Geum.ru
   Книги, научные публикации

Ч математические кружки для школьников при механи Библиотека МАЛЫЙ ко-математическом факультете МГУ. Занятия проходят Математическое просвещение по субботам в главном здании МГУ на Воробьёвых го МЕХМАТ

рах для учащихся 6Ч8 классов с 1600 до 1800, для уча щихся 9Ч11 классов с 1800 до 2000. С вопросами обращайтесь по адресу электронной почты mmmf или по телефону 939 39 43.

ПРИГЛАШАЮТСЯ ВСЕ ЖЕЛАЮЩИЕ!

Каждую субботу сотни школь ников стекаются в главное зда ние МГУ на Воробьёвых горах на И. Х. Сабитов занятия Малого мехмата. Здесь школьники учатся решать задачи и математически строго излагать най денные решения. Каждый школьник получает в начале занятия листок ОБЪЁМЫ МНОГОГРАННИКОВ с задачами, которые, как правило, объединены одной темой. Свои ре шения школьники рассказывают преподавателям Ч студентам и ас пирантам большого мехмата.

Основные принципы кружков:

они открыты для всех желающих и бесплатны. Более того, можно по сещать кружок, начиная с любого занятия.

Участие в кружке не даёт ника ких льгот при поступлении в вузы и других формальных преимуществ.

Поэтому сюда приходят только те, кому интересен сам процесс реше ния задач, кто действительно хочет почувствовать красоту математики.

А это, по большому счёту, оказы вается значительно существеннее всевозможных льгот.

ISBN 5 94057 004 Издательство Московского центра непрерывного математического образования 9 785940 570042 Москва Х C M Y K Фото М. Ю. Панова.

Библиотека Математическое просвещение Выпуск И. Х. Сабитов Научно- редакционный совет серии:

В. В. Прасолов, А. Б. Сосинский, ОБЪЁМЫ В. М. Тихомиров (гл. ред.), И. В. Ященко.

МНОГОГРАННИКОВ Серия основана в 1999 году.

Рисунки М. Ю. Панова.

Издательство Московского центра непрерывного математического образования Х Москва УДК 514. Всем старшеклассникам известна формула Герона, выражающая ББК 22. площадь S треугольника через длины его сторон a, b, c:

С S= p(p a)(p b)(p c), a+b+c где p= Ч полупериметр треугольника, a, b, c Ч длины его Аннотация сторон. Если возвести обе части в квадрат и подставить выражение Изложение материала начинается с формулы, выражающей объ ём тетраэдра через длины его рёбер. Эту формулу можно найти почти для p, то после упрощения получится формула во всех справочниках по математике, но мало кто знает её историю.

В брошюре разбираются доказательства этой формулы, принадлежа S2 = (2a2b2 +2a2c2 +2b2c2 a4 b4 c4).

щие Тарталье (XVI век) и Эйлеру (XVIII век), и даются современные их варианты. Сформулирована и прокомментирована теорема, обоб К сожалению, эта формула не распространяется на многоуголь щающая формулу объёма тетраэдра на любые многогранники и да ники более сложного вида. Рассмотрим, например, квадрат Ч про ющая как простое следствие решение проблемы кузнечных мехов, утверждающей постоянство объёма изгибаемого многогранника. Да стейшуюфигуру с четырьмя сторонами длины a. Его площадь рав ются также примеры изгибаемых многогранников.

на a2. Однако, если не предполагать, что наш многоугольник являет Текст брошюры представляет собой дополненную обработку за ся квадратом, его площадь при тех же длинах сторон может оказаться писи лекции для школьников 9Ч11 классов, прочитанной автором на совершенно другой, так как площадь произвольного ромба со сторо Малом мехмате МГУ 10 марта 2001 года (запись Е. А. Чернышёвой).

Брошюра рассчитана на широкий круг читателей, интересую ной a может принимать любое значение от 0 до a2 (рис. 1).

щихся математикой: школьников старших классов, студентов млад ших курсов, учителей.

Работа автора над брошюрой частично поддер l жана Российским фондом фундаментальных Р И a l l исследований (РФФИ), грант № 00Ч06Ч80437.

S = a2 a S a2 a l Издание осуществлено при поддержке Московской городской Думы и Московского комитета образования.

l 0 S a l Рис. 1 Рис. ISBN 5-94057-003-8 й Сабитов И. Х., 2002.

й МЦНМО, 2002.

Тем самым, формулы, выражающей связь между сторонами мно гоугольника и его площадью, не существует.

Оказывается, для многогранников это не так. Существует фор Сабитов Иджад Хакович.

мула, которая даёт возможность найти объём многогранника, если Объёмы многогранников. известны лишь длины его рёбер. Этому замечательному факту и по священа настоящая брошюра. А сначала покажем, что имеет место (Серия: Библиотека ДМатематическое просвещениеУ).

следующее обобщение формулы Герона Ч М.: МЦНМО, 2002. Ч32с.: ил.

Редактор Т. А. Карпова.Техн. редактор М. Ю. Панов.

ФОРМУЛА ДЛЯ ОБЪЁМА ТЕТРАЭДРА:

Лицензия ИД № 01335 от 24/III 2000 года. Подписано к печати 7/X 2002 года.

Формат бумаги 60 88 /16. Офсетная бумага № 1. Офсетная печать.

V2 = l2l2(l2 +l2 +l2 +l2 l2 l2)+ 1 5 2 3 4 6 1 Физ. печ. л. 2,00 + 0,25 (вкл.). Уч.-изд. л. 2,43. Тираж 3000 экз. Заказ 3425.

+l2l2(l2 +l2 +l2 +l2 l2 l2)+l2l2(l2 +l2 +l2 +l2 l2 l2) 2 6 1 3 4 5 2 6 3 4 1 2 5 6 3 Издательство Московского центра непрерывного математического образования.

119002, Москва, Г-2, Бол. Власьевский пер., 11. Тел. 241 05 00.

l2l2l2 l2l2l2 l2l2l2 l2l2l2 (1) 1 2 4 2 3 5 1 3 6 4 5 Отпечатано в ФГУП Производственно-издательский комбинат ВИНИТИ.

140010, г. Люберцы Московской обл., Октябрьский пр-т, 403. Тел. 554 21 86. (рис. 2).

Фрагмент О пирамидах с четырьмя треугольными основаниями, но с разными рёбрами из книги Тартальи, в котором обосновывается способ нахождения высоты тетраэдра при известных длинах его рёбер.

4 Задачу нахождения объёма тетраэдра через длины его сторон пер- прямоугольный, следовательно, вым, по-видимому, решил Пьеро делла Франческа (1420?Ч1492?)*), ad2 hd2 =ah.

знаменитый итальянский художник эпохи раннего Возрождения.

Затем эта же задача рассматривалась в книгах Summa de arith В треугольнике aih мы знаем теперь все стороны: ai, ah и ih=ed.

metica, geometria proportione et proportionalita (1494) и Divina Опустим в этом треугольнике высоту из a на основание ih, полу proportione (1509) Луки Пачоли. Её решение повторено в энцикло чим точку f (рис. 4). Докажем, что af dbc. Предположим, что осно педическом труде General trattato di numeri et misure итальянского вание высоты, опущенной из a на плоскость треугольника dbc, Ч математика Никколо Фонтана (1499Ч1557), более известного и в точка o. По теореме о трёх перпендикулярах отрезок oi перпендику жизни, и в научной литературе под фамилией Тарталья (Tartaglia по лярен bc, но, так как if bc, точка o должна лежать на прямой if.

итальянски значит заика: речь Никколо была затруднена с детства А поскольку af if, точкиo и f совпадают. Таким образом, af Чвы вследствие ранения гортани). Вообще история получения формулы сота тетраэдра, и мы можем выразить её через известные стороны объёма тетраэдра через длины его рёбер окончательно ещё не восста треугольника aih.

a новлена, и само обсуждение этого вопроса в литературе уже имеет Так как мы можем найти площадь свою интересную историю с разными неожиданными открытиями основания bcd по формуле Герона, для и интерпретациями. Для автора брошюры первым доступным тек нахождения объёма V тетраэдра остаётся стом из упомянутых выше была книга Тартальи, поэтому мы будем использовать известнуюформулу придерживаться его изложения. Заметим, что все три названных h V = af S bcd.(2) d автора на самом деле не дали никакой общей формулы вида (1), а решали задачу с конкретными длинами f a Теперь, если в доказательстве Тарта рёбер (см. на сс. 4Ч5 воспроизведённый b i e c льи длины рёбер обозначить l1, l2, l3, l4, l5, оригинальный текст из книги Тартальи, Рис. l6, после возведения формулы (2) в квадрат из рисунка в котором видно, с какими получится в точности формула (1).

значениями длин рёбер он работал).

