Книги, научные публикации
Московская финансово-промышленная академия Мастяева И.Н.
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ И МОДЕЛИ В ЛОГИСТИКЕ Москва, 2004 УДК ББК М 519.8:330.46 65.40 327 Мастяева И.Н. Математические методы и модели в логистике / Московская финансово-промышленная академия.- М., 2004.- 59 с.
й Мастяева И.Н., 2004 й Московская финансово-промышленная академия, 2004 2 Содержание 1. Понятие логистики...................................................................................... 4 1.1. Определение............................................................................................. 4 1.2. Функциональные области (составные части) логистики..................... 4 1.3. Задачи и функции логистики.................................................................. 4 1.4. Факторы развития логистики................................................................. 5 1.5. Уровни развития логистики.................................................................... 5 2. Концепция логистики................................................................................. 7 2.1. Периоды развития концепции логистики.............................................. 7 2.2. Логистика как фактор повышения конкурентоспособности фирм..... 8 2.3. Основные требования логистики............................................................ 9 3.Транспортная логистика (ТЛ)................................................................... 11 3.1. Предмет и задачи транспортной логистики........................................ 11 3.2. Стандартная ТЗ и ее модификации...................................................... 11 3.2.1. Постановка транспортной задачи...................................................... 11 3.2.2. Методы составления первоначального опорного плана................. 14 3.2.3. Метод потенциалов............................................................................. 20 3.3. Многопродуктовая ТЗ с независимыми и взаимозаменяемыми поставками..................................................................................................... 23 3.4. Определение рациональных маршрутов и транзитная перевозка продукции...................................................................................................... 27 4. Логистика запасов (Управление запасами)............................................ 33 4.1. Концепция логистического подхода к управлению запасами........... 33 4.2. Виды запасов.......................................................................................... 35 4.3. Системы управления запасами и условия их применимости............ 36 4.4. Модели управления запасами (МУЗ)................................................... 37 4.4.1. Однопродуктовая статическая модель.............................................. 37 4.4.2. Однопродуктовая статическая модель с разрывами цен............ 45 4.4.3. Многопродуктовая статическая модель управления запасами с ограничениями на емкость склада............................................................... 50 4.4.4. Однопродуктовая динамическая модель управления запасами..... 54 Список литературы....................................................................................... 1. Понятие логистики 1.1. Определение Логистика- наука о планировании, организации, управлении, контроле и регулировании движения материальных и информационных потоков в пространстве и во времени от их первичного источника до конечного потребителя. Объектом изучения научной и учебной дисциплины логистика являются материальные и связанные с ними информационные и финансовые потоковые процессы. Накопленный опыт управления производством показывает, что традиционные возможности и способы повышения эффективности и совершенствования управления с целью оптимизации движения материальных и денежных потоков в значительной степени себя исчерпали и нужны новые формы и методы. Проведенные исследования показали, что в стоимости продукта, попавшего к конечному потребителю, более 70% составляют расходы на логистику, т.е. транспортировку, хранение, упаковку и прочее. 1.2. Функциональные области (составные части) логистики Логистическая наука и практика включает в себя закупочную (снабженческую) логистику, производственную логистику, маркетинговую (сбытовую, распределительную) логистику, транспортную логистику, логистику запасов, информационную (компьютерную) логистику и т.п. Отдельные составляющие логистики хорошо известны;
новизна логистического подхода заключается в интеграции всех областей деятельности с целью минимизации затрат времени и ресурсов путем оптимального сквозного управления материальными, информационными потоками. С точки зрения моделей и методов, применяемых в логистике, она является разделом прикладной математики. 1.3. Задачи и функции логистики В определениях логистики и как вида хозяйственной деятельности, и как науки видны несколько аспектов, составляющих её сущность и значимость: управленческий (логистика - управление, планирование, контроль);
экономический (совокупность видов деятельности с целью получения с наименьшими затратами Е). Логистика - последний рубеж экономики затрат. Задачи логистики:
- исследование и прогнозирование рынка, - планирование производства, - закупка сырья, материалов, оборудования, - контроль за запасами и т.д., говорят о том, что логистика представляет собой более широкую категорию, чем маркетинг, многие, из основных функций которого перешли к логистике. В соответствии с задачами логистики различают два вида ее функций: оперативные и координационные. 1.4. Факторы развития логистики - 70% конечной стоимости продукции - затраты на логистику;
- 93% времени движения товара затрачивается на логистические операции;
- научно-технический прогресс в производстве;
- н/т прогресс в средствах связи и информатике;
- переход от рынка продавца к рынку покупателя;
- теоретические разработки и их применение в практике. 1.5. Уровни развития логистики Логистические системы находятся на различных уровнях развития. Существуют 4 последовательных стадии развития, через которые должна пройти логистическая система: 1-й уровень. Область действия логистических систем (ЛС) охватывает только хранение готовой продукции и её транспортировку. 2-й уровень. ЛС охватывает управление потоком продукции от производства до конечного потребителя, те следующие логистические функции: обслуживание заказчика, хранение, управление запасами, планирование этой работы. На этом уровне уже присутствуют элементы компьютерной логистики. 3-й уровень. На этом уровне, единственное, что не контролируется менеджером по логистике - управление производством. ЛФ этого уровня: доставка сырья, прогнозирование сбыта, производственное планирование, закупка, управление запасами сырья и готовой продукции. 4-й уровень. Интеграция процессов планирования и контроля с маркетингом, сбытом, производством, финансами и т.д.
Домашнее задание 1 1.-Приведите различные определения понятия логистики и сравните их;
- Дайте определение материального потока, его видов и единиц измерения. 2.- Назовите функциональные области (составные части) логистики. - Дайте определение информационного потока, его видов и единиц измерения. 3.- Охарактеризуйте связь логистики и маркетинга. - Дайте определение логистической операции и их классификацию. 4.- Обоснуйте воздействие фактора перехода рынка продавца к рынку покупателя на развитие логистики. - Приведите классификацию логистических операций, дайте признаки классификаций. 5.- Перечислите факторы развития логистики. - Охарактеризуйте основные положения концепции логистики. 6.- Первый уровень (этап) развития логистики, его характерные черты, область действия логистической системы. Способы оценки эффективности ЛС первого уровня. - Дайте определение логистической функции. 7.- Второй уровень (этап) развития логистики, его характерные черты, область действия логистической системы. Способы оценки эффективности ЛС второго уровня. - Перечислите основные логистические функции (ЛФ) и их распределение в ЛС. 8.- Третий уровень (этап) развития логистики, его характерные черты, область действия логистической системы. Способы оценки эффективности ЛС третьего уровня. - Определение ЛС и ее отличительные признаки. 9.- Четвертый уровень (этап) развития логистики, его характерные черты, область действия логистической системы. Способы оценки эффективности ЛС четвертого уровня. - Определение макрологистической системы и ее элементов. 10.- В чем заключается отличие предшествующей стадии развития логистики от последующей. - Определение микрологистической системы и ее элементов.
2. Концепция логистики 2.1. Периоды развития концепции логистики В современной литературе выделяют три периода развития материалопроводящих систем (систем товародвижения материальной продукции): I. дологистический период;
II. период классической логистики;
III. период неологистики (логистики второго поколения). В первый период (до 50-х годов) отсутствует комплексное управление материальным потоком (МП), нет координации между транспортом и МТС. В то же время развитие, например, транспорта изменило его роль и отношение к нему в материалопроводящей системе. Встала задача оптимизации перевозок, в качестве критерия эффективности в транспортной задаче использовалась цена за перевозку транспортом общего пользования и затраты на перевозку собственным транспортом, что явилось фундаментом транспортной логистики (ТЛ). Во второй период, начавшийся в 60-е годы, на предприятиях, фирмах стали создаваться логистические системы. Новизна логистики вообще, и классической логистики в частности, заключается в следующих трех положениях, принципах: 1. смена приоритетов в хозяйственной практике фирм, где центральное место занимает управление материальным потоком;
2. комплексный подход к управлению МП, то есть согласование процессов, связанных с МП, производством, маркетингом и т.д.;
3. использование теории компромиссов в хозяйственной практике фирм. Применение этих принципов к управлению МП позволило осуществить интеграцию различных функций материалопроводящих систем, что дало возможность получить общий эффект управления, превосходящий сумму отдельных эффектов. В период классической логистики можно выделить три концептуальных подхода к созданию логистических систем, отличающихся сферой применения компромиссов и критериями эффективности. Общим для всех подходов к созданию ЛС является то, что компромиссы носили внутрилогистический характер, не затрагивающий собственно производственную деятельность фирм. При первом подходе область действия компромиссов - затраты на отдельные логистические операции (ЛО) одной фирмы, критерий - минимизация затрат. Характерный пример - увеличение затрат на транспортную логистику и сокращение их на логистику запасов и снабженченскую логистику. Во втором подходе затратный критерий, ограничивающий финансовые возможности, заменяется на критерий максимизации прибыли от ЛО, который учитывает и затраты, и спрос, и расширяет область использования компромиссов. В третьем подходе к формированию логистических систем критерием эффективности становится максимизация прибыли от логистических операций всех фирм - участниц, то есть акценты смещаются на межфирменные компромиссы в сфере логистики. Третий период, период неологистики, начавшийся в 80-е годы, характеризуется расширением сферы действия компромиссов, что привело к изменению концепции логистики. Суть нового подхода к формированию и управлению ЛС в комплексности, то есть логистическая система должна создаваться и управляться исходя из критерия максимизации эффективности работы всей системы. Одним из доводов в пользу развития межфункциональных компромиссов является взаимозависимость расходов на логистические, производственные и другие операции фирмы, т.к. попытка снизить издержки за счет одного элемента может привести к более высоким общим затратам. С середины 80-х годов наметился новый подход к развитию логистики. Его спецификация - в выходе ЛС за пределы экономической среды и учете социальных, политических и других аспектов;
