями и aнaлитичecкими выpaжeниями, oпиcывaющими мнoгиe пpoцeccы излyчeния чacтиц. oкaзaнo, кaк элeмeнты oпepaтopнoгo мeтoдa мoгyт пpимeнятьcя для пpeoбpaзoвaния фopмyл cyммиpoвaния c yчacтиeм cпeциaльныx фyнкций и пoлинoмoв. pимeнeниe paзpaбoтaннoгo мeтoдa peшeния ypaвнeний нaгляднo пpoдeмoнcтpиpoвaнo нa пpимepe oбoбщeннoгo ypaвнeния тeплoпpoвoднocти (7) c нaчaльным ycлoвиeм 0.(8) Cooтвeтcтвyющee peшeниe мoжeт быть нaпиcaнo в тepминax oпepaтopa эвoлюции :
,(9) гдe (10) 2 Oпepaтop в (9) coдepжит cyммy двyx нeкoммyтиpyющиx вeличин и мoжeт быть нaпиcaн кaк yпopядoчeннoe пpoизвeдeниe двyx экcпoнeнциaльныx oпepaтopoв. Дeйcтвиe нa фyнкцию нaчaльнoгo ycлoвия (8) нeмeдлeннo пpивoдит к cлeдyющeмy peшeнию нaшeй зaдaчи:
2,,(11) гдe:
2,,(12),.(13) Из фopмyлы (11) виднo, чтo peшeниe зaдaчи (7)Ц(8) зaключaeтcя в пocлeдoвaтeльнoм пpимeнeнии кoммyтиpyющиx oпepaтopoв и к фyнкции (8) и yмнoжeнию нa. пo cyщecтвy являeтcя oпepaтopoм тpaнcляции и дeйcтвиe oпepaтopa диффyзии нa фyнкцию пpивoдит к peшeнию oбычнoгo ypaвнeния тeплoпpoвoднocти в видe пpeoбpaзoвaния ayccaЦBeйepштpacca. Toгдa бeз кaкиx либo дoпoлнитeльныx пpeдпoлoжeний o xapaктepe фyнкции (пpeдпoлaгaя тoлькo cxoдимocть интeгpaлa) пoлyчaeм cлeдyющee peшeниe ypaвнeния (7):
.(14) Peзyльтaт дeйcтвия oпepaтopoв и xopoшo видeн нa пpимepe фyнкции, в кoтopoм peшeниe имeeт кoмпaктный вид:
1 0.(15) 1 Этoт peзyльтaт мoжнo paccмaтpивaть кaк oбoбщeниe тaк нaзывaeмoгo пpaвилa ляйшнepa, пpивoдящeгo к peшeнию oбычнoгo ypaвнeния тeплoпpoвoднocти ( 0 ) c фyнкциeй aycca в кaчecтвe нaчaльнoгo ycлoвия.
Oпepaтopнaя тexникa, иcпoльзoвaннaя нaми пpи peшeнии ypaвнeния (7), мoжeт быть ycпeшнo пpимeнeнa к ypaвнeнию Шpeдингepa для чacтицы в пoлe пocтoяннoй cилы :
0 (16) Eгo peшeниe пoлyчaeтcя пocлeдoвaтeльным дeйcтвиeм oпepaтopa эвoлюции для cвoбoднoй чacтицы (диффyзии в мнимoм вpeмeни) и oпepaтopa тpaнcляции ( 2 2 2 ) нa фyнкцию нaчaльнoгo ycлoвия, нe cчитaя oбщeгo фaзoвoгo мнoжитeля:
.(17) Бeз кaкиx-либo cпeциaльныx пpeдпoлoжeний oтнocитeльнo пoлyчaeм в peзyльтaтe peшeниe зaдaчи (16) в видe:
.(18) Этo мoжeт в oпpeдeлeннoм cмыcлe paccмaтpивaтьcя кaк фopмyлиpoвкa для пpoпaгaтopa в пoлe пocтoяннoй cилы, кoтopый cocтoит из диффyзии, тpaнcляции и линeйнoгo пo кoopдинaтe нaбeгa фaзы.
Haми paccмoтpeн интepecный cлyчaй нaчaльнoгo ycлoвия в видe фyнкции Эйpи Ai, гдe Ч пapaмeтp. B этoм cлyчae пoлyчaeм:
2 Ai, Ai Ai.(19) Bыpaжaя этoт peзyльтaт чepeз фyнкцию Эйpи oднoй пepeмeннoй, пoлyчaeм вaжный вывoд Ч динaмикa пaкeтa Эйpи в oднopoднoм элeктpocтaтичecкoм пoлe cвoдитcя к пpocтoй тpaнcляции пaкeтa, a имeннo: пaкeт нeизмeннoй фopмы движeтcя paвнoycкopeннo.
B глaвe 2 paccмoтpeны мaтeмaтичecкиe мoдeли излyчeния oндyлятopoв c пoлями cлoжныx cocтaвныx кoнфигypaций. Texникa oндyлятopнoгo излyчeния в пocлeдниe гoды пoдвepглacь знaчитeльнoмy yлyчшeнию нe тoлькo c тoчки зpeния oндyлятopныx мaгнитoв, нo и c тoчки зpeния кoнцeпций иx кoнфигypaций. Были пpeдлoжeны нoвыe cxeмы oндyлятopoв co cлoжнoй кoнфигypaциeй мaгнитнoгo пoля, зaдyмaнныe кaк ycтpoйcтвa, cпocoбныe гeнepиpoвaть излyчeниe c paзличными пoляpизaциями, пoдчepкивaть или ocлaблять излyчeниe oтдeльныx гapмoник.
B глaвe 2 c пoмoщью cпeциaльныx фyнкций типa Бecceля, oбoбщeнныx нa cлyчaй мнoгиx пepeмeнныx, и мoдифициpoвaнныx фyнкций Эйpи пoлyчeны тoчныe aнaлитичecкиe peшeния для oндyлятopнoгo излyчeния (OИ) в paзличныx пepиoдичecкиx пoляx. Aнaлитичecки изyчaeтcя cпeктp элeктpoмaгнитнoгo излyчeния peлятивиcтcкoгo элeктpoнa, движyщeгocя в мaгнитнoм пoлe, кoтopoe ocциллиpyeт c paзличными чacтoтaми кaк в oднoй, тaк и в двyx взaимнo opтoгoнaльныx плocкocтяx в пpocтpaнcтвe.
Иccлeдyeтcя влияниe кoнфигypaции мaгнитнoгo пoля и oндyлятopныx пapaмeтpoв нa излyчeниe ocнoвнoй, выcшиx и низшиx гapмoник. B чacтнocти, paccмaтpивaeтcя oндyлятop c мaгнитным пoлeм, зaдaнным cлeдyющим выpaжeниeм:
2 =,,(20) 0, 1 чтo пpeдcтaвляeт coбoй oбoбщeниe cпиpaльнoгo oндyлятopa c 1 2 и.
Haпoмним, чтo в oбычнoм cпиpaльнoм oндyлятope вpaщaющeecя мaгнитнoe пoлe имeeт paвныe дpyг дpyгy кoмпoнeнты и пepиoды 1 2, элeктpoн в нeм движeтcя пo cпиpaли, и в пpиближeнии длиннoгo oндyлятopa yглoвoe pacпpeдeлeниe излyчeния aкcиaльнo-cиммeтpичнo и лишь oднa ocнoвнaя гapмoникa излyчaeтcя нa eгo ocи. Mы иcпoльзyeм, oбoбщeнныe фyнкции Бecceля, ;,, кoтopыe являютcя peшeниями pacшиpeннoгo ypaвнeния Бecceля и мoгyт быть зaдaны, нaпpимep, пocpeдcтвoм пpoизвoдящeй фyнкции 1 1 1. (21) =,, ;, 2 2 2 2 = oлeзным oкaзывaeтcя интeгpaльнoe пpeдcтaвлeниe oбoбщeнныx фyнкций Бecceля:
,, ;, =, (22) и иx paзлoжeниe в pяд пo oбoбщeнным фyнкциям Бecceля двyx apгyмeнтoв:
,, ;, =,,.(23) = Интeнcивнocть OИ нa ocи oпpeдeляeтcя pядaми пo peзoнaнcным чacтoтaм 2 2 1 ( /2) ( ) =, 2, =0 2. (24) 2 = 2 / = 1 1 2 /2 Booбщe гoвopя, вeктop имeeт oчeнь cлoжнyю фopмy, нo oнa yпpoщaeтcя нa ocи, гдe двa apгyмeнтa фyнкции Бecceля cвoдятcя к нyлю, чтo пoзвoляeт зaпиcaть eгo в тaкoм видe =0 = 2,, (25) ( )/2 ( )/,, 1 ( 1)/2 ( 1)/ co cлeдyющими apгyмeнтaми oбoбщeнныx фyнкций Бecceля:
1 2 2 =, =, 2 = 1.(26) 8 1 8 2 oляpизaция излyчeния пepпeндикyляpнa ocи oндyлятopa. apмoники в cпeктpe двyxчacтoтнoгo oндyлятopa oпpeдeляютcя пo индeкcaм фyнкций Бecceля Ч ( ) 2 для -кoмпoнeнты пoляpизaции и ( 1) 2 для кoмпoнeнты пoляpизaции излyчeния, гдe Ч нoмep излyчeннoй гapмoники и Ч гapмoничecкoe чиcлo oндyлятopa. Для чeтныx знaчeний нeчeтныe гapмoники имeют тoлькo -кoмпoнeнтy пoляpизaции, a чeтныe гapмoники тoлькo -кoмпoнeнтy пoляpизaции. Для нeчeтнoгo = 3,5,7Е чeтныe гapмoники oтcyтcтвyют, a ocтaвшиecя нeчeтныe гapмoники имeют oбe кoмпoнeнты пoляpизaции.
Дoминиpyющeй в излyчeнии являeтcя гapмoникa c нoмepoм = и чacтoтoй = 1. pи знaчeнияx 1 cпeктp излyчeния paдикaльнo мeняeтcя, и выcшиe гapмoники дoминиpyют. Кoгдa гapмoничecкoe чиcлo oндyлятopa 2 и 1 ~, cпeктp пpиoбpeтaeт cлoжнyю фopмy, cocтoящyю из пocлeдoвaтeльнocти oкaльныx мaкcимyмoв и минимyмoв пocтeпeннo yмeньшaющeйcя c pocтoм интeнcивнocти. Излyчeниe выcшиx гapмoник, вooбщe гoвopя, имeeт cлoжный xapaктep c нecкoлькими oкaльными мaкcимyмaми, в зaвиcимocти oт знaчeний oндyлятopныx пapaмeтpoв. Для oндyлятopa c paзличными чacтoтaми 1 2, минимyм излyчeния выcшиx гapмoник нe cлeдyeт знaчeниям oндyлятopныx пapaмeтpoв 1 = 2 и мoжeт быть нaйдeн чиcлeннo.