Однако в рассуждении Тартальи основные используемые им гра Разберём подробно доказательство h ни тетраэдра Ч треугольники abc и dbc Ч имели при общем основа d Тартальи, сохранив обозначения его ри нии bc острые углы, поэтому необходимо обобщить его доказатель сунков. Пусть дан тетраэдр с вершинами a, ство на случай произвольных граней. Также не разобран случай, ко b b, c, d. Опустим на ребро bc перпендикуля i e c гда точки e и i совпадают (рис. 5). Давайте ры ai и de (в плоскостях треугольников abc a Рис. сначала разберём этот простой случай. Точ и dbc соответственно, рис. 3). Заметим, что ка h совпадает с d, следовательно, основание длины высот ai и de мы можем выразить высоты af попадает на ed. Вместо треуголь через известные величины (длины рёбер). Проведём через точку i ника aih рассмотрим треугольник aed, итак прямую, параллельную ed, ачерезточкуd Ч прямую, параллельную же, как и выше, найдём объём.

ei, и в их пересечении получим точку h. Докажем, что прямая dh пер- d пендикулярна плоскости треугольника aih. Отрезок ei принадлежит основаниютреугольников abc и dbc, поэтому ai ei, de ei. Так как b Итак, рассмотрим общий случай. Возь ih ed, то ei ih. Получается, что отрезок ei перпендикулярен двум e c мём треугольник ABC. Опустим высоту из прямым, принадлежащим плоскости aih, следовательно, ei aih, а Рис. вершины A на противоположную сторону поскольку dh ei, получаем, что dh aih. В треугольнике adh мы BC, получимточкуH. Высота в треугольни знаем ad (это ребро тетраэдра) и hd=ei (это противолежащие стороны ке может падать как на сторону, так и на её продолжение (рис. 6). Что в прямоугольнике), а ei мы можем найти, поскольку знаем стороны бы не заботиться о том, где она находится по отношениюк точкам B и высоты треугольников abc и dbc. Кроме того, треугольник adh и C, воспользуемся методом координат. Пусть начало системы коор *) На самом деле по поводу годов его рождения и смерти разные исследователи динат совпадает с точкой C, а оси сонаправлены с векторами CB и HA высказывают разные мнения, сходясь лишь в том, что он родился в начале и умер в (рис. 7). Точки A, B, C и H имеют следующие координаты: (x, h), (a, 0), конце XV века;

здесь мы привели даты его жизни по 3-му изданиюБСЭ, т. 21 (1975), стр. 276. (0, 0), (x, 0) (стороны треугольника a, b и c нам известны, h Ч его 6 высота, её мы можем найти по формуле h=2S/a,вкоторойплощадьS сторону BC. Таким образом, формулой (3) действительно охватыва вычисляется по формуле Герона;

нам неизвестна только величина x). ются все случаи.

Вернёмся к доказательству Тартальи. На рис. 4 в обозначениях A A A вершин изменим малые буквы на соответствующие большие (так как сейчас буквы a, b, c заняты в (3) для обозначе y а) A ния длин сторон). Применим формулу (3) к тре угольникам ABC и DBC, расположив для каждо го из них систему координат так, как показано C H B C B H H C B x на рис. 9, а, б:

Рис. B I C AB2 +BC2 AC2 DB2 +BC2 DC xI =, xE =.

2BC 2BC y Поскольку треугольники AHC и AHB являются прямоугольными б) D с прямыми углами при вершине H, по теореме Пифагора AC2 =AH2 + Поскольку в пространстве точки E и I лежат на +HC2 и AB2 =AH2 +HB2 или одной оси, являющейся осью абсцисс в каждой y A плоскости, и начала отсчёта совпадают, коорди b2 =h2 +x2 и c2 =h2 +(x a)2. x наты xE и xI однозначно определяют положение BE C Преобразуем второе из этих равенств к виду точек E и I на прямой BC. Как и раньше, постро bc Рис. x2 2ax+a2 +h2 =c2, им IH DH. Также, как и в доказательстве Тар и подставим в получившееся равенство зна тальи, точка F попадает на прямую IH. Опять же, если мы будем x чение x2, равное b2 h2. Получим знать стороны треугольника AIH, то легко найдёмAF. Значит, оста C H B(a,0) (b2 h2) 2ax+a2 +h2 =c2, т. е.

лось найти AH, причём, так как треугольник ADH прямоугольный, Рис. b2 +a2 c2 =2ax.

достаточно найти DH2 =(xE xI)2. Получается, что метод Тартальи с указанными сейчас поправками проходит для любого тетраэдра.

Отсюда находим x:

a2 +b2 c2 Некоторым ревностным ценителям геометрической чистоты при x=.(3) 2a менённый выше метод координат может и не понравиться, как нечто искусственное, приводящее к результату формальными вычислени Мы получили формулу, определяющую положение основания ями, а не геометрическими построениями. Действительно, оказыва высоты. Если треугольник тупоугольный (например, если угол B ется, метод Тартальи можно лоправдать и без применения какого тупой), то b2 a2 +c2 (рис. 8, а), и тогда либо нового рассуждения. Что было в нём важным? Достаточно бы a2 +b2 c2 a2 +a2 c2 +c x= =a, ло иметь две грани, у которых при общем ребре нет ни одного не 2a 2a острого плоского угла (на рисунке Тартальи таким было ребро bc).

т. е. абсцисса x больше a, и точка H попадает за вершину B. Если Но известно, что такое свойство верно для любого многогранника с y а) y б) треугольными гранями. Действительно, если взять ребро наиболь A A шей длины, то обе прилегающих к нему грани будут иметь при этом ребре острые углы, иначе нашлось бы ребро длины большей, чем рас b c b c сматриваемое. Значит, в любом тетраэдре мы можем найти ребро, для которого построения Тартальи приводят к рис. 3 с ребром bc.

x x a a C B H H C B Рис. Прошло почти двести лет, прежде чем Леонард Эйлер в 1752 году провёл вычисление объёма тетраэдра уже не для конкретных число тупым является угол при вершине C, то c2 a2 +b2 (рис. 8, б), и вых значений длин рёбер, а в буквенных обозначениях*). Вот его a2 +b2 c2 a2 +b2 a2 b x= =0, рассуждения.

2a 2a т. е. точка H лежит слева от вершины C. ЕслиуглыB и C острые, то *) Впервые формула для объёма тетраэдра с буквенными обозначениями длин рёбер c2 a2 +b2, b2 a2 +c2, тогда 0 x a, и точка H попадает как раз на была получена, по-видимому, лет за сто до Эйлера, но мы не можем дать точных ссылок.

8 Обозначим известные длины рёбер: AB=a, AC=b, BC=c, AD=d, Однако и рассуждения Эйлера зависят от конкретного вида тетра BD=e, CD=f. эдра и его граней. Их следует уточнить, так как, например, точка O Ч В треугольнике ADC опустим из D перпендикуляр на ребро CA, основание высоты из вершины D Ч может быть вне треугольника получим точку Q;

перпендикуляр из той же точки D вплоскостиABD ABC (а существуют такие тетраэдры, у которых высота из к а ж на ребро AB даст точку P (рис. 10). Из точек Q и P в плоскости тре- д о й вершины падает в точку вне треугольника в соответствующем угольника ABC восстановим перпендикуляры к сторонам AC и AB со- основании), точки Q и P могут лежать на продолжениях сторон тре ответственно. Точку их пересечения обозначим угольника ABC, итогда точкиO и S будут лежать вне треугольника;

C через O (рис. 11);

отрезок DO окажется высотой кроме того, если a 90, то формула дляPO будет неверной, так как тетраэдра (рис. 12), т. е. DO ABC (это следует PO Ч длина, т. е. положительна, а tg a 0.

из теоремы о трёх перпендикулярах). Поэтому Приведём доказательство Эйлера в общем виде, не зависящее от Q треугольник AOD Ч прямоугольный, и DO= того, какие углы в треугольниках: тупые или острые.

D В плоскости треугольника ABC отметим точку D такую, что = AD2 AO2. Таким образом, чтобы найти DO, AD =AD, CD =CD. Для нахождения точки D достаточно мысленно необходимо вычислить длину отрезка AO.