критерий эффективности управления ЛС - соотношение выгод и затрат. Новый подход получил название Уконцепции общей ответственностиФ. 2.2. Логистика как фактор повышения конкурентоспособности фирм Постановка данного вопроса предполагает возможность количественного измерения последствий принимаемых в области логистики решений, т.е. затрат на логистику и логистики на доходы от продаж. В этой связи необходима выработка показателей, корректно отражающих связь логистики с основными экономическими показателями фирмы. Определить количественные параметры последствий логистических решений возможно при следующих условиях: 1. наличие учетно-информационной системы;
2. проведение комплексного анализа расходов всех структурных подразделений фирмы и всех участников логистической цепи (ЛЦ);
3. определение доли прибыли от логистической деятельности в общей прибыли фирмы. В литературе отмечается, что у фирм, использующих логистику и построивших стратегию на её основе, наблюдается значительное улучшение показателя, отражающего отношение прибыли к инвестированному капиталу (ПИК - прибыль на инвестированный капитал). При этом логистика влияет на уменьшение издержек и увеличение доли ком пании на рынке, причем первое очевидно, второе не очевидно и зависит от конкурентоспособного уровня обслуживания потребителей. Влияние логистики на инвестированный капитал осуществляется через основные элементы баланса фирмы. Существенное влияние на оборотный капитал логистика оказывает за счет сокращения сроков выполнения заказов, сокращения запасов сырья, полуфабрикатов, комплектующих и готовых изделий, интеграции управления закупками и производством. Логистика может оказывать существенное влияние на общую величину основного капитала фирмы и его соотношение с прибылью. Сегодня на многочисленных рынках товаров вероятность дифференцирования продукции по её свойствам или по качеству уменьшается, следовательно именно логистика становится все более важным конкурентным фактором. Конкурентное преимущество может возникать из способности фирмы посредством логистической деятельности добиваться:
- различий в сегментации рынка;
- изменений в экономическом окружении и рыночных требований;
- изменений собственных и чужих тактических маневров. Итак, логистическая деятельность фирмы ведет к увеличению прибыли, но вклад логистики в прибыль зависит от уровня обслуживания. Показано, что при достижении 90% уровня обслуживания и выше логистические издержки начинают опережать рост доходов от нее, а начиная с 98% эффект становится отрицательным. То есть цель современной логистики выходит за рамки сокращения издержек и увеличения прибыли. На данном этапе концепция конкурентоспособности фирмы заключается в получении преимущества за счет предложения дополнительных услуг и повышения качества. 2.3. Основные требования логистики Логистика способствует повышению эффективности работы фирмы при соблюдении следующих условий: 1. Поддержание связи логистики с корпоративной стратегией;
2. Совершенствование организации движения МП;
3. Поступление необходимой информации и современная технология ее обработки;
4. Эффективное управление трудовыми ресурсами;
5. Налаживание взаимосвязей с другими фирмами в области выработки стратегии;
6. Учет прибыли от логистики в системе финансовых показателей;
7. Определение оптимальных уровней логистического обслуживания с целью повышения рентабельности;
8. Тщательная разработка логистических операций. Общепризнано, что все аспекты логистических операций должны быть связаны со стратегическим планом корпорации или фирмы. Совершенствование организации движения МП требует такой организации логистических операций, при которой все ЛФ должны быть объединены под единым руководством специально подготовленных менеджеров по логистике. Задачами единого руководства логистическими операциями являются: взаимосвязь с другими фирмами, обеспечение необходимой информационной поддержки логистики, организация учета прибыли от логистики, определение уровней качества логистического обслуживания, тщательная разработка логистических операций. Домашнее задание 2 1. Назовите периоды развития концепции логистики, их суть и принципы. 2. Охарактеризуйте области компромиссов, характерные для периода классической логистики и применяемые критерии эффективности. 3. Охарактеризуйте области компромиссов, характерные для периода неологистики и применяемые критерии эффективности. 4. Сформулируйте принципиальную новизну логистического подхода к управлению МП. 5. Обоснуйте возможности повышения конкурентоспособности фирмы за счет логистики. 6. Обоснуйте связь логистики с основными экономическими показателями фирмы. 7. Перечислить способы влияния логистики на показатель ПИК. 8. Перечислите основные требования логистики. 9. Обоснуйте необходимость централизованного руководства всеми логистическими операциями и функциями. 10. Обоснуйте функциональную взаимосвязь логистики с маркетингом, финансами и производством.
3.Транспортная логистика (ТЛ) 3.1. Предмет и задачи транспортной логистики Значительная часть ЛО на пути движения МП от первичного источника сырья до конечного потребителя осуществляется с применением различных транспортных средств (ТС). Затраты на выполнение этих ЛО составляют до 50% от суммы общих затрат на логистику. Предметом ТЛ является комплекс задач, связанный с организацией перемещения грузов транспортом общего назначения. В условиях ТЛ необходим новый подход к транспорту, как составной части более крупной системы, т.е. логистической цепи. В области ТЛ ставятся и решаются следующие задачи: определение оптимального плана перевозок однородной продукции, многопродуктовые ТЗ с независимыми и взаимозаменяемыми поставками, задачи размещения с учетом транспортных и производственных затрат, определение рациональных маршрутов и транзитная перевозка продукции. Задачи ТЛ решаются во взаимной связи с другими задачами логистики, такими, как производственная логистика (ПС), складская логистика, логистика запасов, сбытовая логистика, информационная логистика, что отражает объективный процесс срастания транспорта с обслуживаемым производством и распределением, превращение его в звено единой ЛС - производство - транспорт - распределение. При решении задач, возникающих в ТЛ часто используется модель ТЗ и ее различные модификации. 3.2. Стандартная ТЗ и ее модификации Транспортная задача является одной из наиболее распространенных задач линейного программирования и находит широкое практическое приложение. 3.2.1. Постановка транспортной задачи Некоторый однородный продукт, сосредоточенный у m поставщиков Ai в количестве ai (i = 1..m) единиц соответственно, необходимо доставить n потребителям Bj в количестве bj ( j = 1..n) единиц. Известна стоимость cij перевозки единицы груза от i-го поставщика к j-му потребителю. Необходимо составить план перевозок, позволяющий вывести все грузы, полностью удовлетворить потребности и имеющий минимальную стоимость. Обозначим через xij количество единиц груза, запланированных к перевозке от i-го поставщика к j-му потребителю. Тогда стоимость перевозки составит cijxij. z= c x ij m n ij i =1 j = Стоимость всего плана перевозок выразится двойной суммой. Систему ограничений получаем из следующих условий задачи:
x =a ij n i, i =1..m j= а) все грузы должны быть перевезены, т.е. б) все потребности должны быть удовлетворены, т.е. Таким образом, математическая модель транспортной задачи имеет следующий вид:
i = x = b ij m j, j = 1..n z = c x ij m n ij (3.1) i =1 j = Найти минимальное значение линейной функции при ограничениях:
x =a ij n i, i = 1..m (3.2) j = Xij0, i = 1..m, j = 1..n В рассмотренной модели предполагается, что суммарные запасы равны суммарным потребностям, т.е.
i = m ai = b.
j n (3.5) j= Транспортная задача, в которой суммарные запасы и потребности совпадают, т.е. выполняется условие (3.5), называется закрытой моделью;
в противном случае - открытой. Для открытой модели может быть два случая:
i = m i m ai > b.
j n j = n i= a < b.
j j = )3.3( n..1 = j,j b = x ji m 1=i (3.4) а) Суммарные запасы превышают суммарные потребности;
б) Суммарные потребности превышают суммарные запасы. Линейная функция одинакова в обоих случаях, изменяется только вид системы ограничений.
z = c x ij m n ij i=1 j= Найти минимальное значение линейной функции. При ограничениях: (случай ла) x = a ij n i, i = 1..m i = 1..m j = x a ij n i, j = (случай б) i= m x b ij m j, j = 1..n, xij j = 1..n, xij i= x = b ij j, Открытая модель решается приведением к закрытой модели. В случае (а), когда суммарные запасы превышают суммарные потребности, вводится фиктивный потребитель Bn+1, потребность которого:
bn + 1 = a - b i m n j i = j= В случае (б), когда суммарные потребности превышают суммарные запасы, вводится фиктивный поставщик Am+1, запасы которого:
am + 1 = a bj j=1 i= n m i Как стоимость перевозки единицы груза до фиктивного потребителя (Cin+1, i=1,..,m), так и стоимость перевозки груза от фиктивного поставщика (Cm+1j, j=1,..,n) полагаются равными нулю, так как груз в обоих случаях не перевозится. Замечание. Однако возможна ситуация, когда эти стоимости не равны нулю. Например, если каждая недопоставленная единица продукции облагается штрафом. В этом случае транспортные расходы на единицу недопоставленной продукции (Cm+1j) равны штрафу за единицу не дополученной продукции. Если продукция имеется в избытке, то можно назначить штраф за хранение невывезенной продукции, приняв его за стоимость (Cin+1) перевозки к фиктивному потребителю. В том случае, когда поставщик (l) должен вывезти всю продукцию, то стоимость перевозки к фиктивному потребителю необходимо сделать очень высокой (Cln+1=M). Транспортная задача имеет n+m уравнений с mn неизвестными. Матрицу X=(xij)m,n, удовлетворяющую условиям (3.2)-(3.4), называют планом перевозок транспортной задачи. Определение. План X*, при котором целевая функция (3.1) обращается в минимум, называется оптимальным. Определение. План транспортной задачи называется опорным, если из его основных коммуникаций (ij;
Xij>0) невозможно составить замкнутый маршрут. Опорный план транспортной задачи содержит не более m+n-1 положительных перевозок. 3.2.2. Методы составления первоначального опорного плана 1. Метод Северо-западного угла используют для нахождения исходного опорного плана транспортной задачи. Схема метода: 1) Полагают верхний левый элемент матрицы X x11 = min(a1,b1). Возможны три случая: а) если a1 < b1, то x11 = a1, и всю первую строку начиная со второго элемента заполняют нулями. б) если a1 > b1, то x11 = b1, а все оставшиеся элементы первого столбца заполняют нулями. в) если a1 = b1, то x11 = a1 = b1, и все оставшиеся элементы первых столбца и строки заполняют нулями. На этом один шаг метода заканчивается. 2) Пусть уже проделано k шагов, (k+1)-й шаг состоит в следующем. Определяют верхний левый элемент незаполненной части матрицы X. Пусть это элемент (+ = + ).
где a(k) = a xj, и b(k) = b xi.
j=1 i= Тогда полагают x = min ((), ()), Если () < (), то заполняют нулями ю строку начиная с (+1)-го элемента. В противном случае заполняют нулями оставшуюся часть -го столбца.