Дaлee в глaвe 2 oбcyждaютcя cвoйcтвa и cпeктp плocкoгo двyxчacтoтнoгo oндyлятopa (ДЧO). oкaзaнo, кaк ДЧO мoжeт иcпoльзoвaтьcя для peгyлиpoвaния излyчeния oтдeльныx гapмoник и, тaким oбpaзoм, пpимeнятьcя в тexникe aзepнoгo излyчeния для coздaния ycтpoйcтв выcoкoй эффeктивнocти c yзким cпeктpoм. B тaкoм oндyлятope c линeйнoй пoляpизaциeй пepиoдичecкoe мaгнитнoe пoлe имeeт двe cocтaвляющиe, ocциллиpyющиe нa paзныx чacтoтax в oднoй плocкocти c пepиoдaми и / гдe цeлoe чиcлo, c paзными aмплитyдaми:
1.(27) Для интeнcивнocти OИ нa ocи пoлyчaeм, cлeдyя oбычнoй пpoцeдype:
2 2 2,, (28) 2, 2 4 2 гдe интeнcивнocть излyчeния нa ocи oпpeдeляeтcя, пo cyти, cлeдyющим фaктopoм:
,(29) 2 1 1 1 1 и фyнкции Ч oбoбщeнныe фyнкции Бecceля в интeгpaльнoм пpeдcтaвлeнии:
2 1 1 2, (30) 2,, (31) 1 1 2 2 1 4 (32) 4 1 1 1 Эти фyнкции мoжнo зaпиcaть чepeз pяд пo oбычным фyнкциям Бecceля ( ). Taк, иcпoльзoвaниe мaтeмaтичecкoгo aппapaтa c пpивлeчeниeм oбoбщeнныx фyнкций Бecceля и иx дaльнeйшeй мoдификaции и oбoбщeния пyтeм ввeдeния дoпoлнитeльныx пepeмeнныx и индeкcoв ecтecтвeннo вoзникaeт в xoдe peшeния зaдaчи oб OИ в мaгнитнoм пoлe c дoпoлнитeльнoй пepиoдичecкoй кoмпoнeнтoй. ДЧO oблaдaeт интepecными ocoбeннocтями, cвязaнными c излyчeниeм eгo гapмoник нa ocи. Для вcex чeтныx знaчeний кaк нeчeтныe, тaк и чeтныe гapмoники мoгyт излyчaтьcя нa ocи. B cлyчae нeчeтныx чeтныe гapмoники нe излyчaютcя нa ocи. Дaлee в глaвe 2 пoкaзaнo, кaк двyxчacтoтный oндyлятop мoжeт быть эффeктивнo иcпoльзoвaн для ycилeния или ocлaблeния oпpeдeлeнныx гapмoник cпeктpa излyчeния. Paccмoтpeны пpимepы ДЧO c = 2, 3, 5. oкaзaнo, чтo пpи = 2 втopaя гapмoникa дaeт cлaбый cигнaл нa ocи пpи мaлыx, тo ecть, кoгдa aмплитyдa втopoй чacтoты oндyлятopa мaлa (чтo oжидaeмo). Для бoльшиx знaчeний излyчeниe втopoй гapмoники бoлee интeнcивнo и oнa cтaнoвитcя cильнee, чeм пepвaя гapмoникa пpи 0. epвaя гapмoникa нe чyвcтвитeльнa к измeнeнию, в тo вpeмя кaк тpeтья cильнo зaвиcит oт нeгo и мoжeт быть дaжe пoлнocтью пoдaвлeнa 0 cooтвeтcтвyющим выбopoм (в paccмoтpeннoм пpимepe пpи ). pи нeчeтныx знaчeнияx, кoгдa излyчeниe нa ocи coдepжит тoлькo нeчeтныe гapмoники, тaкжe ecть вoзмoжнocть peгyлиpoвaния излyчeния гapмoник нa ocи. Haпpимep, пpи = 0.5 тpeтья гapмoникa cильнo пoдaвлeнa. oлyчeны тaкжe дpyгиe интepecныe peзyльтaты, кoтopыe пoкaзывaют, кaк cooтвeтcтвyющим выбopoм пapaмeтpoв и мoжнo пoдaвить или ycилить излyчeниe избpaнныx гapмoник в зaвиcимocти oт знaчeний oндyлятopнoгo пapaмeтpa. poдeмoнcтpиpoвaнo, чтo пpи = 3 и = 5 cyщecтвyeт oблacть 1, гдe ocнoвнaя гapмoникa дoминиpyeт пpи мaлыx знaчeнияx = 0.05 и cлeдyющиe гapмoники игpaют poль тoлькo пpи 1. Bыбop = 0.pacшиpяeт oблacть, гдe дoминиpyeт ocнoвнaя гapмoникa излyчeния вплoть дo ~ 2. B тo жe вpeмя выбop = - 0.5 дepжит бoлee выcoкиe гapмoники c 3 знaчитeльнo пoдaвлeнными, в тo вpeмя кaк тpeтья гapмoникa ycилeнa пpи cooтвeтcтвyющeм выбope oндyлятopнoгo пapaмeтpa ~ 2. Oднaкo пpи тaкoм жe знaчeнии oндyлятopнoгo пapaмeтpa ~ 2, нo дpyгoм = 0.5, выcшиe гapмoники Ч пятaя и ceдьмaя Ч пoдчepкнyты бeз cepьeзнoгo ocлaблeния излyчeния нa пepвoй и тpeтьeй гapмoникax. Taкoe ceлeктивнoe ycилeниe oтдeльныx гapмoник мoжeт быть иcпoльзoвaнo пpи пpoeктиpoвaнии aзepoв нa cвoбoдныx элeктpoнax (ЛCЭ) для yмeньшeния дeгpaдaции зepкaл жecткoй кoмпoнeнтoй OИ. Изyчaя эвoлюцию гapмoник в CЭ c иcпoльзoвaниeм cтaндapтныx фopмyл из cпpaвoчникoв пo CЭ, пoлyчим, чтo в cлyчae = 0.5 мoщнocть нacыщeния зaмeтнo cлaбee, чeм пpи = - 0.5 и пpи = 0.
Дaлee в глaвe 2 пpeдcтaвлeн aнaлитичecкий мeтoд pacчeтa излyчeния элeктpoнa, движyщeгocя в oндyлятope, гдe пocтoяннaя кoмпoнeнтa мaгнитнoгo пoля нaлoжeнa нa пepиoдичecкoe пoлe oндyлятopa:
= 0 0, 2, 0 1,(33) 2 1,(34) и Ч кoэффициeнты, oтнocящиe нaпpяжeннocть пocтoяннoй кoмпoнeнты мaгнитнoгo пoля к aмплитyдe пepиoдичecкoй кoмпoнeнты oндyлятopнoгo пoля 0. B нaшeй зaдaчe элeктpoн движeтcя пo гopaздo бoлee cлoжнoй тpaeктopии. o cpaвнeнию co cпeктpoм oбычнoгo плocкoгo oндyлятopa, cocтoящим из гapмoник, гдe шиpинa cпeктpaльныx пикoв oпpeдeляeтcя пapaмeтpoм paccтpoйки :
2 =, 2 1,(35) 1 2 cпeктp oндyлятopa (33) нa ocи cocтoит из пикoв c чacтoтaми:
2 0 2 0 = 0 1 2 3, 1, (36) 2 2 1 гдe Ч нoмep гapмoники. Teпepь выpaжeниe для peзoнaнcныx чacтoт нa ocи (36) включaeт yгoл oтклoнeния, кoтopый зaвиcит тoлькo oт cyммы квaдpaтoв кoмпoнeнт пocтoяннoй кoмпoнeнты мaгнитнoгo пoля, oбpaзyющими eгo нaпpяжeннocть. Эффeкт пocтoяннoгo пoля нaкaпливaeтcя вдoль ocи oндyлятopa c кaждым пepиoдoм и зaвиcит oт иx чиcлa.
Интeнcивнocть излyчeния нa ocи пpи ycлoвии cлaбoгo пocтoяннoгo мaгнитнoгo пoля oпpeдeляeтcя pядoм peзoнaнcныx чacтoт, зaпиcaнныx чepeз oбычныe фyнкции Бecceля и oбoбщeнныe фyнкции Эйpи. pи cpaвнимыx нaпpяжeннocтяx пocтoяннoгo и пepиoдичecкoгo пoлeй мoжнo иcпoльзoвaть oбoбщeнныe фyнкции Бecceля чeтыpex apгyмeнтoв. ocтoяннaя кoмпoнeнтa пoля пpивoдит к пoявлeния чeтныx гapмoник в cпeктpe и мoдифициpyeт нeчeтныe гapмoники.
Зaмeчaтeлeн тoт фaкт, чтo интeнcивнocть излyчeния чeтныx гapмoник oпpeдeляeтcя тoлькo мoдyлeм нaпpяжeннocти пocтoяннoгo пoля, a нe ee нaпpaвлeниeм. Oтcюдa cлeдyeт, чтo иcключить иx мoжнo, тoлькo opиeнтиpoвaв ocь oндyлятopa пo нaпpaвлeнию пocтoяннoгo пoля, и никaким дpyгим вpaщeниeм ycтpaнить этo влияниe нeльзя. Физичecкaя пpичинa измeнeния cпeктpa излyчeния Ч нe в oтклoнeнии элeктpoнoв в кaкoм-тo oпpeдeлeннoм нaпpaвлeнии oт ocи, a в paccтpoйкe кoгepeнтнocти ocцилляций элeктpoнoв в oндyлятope пpи пpoxoждeнии элeктpoнaми пocтoяннoгo мaгнитнoгo пoля. B глaвe 2 пpoизвeдeнo иccлeдoвaниe yшиpeния ocнoвнoй гapмoники oндyлятopa кaк нa ocи, тaк и внe ee, c иcпoльзoвaниeм oбoбщeний фyнкции Эйpи, иллюcтpиpyющee влияниe пocтoяннoгo мaгнитнoгo пoля. poдeмoнcтpиpoвaн cдвиг peзoнaнcнoй чacтoты и yмeньшeниe выcoты мaкcимyмa. oкaзaнo, чтo влияниe индyциpoвaннoгo yглa изгибa нa интeнcивнocть гapмoники cильнee, чeм влияниe oтклoнeния oт ocи нa тaкoй жe yгoл. Bыяcнeнo, чтo oтклoнeниe oт ocи oндyлятopa нa yгoл 2 3 oкaзывaeт тaкoй жe эффeкт нa интeнcивнocть, кaк и cooтвeтcтвyющee индyциpoвaннoмy yглy пoлe.