A повернуть грань ACD вокруг прямой AC до положения, когда ACD P B Длины отрезков AP и AQ мы можем найти окажется на плоскости основания ABC. Таких положений два;

вы из треугольников ABD и ACD. Используя фор- Рис. берем то положение, когда вершина D попадёт в точку, лежащую мулу (3), получаем:

C с той же стороны, что и вершина B. Эту точку и отметим как D. Вве a2 +d2 e2 b2 +d2 f AP=, AQ=. дём теперь систему координат с началом в вершине A исосьюабсцисс 2a 2b вдоль ребра AB (рис. 13). Когда мы уточняли доказательство Тарта Из прямоугольного треугольника APO имеем Q льи, то вычислили координаты точки C, (см. рис. 11): AO= AP2 +PO2.ДлинаAP извест- поэтому будем считать, что координаты O y на, нужно найти PO. Рассмотрим прямоуголь- a C(xC, yC) нам известны. А координаты Q yQ ный треугольник AQS: точки Q(xQ, yQ) (основания перпендику A P S B ляра, опущенного из D на AC) надо D AQ Рис. QS=AQ tg a, AS=, PS=AS AP, yC C найти. Заметим, что построенная таким cos a образом точка Q совпадает с точкой Q из где a=BAC. Прямоугольные треугольники AQS и OPS подобны по b a доказательства Эйлера. Чтобы убедиться двум углам, поэтому отношения соответствующих сторон равны:

h в этом, повернём треугольник ACD во QS AQ AS c x = =. круг прямой AC, чтобыон принадлежал D PS PO OS xC xQ B A плоскости ABC. При этом точка D зай Следовательно, Рис. мёт положение D, а перпендикуляр DQ PS AQ PS AS AP перейдёт в D Q.

PO= = = = QS tg a tg a Координаты точек прямой AC определяются уравнением y=kx, AQ AP AQ AP где k=tg a, поэтомуyQ =kxQ и yC =kxc. Следовательно, C = =.

O cos a tg a tg a sin a tg a Q AQ2 =x2 +k2x2 и CQ2 =(xQ xC)2 +k2(xQ xC)2.

A Q Q Величины AQ и AP известны, вычислим P B sin a. Площадь треугольника ABC равна Поскольку угол AQD прямой, Рис. 1 AC AB sin a= ab sin a, AQ2 +QD 2 =AD 2, т. е.

2 но её мы можем узнать из формулы Герона, следовательно, x2 +k2x2 +QD 2 =AD 2,(4) Q Q 2S ABC аналогично, sin a=.

ab CQ2 +QD 2 =CD 2, т. е.

Теперь, если проделать все оставшиеся вычисления, получится фор мула (1). (xQ xC)2 +k2(xQ xC)2 +QD 2 =CD 2.(5) 10 Вычтем (5) из (4), получится из вершины O, в одном случае обход получается по часовой стрел ке, в другом случае Ч против часовой стрелки. Пусть наш тетраэдр 2xQxC x2 +2k2xQxC k2x2 =AD 2 CD 2 =AD2 CD2 =d2 f2, C C ориентирован, т. е. задано направление, в котором обходятся верши 1 d2 f ны основания. Будем считать, что, если обход xQ = xC +.

2 O 2xC(1+k2) по часовой стрелке, то ориентированный объём тетраэдра меньше нуля, если против часовой Далее, рассмотрев треугольник DAB, по формуле (3) мы можем стрелки Ч больше, а по модулюон равен обыч вычислить абсциссу xP точки P в нашей системе координат. Таким ному объёму.

образом, координаты P(xP, 0) нам тоже известны.

Теперь перейдём к многогранникам с боль Абсцисса точки O пересечения перпендикуляров, восстановлен шим числом вершин. Пусть есть некоторое ных в плоскости ABC к AB в точке P икAC в точке Q, равна xO =xP. множество плоских треугольников и указано, Чтобы определить её ординату yO, найдём уравнение прямой OQ. По какие стороны каких треугольников склеива скольку эта прямая перпендикулярна прямой AC, её угловой коэффи ются (отождествляются) друг с другом. При O циент равен,гдеk Ч угловой коэффициент AC. Воспользовавшись склеивании соблюдаются следующие правила:

k 1) отождествление проходит по всей сто тем, что Q принадлежит рассматриваемой прямой, запишем оконча роне, так что склеиваются стороны равной тельное уравнение:

1 длины, и при этом указываются также отожде y= (x xQ)+yQ.

k ствляемые вершины;

2) каждая сторона является общим ребром Подставим в это уравнение x=xO =xP иполучимyO:

только двух треугольников, и два треугольника могут приклеиваться только по одной стороне;

yO = (xP xQ)+yQ.

Рис. k 3) треугольники, которые после склеива Теперь можно получить выражение для высоты DO тетраэдра:

ния имеют одну общую вершину A, можно перенумеровать в некото ром порядке так, что каждый следующий имеет с предыдущим об DO = AO2 = x2 y2, AD2 O O d щуюсторону, исходящуюиз A. Последний же имеет общуюсторону в которой все величины выражаются через длины рёбер.

с предпоследним и первым (число треугольников, имеющих общую Таким образом, мы доказали формулу (1), и теперь можем вы вершину A, должно быть не меньше чем 3).

числять объём тетраэдра, зная лишь длины его рёбер. А можно ли Множество треугольников с некоторым указанным законом скле вычислить ивания, удовлетворяющим правилам 1)Ч3), называется развёрткой, а закон склеивания или отождествления вершин и сторон треугольни ков называется комбинаторным строением развёртки. Таким обра ОБЪЁМ ПРОИЗВОЛЬНОГО МНОГОГРАННИКА, зом, комбинаторное строение развёртки можно задать списком всех зная лишь длины его рёбер? Оказывается, можно, правда, многогран треугольников и всех отождествляемых вершин и сторон. Для крат ник должен быть специального вида, а именно, он должен быть ори кости будем обозначать этот список одной буквой K и будем гово ентируемым (позже мы уточним, что это означает), а все грани долж рить, что развёртка имеет комбинаторное строение K. Многогранник ны быть треугольниками*). Далее нам понадобятся некоторые новые с комбинаторным строением K получается склеиванием развёртки.

понятия и определения. Прежде всего определим, что такое лобъ Для этого достаточно совместить те вершины треугольников, кото ём ориентированного тетраэдра. Перенумеруем вершины его осно рые должны перейти в одну вершину многогранника согласно K, вания числами 1, 2, 3 (рис. 14). Эти вершины можно обойти двумя и склеить треугольники по сторонам, которые согласно K должны способами: либо 1 2 3, либо 1 3 2. Если смотреть на основание перейти в одно ребро многогранника. При таком склеивании полу чается многогранник P(K) с комбинаторным строением K, гранями *) Если у многогранника есть грань с числом рёбер, большим чем 3, разобьём её которого являются треугольники нашей развёртки.

на треугольники (например, диагоналями) так, чтобы вершинами получившихся тре Заметим, что по внешнему виду такая конструкция может силь угольников были только вершины граней. Будем считать, что эти треугольники Ч но отличаться от привычных нам форм многогранников. Сравни грани многогранника, принадлежащие одной плоскости, а их стороны Ч рёбра много гранника (и, тем самым, нам известны их длины). те, например, октаэдры рис. 15, а, б: они оба имею т одно и то же 12 комбинаторное строение. В P(K) могут быть самопересечения (как, то надо иметь в виду, что ориентируемость или неориентируемость например, в октаэдре рис. 15, б). развёртки не зависит от длин сторон треугольников, поэтому их мож С первого взгляда не ясно, что же называть объёмом такого но выбирать произвольно, подгоняя C3 C сложного объекта. Поэтому сначала надо обобщить понятие объёма. треугольники один к другому. Но, Пусть комбинаторное строение развёртки конечно, всё равно останутся отожде N таково, что она может быть ориентирована, ствляемые стороны, расположенные а) C C4 C т. е. границу каждого плоского треугольника не вместе, иначе весь многогранник можно обойти так, чтобы общие рёбра любых реализовался бы на плоскости.

C двух соседних треугольников проходились A B1 B2 B3 A C бы в противоположных направлениях. Про C2 A B1 C B такие треугольники говорят, что они ори D ентированы согласованно. Ориентацию же граней многогранника P(K) мы определяем, C2 C3 C C1 C2 C3 B A S сохраняя при склеивании развёртки пра вила обхода треугольников. Многогранник, Рис. 16 Рис. N S б) который можно ориентировать, называется ориентируемым многогранником, в против- Пусть у нас есть ориентированный многогранник. Выберем в про ном случае он называется неориентируемым. странстве точку O и к каждой грани пристроим тетраэдр с верши C Развёртки большинства известных ной в точке O (рис. 18, здесь тетраэдр пристроен к грани ABC).

A многогранников, например, всех правильных Для каждого тетраэдра определён ориентированный объём. Обобщён B многогранников и вообще всех выпуклых ным объёмом ориентированного многогранника назовём сумму этих D многогранников*), являются ориентируемы- объёмов тетраэдров. Используя понятие смешанного произведения Рис. ми. Но существуют и неориентируемые раз- векторов, можно показать, что значение этого обобщённого объёма вёртки. На рис. 16 приведена неориентируемая развёртка, соот O ветствующая многограннику с краем (в данном случае это лист Мёбиуса);

край состоит из рёбер, к которым примыкает только A одна грань. Определите край развёртки и проверьте, что если для C треугольника AB1C1 дан обход в направлении от A к B1, то прискле ивании сторон с одинаковыми обозначениями вершин сторона AB в треугольнике AB1C3 обходится в том же направлении, что и AB в треугольнике AB1C1, а по правилу согласованной ориентации общие рёбра двух соседних треугольников должны обходиться в противо положных направлениях. (Как показать, что это свойство наличия B несогласованной ориентации не зависит от того, в каком треуголь нике сделан начальный выбор ориентации?) На рис. 17 приведён Рис. пример неориентируемой развёртки замкнутого многогранника (т. е.