2. Метод минимального элемента позволяет построить начальный опорный план транспортной задачи и является вариантом метода северозападного угла, учитывающим специфику матрицы C=(cij)m,n. Схема метода: элементы матрицы C нумеруют начиная от минимального в порядке возрастания, а затем в этом же порядке заполняют матрицу X0. Пусть элементом с минимальным порядковым номером оказался элемент xij0. Тогда полагают xij0 = min (ai,bj) Возможны три случая: а) если min (ai,bj) = ai, то оставшуюся часть i-й строки заполняют нулями. б) если min (ai,bj) = bj, то оставшуюся часть j-го столбца заполняют нулями. в) если ai = bj, то оставшуюся часть строки и столбца заполняют нулями. Далее этот процесс повторяют с незаполненной частью матрицы. Пусть элементом с k-м порядковым номером оказался xk). Тогда xk) = min (ak), bk)), где a ( k ) = a X (g), g = 1..k - j j= - b ( k ) = b X (u), u = 1..k - i i = - Возможны три случая: а) a(k) < b(k), тогда x(k) = a(k) и оставшуюся часть строки заполняют нулями;
б) a(k) < b(k), тогда xk) = bk) и оставшуюся часть столбца заполняют нулями;
в) a(k) < b(k), тогда оставшуюся часть строки и столбца заполняют нулями. Задача 3.2.1. Заводы фирмы-производителя стиральных машин расположены в А1, А2 и А3. Основные центры распределения продукции сосредоточены в В1 и В2. Объемы производства указанных трех заводов равняются 1000,1500 и 1200 стиральных машин ежеквартально. Величины квартального спроса в центрах распределения составляют 2300 и 1400 стиральных машин соответственно. Стоимость перевозки по железной дороге одной стиральной машины на один километр равняется примерно 8 копейкам. Расстояния в километрах между заводами и центрами распределения приведены в следующей таблице: А1 А2 А В1 1000 1250 В2 2690 1350 Расстояния можно перевести в стоимость перевозки одной стиральной машины (переводной коэффициент = 0,08 руб./км). В результате получается следующая таблица стоимостей (округленных до рубля), которая содержит коэффициенты Сij общей модели. А1 А2 А3 В1 80 100 102 В2 215 108 Обозначим количество стиральных машин, перевозимых из исходного пункта i в пункт назначения j, через Xij. Поскольку суммарный объем производства стиральных машин (1000 + 1500 + 1200 = 3700) равен суммарному спросу (2300 + 1400 = 3700), данная модель является сбалансированной транспортной моделью, и соответствующая задача линейного программирования с ограничениями в виде равенств формулируется следующим образом: минимизировать Z=80X11+215X12+100X21+108X22+102X31+68X32 при ограничениях X11+X12 =1000, X21+X22 =1500, X31+X32 =1200, X11 + X21 + X31 =2300, X12 +X22 + X32 =1400, Xij0 для всех i,j. Более компактный способ представления транспортной модели связан с использованием так называемой транспортной таблицы, имеющей вид матрицы, в которой строки соответствуют исходным пунктам, а столбцы - пунктам назначения. Коэффициенты стоимости Сij расположены в правом верхнем углу каждой ячейки (i,j). Модель фирмы можно представить в виде табл.3.2.1. В следующем подразделе будет показано, что специальный метод решения транспортной задачи, основанный на симплекс-методе, предполагает использование транспортных таблиц. Первоначальные опорные планы для транспортной задачи, представленной в табл.3.2.1, найденные методом Северо-западного угла и методом минимального элемента, совпадают и приведены в табл.3.2.2.
Таблица 3.2.1.
В1 А1 А2 А3 Спрос 80 X11 100 X21 102 X31 2300 В2 215 X12 108 X22 68 X31 1400 Объем производства 1000 1500 1200 Таблица 3.2.2.
В1 А1 А2 А3 Спрос 80 1000 100 1300 102 2300 В2 215 108 200 68 1200 1400 Объем производства 1000 1500 1200 Z(X) = 801000 + 1001300 + 108200 + 681200 = 313200 руб. Задача 3.2.2. Пусть теперь завод в А2 производит не 1500, а 1300 стиральных машин. Это приведет к дисбалансу, поскольку суммарный объем производства (3500) не равен суммарному спросу (3700). Другими словами, дисбаланс означает, что спрос в центрах распределения стиральных машин полностью удовлетворить не удается. В этом случае необходимо видоизменить транспортную модель таким образом, чтобы недостаток стиральных машин (3700 - 3500 = 200) оптимально распределялся между центрами, в которые поступают стиральные машины. Поскольку спрос превышает объем производства, можно ввести дополнительный фиктивный исходный пункт (завод) с производительностью в 200 стиральных машин. В обычных условиях завод может отправлять свою продукцию в любой центр распределения стиральных машин. Количество продукции, УотправляемойФ фиктивным заводом в пункт назначения, будет представлять собой объем недостающей продукции в этом пункте. Для завершения построения модели не хватает лишь информации о стоимости УперевозокФ с фиктивного завода в пункты назначения. Поскольку на самом деле такого завода не существует, никакие перевозки не осуществляются, и соответствующая стоимость перевозки единицы продукции равна нулю. Однако эту ситуацию можно рассмотреть и по другому, считая, что каждая единица недопоставленной в центры распределения продукции облагается штрафом. В этом случае транспортные расходы на единицу продукции равны штрафу за единицу продукции, недополученную в том или ином центре распределения. В табл.3.2.3. представлена сбалансированная модель с измененной производительностью завода в А2. Таблица 3.2. А1 А2 А3 Фиктивный завод В1 80 100 102 0 2300 В2 215 108 68 0 1400 1000 1500 1200 Фиктивный завод имеет производительность 200 стиральных машин. Аналогичным образом, если объем производства превышает спрос, можно ввести дополнительные фиктивные пункты назначения, которые УпоглощаютФ избыток продукции. Задача 3.2.3. Пусть спрос в В1 упал до 1900 стиральных машин. В табл.3.2.4 представлена модель с фиктивным центром распределения, поглощающим избыток производства. Соответствующая стоимость перевозки одного стиральной машины равна нулю. Однако можно назначить штраф за хранение стиральной машины на складе завода, тогда стоимость перевозки одного стиральной машины станет равной стоимости его хранения. Таблица 3.2.4.
В1 А1 А2 А3 80 100 102 1900 В2 215 108 68 1400 Фиктивный центр распределения 0 0 0 1000 1500 1200 Домашнее задание 3 Замечание. В домашнем задании применяется укороченная форма записи. Строки соответствуют исходным пунктам, столбцы - пунктам назначения, справа от вертикальной черты - объемы производства, под матрицей - спрос. Составить первоначальный опорный план двумя методами и вычислить его стоимость.
1. 3 1 70 6 8 9 400 5 6 3 10 5 2 30 5 8 200 8 80 8 1 4 20 4 2 7 150 1 4 2 90 40 60 50 6 6 250 100 50 70 500 200 300 2. 18 3 15 2 1 500 30 5 18 60 10 5 28 1 4 3 200 40 60 5 4 2 20 8 5 400 1 20 12 10 23 18 29 200 300 400 50 20 3.
4.
5.
6.
7. Строительный песок добывается в трех карьерах с производительностью в день 46, 34 и 40 т и затратами на добычу одной тонны 1, 2 и 3 руб. соответственно. Песок доставляется на четыре строительных площадки, потребность которых составляет 40, 35, 30 и 45 т. Транспортные расходы на перевозку одной тонны песка заданы матрицей:
4 3 2 5 С = 1 1 6 4 3 5 9 Недостающее количество песка - 30 т в день можно обеспечить двумя путями: увеличением производительности: а) первого карьера, что повлечет дополнительные затраты в 3 руб. на добычу 1 т;
б) второго с дополнительными затратами в 2 руб. / т. Определить оптимальный план закрепления строительных площадок за карьерами и оптимальный вариант расширения поставок песка. Потребности четвертой строительной площадки должны быть удовлетворены полностью.
8.
2 2 8 40 9. 2 3 5 4 16 3 7 6 3 4 3 4 30 3 4 1 5 18 7 5 4 1 5 9 2 20 9 6 2 8 12 1 8 8 7 1 4 5 50 7 1 2 1 15 5 6 3 4 60 70 У третьего поставщика груз должен быть вывезен полностью.
20 16 14 Первый и четвертый пункты отправления должны быть полностью разгружены.
10.
4 3 2 2 9 4 5 2 30 5 45 Четвертый и шестой потребители должны быть удовлетворены полностью.
3.2.3. Метод потенциалов. Для транспортной задачи (ТЗ), как и для любой другой ЗЛП, существует двойственная к ней задача.
min i =1 j= C X m n ij ij (3.6) Исходная задача: Обозначим двойственные переменные для каждого ограничения вида (3.7) через Ui ( i = 1,..,m) и вида (3.8) - Vj ( j = 1,..,n), тогда двойственная задача имеет вид:
x = a, i = 1,.., m j =1 ij i n (3.7) X i = m ij = bj j = 1,.., n (3.8) Xij 0, i = 1,.., m, j = 1,.., n (3.9) n m max aiUi + bjVj j=1 i= (3.10) Ui +Vj Cij, i = 1..m, j = 1..n (3.11) Переменные задачи, двойственной к транспортной, Ui и Vj называют потенциалами поставщика и потребителя соответственно. Утверждение. Для оптимальности плана X=(Xij)mn ТЗ, необходимо и достаточно существование чисел (потенциалов) V1,V2,Е,Vn и U1, U2, Е, Um таких, что: 1. Ui + Vj Cj для i = 1,..,m, j = 1,Е,n (3.12) 2. Ui + Vj = Cj, для тех i, j, где Xij> Из утверждения следует: для того чтобы опорный план был оптимальным, достаточно выполнения следующих условий: а) для каждой занятой клетки (отличного от нуля элемента матрицы X) сумма потенциалов должна быть равна стоимости перевозки единицы груза: (3.13) Ui + Vj = Cj б) для каждой незанятой клетки (Xij = 0) сумма потенциалов должна быть меньше или равна стоимости перевозки единицы груза: Ui + Vj Cij (3.14) Таким образом, для проверки плана на оптимальность необходимо сначала построить систему потенциалов. Для построения системы потенциалов используем условие 2 из утверждения: Ui + Vj = Cj, Xij > (3.15) Систему потенциалов можно построить только для невырожденного опорного плана. Такой план содержит n+m-1 занятых клеток, поэтому для него можно составить систему из n+m-1 линейнонезависимых уравнений вида (3.13) c неизвестными Ui и Vj. Уравнений на одно меньше, чем переменных, поэтому система является неопределенной и одному неизвестному придают нулевое значение. После этого остальные потенциалы определяются однозначно. Проверка выполнения условия оптимальности для незанятых клеток. Просматриваем строки и для каждой незанятой клетки проверяем выполнение условия (3.14), т.е. суммируем потенциалы тех строк и столбцов, на пересечении которых стоит незанятая клетка. Если для всех незанятых клеток Ui + Vj Cij, то на основании (3.12) проверяемый план является оптимальным. Если для некоторых клеток Ui + Vj > Cij, то план не является оптимальным. Тогда для каждой клетки, в которой не выполняется условие оптимальности, находим величину (Ui + Vj) - Cij > 0. Выбор свободной клетки, в которую необходимо послать перевозку. Загрузке подлежит в первую очередь клетка, которой соответствует max((Ui + Vj)-Cij). Построение цикла и определение величины перераспределения груза. Для определения количества единиц груза, подлежащих перераспределению, отмечаем знаком л+ незанятую клетку, которую надо загрузить. Это означает, что клетка присоединяется к занятым клеткам. Занятых клеток стало m+n, поэтому появляется цикл, все вершины которого за исключением клетки, отмеченной знаком У+Ф, находятся в заня тых клетках, причем этот цикл единственный. Отыскиваем цикл и начиная движение от клетки, отмеченной знаком У+Ф, поочередно проставляем знаки УЦУ и У+Ф. Затем находим 0 = min Xij, где Xij - перевозки, стоящие в вершинах цикла, отмеченной знаком У-У. Величина 0 определяет, сколько единиц груза можно перераспределить по найденному циклу. Значение 0 записываем в незанятую клетку, отмеченную знаком У+Ф, двигаясь по циклу, вычитаем 0 из объемов перевозок, расположенных в клетках, которые отмечены знаком У-Ф, и прибавляем к объемам перевозок, находящимся в клетках, отмеченных знаком У+Ф. Если 0 соответствует несколько минимальных перевозок, то при вычитании оставляем в соответствующих клетках нулевые перевозки в таком количестве, чтобы во вновь полученном опорном плане занятых клеток было m+n-1. Проверка нового плана на оптимальность. Для проверки на оптимальность опорного плана можно вновь построить систему потенциалов и проверить выполнение условия оптимальности для каждой незанятой клетки. Если полученный план снова окажется не оптимальным, то следует выполнить вычисления, приведенные в предыдущем пункте. Процесс повторяют до тех пор, пока все незанятые клетки не будут удовлетворять условию (3.14).