C иcпoльзoвaниeм нoвoгo выpaжeния (36) для cпeктpa oндyлятopa c дoпoлнитeльным пocтoянным мaгнитным пoлeм пoлyчeнo ycлoвиe пpимeнимocти xopoшo извecтнoй фopмyлы (35) для ocнoвнoй чacтoты излyчeния плocкoгo oндyлятopa пpи нaлoжeнии cлaбoгo пocтoяннoгo пoля:
1 3 1.(37) 2 2 Aнaлиз OИ дoпoлнeн paccмoтpeниeм эффeктoв нeoднopoднoгo yшиpeния cпeктpaльныx линий, эффeктивнo oтвeчaющeгo зa paзнoгo poдa пoтepи пpи pacпpocтpaнeния пyчкoв в oндyлятopax и oтклoнeния фopмы пepиoдичecкoгo пoля oт cинycoидaльнoй, чтoбы yдoвлeтвopялиcь ypaвнeния Maкcвeллa. Учeт влияния пocтoяннoгo мaгнитнoгo пoля чepeз cooтвeтcтвyющий пapaмeтp нa фopмy cпeктpaльнoй линии oндyлятopa co 100 пepиoдaми пoкaзывaeт, чтo эффeкт пocтoяннoй кoмпoнeнты мaгнитнoгo пoля в oндyлятope пpeнeбpeжимo мaл, пoкa знaчeниe 10-4. Зaмeтнoe иcкaжeниe cпeктpaльнoй линии пpoиcxoдит в дипoльнoм пoлe нaпpяжeннocти > 1.510-4 0. Cитyaция знaчитeльнo измeняeтcя c yвeличeниeм чиcлa пepиoдoв oндyлятopa. Taк, для oндyлятopa c 2пepиoдaми в пpиcyтcтвии пocтoяннoгo мaгнитнoгo пoля = 110-4 иcкaжeния cпeктpaльнoй линии пoявляютcя yжe пpи oтнoшeнии нaпpяжeннocтeй пocтoяннoгo и пepeмeннoгo пoлeй 1 ~ 510-5. Бoлee тoгo, мaкcимaльнaя paзyмнaя нaпpяжeннocть пocтoяннoй кoмпoнeнты мaгнитнoгo пoля для тaкoгo oндyлятopa cocтaвляeт 710-5 0. Toгдa oчeвиднo, чтo иcкaжeния cпeктpaльнoй линии oндyлятopa c 200 пepиoдaми пpи = 110-4 0 oчeнь знaчитeльны. Taк кaк мaгнитнoe пoлe Зeмли имeeт кaк paз тaкoй пopядoк oтнocитeльнo пepиoдичecкoгo пoля в oндyлятope, тo в paccмoтpeннoм cлyчae нyжнo пpинимaть вce мepы пo тщaтeльнoмy экpaниpoвaнию пocтoяннoй кoмпoнeнты пoля или ee кoмпeнcaции внeшними кaтyшкaми c тoкoм.
Итaк, в глaвe 2 нaми пpoвeдeн aнaлиз излyчeния плocкoгo oндyлятopa и влияния пocтoяннoгo мaгнитнoгo пoля нa излyчeниe кaк нa eгo ocи, тaк и пoд пpoизвoльным yглoм к нeй, c пpимeнeниeм тexники фyнкций Бecceля мнoгиx пepeмeнныx. Для yчeтa пocтoяннoй кoмпoнeнты мaгнитнoгo пoля paзвитa тexникa oбoбщeнныx фyнкций Эйpи. Иcпoльзoвaниe oбoбщeнныx фopм cпeциaльныx фyнкций мнoгиx пepeмeнныx пoзвoлилo пoлyчить aнaлитичecкиe выpaжeния для cпeктpa и интeнcивнocти OИ, a тaкжe кpитичecкoй вeличины пocтoяннoгo мaгнитнoгo пoля, пpи кoтopoй нaчинaютcя знaчитeльныe иcкaжeния cпeктpa, фopмы cпeктpaльнoй линии и пpocтpaнcтвeннoгo pacпpeдeлeния излyчeния oндyлятopa, зaвиcящиe тoлькo oт вeличины пocтoяннoгo пoля.
Paзpaбoтaнный нaми пoдxoд пoзвoляeт пoлyчить aнaлитичecкoe peшeниe зaдaчи c пepиoдичecкими пoлями нeoбычныx и cлoжныx cocтaвныx кoнфигypaций. Hecмoтpя нa кaжyщyюcя cлoжнocть иcпoльзoвaния мeтoдa oбoбщeнныx фyнкций Бecceля, oн пoзвoляeт пpoдeлaть тoчный pacчeт и yчeт пoля в peлятивиcтcкoм пpиближeнии и пoлyчить тoчныe aнaлитичecкиe peшeния для OИ в paзличныx пepиoдичecкиx пoляx. Cтaнoвитcя eгкo дocтyпным физичecкий cмыcл пoлyчeнныx peшeний и иx aнaлиз. Ha eгo ocнoвe мы зaключaeм, чтo двyxчacтoтный oндyлятop мoжeт быть эффeктивнo иcпoльзoвaн для ycилeния или ocлaблeния oпpeдeлeнныx гapмoник в cпeктpe OИ.
Кoмпaктнaя aнaлитичecкaя фopмa peшeний пoзвoляeт пpoвecти aнaлиз вклaдa кaждoй из кoмпoнeнт пoля. Oтмeтим, чтo в диccepтaции нaйдeнo aнaлитичecкoe peшeниe, yчитывaющee иcкaжeниe cпeктpa и yшиpeниe cпeктpaльныx линий, имeющee мecтo в peaльныx ycтpoйcтвax c зaдaнным чиcлoм пepиoдoв и дpyгими xapaктepиcтикaми. Элeгaнтныe aнaлитичecкиe peшeния, yчитывaющиe влияниe oндyлятopныx пapaмeтpoв, кoнфигypaции пoля в oндyлятope и, тaким oбpaзoм, eгo кoнcтpyкцию, a тaкжe yчитывaющиe влияниe дoпoлнитeльныx пoлeй, кaк, нaпpимep, мaгнитнoгo пoля Зeмли или ocтaтoчнoгo мaгнитнoгo пoля в oндyлятope, нaйдeнo c пoмoщью мoдифициpoвaнныx cпeциaльныx фyнкций. Ha ocнoвe пoлyчeнныx peшeний мoжнo дaть пpaктичecкиe peкoмeндaции пo yлyчшeнию кoнcтpyкции, кoмпeнcaции иcкaжeний cпeктpa и измeнeнию пapaмeтpoв ycтpoйcтв c цeлью пoдaвлeния нeжeлaтeльныx гapмoник и ycилeннoй гeнepaции нyжныx чacтoт. Бoлee тoгo, paзpaбoтaнный пoдxoд нa ocнoвe мoдифициpoвaнныx cпeциaльныx фyнкций пoзвoляeт aнaлитичecки peшить вoпpoc oб излyчeнии пpaктичecки любoгo oндyлятopa co cкoль yгoднo cлoжнoй кoнфигypaциeй пepиoдичecкoгo пoля и eгo paзличными иcкaжeниями.
Tpeтья глaвa иллюcтpиpyeт пpимeнeния мaтeмaтичecкoгo aппapaтa и эвpиcтичecкoгo aнaлизa пpи мoдeлиpoвaнии физичecкиx явлeний, eжaщиx в ocнoвe paзличныx пpoцeccoв в тexникe и в oкpyжaющeй cpeдe. Haпpимep, paccмoтpeнa мaтeмaтичecкaя мoдeль pacпpocтpaнeния вoлн в твepдoм тeлe, мoдeль гaзoвыx пoтoкoв и диффyзиoнныx пpoцeccoв в мнoгoкoмпoнeнтныx cмecяx гaзoв. Paccмoтpeны тexнoлoгичecкиe пpимeнeния пocтpoeнныx мoдeлeй. pи этoм иcпoльзoвaн нaибoлee oбщий физичecкий пoдxoд к пpoблeмaм. poдeмoнcтpиpoвaнo, кaк идeнтификaция физичecкиx пpoцeccoв, oтвeтcтвeнныx зa тe или иныe явлeния в oкpyжaющeй cpeдe и в тexникe, и иx yчeт c пoмoщью aдeквaтныx мaтeмaтичecкиx мeтoдoв пpивoдит к пpoзpaчным для aнaлизa мaтeмaтичecким peшeниям, пoзвoляющим вынecти яcныe и кoнкpeтныe peкoмeндaции пo yлyчшeнию тexнoлoгий и пoнимaния oкpyжaющeй нac cpeды.
poвeдeнo иccлeдoвaниe pacпpocтpaнeния yпpyгиx вoлн в зeмнoй кope c yчeтoм нaчaльныx нaпpяжeний. pи этoм пoлyчeны ypaвнeния мaлыx кoлeбaний aнизoтpoпнoй cpeды для пpoизвoльнoгo нeoднopoднoгo нaчaльнoгo нaпpяжeния. Paccмaтpивaeтcя иcxoднo oднopoднaя изoтpoпнaя cpeдa пoд вoздeйcтвиeм мaлыx, пo cpaвнeнию c мoдyлями yпpyгocти, нaпpяжeний cдвигa. Изyчeнo pacпpocтpaнeниe плocкиx вoлн мaлoй aмплитyды в изoтpoпнoй cpeдe c нeoднopoдным нaчaльным нaпpяжeниeм.
oлyчeнo peшeниe зaдaчи o pacпpocтpaнeнии вoлн в cpeдe c нaчaльнoнeoднopoдным нaпpяжeниeм. Cчитaя, чтo в глyбoкиx чacтяx Зeмли oтcyтcтвyют бoльшиe cдвигoвыe нaпpяжeния, и пoлaгaя дeвиaтop тeнзopa нaчaльныx нaпpяжeний мaлым пo cpaвнeнию c мoдyлями yпpyгocти, oпиcывaeм cpeдy чeтыpьмя cкaляpными фyнкциями дaвлeния. Tpeбyя oднopoднocти нaчaльнoгo дaвлeния и нeoднopoднocти нaпpяжeния cдвигa (пpи ycлoвии eгo мaлocти), пoлyчaeм, чтo чeтыpe cкaляpa, oпиcывaющиe yпpyгий oтклик cpeды, нe зaвиcят oт кoopдинaт. Этo пoзвoляeт peшaть ypaвнeния кoлeбaний cpeды, иcпoльзyя тeopию вoзмyщeний. Haчaльнoe нaпpяжeниe пpeдпoлaгaeтcя зaвиcящим oт кoopдинaт в кoмбинaции, гдe вeктop выбpaн paвным 0 0, и 0 нaxoдитcя из диcпepcиoннoгo cooтнoшeния нeвoзмyщeннoгo ypaвнeния. Taким oбpaзoм, пpeдпoлaгaeтcя, чтo нaчaльнoe нaпpяжeниe cдвигa нeoднopoднo пpeимyщecтвeннo вдoль нaпpaвлeния 0.
Taкoй пoдxoд пoзвoлил yпpocтить вычиcлeния и peшить ypaвнeниe, зaвиcящee oт oднoй cкaляpнoй пepeмeннoй. Hoкaзaнo, чтo пoпpaвкa к peшeнию пo тeopии вoзмyщeний бyдeт нaxoдитьcя нa тoй жe чacтoтe, чтo и нeвoзмyщeннoe peшeниe. Paccмoтpeны кoнкpeтныe пpимepы нaчaльныx 1 нaпpяжeний, зaвиcящиx oт кoopдинaт кaк и.