многогранника без края). Проверьте, что это множество треуголь- не зависит от выбора точки O (дляэтогоинужнотребованиеобориен ников действительно удовлетворяет перечисленным выше условиям тируемости многогранника). Заметим, что, если мы выберем точку O определения развёртки и что на этой развёртке действительно не- внутри выпуклого многогранника, то объёмы всех тетраэдров будут льзя ввести согласованные ориентации всех треугольников. Если одного знака, и обобщённый объём в данном случае будет совпадать вы будете пытаться расположить треугольники на плоскости так, по модулю с обычным объёмом. Оказывается, этот факт верен для чтобы склеиваемые треугольники имели на рисунке общуюсторону, любого многогранника без самопересечений.

Найдём объём v многогранника, у которого пять вершин. Про *) Конечно, формально, их надо триангулировать, т. е. разбить диагоналями все ведём сечение ACE и получим два тетраэдра (рис. 19, а, б). Объём v нетреугольные грани на треугольники, но существует и другое определение ориенти руемости, пригодное для развёрток и с нетреугольными гранями. равен либо сумме, либо разности объёмов v1 и v2 тетраэдров ABCE 14 и ACDE. Для обобщённых объёмов можем записать рёбер рассматриваемого многогранника, когда уравнение (6) имеет два р а з н ы х корня V2, соответствующие двум реально существу V = V1 V ющим в пространстве многогранникам ABCDE с разными объёмами.

( V =v, =v1, =v2). Преобразуем это выражение так, чтобы уда Это значит, что для объёма ABCDE не может существовать многочле V V 1 лось избавиться от знаков. Сначала возведём равенство в квадрат:

на степени меньше чем 4 (так как с учётом изменения ориентации 2 2 имеем четыре разных обобщённых объёма), т. е. уравнение (6) явля V2 =V1 +V2 2V1V2, A A ется уравнением н а и м е н ь ш е й степени, которому удовлетворяют 2 затем перенесём члены V1 и V2 объёмы всех возможных расположений многогранника ABCDE впро в левуючасть и после повторного странстве, при условии, что длины рёбер остаются без изменения.

возведения в квадрат для V полу- Оказывается, и в общем случае можно показать, что обобщённые чим уравнение объёмы многогранников Ч корни полиномиальных уравнений с ко C D D C эффициентами, которые не зависят от расположения вершин много 2 2 2 V4 2(V1 +V2)V2+(V1 V2 )2 =0. (6) B B гранника в пространстве, а представляют собой многочлены от ква E E а) б) 2 дратов длин его рёбер. Числовые коэффициенты этих многочленов Так как V1 и V2 выражаются по Рис. определяются комбинаторным строением многогранника, т. е. у мно формуле (1) через длины рёбер ис гогранников с одинаковым комбинаторным строением уравнение для ходного многогранника, все ко обобщённого объёма одно и то же.

эффициенты уравнения (6) зависят только от квадратов длин рёбер В окончательном виде обощение формулы (1) на объём произволь многогранника. Получаем, что объём любого многогранника вида ного многогранника даёт ABCDE с данными длинами рёбер обязательно удовлетворяет урав Основная теорема. Пусть P Ч множество всех многогранников, нениювида (6).

имеющих одинаковое комбинаторное строение K иодинаковыйна Рассмотрим несколько частных случаев.

бор длин рёбер l1, Е, ln, где n Ч число рёбер. Тогда можно указать I. Пусть объёмы тетраэдров ABCE и ADCE равны: V1 =V2. Тогда многочлен имеем два возможных расположения этих тетраэдров: 1) они находят ся по разные стороны от плоскости ACE;

тогда объём многогранника Q(V)=V2N +a1V2N 2 +Е+aN 1V2 +aN,(7) ABCDE равен с у м м е объёмов составляющих его тетраэдров, что 2 такой что обобщённый объём каждого многогранника из P являет соответствует корню V2 =4V1 и V = 2V1 (знак зависит от выбора ори ся корнем этого многочлена. Коэффициенты ai, 1 i N, самиявля ентации, при соглашении, что через V1 обозначен геометрический, ются многочленами от l2, Е, l2 с числовыми коэффициентами, за т. е. положительный объём тетраэдра);

2) тетраэдры расположены 1 n висящими лишь от комбинаторного строения K.

по одну сторону от плоскости ACE и тогда при вычислении объёма Мы не можем, конечно, дать здесь хотя бы краткое изложение ABCDE объёмы тетраэдров должны вычитаться, что соответствует доказательства основной теоремы, заметим лишь, что оно конструк корню V2 =0.

тивное и проводится методом индукции по числу вершин и по топо II. V2 =0,т.е.тетраэдрADCE вырождается в область на плоскости логическому роду многогранника.

ивершинаD расположена на плоскости ACE. Тогда объём многогран Базой индукции служит формула (1) для объёма тетраэдра. Алго ника ABCDE равен объёму тетраэдра ABCE (с точностьюдо ориента ритм построения многочлена (7) неоднозначен, т. е. на каждом шаге ции), и этот факт согласуется с решением уравнения (6):

построения есть выбор следующего шага, поэтому таких многочле 2 4 2 V4 2V1V2 +V1 =0 (V2 V1 )2 =0 V2 =V1 V = V1.

нов вида (7) можно построить, вообще говоря, очень много. По той же причине мы не можем сказать, чему равна наименьшая степень таких III. V1 =0, V2 =0. Оба тетраэдра ABCE и ADCE вырождены и весь многочленов (7).

многогранник ABCDE расположен на одной плоскости ACE (если тре Рассмотрим некоторые угольник ACE не вырождается в отрезок) и его объём поэтому равен нулю, что согласуется с получаемым в этом случае уравнением V4 =0.

Таким образом, мы видим, что во всех рассмотренных случаях ПРИМЕРЫ, объём многогранника ABCDE непременно является корнем соответ ствующего уравнения (6). Кроме того, заметим, что уравнение (6) иллюстрирующие утверждение основной теоремы о многочлене для всегда имеет не более, чем два корня V2 и есть такие значения длин объёма многогранников.

16 Первый пример Ч это, конечно, многочлен (1) для объёма тетра- Оно имеет восемь корней: 69 696, 17 424, 7744, 1936, 576, 144, эдра. Он имеет два корня, соответствующие двум разным выборам и 16, которые соответствуют 16 объёмам (со знаком ) восьмиреально ориентации тетраэдра. Это уравнение содержит 23 монома (слагае- существующих октаэдров с указанными длинами рёбер (рис. 21).

мых): один моном от V и 22 монома от длин рёбер.

z z z z Второй пример даётся биквадратным уравнением (6), содержа N N N N щим уже около тысячи мономов.

Следующий по сложности многогранник Ч это октаэдр, имею щий шесть вершин (случай другого многогранника с шестью вер шинами, рис. 20, читателю не составит труда разобрать самостоя- y y y y C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C A A D A A D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D тельно Ч должен получиться многочлен степени 8;

рекомендуем убе B B B C B C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D диться, что все четыре корня V2 действительно реализуются в ви D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D x C x x C x x C x x C x x C x x C x x C x x C x x C x x C x x C x x C x x C x x C x x C x x C x x C x x C x x C x x C x x C x x C x C x x C x x C x x C x x C x x C x x C x x C x x C x x C x x C x x C x x C x x C x x C C x x де объёмов четырёх разных многогранников). Многочлен для объёма x x тетраэдра, получаемый по методу доказательства основной теоремы, имеет степень 210 =1024. Его впервые нашла О. Павлова в 1991 году.

Впоследствии А. Астрелин и автор этой брошюры предложили новый способ построения многочлена, степень которого оказалась равной (фактически 8, так как в нём только чётные степени объёма).