Домашнее задание Решить транспортную задачу:
1. а) 16 20 13 3 7 17 3 19 20 11 10 13 22 25 9 15 8 1 26 9 30 27 4 1 7 20 4 2 27 11 17 4 24 12 24 3 13 5 7 13 17 21 30 19 7 29 27 24 30 7 17 26 22 5 7 29 5 22 1 11 9 24 30 11 9 6 27 24 28 8 10 9 3 4 7 26 15 4 17 11 20 26 27 24 9 10 12 25 9 12 28 16 7 6 7 8 29 26 2 42 16 23 1 24 2 25 24 13 19 16 30 26 29 23 9 4 6 10 10 15 15 10 10 15 15 19 11 9 11 14 16 22 13 17 18 б) б) 15 21 26 21 19 20 15 4 9 12 30 26 27 6 15 1 18 29 10 19 26 20 10 16 12 24 4 14 14 15 2 29 24 28 6 22 10 16 11 8 22 11 23 3 19 24 29 27 29 12 11 29 14 28 15 5 9 14 4 13 2 4 25 17 8 19 4 26 19 19 26 26 30 20 12 12 20 10 8 15 6 5 6 25 20 13 24 5 10 8 1 3 24 27 4 29 23 7 3 12 25 24 18 2 20 20 20 20 20 14 17 17 17 21 19 15 25 15 7 26 8 15 7 9 4 29 28 16 15 14 15 18 12 17 2. а) б) 3. а) б) 4. а) 5 23 30 8 8 9 13 20 11 30 5 16 13 6 21 27 3 28 5. а) б) 6. а) 6 8 9 400 -2 3 40 3 5 1 50 3 2 5 20 4 3 - 5 8 -200 5 5 2 30 -2 1 70 -3 8 40 1 6 2 4 2 7 150 4 --20 -3 2 130 2 -7 80 2 -3 100 2 3 5 -6 6 250 30 50 500 300 100 б) б) 5 2 -60 6 -4 1 5 2 2 -2 36 1 6 3 4 3 5 14 4 5 -50 1 4 8 20 -7 5 200 3 7 13 92 45 63 80 320 100 100 50 70 400 200 100 40 30 7. а) 6 8 5 250 б) 4 5 3 10 4 10 12 300 2 5 8 8. а) 6 1 4 150 1 4 3 60 3 4 5 140 160 150 200 70 80 100 200 7 --80 3 10 -150 7 -1 20 2 4 11 100 4 12 - 1 3 2 9. а) б) 10. а) б) 3.3. Многопродуктовая ТЗ с независимыми и взаимозаменяемыми поставками Задача 3.3.1. Фирма, имеющая три завода (А1, А2, А3), производит стиральные машины четырех моделей М1, М2, М3, М4. Основные центры распределения продукции расположены в двух пунктах (оптовых базах) В1, В2. В табл.3.3.1 приведены объемы выпуска разных заводов и величины спроса в центрах распределения для каждой модели машины. Таблица 3.3.1.
Модель М1 М2 Завод AI AII AIII Центр ления BI BII 500 800 распреде700 600 500 500 500 200 600 100 2300 1400 600 400 М3 700 М4 300 400 Всего 1000 1500 Стоимость перевозки одной стиральной машины приведена в табл.3.3.2 (матрица С = (Сij) ).
Таблица 3.3.2.
BI AI 80 AII 100 AIII BII 215 108 Таблица 3.3.3.
Заводы АI AII AIII Модели M3 M4 M1 M2 M4 M1 M Центры распределения BI BII M1 M M 100 M M 102 M 700 M2 M M M 100 M M 102 500 M3 80 M M M M M M 500 M4 M 80 M M 100 M M 600 M1 M M 108 M M 68 M 600 M2 M M M 108 M M 68 500 M3 215 M M M M M M 200 M4 M 215 M M 108 M M Объем пр-ва 700 300 500 600 400 800 400 Спрос Для того чтобы учесть многопродуктовый характер задачи, изменим транспортную модель следующим образом. Вместо того чтобы рассматривать каждый завод как один исходный пункт, разобьем его на несколько пунктов в соответствии с числом моделей стиральных машин, выпускаемых этим заводом. Аналогично поступим и с пунктами назначения, т.е. будем считать, что каждый из них состоит из четырех подпунктов, соответствующих четырем моделям стиральных машин. В результате получим семь исходных пунктов и восемь пунктов назначения. Табл.3.3.3 представляет собой полную транспортную таблицу. Заметим, что некоторые маршруты недопустимы, поскольку в данной постановке задачи стиральные машины различных моделей не могут заменить друг друга. Например, нельзя осуществлять перевозки из пункта производства стиральных машин марки М1 в пункт доставки стиральных машин модели М4. В табл.3.3.3 запрещенным маршрутам соответствует очень высокая стоимость перевозки М (Cij = M). Если внимательно изучить табл.3, то можно заметить, что на самом деле задачу не обязательно описывать одной моделью. В силу независимости поставок можно было бы представить задачу по каждой модели машин в виде отдельной таблицы перевозок, но только существенно меньшего размера. Табл.3.3.3 можно разбить следующим образом:
Таблица 3.3.4.
а) модель М Заводы AII AIII Спрос Центры распределения BI BII 100 108 102 68 700 600 Объем производства 500 б) модель M Заводы AII AIII Спрос Центры распределения BI BII 100 108 102 68 500 500 Объем производства 600 в) модель М Заводы AI Спрос Центры распределения BI BII 80 215 500 200 Объем производства г) модель M Заводы AI AII Спрос Центры распределения BI BII 80 215 100 108 600 100 Объем производства 300 Рассмотрение этих четырех транспортных моделей дает решение, совпадающее с оптимальным решением задачи, соответствующей табл.3.3.3. С вычислительной точки зрения небольшие подзадачи решить существенно эффективнее, чем одну сложную задачу, представленную в табл.3.3.3. Какой же смысл тогда использовать модель, заданную табл.3.3.3? Вспомним, что возможность разбиения табл.3.3.3 на части обусловлена полной независимостью различных моделей стиральных машин. Если бы между разными моделями существовала связь ( например, одну из них можно было заменять другой ), то в общем случае исходную модель не удалось бы разбить столь просто. Задача 5 иллюстрирует это замечание.
Домашнее задание 1. Решить задачу 3.3.1, найдя решение из таблицы 3.3.3. 2. Решить задачу 3.3.1, найдя решение из таблиц 3.3.4 (а, б, в, г). 3. Решить задачу 3.3.1 при дополнительном условии, что потребность центра ВI составляет М1-800 ед., М2-500, М3-300, М4-600, а ВII составляет 700, 400, 300, 100 ед. соответственно, воспользовавшись табл.3.3.3 (с новыми данными). 4. Решить задачу 3, воспользовавшись таблицами 3.3.4 с новыми данными. 5. Решить задачу 1 при дополнительном условии: пусть некоторую часть спроса на одну из моделей можно удовлетворить за счет другой в соответствии со следующими данными:
Центр распределения BI BII Заменяемая часть спроса в % 10 20 10 5 Взаимозаменяемые марки M1,M2 M3,M4 M1,M3 M2,M Указание. Добавьте четыре новых пункта назначения, соответствующие новым комбинациям (M1, M2), (M3, M4), (M1, M3) и (M2, M4). Величины спроса в новых пунктах назначения определяются из данных о процентном соотношении заменяемых моделей. 6 - 10. Решить задачу 5 со следующими данными: 6.
Центр распределения BI BII Заменяемая часть спроса в % 10 10 15 Взаимозаменяемые марки M1,M3 M2,M4 M1,M 7.
Центр распределения BI BII Заменяемая часть спроса в % 20 5 15 Взаимозаменяемые марки M2,M4 M1,M3 M2,M 8.
Центр распределения BI BII Заменяемая часть спроса в % 5 10 Взаимозаменяемые марки M1,M2 M2,M 9.
Центр распределения BI BII Заменяемая часть спроса в % 5 15 30 25 Взаимозаменяемые марки M1,M3 M2,M4 M1,M2 M3,M 10.