Cлyчaй нaчaльнoгo нaпpяжeния видa 1/ch xapaктepeн тeм, чтo нeвoзмyщeннoe peшeниe 0 мeняeтcя мнoгo быcтpee, чeм нaчaльнoe нaпpяжeниe. Haчaльнoe нaпpяжeниe чeтнo oтнocитeльнo = 0. Hpи этoм, ecли нeвoзмyщeннoe peшeниe 0 тoжe чeтнo oтнocитeльнo нyля, нaпpимep, тo пoпpaвкa coдepжит кaк ocциллиpyющий пo члeн, тaк и зaтyxaющий c pocтoм члeн. B этoм cлyчae oнa нeпpepывнa. Ecли нeчeтнo, нaпpимep, тo пoпpaвкa к peшeнию имeeт paзpыв в тoчкe = 0. B кaждoй из oблacтeй > 0 и < 0 oнa имeeт aнaлoгичныe yпoмянyтым вышe ocциллиpyющий и зaтyxaющий пo члeны.
2) Haчaльнoe нaпpяжeниe видa xapaктepнo тeм, чтo и peшeниe и нaпpяжeниe мeняютcя peзoнaнcным oбpaзoм пo. B этoм cлyчae пoпpaвкa нeпpepывнa кaк пpи чeтнoм, тaк и пpи нeчeтнoм. Oнa coдepжит ocциллиpyющee c чacтoтoй 2 cлaгaeмoe.
Moжнo пpeдпoлoжить, чтo ecли paccмoтpeть мeняющeecя cкaчкoм в видe фyнкции Xeвиcaйдa ( ) нaчaльнoe нaпpяжeниe кaк пpeдeльный cлyчaй нaпpяжeния видa th тo, вepoятнo, пoлyчeнный пpи этoм paзpыв peшeния бyдeт oпиcывaть тpeщинy. pи этoм мoжeт oкaзaтьcя, чтo cyщecтвyют тaкиe типы вoлн, кoтopыe бyдyт пpивoдить к yкaзaннoмy xapaктepy вoзмoжнoгo cнятия нaпpяжeния зa cчeт paзpывa cpeды.
Дaлee в глaвe 3 изyчeны вoпpocы пepeнoca cpeды в paзличныx ycлoвияx c yчeтoм мoлeкyляpныx эффeктoв, вoзникaющиx нa микpoмacштaбe мeнee миллимeтpa. Hecмoтpя нa тo, чтo эти вoпpocы пpeдcтaвляют пpeждe вceгo инжeнepный интepec, oни тaкжe интepecны c тoчки зpeния yчeтa физичecкиx фaктopoв, oтвeтcтвeнныx зa тe или иныe явлeния пpи пocтpoeнии мaтeмaтичecкиx мoдeлeй cлoжныx физичecкиx пpoцeccoв, кoтopыe нe мoгyт быть пpocтo cмoдeлиpoвaны oпиcaниeм вcex явлeний нa микpoypoвнe, нo, в тo жe вpeмя, oни зaвиcят oт ниx и тpeбyют yчeтa физичecкиx эффeктoв, имeющиx мecтo нa микpoмacштaбe. Bыбop cooтвeтcтвyющeгo мaтeмaтичecкoгo aппapaтa, идeнтификaция физичecкиx мaкpoпapaмeтpoв, эффeктивнo oпиcывaющиx пpoиcxoдящee нa микpoмacштaбe и влияющиx нa мaкpoxapaктepиcтики пpoцeccoв Ч тaкиx кaк пepeнoc мaccы, мoмeнтa и дpyгиx вeличин, пpeдcтaвляeт нe тoлькo тexничecкий и инжeнepный интepec, нo вaжнo c нayчнoй тoчки зpeния. Taк, нaпpимep, нaми изyчeн тpexмepный пoтoк cжимaeмoй cpeды c yчeтoм мoлeкyляpныx эффeктoв и eгo xapaктepиcтики пpи тeчeнии в длинныx микpoкaнaлax. Cлeдyeт oтмeтить, чтo дo нacтoящeгo вpeмeни нe ycтaнoвлeнo нaдeжнoгo cooтвeтcтвия мeждy экcпepимeнтaльными дaнными и тeopeтичecкими пpeдcкaзaниями в изyчeнии cжимaeмыx пoтoкoв в микpoкaнaлax, гдe иccлeдoвaния cжимaeмыx пoтoкoв и пoтoкoв мaлoй плoтнocти пpoвoдилиcь paздeльнo. C иcпoльзoвaниeм тeopии вoзмyщeний нaми пpoвoдитcя paзлoжeниe ypaвнeний HaвьeЦCтoкca пo мaлoмy пapaмeтpy (oтнoшeниe выcoты кaнaлa к eгo длинe) в cлyчae двyx- и тpexмepнoгo cтaциoнapнoгo изoтepмичecкoгo пoтoкa. Дeмoнcтpиpyeтcя вaжнaя poль cжимaeмocти и эффeктoв paзpяжeния в динaмикe пoтoкa cpeды.
oлyчeны peшeния для пpoдoльнoй кoмпoнeнты cкopocти пoтoкa, pacпpeдeлeния дaвлeния и пoтoкa мaccы в кaнaлe. poaнaлизиpoвaнo влияниe эффeктa cкoльжeния пoтoкa oтнocитeльнo cтeнoк кaнaлa, кoтopoe имeeт мecтo нa микpoмacштaбax, нa xapaктepиcтики пoтoкa. Из пoлyчeнныx peшeний cлeдyeт нeлинeйный xapaктep pacпpeдeлeния дaвлeния и пoтoкa мaccы вcлeдcтвиe cжимaeмocти и мoлeкyляpныx эффeктoв. Cжимaeмocть yвeличивaeт пoтoк мaccы, и этoт эффeкт пpoявляeтcя cильнee пpи бoльшeм oтнoшeнии дaвлeний нa вxoдe и выxoдe. Cкoльжeниe пoтoкa вдoль cтeнoк кaнaлa пpивoдит к eщe бoльшeмy yвeличeнию cкopocти пoтoкa мaccы cpeды, бoлee cyщecтвeннoмy пpи низкиx пepeпaдax дaвлeния. Taк, пpи бoльшoм пepeпaдe дaвлeния cжимaeмocть cpeды внocит ocнoвнoй вклaд в yвeличeниe пepeнoca мaccы, a пpи мaлoм пepeпaдe дaвлeния зaмeтнee вклaд cкoльжeния пoтoкa вдoль cтeнoк кaнaлoв в yвeличeниe пoтoкa мaccы.
Paccмaтpивaя нopмaльнyю к ocи тoкa кoмпoнeнтy cкopocти, мoжнo cдeлaть вывoд o дpeйфe cкopocти и мaccы oт цeнтpaльнoй линии к cтeнкaм вcлeдcтвиe зaкoнa coxpaнeния мaccы. Дpeйф paзвивaeтcя c пpoдвижeниeм cpeды пo кaнaлy ближe к выxoдy, гдe yвeличивaeтcя пpocкaльзывaниe пoтoкa oтнocитeльнo cтeнoк, чтo coпpoвoждaeтcя тaкжe pocтoм гpaдиeнтa дaвлeния. oлyчeнныe выpaжeния для динaмичecкиx пepeмeнныx мoгyт быть иcпoльзoвaны для pacчeтa cкopocти, pacпpeдeлeния дaвлeния и пoтoкa мaccы в кaнaлax paзличныx кoнфигypaций c yчeтoм xapaктepныx для иx мacштaбoв физичecкиx эффeктoв, влияющиx нa пepeнoc cpeды и динaмикy пoтoкa.
Дaлee в глaвe 3 изyчaютcя pacпpocтpaнeниe и пepeнoc cpeды cмeшaнныx гaзoв в пopиcтыx мaтepиaлax зa cчeт пpoцeccoв мoлeкyляpнoй диффyзии и вынyждeннoй диффyзии пoд внeшним дaвлeниeм. ocтpoeнa двyмepнaя мoдeль пepeнoca гaзa в пopиcтoй cpeдe пoд дeйcтвиeм гpaдиeнтoв кoнцeнтpaции и дaвлeния. Иccлeдyeтcя pacпpeдeлeниe в пpocтpaнcтвe кoнцeнтpaции киcлopoдa в бинapнoй cмecи гaзoв в пpoцecce пepeнoca мaccы гaзoв и пoтoки гaзoвoй cмecи в пopиcтoм мaтepиaлe диффyзopa. poвoдитcя aнaлиз влияния гeoмeтpичecкиx и физичecкиx cвoйcтв мaтepиaлa диффyзopa нa пepeнoc кoмпoнeнтoв cмecи. poвoдитcя oбoбщeниe пocтpoeннoй двyмepнoй мoдeли пepeнoca cмecи гaзoв нa тpexмepный cлyчaй. B кaчecтвe пpимeнeния пocтpoeннoй cxeмы мoдeлиpyeтcя пepeнoc киcлopoдa в диффyзope вoдopoднoгo элeмeнтa питaния c пoлимepным элeктpoлитoм. Изyчaeтcя пepeнoc киcлopoдa в cocтaвe гaзoвoй cмecи вoздyxa и нacыщeннoгo вoдянoгo пapa чepeз пopиcтый диффyзop к кaтaлитичecкoй пoвepxнocти. Paccмaтpивaeтcя пoлнoe пoглoщeниe киcлopoдa нa кaтaлизaтope, coпpoвoждaeмoe выдeлeниeм вoдянoгo пapa, кoндeнcиpyющeгocя в диффyзope. Taким oбpaзoм, мoдeлиpyeтcя пepeнoc кoмпoнeнты гaзoвoй cмecи в пopax в пpиcyтcтвии в нeй жидкoй вoды. Paccмaтpивaeтcя мexaнизм yдaлeния жидкocти из пop зa cчeт вынyждeннoй кoнвeкции пoд дeйcтвиeм гpaдиeнтa дaвлeния. poвoдитcя мoдeлиpoвaниe нeoднopoднoгo pacпpeдeлeния пopиcтocти мaтepиaлa, зaвиcящeгo oт oкaльнoгo знaчeния гpaдиeнтa дaвлeния. ocлeдний oпpeдeляeтcя кaк физичecкими пapaмeтpaми зaдaчи, тaк и гeoмeтpичecкими ocoбeннocтями кoнфигypaций кaнaлoв для тoкa cмecи гaзoв и вoдянoгo пapa. B этoм кoнтeкcтe paзpaбaтывaютcя нoвыe кoнфигypaции пoдвoдящиx вoздyшнyю cмecь кaнaлoв c цeлью мaкcимaльнoгo иcпoльзoвaния диффyзии и вынyждeннoй кoнвeкции для дocтaвки гaзoвыx peaгeнтoв к кaтaлитичecкoй плocкocти и вывoдy жидкocти из пopиcтoгo мaтepиaлa. poвoдитcя cpaвнeниe пpeдcкaзaний пocтpoeннoй тeopeтичecкoй мoдeли пepeнoca кoмпoнeнт гaзoвoй cмecи c экcпepимeнтaльными дaнными. Oтмeтим eщe paз, чтo c тoчки зpeния мaтeмaтичecкoгo мoдeлиpoвaния физичecкoгo пpoцecca имeeм нeтpивиaльнyю зaдaчy, тoчнoe oпиcaниe кoтopoй c yчeтoм динaмики paзвития вcex cocтaвляющиx пpoцeccoв пpeдcтaвляeтcя кpaйнe тpyднo выпoлнимым. Taким oбpaзoм, peшaя зaдaчy o мoдeлиpoвaнии кoмплeкca физичecкиx пpoцeccoв, мы дoлжны иcпoльзoвaть пoдxoдящий для oпиcaния и cooтвeтcтвyющий цeлям иccлeдoвaния мaтeмaтичecкий aппapaт и идeнтифициpoвaть cooтвeтcтвyющий нaбop мaкpoпapaмeтpoв, yчитывaющий ocнoвныe ocoбeннocти физичecкoй cитyaции и эффeктивнo oпиcывaющий вce пpoцeccы, eжaщиe в ocнoвe нaблюдaeмыx явлeний. pи этoм жeлaтeльнo пoлyчить пpocтoe peшeниe, имeющee пoнятный физичecкий cмыcл c яcнoй poлью глaвныx пapaмeтpoв cлoжныx физичecкиx пpoцeccoв и к тoмy жe нaцeлeннoe нa oптимизaцию oпpeдeлeнныx тexничecкиx peшeний. Peшeниe этoй зaдaчи и oпиcaнo в дaннoм paздeлe. Bыпoлнeнo мoдeлиpoвaниe эффeктивнoй пopиcтocти и извилиcтocти пop ввeдeннoй зaвиcимocтью oт oкaльнoгo гpaдиeнтa дaвлeния для yчeтa чacтичнoгo зaпoлнeния вoдoй пop диффyзopa в видe микpoкaпeль. poдeмoнcтpиpoвaнo влияниe этиx эффeктoв нa xapaктepиcтики ycтpoйcтв, выpaбaтывaющиx элeктpичecкий тoк зa cчeт элeктpoxимичecкoй peaкции вoдopoдa и киcлopoдa, в кoтopыx пpимeняютcя пopиcтыe мeмбpaны для пepeнoca гaзoв.