S S S S Как пример приведём многочлен для объёма октаэдра, длины w=69 696 w=17 424 w=7744 w= рёбер которого заданы соотношениями z z z z AB2 =CD2 =a, BC2 =DA2 =b, NB2 = SD2 =c, S S S S ND2 = SB2 =d, NA2 = SC2 =e, NC2 = SA2 =f N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N (см. рис. 15), тогда уравнение для объёма прини мает следующий вид:

w8 4(ab(c + d + e + f a b)+cd(a + b + e + f c d)+ y y y y C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C +ef(a+b+c+d e f) eac fad fbc ebd)w7 = A A A A Рис. B B B B C D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D (где w=36V2). Корень w=0 соответствует октаэдру D D x x C C рис. 15, б, ненулевой корень Ч октаэдру рис. 15, а. x x Для октаэдра общего вида (т. е. с 12 разными буквенными зна w=576 w=144 w=64 w= чениями длин рёбер) многочлен минимальной степени содержит уже Рис. много миллионов слагаемых, и поэтому выписать его, конечно, прак тически невозможно. Но при помощи компьютера с ним вполне удаёт Строятся они так: первый октаэдр имеет вершины A( 4, 0, 0), ся работать. Вы вводите конкретные численные значения длин рёбер, B(0, 3, 0), C(2, 0, 0), D(0, 1, 0), N(0, 0, 5), S(0, 0, 6), а остальные и компьютер выдаёт искомый многочлен с численными значениями получаются поочерёдными зеркальными отражениями относительно коэффициентов.

плоскостей координат (всего 23 =8 комбинаций, включая начальное Вот пример такого вычисления (проведённого С. Михалёвым):

положение). Следовательно, для октаэдров минимально возможная пусть длины рёбер октаэдра заданы равенствами NA2 =41, NB2 =34, степень многочлена Q(V) равна 16, так как ни один многочлен сте NC2 =29, ND2 =26, SA2 =52, SB2 =45, SC2 =40, SD2 =37, AB2 =25, пени меньшей 16 не может иметь в качестве своих корней все эти BC2 =13, CD2 =5, DA2 =17 (рис. 21) Тогда получаем следующее урав 16 значений.

нение для объёма (w=36V2):

w8 97600w7 +2150278656w6 14733233766400w5 + +28949731124248576w4 16429559369328230400w3 + Основная теорема открывает совершенно новые возможности +2673932358387945701376w2 135342229652751620505600w+ для работы с многогранниками. Прежде всего, не имея даже самого +1546362629160356875862016 =0. многогранника, а зная только его натуральнуюразвёртку (развёртка 18 называется натуральной, если все треугольники развёртки и только случае Ч неизгибаемым. Движения многогранника в пространстве они суть будущие грани многогранника), можно составить уравне- как твёрдого тела не являются его изгибаниями, так как при таком ние Q(V)=0 (см. формулу (7)) для объёма и ещё д о п о с т р о е н и я движении ни один двугранный угол не изменяется. Поэтому такие многогранника сказать, что значение его объёма должно быть среди движения иногда называют тривиальными изгибаниями, а те де корней этого уравнения. Получается, что мы ещё не построили мно- формации, о которых шла речь в определении изгибаний, называ гогранник по его развёртке, а уже знаем возможные значения его ют нетривиальными изгибаниями. Очевидно, требование изменения объёма! Более того, если окажется, что для выписанного уравнения в ходе нетривиального изгибания хотя бы одного двугранного угла все его корни V2 Ч отрицательные или комплексные числа, значит, можно заменить требованием изменения хотя бы одной диагонали из такой развёртки нельзя склеить ни одного многогранника*). многогранника.

Далее, можно вывести уравнения, позволяющие в общем слу- З а м е ч а н и е. Возможность простого перемещения многогран чае определять двугранные углы между склеиваемыми гранями. Воз- ника в пространстве как твёрдого тела, т. е. без изменения его дву можных значений этих углов оказывается конечное число;

построе- гранных углов, используется для фиксации положения каких-либо ние многогранника по его граням на каждом шаге сводится к правиль- лэлементов многогранника в ходе его изгибания. Делается это так:

ному выбору угла между склеиваемыми гранями, и поэтому путём к деформации нетривиального изгибания многогранника добавляют хотя бы перебора вариантов либо удастся склеить многогранник, ли- движение, подобранное так, чтобы рассматриваемый элемент вернул бо будет доказана невозможность этого. Таким образом, открывается ся в исходное положение. Пусть, например, требуется, чтобы данная путь алгоритмического решения задачи о построении многогранника треугольная грань ABC была неподвижна. Если после деформации по его натуральной развёртке. изгибания грань лушла из своего исходного положения, то сначала Все эти действия по аналогии с известным термином решение параллельным переносом вернём, скажем, точку A из нового в старое треугольников логично назвать решением многогранников. Но её положение, затем вращением вокруг точки A приведём в совпаде соответствующие вычисления настолько большие, что мощности пер- ние с прежними положениями вершины B и C.

сональных компьютеров пока не хватает даже для того, чтобы найти Простейший пример изгибания многогранника Ч открывание многочлен (7) для объёма многогранника Штеффена (этот многран- или закрывание книги с твёрдой обложкой (многогранник может ник имеет девять вершин, рис. Ц16ЧЦ18, см. также с. 29). Тем не ме- иметь край). Примеры посложнее: трёхгранный угол неизгибаем, нее важно, что задачи метрической геометрии многогранников те- а n-гранный угол при n 3 изгибаем. Если многогранник ещё слож перь становятся в принципе конечно-вычислимыми по крайней мере нее, а особенно если он замкнутый, т. е. не имеет края, исследование в том же смысле, в каком шахматы являются конечной игрой. его изгибаемости Ч сложная задача, так как изгибания всех много Но пожалуй самым лакомым следствием является возмож- гранных углов должны быть согласованы между собой.

ность применения основной теоремы для решения проблемы куз- Первый значительный результат в теории изгибаний много нечных мехов, появившейся в теории изгибаний многогранников. гранников получил в 1813 году О. Коши, чья знаменитая теорема утверждает, что любой выпуклый многогранник неизгибаем. Вопрос о том, бывают ли замкнутые многогранники изгибаемыми, долгое ИЗГИБАНИЯ МНОГОГРАННИКОВ время оставался открытым. Лишь в 1897 году бельгийский инженер Ч это непрерывные деформации, при которых изменяется хотя бы Р. Брикар доказал, что существуют один из двугранных углов при рёбрах, но грани остаются равными исходным. Иначе говоря, в теории изгибаний грани многогранни ИЗГИБАЕМЫЕ ОКТАЭДРЫ, ков рассматриваются как абсолютно твёрдые пластины, способные вращаться вокруг рёбер и вершин. Если многогранник допускает и дал их полнуюклассификацию Оказалось, что все изгибаемые ок.

деформацию такого вида, он называется изгибаемым, в противном таэдры можно разбить на т р и типа. Сейчас мы опишем первые два, а так же их непрерывные деформации в пространстве с сохранением *) Критерий того, можно ли склеить из данной (не обязательно натуральной) раз вёртки многогранник, даёт также теорема А. Д. Александрова. См. брошюру Н. П. Дол- длин рёбер.

билина Жемчужины теории многогранников, М.: МЦНМО, 2000 (вып. 5 серии Сначала сформулируем две леммы (простые доказательства ко Библиотека ДМатематическое просвещениеУ). Правда, если дана развёртка и для торых оставляем читателю).

неё выполняются условия теоремы Александрова, т. е. из развёртки можно склеить Лемма 1. Пусть в пространстве дан четырёхугольник ABCD многогранник, то эта теорема не даёт никаких сведений о том, как будет выглядеть склеенный многогранник (известно только, что он будет выпуклым). Ч Прим. ред. с равными противоположными сторонами AB=CD, AD=BC. Тогда 20 у этого четырёхугольника есть ось симметрии, проходящая через теперь точку S, симметричную N относительно прямой l, и повто середины диагоналей AC и BD, а в частном случае, когда четырёх- рим построения четырёхгранного угла с вершиной в S и основани угольник является параллелограммом, ось симметрии проходит ем ABCD. Объединение, или склеивание двух четырёхгранных углов через точку пересечения диагоналей перпендикулярно плоскости NABCD и SABCD по их общему краю ABCD даст замкнутый много параллелограмма. гранник (рис. Ц1ЧЦ3;

эти рисунки сделаны для октаэдра, постро Лемма 2. Пусть в пространстве дан четырёхугольник ABCD с по- енного на базе четырёхугольника из рис. 22, а), так как после такой парно равными сторонами AB=AD, CB=CD. Тогда этот четырёх- операции край ABCD исчезает. Вместе с тем этот многогранник бу угольник имеет плоскость симметрии, проходящую через диаго- дет изгибаемым, так как изгибания новой его части SABCD можно наль AC перпендикулярно диагонали BD. взять просто как симметричные относительно прямой l повторения Эти леммы позволяют нам описать изгибаемые октаэдры Брикара изгибаний части NABCD (заметим, что положение прямой l в ходе первого и второго типа. Рассмотрим четырёхзвенный механизм ABCD изгибания изменяется, но она всегда остаётся осьюсимметрии четы (т. е. четыре стержня, соединённые шарнирами и имеющие возмож- рёхугольника ABCD в ходе его изгибания;

покажите, используя за ность вращаться вокруг них) и удовлетворяющий условиям леммы 1. мечание на стр. 21, что прямую l всегда можно считать направленной Пусть l Ч его ось симметрии. Пусть N Ч произвольная точка про- вдоль фиксированной оси z).