Центр распределения BI BII Заменяемая часть спроса в % 40 5 Взаимозаменяемые марки M3,M4 M1,M 3.4. Определение рациональных маршрутов и транзитная перевозка продукции В стандартной транспортной модели предполагается, что прямой маршрут между пунктом производства и пунктом потребления является маршрутом минимальной стоимости. Это означает, что определению стоимостей перевозок единицы продукции в стандартной транспортной модели должна предшествовать предварительная работа, связанная с выявлением кратчайших маршрутов. В задачах небольшой размерности нахождение кратчайшего маршрута трудностей не представляет. Когда число пунктов производства и пунктов потребления велико, для определения минимальной стоимости прямой перевозки единицы продукции по данному маршруту следует обратиться к алгоритму нахождения кратчайшего пути. Другой метод определения минимальной стоимости прямой перевозки связан с постановкой задачи как транспортной задачи с промежуточными пунктами. При этом допускается перевозка груза (частично или полностью) через другие исходные пункты или пункты назначения транзитом, прежде чем он достигнет установленного пункта назначения. В задаче с промежуточными пунктами автоматически отыскивается маршрут минимальной стоимости между пунктом производства и пунктом назначения без предварительного определения кратчайшего маршрута. Введение промежуточных пунктов дает возможность перевозить весь объем продукции из исходных пунктов через любой другой исходный пункт или пункт назначения, прежде чем продукция будет распределена среди потребителей. Это означает, что любую вершину транспортной сети (как исходный пункт, так и пункт назначения) можно рассматривать как транзитный пункт. Поскольку априори не известно, какие вершины будут обладать этим свойством, можно сформулировать задачу таким образом, чтобы каждую вершину можно было рассматривать и как исходный пункт, и как пункт назначения. Другими словами, число исходных пунктов (пунктов назначения ) в задаче с промежуточными пунктами равно сумме исходных пунктов и пунктов назначения в стандартной задаче. Для пояснения этого замечания рассмотрим задачу 3.2.1. Имеются три завода и два центра распределения. В модели с промежуточными пунктами будет пять исходных пунктов и пять пунктов назначения. Для того чтобы учесть транзитные перевозки, в каждом исходном пункте и пункте назначения предусмотрен дополнительный буфер емкостью В. По определению емкость буфера должна быть не меньше суммарного объема производства (или спроса) стандартной (сбалансированной) транспортной задачи, т. е.
B a = b i m n i i = i = Стоимости в расчете на единицу груза оцениваются на основании данных о маршрутах, соединяющих исходные пункты с пунктами назначения в модели с промежуточными пунктами. Очевидно, что коэффициенты стоимости перевозки между первоначально заданными исходными пунктами и пунктами назначения остаются такими же, как в примере 3.2.1. Заметим также, что стоимость перевозки из некоторого пункта в него же ( скажем, из А1 в А1) равна нулю, и стоимость перевозки может меняться в зависимости от направления движения (например, маршрут А1-А2 может отличаться по стоимости от маршрута А2-А1, если используются различные режимы перевозок ).
Таблица 3.4.1.
А1 А А2 0 А3 130 В1 В2 80 100 215 108 1400 4700 5200 4900 3700 А2 А3 В1 В 95 79 3700 0 102 0 6000 3700 99 205 В табл.3.4.1 представлено оптимальное решение рассмотренной выше задачи с промежуточными пунктами, в которой емкость буфера В равна 3700 стиральных машин. Заметим, что коэффициенты стоимости перевозок между первоначально заданными исходными пунктами (А1, А2 и А3) и пунктами назначения (В1 и В2) те же, что и в примере 3.2.1. Предполагается, что остальные коэффициенты оцениваются в зависимости от расстояния и режима перевозок. Из табл.3.4.1 видно, что диагональные элементы получены в результате использования буфера. Они не дают никакой информации об окончательном решении. Внедиагональные элементы обеспечивают получение решения, представленного на рис.3.1. Из А2 в В2 перевозка производится через промежуточный пункт в А3, куда поступает 200 стиральных машин. Все другие перевозки осуществляются непосредственно с заводов в центры распределения.
Рис.3.1 Помимо рассмотренной выше возможны ситуации, при которых имеет место транзитная перевозка продукции. Например, в задаче 3.2.1 конечные пункты назначения, куда поступают стиральные машины, могут представлять отдельных продавцов, а не крупные центры распределения.
Рис. 3.2.
В целях упрощения предположим, что имеется лишь пять продавцов, которые получают свои заказы из центров распределения в В1 и В2. Соответствующие величины, характеризующие спрос пяти продавцов, составляют 800, 500, 750, 1000 и 650 стиральных машин. Предположим, что продавец может получать товар из любого центра распределения. В данном случае промежуточными пунктами могут быть только центры распределения. Поскольку центры распределения (вершины 4 и 5 на рис.3.2) являются единственными промежуточными пунктами, каждый из них может рассматриваться и как пункт назначения, и как исходный пункт. С другой стороны, заводы играют лишь роль исходных пунктов, а продавцы - пунктов назначения. Построенная с учетом этого модель с промежуточными пунктами приведена в табл.3.4.2. Заметим, что в центрах распределения (вершины 4 и 5) емкость буфера В, равна 3700 стиральных машин.
Таблица 3.4.2.
1 2 3 4 5 4 80 100 102 0 M 3700 5 215 108 68 M 0 3700 6 M M M 130 90 800 7 M M M 135 30 500 8 M M M 95 35 750 9 M M M 80 105 1000 10 M M M 100 70 1500 1200 3700 На рис.3.2 видно, что прямые перевозки с завода продавцу не разрешены. В табл.3.4.2 это ограничение представлено запрещенными (заштрихованными) ячейками. При численном решении задачи запрещенному маршруту соответствует очень большая стоимость Сij=М, записанная в соответствующей ячейке.
Таблица 3.4.3.
1 2 3 4 5 1 0 135 95 75 200 3700 2 130 0 35 55 107 3700 3 90 30 0 110 72 3700 4 80 100 102 0 205 3700 5 215 108 68 205 0 3700 6 M M 130 90 800 7 8 9 4700 5200 4900 3700 135 30 95 35 80 105 100 70 Предположим, что разрешены маршруты с промежуточными пунктами между заводами и центрами распределения. Прямая перевозка допускается лишь из центра распределения продавцам. В табл. 3.4.3 представлена такая модель. Заметим, что каждый завод и центр распределения может теперь рассматриваться и как исходный пункт, и как пункт назначения. Домашнее задание 1. Найти решение задачи, представленной в табл.3.4.1 и сравнить его с решением этой же задачи без промежуточных пунктов. 2. Найти решение задачи, представленной в табл.3.4.2. 3. Найти решение задачи, представленной в табл.3.4.3. 4. Решить задачу 2 с одним центром распределения С1. 5. Решить задачу 1, если транзитный перевоз через завод А1 запрещен. 6. Решить задачу 1, если через центр распределения В2 невозможен транзитный перевоз. 7. Решить задачу, представленную в табл.3.4.3 при условии, что через А1 не разрешен транзитный перевоз. 8. Решить задачу, представленную в табл.3.4.3 при условии, что через А2 не разрешен транзитный перевоз. 9. Решить задачу, представленную в табл.3.4.3 при условии, что через А3 не разрешен транзитный перевоз. 10. Решить задачу, представленную в табл.3.4.3 при условии, что запрещены перевозки между центрами потребления С1 и С2.
4. Логистика запасов (Управление запасами) 4.1. Концепция логистического подхода к управлению запасами С позиций логистики процесс производства отдельного вида продукции можно упрощенно представить в виде следующей схемы:
Закупка Производство Распределение Рис 4.1. В соответствии с этими тремя этапами логистика делится на следующие функциональные области: закупочная логистика, производственная логистика и распределительная (маркетинговая) логистика. Более подробное рассмотрение движения материальных и информационных потоков в рамках отдельного производства представлено на рисунке 4.2. Как видно из рисунка 4.2, предметы труда как перед, так и после каждого этапа обработки сосредотачиваются в виде запасов. Независимо от того, являются ли МП внешними или внутренними, при фиксации места их накопления мы сталкиваемся с понятием запасов. Таким образом запас - это форма существования МП. Цели образования и соответствующие им виды запасов могут быть различными, но независимо от этого запасы представляют собой вторую по значимости после обработки составляющую производственного процесса. Именно запасы сырья, материалов, комплектующих и готовой продукции непосредственно увязывают организацию с ее поставщиками и потребителями, формируя цепи логистической системы экономики в целом. Логистика запасов занимает ключевое место в логистической системе, как отдельной организации, так и экономики в целом. Запасы относятся к типу объектов, требующих больших капиталовложений, и поэтому представляют собой один из факторов, определяющих политику предприятия и воздействующих на уровень логистического обслуживания в целом. Исследование логистической системы управления запасами (ЛСУЗ) отвечает на следующие вопросы: 1. Какой уровень запасов необходимо иметь на любом предприятии для обеспечения требуемого уровня обслуживания потребителя? 2. В чем состоит компромисс между уровнем обслуживания потребителя и уровнем запасов в логистической системе? Запасы сырья, материалов, комплектующих, поступивших от поставщиков Основные цехи Заготовительные цехи Обработка сырья, материалов Запасы предметов труда на каждом рабочем месте Запасы полуфабрикатов Обрабатывающие цехи Производство сборочных единиц Запасы предметов труда на каждом рабочем месте Запасы сборочных единиц Сборочные цехи Сборка готовой продукции Запасы предметов труда на каждом рабочем месте Запасы готовой продукции на складах организации Условные обозначения: материальные потоки;
информационные потоки.
Рис.4.2. 3. Какие объемы запасов должны быть созданы на каждой стадии логистического и производственного процессов? 4. Каковы общие уровни запасов на данном предприятии связаны со специфическим уровнем обслуживания? 5. Каково значение компромисса между выбранным способом транспортировки и запасами? 6. Как меняются затраты на содержание запасов в зависимости от числа складов? Суть концепции управления запасами во взаимосвязи ЛСУЗ с производством. Реализация современной концепции управления запасами стала возможной благодаря применению новых методов управления запасами, таких как КАНБАН и точно в срок (just in time). Практическая реализация концепции логистики связана с оптимизацией совокупных запасов на фирме. Критерием оптимизации запасов как правило являются суммарные издержки на пополнение запасов, оформление договоров о поставках, содержание запасов, на потери от дефицита и т.д.
4.2. Виды запасов Запасы сырья, материалов, комплектующих и готовой продукции представляют собой материальные ценности, ожидающие производственного или личного потребления. Критериями классификации запасов могут быть два параметра движения МП - пространства (местонахождения) и время, а также функция запаса (рис. 4.3).
МЕСТО НАХОЖДЕНИЯ ВРЕМЯ ФУНКЦИЯ ЗАПАСЫ Рис.4.3.
Объем запаса Макс. желательный запас Пороговый уровень Текущий запас Гарантийный запас Время Рис.4.4. Классификация во времени позволяет выделять различные количественные уровни запасов (рис. 4.4).
Классификация запасов по различным критериям приведена на рис. 4.5.
Совокупные запасы производства Сырье Материалы основные и вспомогательные Полуфабрикаты Детали Готовые изделия Запасные части для ремонта Производственные запасы Товарные запасы Запасы готовой продукции на складе организации-изготовителя Запасы в каналах сферы обращения Запасы в пути Запасы на предприятиях торговли Запасы в организации-потребителе текущие подготовительные гарантийные сезонные переходящие Рис. 4.5.