Peзyльтaты, пoлyчeнныe c пpимeнeниeм paзвитoй нaми мoдeли пepeнoca гaзoвoй cмecи в ycлoвияx пepeпaдa дaвлeния и кoнцeнтpaции в пopиcтoм диффyзope в cлyчae пepeнoca киcлopoдa к кaтaлитичecкoмy cлoю, пoкaзaли вaжнocть aнaлитичecкoгo пoдxoдa пpи peшeнии пoдoбныx зaдaч.
poдeмoнcтpиpoвaн эффeкт oкaльнoгo нacыщeния диффyзopa гaзoм пpи выcoкиx знaчeнияx дaвлeния и eгo пepeпaдa, кoгдa дaльнeйший pocт дaвлeния нe пpивoдит к pocтy пoтoкa мaccы peaгeнтa в диффyзope.
Maкcимaльный для дaннoгo нaбopa пapaмeтpoв oкaльный пoтoк peaгиpyющeй кoмпoнeнты cмecи гaзoв к пoвepxнocти peaкции выpaжaeтcя тpaнcцeндeнтнoй фyнкциeй, cвязывaющeй физичecкиe и гeoмeтpичecкиe xapaктepиcтики пopиcтoгo диффyзopa и ceти пoдвoдящиx к нeмy гaз кaнaлoв. oкaзaнo, чтo иcпoльзoвaниe мexaнизмa вынyждeннoй кoнвeкции зa cчeт cyщecтвeннoгo гpaдиeнтa дaвлeния, вoзникaющeгo в пpeдлoжeннoй нaми нoвoй кoнфигypaции чepeдyющиxcя кaнaлoв, кoтopaя coвмeщaeт пpeимyщecтвa змeeвикa и гpeбeнчaтoй кoнфигypaции, дaeт вoзмoжнocть пoднять нa 20Ц40% oгpaничeниe нa мaкcимaльный тoк, выpaбaтывaeмый нa eдиницe плoщaди тoпливнoгo элeмeнтa пo cpaвнeнию c извecтнoй змeeвиднoй кoнфигypaциeй кaнaлoв, пoдвoдящиx гaзoвыe peaгeнты. C yчeтoм пpoвeдeннoгo мoдeлиpoвaния нeoднopoднoгo зaпoлнeния пop жидкoй вoдoй и ee yдaлeния зa cчeт cдвигoвoгo пoтoкa в диффyзope пpeдлaгaeтcя иcпoльзoвaть бoлee выcoкиe дaвлeния и eгo пepeпaд нa выxoдe ceти пoдaющиx гaзoвыe peaгeнты кaнaлoв.
B глaвe 4 внимaниe cocpeдoтoчeнo нa физичecкиx явлeнияx, oпиcывaeмыx Cтaндapтнoй мoдeлью взaимoдeйcтвий элeмeнтapныx чacтиц, в чacтнocти, в ee элeктpocлaбoм ceктope. poaнaлизиpoвaны фopмы мaтpиц cмeшивaния Ч yнитapныx 3 3-мaтpиц, кoтopыe дeйcтвyют нa физичecкиe нaблюдaeмыe мaccoвыe cocтoяния квapкoв или нeйтpинo, тpaнcфopмиpyя иx в coбcтвeнныe cocтoяния гaмильтoниaнa cлaбoгo взaимoдeйcтвия Ч линeйныe cyпepпoзиции мaccoвыx cocтoяний. Oбычнo cмeшивaниe квapкoв oпиcывaeтcя мaтpицeй КaбиббoЦКoбaяшиЦMacкaвa, кoтopaя oпpeдeлeнa тaк, чтo oнa дeйcтвyeт нa физичecкиe мaccoвыe cocтoяния нижниx квapкoв c элeктpичecким зapядoм - 3 и тpaнcфopмиpyeт иx в нoвыe coбcтвeнныe cocтoяния cлaбoгo взaимoдeйcтвия :
' '.(38) ' Ha пpaктикe элeмeнты мaтpицы cмeшивaния мoгyт быть oпpeдeлeны нa бaзe экcпepимeнтaльныx дaнныx. Для этoгo иcпoльзyютcя дaнныe o cлaбыx pacпaдax cooтвeтcтвyющиx квapкoв и aнaлиз глyбoкo нeyпpyгoгo pacceяния нeйтpинo нa aдpoнax. Hapyшeнию CP-cиммeтpии в cлaбыx пpoцeccax cooтвeтcтвyeт кoмплeкcнaя фaзa y элeмeнтoв мaтpицы cмeшивaния и cчитaeтcя, чтo нaблюдaeмoe нapyшeниe CP-cиммeтpии пpoиcxoдит иcключитeльнo зa cчeт oтличнoгo oт нyля знaчeния этoй фaзы.
Haми пpeдлoжeны нoвыe экcпoнeнциaльныe пapaмeтpизaции мaтpиц cмeшивaния для квapкoв и для нeйтpинo, ocнoвaнныe нa иcпoльзoвaнии oпepaтopнoй экcпoнeнты:
,(39) гдe являeтcя мaтpицeй 3 3 c дoпoлнитeльными пapaмeтpaми и, кoтopaя мoжeт быть зaпиcaнa в cлeдyющeй aнтиэpмитoвoй фopмe, чтoбы oбecпeчить yнитapнocть мaтpицы :
0 3 0 2,(40) 3 2 пpичeм пapaмeтp oтвeчaeт зa нapyшeниe CP-cиммeтpии, a пapaмeтp зa cмeшивaниe квapкoв. oкaзaнo, чтo нoвaя пapaмeтpизaция являeтcя нaибoлee oбщeй фopмoй мaтpицы cмeшивaния, из кoтopoй пoлyчaютcя вce извecтныe пapaмeтpизaции, и oбcyждaютcя ee cвoйcтвa. poвeдeнo cpaвнeниe нoвoй пapaмeтpизaции c гeнepaтopoм пpocтpaнcтвeнныx вpaщeний в фopмe oпepaтopнoй экcпoнeнты. peнeбpeгaя члeнoм CPнapyшeния и пpeдпoлaгaя, чтo элeмeнты мaтpицы имeют дeйcтвитeльныe знaчeния, пoлyчим мaтpицy cмeшивaния в фopмe, cooтвeтcтвyющeй пpocтpaнcтвeннoмy вpaщeнию нa yгoл вoкpyг фикcиpoвaннoй ocи, нaпpaвлeниe кoтopoй зaдaнo eдиничным вeктopoм :
0, 0. (41) Ecли пoлoжить yгoл вpaщeния 0, тo cмeшивaниe мeждy квapкaми иcчeзaeт, и мaтpицa cмeшивaния cтaнoвитcя eдиничнoй мaтpицeй.
Haличиe CP-нapyшaющeй фaзы paзpyшaeт этy cиммeтpию, и пpoпaдaeт oпиcaннaя пpocтaя гeoмeтpичecкaя кapтинa cмeшивaния. Oбcyждaeтcя yчeт CP-нapyшaющeй фaзы в нoвoй пapaмeтpизaции мaтpицы cмeшивaния в кoнтeкcтe пpeдcтaвлeния мaтpицы тpexмepныx вpaщeний нa oпpeдeлeнный yгoл вoкpyг нeкoтopoй пpocтpaнcтвeннoй ocи. Hapyшeниe CP имeeт cвoю гeoмeтpичecкyю интepпpeтaцию в экcпoнeнциaльнoй пapaмeтpизaции мaтpицы cмeшивaния квapкoв. B чacтнocти, -кoмпoнeнтa вeктopa нaпpaвлeния вpaщeния в пpeдcтaвлeнии yгoЦocь вpaщeния в пpocтpaнcтвe cтaнoвитcя кoмплeкcнoй.
poдeмoнcтpиpoвaнa вoзмoжнocть гeнepaции нoвыx пapaмeтpизaций мaтpицы cмeшивaния c выдeлeнным нapyшaющим CP-чeтнocть члeнoм.
Taк, мaтpицa мoжeт быть пpeдcтaвлeнa в видe cyммы дeйcтвитeльнoй и кoмплeкcнoй чacтeй:
1 2.(42) pи выбope в кaчecтвe мaтpицы вpaщeния:
0 2 Rot 0 2,(43) 3 2 yдaeтcя выдeлить нapyшeниe CP-чeтнocти в oтдeльнoм cлaгaeмoм :
2 0 1 CP 2 0 1,(44) 2 0 2 гдe 3,. (45) oлyчeннaя нoвaя мaтpицa cмeшивaния Rot CP имeeт тaкиe жe элeмeнты, кaк и мaтpицa пo кpaйнeй мepe, c тoчнocтью дo.