странства, отличная от A, B, C, D и не лежащая на оси l (рис. 22, а Многогранник NABCDS имеет 6 вершин, 8 треугольных граней и б изображают два разных вида четырёхугольника ABCD, даю щих и 12 рёбер, для длин которых выполнены равенства четырёхгранный угол NABCD без самопересечений и с самопересече AB=CD, BC=AD, NB=SD, NA=SC, ND=SB, NC=SA. (8) ниями, соответственно). Соединим N с вершинами четырёхзвенника ABCD и полученные проволочные треугольники NAB, NBC, NCD, Комбинаторно эти рёбра и грани соединены как рёбра и грани обычно NDA заклеим плоскими треугольниками (эта операция образно назы- го правильного октаэдра (см. рис. 15, а), поэтому NABCDS тоже мож вается лобшивкой каркаса гранями). Получится четырёхгранный но назвать октаэдром, только расположение его вершин в простран угол с известными длинами рёбер. Этот четырёхгранный угол при стве отличается от расположения вершин выпуклого октаэдра, и по фиксированных длинах рёбер может изгибаться, причём его нетри- этому из рис. Ц1 трудно сразу увидеть, что мы имеем дело с другими, виальные изгибания определяются изменяющимся значением одного непривычными нам реализациями в пространстве модели октаэдра.

параметра Ч угла a=ABC. Действительно, угол a определяет поло- На самом деле эти реализации октаэдра физически построить нельзя, так как в них есть пересекающиеся грани. Например, на рис. 22, б уже а) N N б) четырёхгранник NABCD имеет пересекающиеся грани NAB и NCD, l l а на рис. Ц2 каждый из четырёхгранных углов NABCD и SABCD не имеет самопересечений, но в их объединении грань SBC пересека ется с гранями NAB и NAD, аграньNDC пересекается с гранью SDC.

D D Заметим следующее свойство построенных октаэдров: если взять p p C B любые две вершины, не соединённые между собой ребром, то из ра A A B C венств (8) видно, что оставшиеся четыре вершины образуют четырёх угольник (называемый экватором октаэдра) с равными противопо Рис. ложными сторонами. Тем самым по лемме 1 каждый экватор имеет ось симметрии, но на самом деле все эти оси совпадают, и поэтому жение треугольника ABC на плоскости p, а знание расстояний от трёх в проведённом построении все экваторы равноправны.

точек A, B, C до N определяет положение N однозначно (на самом де- Описанный выше октаэдр относится к первому типу изгибаемых ле точка N может иметь два положения, симметричных относительно октаэдров Брикара. Второй тип октаэдров Брикара получается на плоскости p, но мы рассматриваем только непрерывные изме- основании леммы 2 аналогично октаэдрам первого типа. Возьмём че нения исходного положения точки N), а знание положения точек A, тырёхугольник ABCD, удовлетворяющий условиям леммы 2. У него B, N и расстояний от них до D однозначно определяет непрерывные есть плоскость симметрии p. Возьмёмлю бую точку N, не лежащую изменения положения точки D. на плоскости p и отличнуюот вершин четырёхугольника ABCD. Со Итак, четырёхгранник NABCD изгибается, но он являтся мно- единив N с точкамиA, B, C и D и заклеив проволочные треуголь гогранником с краем, его край Ч четырёхугольник ABCD. Возьмём ники плоскими, получаем изгибаемый четырёхгранный угол NABCD 22 скраемABCD. ПустьS Ч точка, симметричная N относительно плос- как-то перемещаются, и они автоматически определяют движения кости p. Построим четырёхгранный угол SABCD, и он вместе с че- боковых граней построенных тетраэдров.

тырёхгранным углом NABCD даст второй тип изгибаемых октаэдров Брикара, которые тоже имеют самопересечения. У построенного ок D таэдра имеем следующие равенства длин рёбер:

S S S S S S S S S S S S S S S S C S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S AB=AD, CB=CD, ND=SB, NB=SD, NA=SA, NC=SC. (9) A D D D D D D D D D D D D D D B D D D B D B D D B D D B D B D B D B D B D B В отличие от октаэдров первого типа, в данном случае не все экваторы D B D B D B D B D B D B D B D B D B D B B B B B B B B B B B B B B B B B B C равноправны. А именно, у экватора NBSD равны противоположные стороны, поэтому он имеет ось симметрии, а у экватора NASC есть N равные пары прилегающих сторон, поэтому он имеет плоскость сим A B метрии, совпадающую, конечно, с плоскостью p.

Рис. 24 Рис. Существует ещё третий тип изгибаемых октаэдров, но их опи сание существенно сложнее (и к тому же для дальнейшего они нам не понадобятся). Ещё более сложно доказать, что эти три типа исчер Крышка и дно склеены между собой по сторонам прямо пывают все изгибаемые октаэдры.

угольника ABCD, и они вместе образуют замкнутый изгибаемый мно Используем теперь изгибаемые октаэдры Брикара, чтобы по гогранник Q, состоящий из 24 боковых граней 8 тетраэдров. В от строить дельности на крышке и дне по построениюсамопересечений нет.

Боковые грани и рёбра тетраэдров крышки и дна располагаются по разные стороны от общей плоско ИЗГИБАЕМЫЕ МНОГОГРАННИКИ КОННЕЛЛИ, сти их оснований, поэтому они тоже которые уже не имеют самопересечений (т. е. являются вложенными не пересекаются. Но рёбра на осно в пространство). Основная идея Ч попытаться построить изгибае- вании тетраэдров остались те же, что D мый многогранник, устранив самопересечения в октаэдрах Брикара. были в прямоугольнике на рис. 23.

Рассмотрим изгибаемый октаэдр Брикара первого типа, у которо- Видно, что есть всего две точки само a a a a a a C a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a го грани дважды покрывают прямоуголь- пересечения Ч точки a и b. Наша за S N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N D C ник ABCD (рис. 23);

L Чточка пересече- дача Ч убрать эти самопересечения.

A ния диагоналей прямоугольника, через B В многограннике Q самопересе a которуюперпендикулярно к плоскости чер- чение выглядит как на рис. 26, т. е.

N L S L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L тежа проходит ось симметрии l четырёх- фактически оно является самокаса b звенника ABCD. Сначаласведёмкминиму- нием: в точке a касаются рёбра двух Рис. му возможные самопересечения. Для этого двугранных углов. Коннелли сумел A B в четырёхгранном угле NABCD заменим изменить один двугранный угол в окрестности точки a так, чтобы Рис. каждую грань тремя боковыми гранями исчезло самокасание, а новые элементы конструкции изгибались со тетраэдров, обращённых вершинами вверх, оставив рёбра основания гласованно с изгибанием изменённого двугранно на своём месте в прямоугольнике, причём выберем расположения го угла, состоящим в непрерывном изменении рас всех 12 граней так, чтобы они между собой не пересекались (для твора двугранного угла.

чего достаточно, чтобы вершины тетраэдров проектировались внутрь Для этого рассмотрим октаэдр Брикара второ- O(a) D B треугольников, которые они заменяют). Получим многогранник, го типа, построенный, однако, иначе, чем это де a составленный из четырёх тетраэдров без основания, как на рис. 24, лалось выше, а именно, исходя из наличия у него и назовём этот многогранник крышкой. экватора с осьюсимметрии, как это было замечено A C Аналогичным образом заменим грани четырёхгранного угла выше. Пусть дан самопересекающийся плоский Рис. SABCD тетраэдрами вершинами вниз и получим дно будущего четырёхзвенный механизм ABCD с равными про многогранника (рис. 25). тивоположными сторонами AB=CD, BC=AD (рис. 27). Легко пока При изгибании четырёхгранных углов NABCD и SABCD их рёбра зать, что вершины этого четырёхугольника являются вершинами 24 R ( a ) равнобочной трапеции, поэтому вокруг ABCD можно описать окруж- может быть выбрано так, чтобы точка a оказалась на отрезке DC, ность. Центр O и радиус R окружности зависят от a=ABC. Четы- не попадая, однако, на ребро AB, т. е. чтобы изменённый верхний рёхзвенник ABCD может изменять своюформу с сохранением длин двугранный угол на рис. 26 не касался нижнего двугранного угла. Та своих сторон (т. е. он может изгибаться), оставаясь на плоскости и кое же построение можно провести и в окрестности точки b Чвторой имея сторону DC в неподвижном положении. При этом в новых поло- точки самокасания, причём размеры встроенного многогранника P жениях вершины четырёхугольника по-прежнему будут вершинами можно подобрать так, чтобы в пределах некоторого изменения рас равнобочной трапеции и новое положение центра O(a) описанной ок- твора двугранного угла не появились новые самопересечения. Таким ружности и её радиус R(a) при изгибании четырёхугольника ABCD на образом получится изгибаемый многогранник без самопересечений плоскости изменяются непрерывно вместе с a. Возьмём теперь над и с 26вершинами.