4.3. Системы управления запасами и условия их применимости Логистическая система управления запасами проектируется с целью непрерывного обеспечения потребителя каким-либо видом материального ресурса. Реализация этой цели достигается решением следующих задач:
- определение характера спроса (статический или динамический, вероятностный - детерминированный);
- учет текущего уровня запасов;
- определение размеров гарантийного запаса;
- расчет размера запаса;
- определение интервала времени между поставками. Способы решения поставленных задач определяются в зависимости от характера спроса и принятой системы управления запасами (СУЗ). Основными СУЗ являются следующие: 1. СУЗ с фиксированным размером заказа. 2. СУЗ с фиксированным интервалом времени между запасами. 3. СУЗ с установленной периодичностью пополнения запасов и меняющимся размером заказа.
В более сложных случаях управление запасами используются другие СУЗ, элементами которых являются основные СУЗ. Применение основных СУЗ возможно только когда отклонения от запланированных показателей отсутствуют, и запасы потребляются равномерно.
Домашнее задание 1. Определение запаса и его функции. 2. Концепция логистического подхода к управлению запасами. 3. Затраты, связанные с управлением запасами. 4. Место логистики запасов в логистической системе. 5. Структура задач в ЛСУЗ. 6. Классификация запасов по месту нахождения. 7. Классификация запасов во времени (по времени учета). 8. Классификация запасов по исполняемой функции. 9. Состав задач управления запасами. 10. Системы управления запасами.
4.4. Модели управления запасами (МУЗ) Для решения задач управления запасами в различных СУЗ используются различные математические модели и методы их решения. Вид используемых моделей определяется характером спроса и ЛСУЗ. Для решения моделей управления запасами используют классические методы оптимизации, линейное, нелинейное, динамическое, стохастическое программирование и другие методы оптимизации.
4.4.1. Однопродуктовая статическая модель Эта модель характеризуется постоянным во времени спросом (d), мгновенным пополнением запаса () и отсутствием дефицита. Повторный заказ осуществляется при уменьшении запаса до критического уровня ( кр). Момент времени осуществления заказа называется точкой заказа. На рис.4.6 показано изменение уровня запаса во времени при переменном спросе. На рис. 4.7 показано изменение уровня запаса при постоянной интенсивности спроса d.
Рис. 4.6. Изменение уровня запаса (t) во времени при переменном спросе и фиксированном уровне заказа *. кр - уровень запасов, соответствующий точке заказа;
1 - точка заказа;
2 - получения заказа;
tg - время доставки.
Рис. 4.7.
* - средний уровень запаса;
t0= /d - время расходования запаса;
(2) - точка получения запаса. Чем меньше размер запаса *, тем чаще необходимо размещать заказ, однако при этом средний уровень запасов уменьшается. С увеличением заказа * средний уровень запаса повышается, но заказы возобновляются реже. Управление запасами в общем случае состоит в воздействии на соотношение между пополнением и расходом. Цель управления заказами - оптимизация критерия, зависящего от расходов на хранение запасов, стоимость поставок, штрафов от дефицита и т.д. Пусть К - затраты на заказ, h - затраты на хранение единицы запаса в единицу времени. Тогда затраты на пополнение запаса в единицах времени:
( ) = К К d = t (4.1) Затраты на хранение в единицах времени: (4.2). Окончательно однопродуктовая статистическая модель управления запасами будет иметь вид: K d F ( ) = ( ) + ( ) = + h 2 min ( >0) (4.3) Для решения модели записываем достаточные условия минимума функции одной переменной.
F ( ) = K d ( ) = h + h =0, откуда оптимальное значение размера запаса определяется выражением называемым формулой Уилсона. Оптимальные затраты равны:
= F ( F ( ) = 2K d )= = 2K d h 2K d h (4.4), (4.5) ;
заказ продукции возобновляется каждые t = d 2K hd (4.6) единиц времени.
Графическое решение модели (4.3) приведено на рис. 4.8.
Рис. 4.8.
Пример 4.1. Еженедельный спрос на товар составляет 100 ед. Затраты на размещение (исполнение) заказа составляют 1000 руб. Еженедельные затраты на хранение единицы товара составляют 5 копеек. Определить оптимальный размер заказа и цену заказа при сроке выполнения заказа 15 недель.
*= 21000100 = 41000 = 2000 ед. 0, Решение. По формулам (4)-(6) имеем: (1) - точка заказа, (2) - точка получения заказа;
F( *) = 210001000,05 =100 рублей в неделю t* = 21000 = 20 недель 0, *=2000 ед.;
кр=1500 ед.;
t*=20 нед.;
t1(срок выполнения заказа)=15 нед. Возобновление заказа должно происходить когда уровень запаса достаточен для удовлетворения спроса на 15 недель, т.е. кр=10015=1500 ед. (см. рис. 4.9).
Рис.4.9.
Если срок выполнения заказа больше t*, например 22 недели, то возобновление заказа происходит когда уровень запаса достаточен для удовлетворения спроса на 2 дня (22-20), т.е. *=200 ед. Это возможно при стабилизации работы системы управления запасами. В этом случае в любой момент времени имеется более одного еще не выполненного заказа (см. рис. 4.10).
Рис.4.10.
4.4.2. Однопродуктовая статическая модель с разрывами цен В модели управления запасами (4.3) не учитываются затраты на приобретение товаров (пополнение). Это возможно, если цена единицы продукции не зависит от размеров закупаемой партии. Обычно цена зависит от размера закупаемой партии (оптовые скидки). Предположим в условиях задачи управления запасами, изложенной в 4.4.1., что цена единицы продукции равна С1, если < q, С= C 2, если q, (4.7) где C1>C2, q - размер заказа, при превышении которого предоставляется скидка. Тогда суммарные затраты в единицу времени на оформление, приобретение заказа и хранение запаса будут иметь вид (4.8).
F 1( ) = dC 1 + F( ) = F 2 ( ) = dC 2 + Kd h ;
< q, 2 Kd h + ;
q;
д + (4.8) Задача управления запасами будет иметь вид F( ) min ( > 0) (4.9) Так как функции F1() и F2() отличаются на постоянную величину, не зависящую от, то они достигают минимального значения в одной и той же точке, определяемой формулой:
*min = 2Kd h Рис. 4.11а Рис. 4.11б Рис.4.11в Решение задачи (4.9) - * будет зависеть от соотношения значений q, *min и q1, где q1 - решение уравнения F1(*min) = F2(q1);
q1>*min (4.10) и определяется следующим образом:
* min, если 0 q < * min, * = q, если * min q < q1, * min, если q q 1 (4.11) Решение задачи (4.5) приведено на рис. 4.11 (а, б, в).
Пример 4.2. Пусть в задаче управления запасами из примера 4.1. C1 = 2 рубля, C2 = 1 рубль. Требуется определить оптимальный размер заказа в случае если q - размер заказа, при превышении которого предоставляется скидка, может принимать три значения: q(1)=2500 ед.;
q(2)=1800 ед. и q(3)=7500 ед. Решение. Так как *min = 2000 ед. (см. пример 4.1) и 1800 = q(2) < *min = 2000, то имеем случай q = q(2)=1800;
*=2000 (сл. а)). Если q равно q(1) или q(3), то *min F1( * min) = 100 2 + 1000100 2000 + 0,05 = 300, 2000 2 1000100 q1 F2(q1) = 100 1 + + 0,05, q1 Имеем следовательно уравнение (4.10) имеет вид q12-8103q1+4106=0. Его решения q1(1,2)=(412)*103=(43,46)*103. Нас интересует значение q1>*min, т.е. q1=7,36*103=7360 единиц. Итак, если q = q(1) = 2500 < q1 (случай СбТ), то * = q = 2500, если q = q(3) = 7500 единиц (случай СвТ), то * = *ьшт = 2000 единиц. Домашнее задание 8 1. Объем продаж некоторого магазина составляет 500 упаковок пакетного супа в год. Величина спроса равномерно распределяется в течение года. Цена покупки одного пакета равна 2 ф. ст. За один заказ владелец магазина должен заплатить 10 ф. ст. Время доставки заказа от поставщика составляет 12 рабочих дней (при 6-дневной рабочей неделе). По оценкам специалистов, издержки хранения составляют 20% среднегодовой стоимости запасов. Сколько пакетов должен заказывать владелец магазина каждый раз, если его цель состоит в минимизации общей стоимости запасов? Предположим, что магазин работает 300 дней в году, определим, с какой частотой следует осуществлять подачу заказов и уровень повторного заказа. 2. Компания, производящая изделия из керамики, выпускает несколько видов кофейников. Производственный процесс организован по принципу выпуска партий кофейников общим объемом 500 штук в неделю. Спрос на наиболее популярную модель, которую мы обозначим через X, составляет 2500 изделий в год и равномерно распределяется в течение года. Вне зависимости от того, в какой момент времени возникает необходимость в производстве партии кофейников модели X, стоимость производственного процесса составляет 200 ф. ст. По оценкам специалистов компании стоимость хранения кофейников составляет 1,50 ф. ст. за единицу. Какова должна быть партия кофейников, чтобы затраты на производство и хранение были минимальными? Как часто следует возобновлять производственный цикл и какова его длительность? Предполагается, что в году 50 рабочих недель. 3. Компания с ограниченной ответственностью "Dekkers" занимается розничной продажей электротоваров. Одним из видов продукции являются калькуляторы. Спрос на них составляет 25 калькуляторов в неделю, причем его величина равномерно распределяется в течение недели. Компания производит закупку калькуляторов по 9 ф. ст. за единицу. Стоимость подачи одного заказа составляет 15 ф. ст., а издержки хранения Ч 50 пенсов за единицу среднего размера запаса в течение года плюс 15% среднегодовой стоимости запасов. Предполагается, что в году 50 недель. Требуется: 1. Найти оптимальный размер заказа. 