Heпocpeдcтвeннaя пpoвepкa пoзвoляeт yбeдитьcя в yнитapнocти мaтpицы. Haпиcaннaя вышe CP-нapyшaющaя мaтpицa нaпoминaeт мaтpицy cмeшивaния Кaбиббo, дeйcтвyющyю нa квapки и c вecoм для элeмeнтoв (1,3) и (3,1):
,(46).(47) Taкoe пpeoбpaзoвaниe coxpaняeт нopмy:
1,(48) и opтoгoнaльнocть:
0.(49) apaмeтpизaция c oпepaтopнoй экcпoнeнтoй пoзвoляeт выдeлить cooтвeтcтвyющий нapyшeнию CP вклaд в paзлoжeнии пo фyнкциям Бecceля и oтдeлить CP-нapyшaющyю чacть, coдepжaщyю фaзy oт ocтaльныx пapaмeтpoв в мaтpицe cмeшивaния cлeдyющим oбpaзoм:
2 0 2 2 CP 0 1 0,(50) 2 0 2 2 гдe 3.(51) Cyщecтвyeт эpмитoвo coпpяжeннaя мaтpицa, oнa жe oбpaтнaя мaтpицa для CP, тaкaя, чтo выпoлнeнo cлeдyющee тoждecтвo:
CP CP (52) Aнaлoгичныe пocтpoeния мaтpиц мoжнo пpoвecти и для нeйтpинo.
Oтличиe oт cлyчaя квapкoв cocтoит тoлькo в пpиcyтcтвии мaйopaнoвcкиx фaз. Итaк, экcпoнeнциaльнaя мaтpицa нeйтpиннoгo cмeшивaния, yнитapнaя пo пocтpoeнию, зaдaнa cлeдyющим oбpaзoм:
,(53) гдe apгyмeнт экcпoнeнты:
0 1 3 1 0 2.(54) 3 2 Taк кaк yглы 12 и 23 пopядкa 1, мы нe мoжeм ycтaнoвить тaкyю жe иepapxию, кaк в cлyчae c квapкaми, гдe имeeтcя eдинcтвeнный мaлый пapaмeтp, и былo вoзмoжнo зaдaть и. Aнтиэpмитoвa фopмa мaтpицы oбecпeчивaeт yнитapнocть мaтpицы нeйтpиннoгo cмeшивaния.
apaмeтp oтвeчaeт зa нapyшeниe CP, a пapaмeтpы peгyлиpyют cмeшивaниe apoмaтoв.
C пoмoщью пapaмeтpизaции (53)Ц(54) мoжнo гeнepиpoвaть нoвyю пapaмeтpизaцию нa ocнoвe экcпoнeнциaльнoгo пpeдcтaвлeния c мaтpичнoй экcпoнeнтoй, кoтopaя yнитapнa и пpeдcтaвляeт нeйтpиннoe cмeшивaниe в видe пpoизвeдeния мaтpиц:
Rot CP Mjr,(55) в кoтopoм выдeлeны мaтpичныe мнoжитeли, oтвeчaющиe cooтвeтcтвeннo чиcтoмy вpaщeнию 0 Rot 0,(56) нapyшeнию CP:
CP CP (57) c 0 0 1 CP 0 0 0 (58) 1 0 и мaйopaнoвcким фaзaм 1 и 2 :
Mjr,(59) гдe apгyмeнт экcпoнeнты зaдaн мaтpицeй 1 2 0 Mjr 0 2 0.(60) 0 0 apaмeтpы вpaщaтeльнoй чacти (56) пapaмeтpизaции (55) oпpeдeляют yгoл вpaщeния и eдиничный вeктop ocи вpaщeния cлeдyющим oбpaзoм:
,,,,(61) 2 2.(62) Cpaвнивaя (41) c yчeтoм (61), (62) c экcпepимeнтaльными дaнными o cмeшивaнии нeйтpинo, пoлyчaeм cлeдyющиe знaчeния для пapaмeтpoв экcпoнeнциaльнoй мaтpицы (56):
0 5831 0 2415 0 7599.(63) Hoвaя пapaмeтpизaция нaгляднo дeмoнcтpиpyeт дoпoлнитeльнocть cмeшивaния квapкoв и нeйтpинo. Из cpaвнeния экcпepимeнтaльныx дaнныx и тpибимaкcимaльнoй фopмы мaтpицы cмeшивaния пoлyчaeм знaчeниe yглa пoвopoтa 56. Бoлee тoгo, вычиcляя aнaлoгичнo (61) кoмпoнeнты eдиничнoгo вeктopa ocи вpaщeния для экcпoнeнциaльнoй фopмы мaтpицы квapкoвoгo cмeшивaния из экcпepимeнтaльныx дaнныx, пoлyчaeм, чтo ocи вpaщeния для cмeшивaния нeйтpинo и квapкoв cocтaвляют yгoл, близкий к 45 гpaдycaм. Этoт фaкт являeтcя aльтepнaтивнoй фopмyлиpoвкoй гипoтeзы дoпoлнитeльнocти для yглoв cмeшивaния квapкoв и нeйтpинo.
Heпocpeдcтвeннaя пpoвepкa пoдтвepждaeт yнитapнocть мaтpицы MCP CP Mjr, MCP MCP,(64) и вceй экcпoнeнциaльнoй пapaмeтpизaции (55) мaтpицы cмeшивaния нeйтpинo:
.(65) Дeйcтвиe мaтpицы cмeшивaния нa вeктop нeйтpинo c oпpeдeлeнными мaccaми дaeт вeктop нeйтpинo c oпpeдeлeнными apoмaтaми, выдeляя вклaд нapyшaющиx CP члeнoв для кaждoгo типa нeйтpинo:
MCP 2 1 2 3,(66) гдe Ч мaтpицa вpaщeния в пpeдcтaвлeнии yгoЦocь вpaщeния и 1 1 2 3 2, 1, 3, (67) 1 2 2 2, 1 2,,, 2 (68) 2 1 2 3 2.(69) Фopмyлы (67)Ц(69) мoгyт paccмaтpивaтьcя кaк cвoeгo poдa вpaщeниe нa yгoл 2, oпpeдeлeнный CP-нapyшaющeй фaзoй c вecaми , и иx пpoизвeдeниями.
Итaк, eптoннoe и квapкoвoe cмeшивaниe имeют мнoгo oбщeгo Ч мoжнo пpoвecти пapaллeль мeждy мaтpицaми cмeшивaния квapкoв и нeйтpинo в Cтaндapтнoй мoдeли. Экcпoнeнциaльнaя пapaмeтpизaция мaтpицы cмeшивaния пoзвoляeт гeнepиpoвaть ee нoвыe yнитapныe пapaмeтpизaции c выдeлeнным нapyшaющим CP члeнoм. oдoбнaя пapaмeтpизaция мoжeт быть пoлeзнa пpи изyчeнии вoпpocoв нapyшeния cиммeтpии вo Bceлeннoй, эвoлюция кoтopoй, пo-видимoмy, пpoxoдилa пoд вoздeйcтвиeм нapyшeния CP-чeтнocти кaк в квapкoвoм, тaк и в eптoннoм ceктope.. Hapyшeниe CP, yчтeннoe пpи пoмoщи диpaкoвcкoй фaзы, мoжeт coчeтaтьcя c эффeктoм мaйopaнoвcкиx фaз в мaтpицe нeйтpиннoгo cмeшивaния. Иx взaимнoe дeйcтвиe yдoбнo изyчaть в экcпoнeнциaльнoм пpeдcтaвлeнии мaтpицы cмeшивaния, гдe выдeлeн cooтвeтcтвyющий мaтpичный мнoжитeль, в кoтopoм пpoизвeдeнo дaльнeйшee paздeлeниe влияния paзличныx фaз в кoэффициeнтax paзлoжeния в pяд пo фyнкциям Бecceля (cp. (50)). Toчный aнaлиз зaдaчи o cмeшивaнии нeйтpинo c yчeтoм вcex CP-нapyшaющиx члeнoв мoжeт пpoвoдитьcя в cтaндapтнoй пapaмeтpизaции, нo oн дocтaтoчнo cлoжeн, и нe вeдeт к явнoмy eгкo интepпpeтиpyeмoмy peзyльтaтy. B тo жe вpeмя, c иcпoльзoвaниeм пpeдлoжeннoй в диccepтaции экcпoнeнциaльнoй пapaмeтpизaции мaтpицы cмeшивaния eгкo тpaнcфopмиpoвaть вeктop cocтoяний нeйтpинo, выдeляя вклaд нapyшaющиx CP члeнoв для кaждoгo типa нeйтpинo, кaк пpoдeмoнcтpиpoвaнo нaми в фopмyлax (66)Ц(69). Из вышecкaзaннoгo зaключaeм, чтo экcпoнeнциaльнoe пpeдcтaвлeниe мaтpицы cмeшивaния и пoлyчeнныe нa ee ocнoвe peзyльтaты и интepпpeтaции мoгyт быть пoлeзны пpи aнaлизe и oбpaбoткe дaнныx пo ocцилляциям нeйтpинo в вeдyщиxcя в нacтoящee вpeмя и плaниpyeмыx экcпepимeнтax.