под точкой O(a) дветочкиN и S на одинаковом расстоянии h(a) отO(a) Легко видеть, что эту конструкциюможно сразу же упростить, (можно и на разных расстояниях, с соответствующими изменениями а именно, в исходном дважды покрытом прямоугольнике можно оста в дальнейших рассуждениях), таком, чтобы R2(a)+h2(a)=d2 =const вить на месте грани AND и BSC (см. рис. 23), не заменяя их тетраэдра исоединимN(a) иS(a) отрезками длины d сточкамиA(a), B(a), C и D ми, тогда получится изгибаемый многогранник с 24 вершинами. Его (рис. Ц3ЧЦ5). После лобшивки каркаса плоскими треугольника- развёртку с подходящими размерами треугольников можно найти ми получится октаэдр P, у которого есть в журнале Квант, № 7 за 1979 год, а на рис. Ц10ЧЦ12 изображе N плоскость симметрии, проходящая через ны различные положения этого многогранника в ходе его изгибания.

точки N и S перпендикулярно прямой Существенное упрощение получается, D C AC, т. е. мы получили октаэдр Брикара если в исходном октаэдре Брикара доба второго типа. Его изгибания определяются влять тетраэдры так, чтобы была необхо изгибаниями плоского четырёхзвенного димость использовать зарубку Коннелли D S B A A A A A A A A механизма ABCD. Удалимиз P две грани, только один раз, как это предложили П. Де A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C N C C C C C C дающие самопересечения: NDC и SDC. линь и Н. Кёйпер. Делается это так. Отправ Останется многогранник P с краем, изо- ным положением будет изгибаемый октаэдр S A B бражённый на рис. 28. Хотя ребра CD Брикара первого типа, изображённый на Рис. и нет, в ходе изгибания многогранника P рис. 29. На нём вершины A и C лежат на Рис. как части P расстояние CD остаётся посто- горизонтальной плоскости (условно с коор- D янным, так как оно равно длине ребра CD в октадре P. Приэтомже динатой z=0), вершины B и D подняты на S S S S S S S S S S S S S S S S C S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S изгибании расстояние NS, равное2h(a), изменяется, поэтому изменя- высоту e 0, а вершины N и S Чнавысоту ется угол между плоскостями удалённых граней NDC и SDC, причём d e и всё это проектируется ортогонально точки D и C при этом можно считать остающимися на месте. Ис- на прямоугольник рис. 23 (где L по-преж A пользуем это обстоятельство для того, чтобы изменить двугранный нему обозначает точку пересечения этого B угол на рис. 26, вставив туда соответствующим образом подобранный прямоугольника с вертикально располо S многогранник P, который для краткости и большей ясности будем женной осьюсимметрии рассматриваемого Рис. называть зарубкой Коннелли. Пусть T Ч биссекторная плоскость, октаэдра). В новом положении ребро AS скажем, верхнего двугранного угла на рис. 26. Расположим четырёх- проходит под ребром N B, ребро N C Чпод звенник ABCD на плоскости T так, чтобы отрезок DC шёл по ребру ребром S D, так что прежних точек самопересечения нет, но есть но двугранного угла, отрезки ND и NC были на одной полуплоскости, вые пересечения граней. Построим теперь дно следующим образом:

а DS и CS были на другой полуплоскости двугранного угла (рис. Ц7Ч в исходном четырёхгранном угле S AB CD с вершиной S заменим Ц9). Части ND и NC, SD и SC края многогранника P Ч зарубки Кон- грань S CD тетраэдром вершиной вниз (рис. 30). Краем построенного нелли Ч прилегают к соответствующим частям граней двугранного многогранника является четырёхугольник AB CD, но теперь есть угла. Изменение величины b двугранного угла приводит к изгибанию ляма в виде тетраэдра S0S CD. Далее строим крышу так. Над многогранника P, согласованному с движением граней двугранного фигурой рис. 31 возьмём две точки T и K и построим неполные угла, в который он был встроен (т. е. рёбра ND и NC, SD и SC края пирамиды с гранями N D T и D CT, N B K и B CK. Получится много многогранника P не изменяют свою длину и остаются на гранях дву- гранник без самопересечений и с двумя четырёхугольными краями гранного угла). Расположение точек D и C на ребре двугранного угла AB CD и N KCT (рис. 32). Он пересекается с построенным ранее 26 дном только вдоль контура AB CD и после склеивания крышки ИЗГИБАЕМЫЙ МНОГОГРАННИК ШТЕФФЕНА, с дном вдоль этого контура получится многогранник (обозначим имеющий всего 9 вершин и 14 граней. Этот многогранник был найден его Г) без самопересечений и с одним четырёхугольным краем N KCT.

в 1978 г. немецким математиком Клаусом Штеффеном. Опишем его Многогранник Г изгибается, причём его строение и объясним, почему он изгибается.

D исходные вершины просто повторяют те Возьмём зарубку Коннелли, изображённую на рис. 34. Она C движения, которые были у начального из представляет собой октаэдр Брикара второго типа с удалёнными гибаемого октаэдра Брикара первого типа N гранями CDS и CDN. Её нетривиальные изги на рис. 29, поэтому, в частности, расстоя z бания можно представить как вращение вер A N ние N C остаётся постоянным, так как оно x шины N вокруг неподвижной прямой DC, при B соответствует длине ребра N C исходного неподвижных отрезках SD и SC (так как рассто B C Рис. 31 октаэдра. Теперь подберём зарубку Кон яние DC постоянно как длина удалённого ребра нелли так, чтобы её добавлением закрыть T изгибаемого октаэдра, три точки S, D, C можно D отверстие с краем N KCT. Для этого вы считать неподвижными). При вращении N вер берем положения точек T и K с условием D C шины A и B перемещаются соответственным A K K K K K K K K K K K K TC=TN =KN =KC, что вполне возможно.

K K K K K K K K K K K K K K K K K K K N N N N N N N N N N K N N K N N K N N K N N K N N N K N N N N N N N N N N N N N N N N образом. Для данного рисунка если N уходит Возьмём зарубку Коннелли как на рис. 28, влево (вправо), то A смещается вниз (вверх), A но с изменёнными в соответствии с рис. S B уходит вверх (вниз), но вообще направле обозначениями вершин и со сторонами B Рис. ния их движений зависят от конкретных длин TN = TP = TQ = TC = KN = KC = KP = KQ.

Рис. рёбер. Рассмотрим движения точки N более Можем считать, что изгибания многогран подробно, для чего введём следующую систему координат: направим ника Г происходят с сохранением плоскости трёх вершин N, K, T, ось Ox вдоль прямой DC,отD к C,плоскостьSDC примем за плоскость иточкиK и T перемещаются по фиксированной прямой KT так, что xOz, направив ось Oz вверх, начало ко середина отрезка KT остаётся непо N T ординат поместим в середине отрезка движной. Этими условиями движе- P N DC (см. рис. 34). Пусть длина ребра DC ния точек K, T, N и C, а значит, равна 2a, длина SD=SC=b a. Тогда D, и остальных вершин многогранника Г C B C, S имеют, соответственно, координа определены однозначно. При этих же K K K K K K K K K K K K K K K K C K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K B N ты ( a, 0, 0), (a, 0, 0), (0, 0, b2 a2).

условиях изгибания зарубки Коннел- Точка N вращается вокруг оси Ox, на ли тоже определяются однозначно, A постоянном расстоянии d от D и C. Тогда поэтому движения её вершин K, T, Q её координаты суть N и C будут теми же самыми, что D Рис. A и у соответствующих вершин много d2 d (0, a2 sin f, a2 cos f). (10) гранника Г. Это значит, что когда мы склеим край N KCT зарубки Коннелли с таким же краем многогранника Г, изгибания Г и заруб- Возьмём теперь второй экземпляр S ки будут согласованными. Остаётся позаботиться, чтобы зарубка той же самой зарубки Коннелли, иден поместилась в ляму, пересекаясь с многогранником Г только по Рис. 35 тичный рассмотренному. Расположим их общему краю, для чего нужно выбрать то положение плоскости их сначала с полным совпадением. Если механизма PQCN, когдаточкаQ окажется внутри тетраэдра S0D S C, затем в первой зарубке точку N повернём влево, а во второй Ч аточкаP Ч выше треугольника AS D, и тогда получится изгибаемый вправо, то точки D, C, S останутся на месте, а точки N, A, B разойдут многогранник без самопересечений, имеющий 11 вершин и 18 гра- ся, приняв соответственно новые положения N1, A1, B1 и N2, A2, B2.