2. В настоящее время администрация "Dekkers" заказывает калькуляторы партиями в 300 штук. Какой будет величина экономии, если заказы будут подаваться в соответствии с размером, найденным в п.1? 3. Если бы стоимость подачи одного заказа снизилась до 5 ф. ст., каким образом администрация компании изменила бы решение, принятое в п.1? 4. Некоторой фирме необходимо иметь в своем штате 1000 инженеров, темп увольнения которых с работы является постоянным и составляет 150 человек в год. Перед тем как приступить к работе, вновь принятые инженеры объединяются в группы и проходят обучение на специальных курсах, организуемых компанией. Проведение каждого цикла обучения обходится компании в 25000 ф. ст. Если нет возможности предоставить инженерам работу немедленно, то компания теряет 500 ф. ст. на человека в месяц. Требуется: 1. Определить, сколько инженеров следует принимать на каждый курс обучения? 2. С какой частотой следует организовывать подобные курсы? Каково годовое значение общей переменной стоимости обучения инженеров? 3. Как повлияет ограничение количества инженеров, обучающихся в течение одного цикла, до 25 человек на решение, полученное в п. 2? 5. Компания "Systems" Ч крупная консалтинговая фирма по компьютерным системам в бизнесе. Фирме необходимо иметь диски под системные программы. Покупка дисков осуществляется у внешнего поставщика и, как было оценено, в ближайшем будущем использование дисков составит 20000 штук в год. Стоимость подачи одного заказа на партию дисков равна 32 ф. ст. По оценкам специалистов фирмы годовые издержки хранения одного диска составляют 1% его стоимости. Стоимость каждого диска равна 0,80 ф. ст. Предполагается, что коэффициент использования дисков является постоянным; отсутствие запасов недопустимо. Требуется: 1. Определить оптимальный размер одного заказа и количество заказов, которое следует подавать в течение года. 2. Найти соответствующее значение годовой стоимости запасов. 3. Предположим, что оценка спроса оказалась заниженной, и фактическое значение спроса составило 24200 дисков в год. Как при этом условии повлияет сохранение размера заказа, найденного в п.1 и попрежнему удовлетворяющего спрос, на решение задачи по сравнению с использованием нового оптимального значения уровня заказа? 4. Воспользовавшись результатами п.З, сформулируйте выводы о чувствительности данной модели к изменениям спроса. 6. Вернемся к задаче 1., в котором рассматривалась покупка владельцем магазина пакетных супов. Закупка производилась партиями по 158 упаковок по 2 ф. ст. за единицу. В настоящее время поставщик предоставляет следующие скидки на закупочные цены: Размер заказа Скидка, % Цена за упаковку, ф.ст. 0-199 200-499 500 и более 0 2 2,00 1.96 1, Следует ли владельцу магазина воспользоваться одной из скидок? 7. [8.,9.] На некотором станке производятся детали в количестве 2000 единиц в месяц. Эти детали используются для производства продукции на другом станке производительностью 500 единиц в месяц; оставшиеся детали образуют запас. По оценкам специалистов компании, издержки хранения составляют 20% средней стоимости запасов в год, Стоимость производства одной детали равна 2,50 ф. ст. Стоимость организации одного производственного цикла составляет 1000 ф. ст. 7. Каким должен быть размер партии деталей, производимой на первом станке, и с какой частотой следует организовывать циклы для производства этих деталей? 8. Если бы можно было снизить издержки производства до 500 ф. ст., каков был бы ответ на предыдущий вопрос ? 9. Как изменился бы ответ на вопрос из задания 7, если бы произошло дальнейшее снижение стоимости производства до 250 ф. ст.? 10. Компания "Greens Ltd" Ч крупный универмаг по продаже электронной и аудиоаппаратуры. Одним из наиболее популярных товаров является стереоплейер со встроенным радиоприемником. Спрос на эту продукцию, равный 2000 единиц, равномерно распределяется в течение года. Закупка плейеров у непосредственного производителя обходится универмагу в 50 ф. ст. за единицу. Стоимость подачи заказа составляет 50 ф. ст., а издержки хранения -15% среднегодовой стоимости запасов, Администратор компании рассматривает вопрос о сокращении запасов данной продукции, что позволило бы улучшить движение потоков наличности. По его оценке система заказов, предусматривающая отсутствие запасов, включая расходы, связанные со снижением объемов продаж и утратой доверия клиентов, составляет 5 ф. ст. в год за один плейер. Требуется: 1. Определить минимальное значение общей переменной стоимости запасов плейеров при условии, что отсутствие запасов является недопустимым. Каков оптимальный размер заказа? 2. Найти величину экономии, которая достигается при введении системы планирования отсутствия запасов. Принимается предпосылка о покрытии размера дефицита из новых поставок. Каков оптимальный размер заказа? 4.4.3. Многопродуктовая статическая модель управления запасами с ограничениями на емкость склада Пусть P - площадь складского помещения для хранения n видов продукции, причем площадь, выделяемая для хранения единицы продукции i-го вида, равна Pi (i=1,..,n). Вводя те же обозначения, что и в разделе 4.4.1, для каждого вида продукции, получаем многопродуктовую модель управления запасами с ограничением на емкость склада. F ( ) = F ( 1, 2 ) = n i ( i = i n K i d i h i дi + ) min дi (4.13) (4.12) P P i = i>0 (дефицит не допускается) (4.14), где di - спрос на продукцию i-го вида в единицу времени; Ki - затраты на выполнение заказа; hi - затраты на хранение единицы продукции в единицу времени. Задача (4.12)-(4.14) является задачей выпуклого программирования, так как F(1,2) является выпуклой функцией, а множество планов ЗВП (4.12-4.14) является выпуклым множеством в силу линейности ограничения (4.12). Общее решение ЗВП (4.12)-(4.14) может быть найдено любым методом решения ЗВП. В частности, для решения задачи (4.12)-(4.14) можно применить метод множителей Лагранжа, предварительно проверив выполнимость ограничения (4.13) для решения ЗУЗ без ограничений на емкость склада. Действительно, используя формулу 4.4, получим дi * = 2 Kidi ; i = 1,.., n hi (4.15) Если i =1, то (4.15) является решением задачи (4.12)-(4.14), иначе ограничение (4.13) необходимо рассматривать как строгое, то есть: Pд n ii * Pi P = P i i i = n (4.13' ) Пример 4.3. Пусть в задаче (4.12)-(4.14) n=1; K1=10; d1=2; h1=0,3; P1=1. Требуется определить оптимальный размер заказа для двух складов площадью P = 12 и P = 9 соответственно. K 1d + h1 1 20 = + 0,15 1 min 0< 1 P 2 Решение. Для случая n = 1 задача имеет вид: По формуле 4.4 (без ограничения на емкость склада). Далее, если P = 12, то P11* = 11,5<12, следовательно 1* = 11,5 является решением задачи (4.12)-(4.14). 1* = 2 K 1d 1 20 = 11,5 h1 * дет 1* Если P = 9, то P11 = 11,5>9, следовательно решением задачи бу= 9. + 0,15 1 min 0< 1 P Пример 4.4. Рассмотрим задачу управления запасами для случая двух видов продукции (n = 2), исходные данные которой приведены в таблице. Вид проKi, $ di, ед. h i, $ Pi, м2 дукции 1 10 2 0,3 1 2 5 4 0,1 Общая площадь складского помещения составляет P = 25 кв.м. Требуется определить оптимальный размер заказа для каждой продукции. K 1d + h1 1 K 2 d 2 h 2 2 + + min 2 д2 2 1 д1 + 1 д2 P д1,2 > Решение. Для случая n = 2 задача (4.12)-(4.14) имеет вид: или Оптимальный размер заказа для каждой продукции без ограничения на емкость склада определяем по формуле 4.4. * * Так как 1 + 2 = 31,5 > 25, то необходимо решать задачу (4.16), учитывая ограничение на емкость склада как строгое, то есть: F ( ) = + 0,15 1 + + 0,05 2 min (4.16) 1 + 2 1, 2 > 25 4 = 400 = 20 0, 2* = 2 K 2d 2 = h 1* = 2 K 1d 1 = h 2 10 2 20 = 11,5 0,3 1 + 2 = (4.17) Выразим 2из 4.17 (2=25 и подставим в (4.16). F ( 1,25 1) = + 0,15 1 + 20 + 0,05( 25 1) min 1> 0 25 (4.18) Решим задачу (4.18) приближенно с помощью методов одномерной оптимизации. Пусть приближенное значение 1(0) = 10 и h = 1. Так как F(9) = 5,62; F(10) = 5,58; F(11) = 5,59, то очевидно, что: 9 < 1* < 11. Примем, что 1* = 10, тогда: 2* = 25 - 10 =15. При этом: F(1*, 2*) = 5,58. Домашнее задание 9 1. Фирма пополняет запас некоторого изделия, заказывая его в количестве, достаточном для покрытия одномесячного спроса. Годовой спрос на изделие равен 1500 ед. Каждое размещение заказа оценивается затратами в 20 долларов. Затраты на хранение одного изделия в течение месяца составляют 2 долл., задолженность не допускается. - Определите оптимальный размер заказа и интервал времени между моментами размещения заказов. - Определите различие в годовых затратах на хранение системы при оптимальной и применяемой стратегиях. Последняя предусматривает размещение заказов в размере месячной потребности ежемесячно в течение года. 2. Фирма хранит изделие, потребляемое с интенсивностью 50 ед. в день. Она несет расходы в 25 долл. При размещении каждого заказа. Хранение одного изделия в течение одной недели обходится в 70 долл. Определите оптимальное число заказов (округленное до ближайшего целого числа), которое фирма должна размещать ежегодно, предполагая, что фирма придерживается стратегии, не допускающей дефицита. 