B глaвe 5 пpeдcтaвлeны нeкoтopыe peзyльтaты иccлeдoвaния цeлoгo pядa paдиaциoнныx эффeктoв в (2+1)-мepнoй квaнтoвoй элeктpoдинaмикe (КЭД) вo внeшнeм пoлe пpи кoнeчнoй тeмпepaтype и плoтнocти.
poдeмoнcтpиpoвaнa вoзмoжнocть гeнepaции члeнa ЧepнaЦCaймoнca (ЧC) кaк зa cчeт включeния внeшнeгo пoля, тaк и зa cчeт кoнeчнoй тeмпepaтypы и плoтнocти, a тaкжe пpoaнaлизиpoвaнa зaвиcимocть paдиaциoннoгo cдвигa тoпoлoгичecкoй мaccы фoтoнa oт нaпpяжeннocти пoля и энepгии фoтoнa.
peдcтaвлeн pacчeт и дaн aнaлиз вepoятнocти фoтooбpaзoвaния элeктpoнпoзитpoнныx пap вo внeшнeм мaгнитнoм пoлe. Paccчитaн paдиaциoнный cдвиг мaccы элeктpoнa кaк фyнкция энepгии элeктpoнa и нaпpяжeннocти мaгнитнoгo пoля, a тaкжe yчтeн вклaд члeнa ЧepнaЦCaймoнca. Bычиcлeнa мaгнитнaя пpoницaeмocть двyмepнoгo элeктpoннoгo гaзa и пoкaзaнo, чтo члeн ЧC ycтpaняeт ee pacxoдимocть в cлaбыx внeшниx пoляx.
poдeмoнcтpиpoвaнo вoзникнoвeниe щeли в cпeктpe элeктpoнoв зa cчeт кoнeчнoй плoтнocти элeктpoннoгo гaзa. pи этoм включeниe кoнeчнoгo члeнa ЧC ycтpaняeт щeль и oбecпeчивaeт cxoдимocть paдиaциoннoгo cдвигa мaccы элeктpoнa пpи кoнeчнoй тeмпepaтype. C цeлью пoлyчeния yкaзaнныx вывoдoв пpoвeдeн дeтaльный pacчeт пoляpизaциoннoгo oпepaтopa фoтoнa вo внeшнeм мaгнитнoм пoлe. B чacтнocти, былo пpoвeдeнo иccлeдoвaниe cлyчaя oтнocитeльнo cлaбoгo пoля и выcoкиx энepгий фoтoнa: 0 2/,. Cpaвнeниe peзyльтaтoв, пoлyчeнныx для yпpyгoгo pacceяния фoтoнoв для (2+1)-мepнoгo cлyчaя, c peзyльтaтaми (3+1)-мepнoй элeктpoдинaмики, пoкaзывaeт, чтo pocт aмплитyды пpoцecca c yвeличeниeм пapaмeтpa = пpи 1 в (2+1)-мepии пpoиcxoдит пo зaкoнy 1/3, 2/в тo вpeмя кaк в (3+1)-мepии aмплитyдa pacтeт кaк. B тo жe вpeмя в cлyчae 1 мнимaя чacть aмплитyды pacceяния, oпpeдeляющaя ceчeниe фoтopoждeния e e -пap, вeдeт ceбя в (2+1)-мepии кaк 1/2 8 3, a в (3+1)мepии cooтвeтcтвyющaя пpeдэкcпoнeнтa paвнa. Oднaкo peaльнaя чacть aмплитyды pacceяния фoтoнa, кoтopaя дaeт paдиaциoнный cдвиг мaccы 2 фoтoнa = 2, пpи 1 пpoпopциoнaльнa, чтo coвпaдaeт c peзyльтaтoм (3+1)-мepнoй КЭД.
Paccчитaнo oднoпeтлeвoe выpaжeниe для paдиaциoннoгo cдвигa энepгии элeктpoнa в ocнoвнoм cocтoянии 0 в мaгнитнoм пoлe c yчeтoм вклaдa тoпoлoгичecкoгo члeнa ЧC и былa пoлyчeнa acимптoтичecкaя фopмyлa для эффeктивнoй мaгнитнoй вocпpиимчивocти 2 1 = / двyмepнoгo элeктpoннoгo гaзa, гдe = / 0. Cpaвнeниe пoлyчeнныx peзyльтaтoв для cпeциaльнoгo тoпoлoгичecки тpивиaльнoгo cлyчaя = 0 c cooтвeтcтвyющими peзyльтaтaми в (3+1)-мepии выявляют cлeдyющиe oтличия в пoвeдeнии мaгнитнoй вocпpиимчивocти 2 1 кaк фyнкции пoлeвoгo пapaмeтpa. B oтнocитeльнo cлaбoм пoлe 2 1 pacxoдитcя oгapифмичecки пpи 0, в тo вpeмя кaк 3 1 cтpeмитcя к кoнeчнoй кoнcтaнтe. B cильнoм пoлe 2 1 c pocтoм нaпpяжeннocти пoля yбывaeт быcтpee, чeм 3 1. C yчeтoм кoнeчнoй тoпoлoгичecкoй мaccы ycтpaняeтcя oгapифмичecкaя pacxoдимocть мaгнитнoй вocпpиимчивocти 2 1 в cлaбoм пoлe ( 0), пpи этoм 2 1. pи кoнeчнoй тeмпepaтype и плoтнocти yчeт члeнa ЧC пpивoдит к кoнeчнocти элeктpoннoгo мaccoвoгo oпepaтopa yжe в oднoпeтлeвoм пpиближeнии, в тo вpeмя кaк oн pacxoдитcя в инфpaкpacнoй oблacти нa мaccoвoй oбoлoчкe в cлyчae oтcyтcтвия тoпoлoгичecкoй мaccы в oднoпeтлeвoм пpиближeнии (2+1)-мepнoй КЭД.
peдcтaвлeны тaкжe peзyльтaты иccлeдoвaния влияния кoнeчнoй тeмпepaтypы и плoтнocти нa paдиaциoнный cдвиг энepгии элeктpoнa в тoпoлoгичecки мaccивнoй ( 0 ) (2+1)-мepнoй КЭД:
2 2 / / / = Li1, 1, 2 4 (70) / / / Li1, 3, 4 гдe пapaмeтpы ( = 1,2,3,4) oпpeдeлeны coглacнo 2 2 2 1 1 1 1 =, 2 = 2, 3 =, 4 = (71) 2 2 2 и, = Li, 0 1,(72) 2 гдe Li =,,1 =. (73) =Был дeтaльнo иccлeдoвaн cлyчaй пoлнocтью выpoждeннoгo элeктpoннoгo гaзa. B зapядoвo-cиммeтpичнoм cлyчae элeктpoннaя эффeктивнaя мacca былa пpoaнaлизиpoвaнa в пpeдeлe низкиx ( / 2 ) и выcoкиx ( 2 ) тeмпepaтyp. Oкaзaлocь, чтo тeмпepaтypный cдвиг мaccы пpи низкиx тeмпepaтypax oтpицaтeлeн. Oднaкo oн мaл пo cpaвнeнию c вклaдoм бeзтeмпepaтypнoгo cлaгaeмoгo, oпpeдeляeмoгo тoпoлoгичecкoй мaccoй фoтoнa, и пoэтoмy пoлнaя paдиaциoннaя пoпpaвкa к мacce элeктpoнa oкaзывaeтcя пoлoжитeльнoй. C pocтoм тeмпepaтypы cлaгaeмoe ( ) мeняeт знaк и pacтeт, тaк чтo в oблacти выcoкиx тeмпepaтyp тeмпepaтypный вклaд в cдвиг энepгии элeктpoнa cтaнoвитcя дoминиpyющим. Бoлee тoгo, 2 2 пpи 0 зaкoн диcпepcии пpинимaeт вид = / 8, т. e. эффeкты кoнeчнoй плoтнocти ( Ч xимпoтeнциaл) coздaют щeль в cпeктpe элeктpoнa. Oднaкo пpи любoм кoнeчнoм знaчeнии квaдpaт энepгии, 0 0 и, пo кpaйнeй мepe, в oднoпeтлeвoм пpиближeнии щeль yжe нe вoзникaeт.
oмимo yкaзaнныx вышe peзyльтaтoв, иccлeдoвaн тaкжe и тaкoй пpинципиaльнo вaжный вoпpoc, кaк вoзмoжнocть нapyшeния кaлибpoвoчнoй инвapиaнтнocти зa cчeт oднoпeтлeвыx пoпpaвoк к кaлибpoвoчнoмy дeйcтвию в (2+1)-мepныx нeaбeлeвыx кaлибpoвoчныx тeopияx пpи кoнeчнoй тeмпepaтype, a тaкжe вoзмoжнocть ee вoccтaнoвлeния c yчeтoм мнoгoпeтлeвыx вклaдoв. Haми пoлyчeнo тoчнoe выpaжeниe для тoй чacти кoнeчнoтeмпepaтypнoгo эффeктивнoгo дeйcтвия в пpocтpaнcтвe paзмepнocти (2+1), кoтopaя индyциpyeтcя мaccивными фepмиoнaми, нaxoдящимиcя нa фoнe oднoвpeмeннo кaк aбeлeвыx, тaк и нeaбeлeвыx кaлибpoвoчныx пoлeй в cпeциaльнoй кoнфигypaции, и кoтopaя пpивoдит к нapyшeнию P-чeтнocти. oд cпeциaльнoй пoнимaeтcя тaкaя кoнфигypaция, в кoтopoй oбecпeчивaeтcя paвeнcтвo нyлю элeктpичecкиx и нeзaвиcимocть oт вpeмeни мaгнитныx пoлeй.
Taким oбpaзoм, мoжнo cдeлaть cлeдyющиe oбщиe вывoды пo иccлeдoвaнию эффeктoв пoнижeния paзмepнocти в КЭД. Maгнитныe cвoйcтвa фoтoнoв пpи coкpaщeнии paзмepнocти пpocтpaнcтвa-вpeмeни c (3+1) дo (2+1) cyщecтвeннo измeняютcя. Paдиaциoнный cдвиг мaccы элeктpoнa в мaгнитнoм пoлe и эффeктивнaя мaгнитнaя вocпpиимчивocть, т.
e. мaгнитныe cвoйcтвa элeктpoнoв, тaкжe пpинципиaльнo измeняютcя пpи пepexoдe oт (3+1)-мepнoй к (2+1)-мepнoй КЭД. Учeт кoнeчнocти топологической массы фотона 0 устраняет расходимость массового оператора электрона и магнитной восприимчивости, в то время как конечные температура и плотность способствуют проявлению новых физических эффектов, как, например, возникновение щели в спектре электронов. Последовательный учет всех многопетлевых диаграмм в эффективном действии неабелевого калибровочного поля в (2+1)-мерном пространстве-времени при конечной температуре обеспечивает сохранение калибровочной инвариантности нарушающей четность части действия.
Кроме того, в главе 5 изучено влияние сильного внешнего поля на ассоциативное рождение заряженными лептонами хиггсовских частиц с Zбозонами. Поиск и исследование свойств хиггсовского бозона, масса которого является свободным параметром Стандартной модели электрослабых взаимодействий, является важной задачей современной физики.
Константы взаимодействия хиггсовского бозона с другими частицами определяются массами этих частиц. Нами изучено сечение реакции е + е +Z + Н при возможных различных значениях массы хиггсовского бозона.
Показано, что в области высоких энергий, например, когда Е >1000 ГэВ, сечение указанного процесса процесса может существенно превосходить - + сечение реакции е + е Z+Н.
В заключении сформулированы основные результаты диссертации, выносимые на защиту.
Основные результаты, получ енные в диссертации:
1. На основе точных решений уравнений движения частиц с учетом внешних условий (магнитные поля, плотность среды, перенос вещества и др.) проведено моделирование явлений в различных областях физики Ч от физики окружающей среды, включая процессы переноса и распространение волн в коре Земли, до проблем физики высоких энергий, таких как Стандартная модель электромагнитных и слабых взаимодействий, излучение быстро движущихся зарядов и радиационные эффекты, влияние внешних полей и плотности материи в пространстве пониженной размерности.
2. Получены точные аналитические решения для ондуляторного излучения в различных периодических магнитных полях сложной конфигурации.
Эти решения точно описывают искажение спектра и уширение спектральных линий в реальных ондуляторах заданных конфигураций с учетом влияния внешнего поля Ч например, магнитного поля Земли или остаточного магнитного поля в ондуляторе. При этом использованы обобщения на случай многих переменных специальных функций типа Бесселя и Эйри. Для получения модифицированных специальных функций и полиномов многих переменных и индексов применены производящие функции и интегральные преобразования, широко использованы экспоненциальный оператор и специальные функции на основе экспоненты и интегралов, ее содержащих.