ней (на рис. Ц13ЧЦ15 изображены три его положения в процессе Зафиксируем некоторые положения точек N1 и N2, симметричные изгибания). относительно неподвижной плоскости DSC и склеим (отождествим) Оба построенных выше изгибаемых многогранника трудны для в этом положении рёбра SD и SC из первой зарубки с такими же моделирования, так как имеют довольно сложное строение, но ока- рёбрами из второй зарубки. Получится многогранник M, изо зывается, существует бражённый на рис. 35 и имеющий край N1DN2C. Далее вершины 28 d N1 и N2 можно вращать согласованно так, чтобы расстояние N1N2 Для этого обратимся к формуле (10). Пусть N1 =(0, a2 sin f0, оставалось постоянным. Следовательно, отрезок N1N2 тогда можно d2 a2 cos 0, N2 =(0, d2 a2 sin d2 a2 cos ипусть f0), f0 f0, f0) принять за ребро и если мы закроем отверстие с краем N1DN2C начиная с этого положения угол поворота для N1 равен f0 +e, адляN двумя треугольниками N1DN2 и N1CN2, то полученный многогран угол пусть равен f0 +e. Тогда квадрат расстояния между точками N ник будет замкнутым, причём при соответственно подобранных и N2 равен размерах сторон и положениях вершин N1 и N2 он будет без само 2(d2 a2)(cos2 e sin2 f0 +sin2 e sin2 f0)=2(d2 a2) sin2 f0, пересечений. Этот изгибаемый многогранник имеет всего 9 вершин и 14 граней (на рис. Ц16ЧЦ18 изображены три его положения в ходе т. е. является постоянным относительно e, что и требовалось по изгибания). При подборе нужных длин рёбер возникают трудности: казать.

если многогранные углы при вершинах A и B сделать слишком Сразу же после построения этих примеров было замечено, что лутопленными (или, по-другому, слишком пузатыми), то при при изгибании объёмы изгибаемых многогранников разведении вершин N1 и N2 грани при A1 и B1 будут пересекаться о с т а ют с я п о с т о я н н ы м и. Для многогранника Штеффена это с гранями при A2 и B2;

если же сделать эти многогранные углы утверждение представляется довольно очевидным ввиду полной сим слишком выступающими (или, по-другому, слишком лострыми), метрии движений: грани одной половины то они будут пересекаться с крышей многогранника, состоящей многогранника движутся так, что движения из треугольников N1DN2 и N1CN2. Хороший набор длин указан граней другой его половины восполняют на развёртке рис. 36. На ней сплошные линии соответствуют рёбрам, изменяемый при этом объём. Для более убе дительного доказательства воспользуемся S S тем фактом, что обобщённый объём изгибае мых октаэдров Брикара равен нулю(примем b b это без доказательства). Изменим многогран b D D b a a ник Штеффена следующим образом. Добавим a a c c две грани DCN1 и DCN2 исихпомощьюобра C C A1 A c c D зуем многогранник R, составленный из двух c c B1 d d B2 октаэдров Брикара (без грани SDC). Комби наторно это представляется так: у двух мно c b b c b b C C a a гогранников убрали две конгруентные тре a a угольные грани и склеили их вдоль двух оди e наковых границ образовавшихся отверстий N1 N (рис. 37);

в нашем случае убираемой (исчез a a нувшей) гранью является грань SCD. Обоб щённый объём многогранника R равен нулю, как сумма двух нулевых объёмов. Остав C шаяся часть многогранника Штеффена вме Рис. 36. При размерах (в см) a=9, b=7,5, c=3,75, d=8,25, e=12,75 развёртку можно сте с добавленными гранями образует новый поместить на одном листе бумаги формата A4. Но для большей наглядности модели тетраэдр с вершинами N1, D, C, N2. Следо рекомендуем сделать модель из плотного картона и с размерами a=12, b=10, c=5, вательно, объём многогранника Штеффена d=11, e=17.

в любом его положении в процессе изгиба которые в склееном многограннике расположены как хребты, т. е. ния равен объёму тетраэдра с постоянными определяемые ими двугранные углы в многограннике обращены длинами рёбер, т. е. в ходе изгибания он ребром наружу, к наблюдателю;

а пунктирные линии соответствуют не изменяется.

Рис. рёбрам, которые в многограннике расположены во впадине, т. е. Что касается объёмов изгибаемых много двугранные углы при них обращены ребром внутрь многогранника. гранников из первых двух примеров, то по Нам осталось обосновать, что для многогранника M возмож- стоянство их объёма тоже можно доказать, или применяя указанный ны изгибания, при которых расстояние N1N2 остаётся постоянным. выше факт о равенстве нулюобобщённого объёма любого октаэдра 30 Брикара или проводя довольно длинные вычисления. Но этого де- БИБЛИОТЕКА лать фактически не нужно, так как мы сейчас докажем, что спра- МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ПРОСВЕЩЕНИЕ ведлива ВЫПУСК 1 ВЫПУСК В. М. Т и х о м и р о в. Великие Э. Б. В и н б е р г. Симметрия ГИПОТЕЗА КУЗНЕЧНЫХ МЕХОВ.

математики прошлого и их вели- многочленов.

Факт неизменности объёма в построенных примерах изгибаемых мно кие теоремы.

ВЫПУСК гогранников естественно привёл к вопросу о справедливости этого В. Г. С у р д и н. Динамика звёзд свойства для любого изгибаемого многогранника. Коннелли назвал ВЫПУСК ных систем.

предположение о постоянстве объёма изгибаемого многогранника в А. А. Б о л и б р у х. Проблемы ходе его изгибания гипотезой кузнечных мехов. Происхождение Гильберта (100 лет спустя).

ВЫПУСК этого термина очень простое. Вспомним из физики закон БойляЧМа В. О. Б у г а е н к о. Уравнения ВЫПУСК риотта, который утверждает, что в газах произведение давления на Пелля.

объём постоянно, т. е. pV =const, где p Чдавление, V Ч объём газа. Д. В. Аносов. Взгляднамате ВЫПУСК Следовательно, если V =const, то и p=const, поэтому гипотезу куз- матику и нечто из неё.

В. И. А р н о л ь д. Цепные дроби.

нечных мехов по другому можно переформулировать так: м а т е м а ВЫПУСК тически идеальные кузнечные мехи нельзя сделать ВЫПУСК В. В. П р а с о л о в. Точки Брока в виде изгибаемого многогранника с отверстием В. М. Т и х о м и р о в. Дифферен ра и изогональное сопряжение.

н а г р а н и, так как из таких мехов воздух дуть не будет. Эта гипо циальное исчисление (теория и теза была сформулирована в 1977Ч78 гг. рядом авторов. Попытки её приложения).

ВЫПУСК опровержения путём построения контрпримеров не привели к успе Н. П. Д о л б и л и н. Жемчужи ху, наоборот, все новые примеры изгибаемых многогранников, кото- ВЫПУСК ны теории многогранников.

рые удалось построить, только подтвердили факт неизменности объ- В. А. С к в о р ц о в. Примеры ме ёма. Теперь ясно, что её и нельзя было опровергнуть. На самом деле, трических пространств.

ВЫПУСК основная теорема об объёме многогранника говорит, что для множе ВЫПУСК А. Б. С о с и н с к и й. Мыльные ства многогранников с данным комбинаторным строением и данным В. Г. С у р д и н. Пятая сила.

плёнки и случайные блуждания.

набором длин рёбер существует лишь конечное число возможных зна чений объёма Ч все они должны быть среди корней полиномиально ВЫПУСК ВЫПУСК го уравнения (7), которых, по известной теореме алгебры, не больше, А. В. Ж у к о в. О числе p.

И. М. П а р а м о н о в а. Сим чем степень полинома. А так как при изгибании происходит непре метрия в математике.

ВЫПУСК рывная деформация многогранника, то и объём должен быть непре А. Г. Мякишев. Элементы рывной функцией параметра деформации. А непрерывная функция, ВЫПУСК геометрии треугольника.

которая может принимать только конечное число значений, обязана В. В. О с т р и к, М. А. - ф а с м а н.

быть постоянной! Как видим, гипотеза кузнечных мехов, около 20 лет ВЫПУСК Алгебраическая геометрия считавшаяся одной из самых красивых и трудных задач метрической И. В. Я щ е н к о. Парадоксы и теория чисел: рациональные теории многогранников, оказалась простым следствием основной те теории множеств.

и эллиптические кривые.

оремы, являющейся обобщением формулы Герона на объёмы много ВЫПУСК гранников.

ВЫПУСК И. Х. С а б и т о в. Объёмы мно Б. П. Г е й д м а н. Площади мно гогранников.

гоугольников.

В заключение отметим, что эта теорема до сих пор не доказана ВЫПУСК для многогранников в многомерных пространствах. Это удивитель ВЫПУСК А. Л. С е м ё н о в. Математика но, так как в многомерных пространствах изгибаемость многогран А.Б.С о с и н с к и й. Узлы и косы. текстов.

ников и вообще поверхностей существенно более редкое явление чем в трёхмерном пространстве.

   Книги, научные публикации