3. Фирма может производить изделие или покупать его. Если фирма сама выпускает изделие, то каждый запуск его в производство обходится в 20 долл. Интенсивность производства составляет 100 ед. в день. Если изделие закупается, то затраты на размещение каждого заказа равны 15 долл. Затраты на содержание изделия в запасе независимо от того, закупается оно или производится, равны 0,02 долл. В день. Потребление изделия предприятием оценивается в 26000 ед. в год. Предполагая, что фирма может работать без дефицита, определите, что выгоднее: закупать или производить изделие? 4. Интенсивность потребления изделия составляет 30 ед. в день. Удельные затраты на хранение равны 0,05 долл., а затраты на размещение заказа - 100 долл. Предполагая, что дефицит не допускается и затраты на закупку одного изделия равны 10 долл. При приобретении любого количества, не превышающего q = 300, и составляют 8 долл. В противном случае, найдите экономичный размер заказа. Каков он будет, если q = 500? 5. Изделие продается по цене 4 долл., но за партию размером более 150 изделий предоставляется 10%-ная скидка. Фирма, потребляющая 20 изделий в день, хочет решить, стоит ли воспользоваться скидкой. Затраты на размещение заказа на одну партию составляют 50 долл., затраты на хранение одного изделия 0,03 долл. в день. Целесообразно ли для фирмы воспользоваться скидкой? 6. В задаче 5 определите диапазон процентной скидки в цене изделия, в пределах которого предполагается, что скидка на размер партии в 150 изделий и более не дает никакой экономической выгоды фирме. 7. Предположим, что в детерминированной модели с мгновенным пополнением запаса при отсутствии дефицита и постоянной интенсивности спроса затраты на хранение единицы равны h1, если ее количество меньше q, и равны h2 при количестве продукции больше q, h1>h2. Найдите экономический размер заказа для этого случая. 8. K = 50 долл., h = 0,05 долл., d = 30 ед./день. Определите точку возобновления заказа, предполагая, что срок выполнения заказа равен (1) 14 дням; (2) 40 дням. 9. Четыре различных вида продукции хранятся в запасе с целью непрерывного использования в производственном процессе. Интенсивность спроса постоянна для всех четырех видов. Дефицит не допускается, и запас должен пополняться мгновенно после поступления заказа. Пусть Di - количество требуемого i-го вида продукции (i = 1, 2, 3, 4) в год. Исходные данные определяются таблицей. Вид продукции 1 2 3 4 Ki di hi Di 100 50 90 10 20 5 0.1 0.2 0.2 0. 10000 5000 7500 Найдите экономические размеры заказов для четырех видов продукции, предполагая, что суммарное число заказов в год (для четырех видов продукции) не может превышать 200. 10. Решите задачу 9, предполагая, что существует предельный объем C=10000 долл., который можно вложить в запас в любой момент времени. Пусть ci - стоимость единицы i-го вида продукции, где ci = 10, 5, 10 и 10 при i = 1, 2, 3 и 4. Ограничение на число заказов в год не учитывается. 4.4.4. Однопродуктовая динамическая модель управления запасами В этой модели предполагается, что спрос на поставляемую (производимую) продукцию известен, но он может меняться от этапа к этапу. Например, предприятие производит партиями некоторые изделия. Размеры заказов значительно меняются от месяца к месяцу. Поэтому иногда лучше выполнять заказ нескольких месяцев одной партией (учитывая затраты на переналадку оборудования), а затем хранить, чем выполнять заказ именно в тот месяц, когда он должен быть отправлен. Необходимо составить план производства на указанные N месяцев с учетом затрат на переналадку оборудования, производство и хранение изделий. Обозначим: j - номер периода (месяца), j=1,..,N; j - число изделий, производимых в j-й месяц; xj-1 - величина запаса к началу j-го месяца; dj - спрос на изделия в j-й месяц; fj(xj, j) - затраты на переналадку, производство и хранение в j-й месяц, а именно: fj(xj,дj) = Kj(дj) + j(xj) + шj(дj), (4.19) где - затраты на переналадку оборудования (либо оформление заказа) в j-ом периоде; j(xj) = hjxj - затраты на хранение xj единиц продукции, hj - затраты на хранение единицы запаса, переходящей из периода j в j+1; j(j) - затраты на производство (закупку) j единиц продукции в периоде j. Кроме того, будем считать известными величины запасов к началу первого периода x0 и к концу последнего xN. Задача УЗ состоит в том, чтобы найти план производства (закупки): ЕN и хранения x1ЕxN-1, Kj, если j > 0 Kj (j ) = 0, если j = удовлетворяющий уравнению баланса xj = xj-1 + j - dj; j=1,..,N F = fj ( xj, j ), j =1 N (4.20) (4.21) и минимизирующий суммарные затраты за весь период при очевидных дополнительных условиях: xj0; 0; j=1,..N (4.22) 0 xj dj + dj+1 +.. + dN 0 dj + xj (4.23) (4.24) В общем случае задача (4.20)-(4.24) представляет собой задачу нелинейного программирования. Кроме того, если переменные xj, j могут принимать только целые значения, то получим задачу целочисленного нелинейного программирования. Будем решать задачу (4.20)-(4.24) методом динамического программирования. .. j =1 Обозначим - минимальные затраты за первые k периодов. Тогда справедливо уравнение Беллмана. Решение уравнения Беллмана (4.25) осуществляется в два этапа. 1 k Fk * ( xk ) = min fj ( xj, j ) K Fk*(xk) = 0 дk Xk + dk min [fk(xk,дk) + Fk 1*(xk дk + dk)] (4.25) (4.26) k = 1,N ; F 0* = 0. 0 дj 4 7дj; ; ш(дj) = 28 + 15(дj 4 ); дj Пример 4.5. Рассмотрим задачу управления запасами в течение одного квартала по месяцам (N=3). Исходные данные поместим в таблицу: J 1 2 3 dj 3 6 2 Kj 6 8 7 hj 4 3 5 x0 = 1; x3 = 0. Решение. 1-й этап решения уравнения Беллмана. Пусть K=1, тогда: F 1*(x1 ) = 0 д1 X 1 + d 1 0 X 1 d 2 + d min [f 1(x1,д1 )] = 0 дk X 1 + 3 0 X 1 6 + 2 = min [K 1( 1) + 4 x1 + ( 1) ] (4.27) - минимальные затраты по управлению запасами в течение первого месяца при условии, что запас к концу первого месяца составит x1 единиц. На основании уравнения баланса (4.20) имеем: x1 = x0 + 1 - d1 = 1 + 1 - 3 = 1 - 2, т.е. x1) = x1 + 2 (4.28) оптимальное производство (пополнение) в первом месяце в зависимости от запаса к концу месяца. Далее, т.к. x1 = 1 - 2 0, то 1 2, следовательно: F 1*(x1 ) = min [K 1( 1) + 4 x1 + ( 1) ] 2 дk X 1+ 1*( x 1) = x 1+ = 0 д X + 6 - минимальные Пусть K=2, тогда затраты по управлению запасами в течение двух первых месяцев квартала, при условии, что запас к концу второго месяца составит x2 единиц. Подставляя в выражение для F2x2) числовые данные, получим: 2 7( x1 + 2); x1 + 2 4 11x1 + 20; x1 2 = 6 + 4 x1 + = (4.29) 28 + 15( x1 + 2 4); x1 + 2 > 4 19 x1 + 4; x1 > 2 F 2*(x 2 ) = min [ f 2(x 2,д2 ) + F 1*(x1 )] F 2*(x 2 ) = min [K 2( 2 ) + 3x 2 + ( 2 ) + F 1*(x 2 2 + 6 )] 0 д 2 X 2 + 6 0 X 2 d 3= (4.30) Для определения Обозначим F2*(x2) x1 = x 2 2 + строим таблицу 4.4.1 для x2 = {0, 1, 2}. F 2(x 2, 2 ) = K 2( 2 ) + 3x 2 + ( 2 ) + F 1*(x 2 2 + 6 ) Таблица 4.4.1. 2 2 0 1 2 3 4 5 6 0 1 2 3 4 5 6 7 0 1 2 3 1 6 5 4 3 2 1 0 7 6 5 4 3 2 1 0 8 7 6 5 2(2) + 32 + (2) + 1 (1) 0 0 0 118 8 0 7 99 8 0 14 80 8 0 21 61 8 0 28 42 8 0 43 31 8 0 58 20 0 3 0 137 8 3 7 118 8 3 14 99 8 3 21 80 8 3 28 61 8 3 43 42 8 3 58 31 8 3 73 20 0 6 0 156 8 6 7 137 8 6 14 118 8 6 21 99 =2(2, 2) 118 114 102 90 78 82 86 140 136 124 112 100 96 100 104 162 158 146 134 2(2) 2(2) 4 5 6 7 4 3 2 1 8 8 8 8 0 д 3 X 3 + 6 6 6 6 28 43 58 73 80 61 42 31 122 118 114 118 F 3*(x 3 ) = min [K 3( 3) + 5 x 3 + ( 3) + F 2*( 2 2 )], x 3 = 0, x 2 = x 3 3 + 2 = 2 3, (4.31) Наконец, пусть K = 3, тогда: где F3*(x3) - минимальные затраты по управлению запасами в течение квартала. Обозначим F 3(x 3, 3 ) = K 3( 3) + ( 3) + F 2*( 2 2 ) и строим таблицу 4.4.2. Таблица 4.4.2. 3 0 3 0 1 2 2 2 1 0 3 + (2) + 2(2) 0 0 114 7 7 96 7 14 78 =3(3, 3) 114 110 99 3(3) 99 3(3) 2-й этап решения уравнения Беллмана. Итак, из таблицы 4.4.2. имеем, что: 3* = 2; x3 = 0; F3* = 99. Далее из уравнения баланса находим: x2 = x3 - 3* + 2 = 0 - 2 + 2 = 0. Из табл.4.4.1. 2* (x2 = 0) = 4. Из уравнения баланса: x1 = x2 - 2* + 6 = 0 - 4 + 6 = 2. Далее по формуле (4.28) находим: 1* (x1 = 2) = 2 + 2 = 4, и из уравнения баланса имеем: x0 = x1 - 1* + 3 = 2 - 4 + 3 = 1, что соответствует исходному запасу. Итак, стратегия пополнения запасов состоит в следующем: 1-й месяц. 1* = 4, из них 2 единицы покрывают спрос (x0 = 1), 2 единицы остаются в запасе (x1 = 2). 2-й месяц. 2* = 4, что позволяет покрыть спрос данного месяца (x1=2; d2=6), запаса нет. 3-й месяц. 3* = 2, что соответствует потребности данного периода (d3 = 3). ОС (оптимальная стратегия) = д * = ( 4,4,2). ОТ (оптимальная траектория) = X* = (x0, x1, x2, x3) = (1, 2, 0, 0). Оптимальные расходы составляют 99 денежных единиц. Домашнее задание В заданиях 1-10 решить задачу из примера 4.5 при соответствующих условиях. 1. x3 = 1. 2. x0 = 0. 3. Спрос задан вектором d=(4,6,2). 4. Решить задачу из примера 4.5 для следующих исходных данных: J 1 2 3 dj 5 3 4 Kj 6 8 7 hj 3 3 4 5. x3 = 3. 6. x0 = 0, x3 = 0. 7. h = (2,3, 2). 8. K = (5, 6, 4). 9. x0 = 0, x3 = 2. 10. d = (1, 7, 6). Список литературы 1. Логистика. Учебное пособие под редакцией проф. Аникина Б.А. - М.: ИНФРА-М, 1997. 2. Логистика и бизнес. Сборник материалов конференции "Логистика в современных условиях развития экономики РФ". - М.: БРАНДЕС, 1997. 3. Гаджинский А.М. Основы логистики. - М.: ИВ - МАРКЕТИНГ, 1997. 4. Неруш Ю.М. Коммерческая логистика. - М.: ЮНИТИ, 1997. 5. Таха Х. Введение в исследование операций. - М.: МИР, т.1,2, 1985. 6. Эддоус М., Стэнсфилд Р. Методы принятия решений. - М.: ЮНИТИ, 1997. 7. Мастяева И.Н., Горбовцов Т.Л., Турундаевский В.Б. Прикладная математика. - М.: МЭСИ, 1998. Книги, научные публикации