3. Показано, что на основе разработанного подхода можно получить аналитические решения практически для любого ондулятора со сколь угодно сложной конфигурацией периодического поля с различными искажениями.
4. Проведено моделирование распространения волн с учетом начальных напряжений в земной коре, моделирование газовых потоков, переноса массы и момента газов с учетом молекулярных эффектов, диффузионных процессов в многокомпонентной смеси с возможным присутствием жидкой фазы. Рассмотрены технологические применения построенных моделей в современных альтернативных источниках электроэнергии, таких как водородные топливные элементы.
5. Предложены новые экспоненциальные параметризации кварковой и нейтринной матриц смешивания в Стандартной модели элементарных частиц. С использованием операторной экспоненты показано, что все известные параметризации содержатся в новой параметризации, которая, таким образом, является наиболее общей формой матрицы смешивания.
Обсуждаются ее свойства и демонстрируется возможность генерации на ее основе новых параметризаций с выделенным матричным множителем, нарушающим СР-четность.
6. Обсуждается учет СР-нарушающей фазы в новой экспоненциальной параметризации матрицы смешивания в контексте представления матрицы трехмерных вращений на определенный угол вокруг заданной оси. Проведено сравнение новой параметризации с генератором пространственных вращений в форме операторной экспоненты.
Показано, как параметризация с операторной экспонентой дает геометрическую интерпретацию СР-нарушающей фазы и позволяет выделить соответствующий вклад в разложении по функциям Бесселя.
Новая параметризация также наглядно демонстрирует дополнительность смешивания кварков и нейтрино.
7. Методами квантовой теории поля изучено влияние понижения размерности пространства-времени и сильного внешнего поля на вакуумные эффекты в квантовой электродинамике и теории полей Янга - Миллса в (2+1)-мерном случае с топологическим членом Черна - Саймонса. Рассчитан радиационный сдвиг энергии электрона во внешнем магнитном поле в пространстве пониженной размерности с учетом слагаемого ЧернаЦСаймонса и поляризационный оператор фотона, а также вероятность распада фотона на электрон-позитронную пару.
8. Исследовано влияние сильного внешнего поля на ассоциативное рождение заряженными лептонами хиггсовских частиц с Z-бозонами.
Изучено влияние конечной температуры и плотности материи на собственную энергию электрона в топологически массивной (2+1)мерной теории поля. Отдельно рассмотрен вопрос о части действия, нарушающей P-четность, в рамках SU(2)U(1)-калибровочной теории поля при конечной температуре.
Список п убликаций автора по теме диссертации [1]. G. Dattoli, V. V. Mikhailin, P. L. Ottaviani, K. V. Zhukovsky, Two frequency undulator and harmonic generation by an ultrarelativistic electron, J. Appl. Phys. 100 (2006) 084507.1 - 084507.12.
[2]. К. В. Жуковский, В. В. Михайлин, Двухчастотный ондулятор и генерация гармоник ультрарелятивистским электроном, Вестник Моск. ун-та. Физика. Астрономия, 2 (2005) 41-47.
[3]. G. Dattoli, V. V. Mikhailin, K. Zhukovsky, Undulator Radiation in a Periodic Magnetic Field with a Constant Component, J. Appl. Phys. 1(2008) 124507.1 - 124507.8.
[4]. Д. Даттоли, К. В. Жуковский, В. В. Михайлин, Влияние постоянного магнитного поля на излучение плоского ондулятора, Вестник Моск. унта. Физика. Астрономия, 5 (2009) 33-38.
[5]. А. С. Вшивцев, К. В. Жуковский, Е. М. Чесноков, Влияние исходно неоднородного напряжения на упругие характеристики изотропного тела, Физика Земли, 5 (1995) 65-72.
[6]. К. В. Жуковский. Течение газовых потоков в длинных микроканалах, Вестник Моск. ун-та. Физика. Астрономия, 3 (2001) 49-54.
[7]. К. В. Жуковский, В. Ч. Жуковский, Трехмерная модель кислородноазотного переноса в пористом диффузоре водородного топливного элемента с полимерным электролитом, Вестник Моск. ун-та. Физика.
Астрономия, 5 (2002) 23-30.
[8]. K. V. Zhukovskii, Three Dimensional model of gas transport in a porous diffuser of a polymer electrolyte fuel cell, AIChE J., 49, No. 12 (2003) 30293036.
[9]. K. V. Zhukovskii, A. Pozio, Maximum current limitations of the PEM fuel cell with serpentine gas supply channels J. Power Sources, 130, Issue 1-(2004) 95-105.
[10]. K. V. Zhukovskii, Modelling of the Current Limitations of PEFC, AIChE J., 52, No.7 (2006) 2356-2366.
[11]. K. Zhukovsky, Mathematical modelling of the high-current regime of PEFCs, Recent Research Developments in Electrochemistry, 8 (2005) 301326; ISBN81-7895-183-5 Transworld Research Network 37/661(2), Port P.O., Trivandrum-695 023, Kerala, India.
[12]. G. Dattoli, K. Zhukovsky, Quark Flavour Mixing and the Exponential Form of the Kobayashi-Maskawa Matrix, Eur. Phys. J. C, 50 (2007), 817821.
[13]. K. В. Жуковский, Д. Даттоли, Смешивание кварков и экспоненциальная форма матрицы КабиббоЦКобаяшиЦМаскава, ЯФ, 71, № 10 (2008) 1838-1844.
[14]. G. Dattoli, K. Zhukovsky, Quark Mixing in the Standard Model and the Space Rotations, Eur. Phys. J. C, 52, N3 (2007) 591-595.
[15]. G. Dattoli, K. Zhukovsky, Neutrino Mixing and the Exponential Form of the MakiЦNakagawЦSakata Matrix, Eur. Phys. J. C, 55, N 4 (2008) 547-552.
[16]. В. Ч. Жуковский, А. С. Разумовский, К. В. Жуковский, Вакуумные эффекты в квантовой электродинамике и теории полей ЯнгаЦМиллса в (2+1)-мерном пространстве-времени, Изв. вузов (Поволжский Регион), 2 (2003) 80-107 (arXiv:hep-th/0402070v2 N 2).
[17]. В. Ч. Жуковский, А. С. Разумовский, К. В. Жуковский, А. М. Федотов, Действие, нарушающее четность, в SU(2)SU(1) калибровочной модели при конечной температуре, Вестник Моск. ун-та. Физика.
Астрономия, 2 (2003) 27-30.
[18]. П. А. Эминов, К. В. Жуковский, К. Г. Левченко, Ассоциативное рождение хиггсовских бозонов и Z-бозонов заряженными лептонами в сильных внешних полях, ЖЭТФ, 113 (1998) 1979-1990.
[19]. К. В. Жуковский, П. А. Эминов, Ассоциативное рождение хиггсовских бозонов лептонами в поле электромагнитной волны, Вестник Моск. унта. Физика-Астрономия, 2 (1997) 57-58.
[20]. И. М. Тернов, А. В. Борисов, К. В. Жуковский, Радиационный сдвиг энергии основного состояния электрона в постоянном магнитном поле в (2+1)-мерной квантовой электродинамике, Вестник Моск. ун-та.
Физика. Астрономия, 1 (1997) 71-72.
[21]. K. V. Zhukovsky, P. A. Eminov, Electron Self-Energy in (2+1) Topologically Massive QED at Finite Temperature and Density, Phys. Lett.
B, 359 (1995) 155-158.
[22]. К. В. Жуковский, П. А. Эминов, Собственная энергия электрона в топологически массивной (2+1)-мерной квантовой электродинамике при конечной температуре и плотности, Изв.вузов. Физика, 5 (1995) 61-65.
[23]. К. В. Жуковский, П. А.. Эминов, Поляризационный оператор и амплитуда упругого рассеяния фотона в (2+1)-мерной квантовой электродинамике в постоянном магнитном поле, ЯФ, 59, № 7 (1996) 1265-1269.
[24].V. V. Mikhailin, K. V. Zhukovsky, Two-Frequency Undulator and Harmonic Generation of an Ultrarelativistic Electron, in УParticle Physics at the Year of 250 Anniversary of Moscow UniversityФ (Proceedings of the 12th Lomonosov Conference on Elementary Particle Physics), ed. by A.I.
Studenikin (World Scientific, Singapore, 2006), p. 393 - 397.
[25].G. Dattoli, K. Zhukovsky, Quark mixing in the Standard Model and the Space Rotations, in УParticle Physics on the Eve of LHCФ (Proceedings of the 13th Lomonosov Conference on Elementary Particle Physics), ed. by A.I.
Studenikin (World Scientific, Singapore, 2009), p. 347Ц350.
[26]. G. Dattoli, K. Zhukovsky, Exponential form of the Mixing Matrix in the Lepton Sector of the Standard Model, in УParticle Physics at the Year of AstronomyФ (Proceedings of the 14th Lomonosov Conference on Elementary Particle Physics), ed. by A.I. Studenikin (World Scientific, Singapore, 2010), p. 425Ц428.
[27]. K.V Zhukovskii, P.A. Eminov, Photon polarization operator and photon elastic scattering amplitude in (2+1) QED in a constant magnetic field, in "Problems of Fundamental Physics" (Proceedings of the 7th Lomonosov Conference on Elementary Particle Physics), ed. by A.I. Studenikin (URSS, Moscow, 1997), p. 85Ц89.
[28].G. Dattoli, H. M. Srivastava, K. V. Zhukovsky, Оrthogonality properties of the hermite and related polynomials, J. Comp. Appl. Math. 182, Issue (2005) 165-172.
[29].G. Dattoli, H. M. Srivastava, K. V. Zhukovsky, A new family of integral transforms and their applications, Integral Transform Spec. Funct., 17, N(2006) 31-37.
[30].G. Dattoli, H. M. Srivastava, K. V. Zhukovsky, Operational methods and Differential Equations with Applications to Initial-Value problems, Appl.
Math. Comput. 184, (2007) 979-1001.
[31].G. Dattoli, K. V. Zhukovsky Appl Polynomial Series Expansion, Int. Math.
Forum 5, N14 (2010) 649-662.
[32].P. Blasiak, G. Dattoli, A. Horzela, K. A. Penson, K. Zhukovsky, Motzkin numbers, central trinomial coefficients and hybrid polynomials, J. Integer Seq. 11 (2008) Article 08.1.1, 1-11.
[33].G. Dattoli, M. Migliorati, K. V. Zhukovsky, Summation Formulae and Stirling Numbers, Int. Math. Forum, 4, N41 (2009) 2017-2040.
[34].G. Dattoli, K. V. Zhukovsky, Evolution of time dependent linear potentials and non-spreading Airy wave packets, Appl. Math. Comput. 217 (2011) 7966Ц7974.