МАТ Е МАТ ИКА МЕТОД КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ Л. А. РОЗИН Санкт-Петербургский государственный технический университет В науке и технике постоянно приходится сталки ваться с проблемой расчета систем, имеющих

сложную THE FINITE ELEMENTS METHOD геометрическую конфигурацию и нерегулярную физи ческую структуру. Компьютеры позволяют выполнять L. A. ROZIN такие расчеты при помощи приближенных численных методов. Метод конечных элементов (МКЭ) является The finite elements method is one of the most одним из них. В последние десятилетия он занял веду effective numerical methods for solving of щее положение и получил широкое применение. В ста mathematical problems, characterizing the тье на простых примерах мы рассмотрим сущность ме тода конечных элементов и отметим его основные state of physical systems with complicated достоинства.

structure. The foundation of the finite ele Предположим, что состояние системы описывает ments method are illustrated by simple exam ся некоторой функцией. Пусть эта функция является ples, which demonstrate its important advan единственным решением математической задачи, сфор tages. мулированной на основе физических законов. Реше ние состоит в отыскании из бесконечного множества функций такой, которая удовлетворяет уравнениям Метод конечных элементов - один из наи задачи. Если задача достаточно сложная, то ее точное более эффективных численных методов ре решение невозможно. Вместо того чтобы искать тре шения математических задач, описываю буемую функцию среди бесконечного множества раз щих состояние физических систем сложной нообразных функций, задача упрощается. Рассматри вается некоторое семейство функций, определяемых структуры. На простых примерах поясне конечным числом параметров. Как правило, среди та ны основы метода конечных элементов и ких функций нет точного решения задачи. Однако со проиллюстрированы его основные досто ответствующим подбором параметров можно попы инства.

таться приближенно удовлетворить уравнениям задачи и тем самым построить ее приближенное решение.

Такой общий подход характерен для многих прибли женных методов. Специфическим в методе конечных элементов является построение семейства функций, определяемых конечным числом параметров.

Допустим, требуется построить такое семейство функций u(x) при a x b. Интервал ab разбивается на конечное число частей (элементов), соединяющихся между собой и с концами интервала в узловых точках (узлах) xi (рис. 1). В пределах каждого элемента задается функция, например в виде линейного полинома. Она определяется своими значениями u(xi) в узлах на кон цах элемента. Если отыскиваемая функция является непрерывной, то значения ее в каждом узле для сосед www.issep.rssi.ru них элементов совпадают. В результате имеем семейст во кусочно-линейных непрерывных функций, которые СОРОСОВСКИЙ ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЙ ЖУРНАЛ, ТОМ 6, №4, Розин Л.А., й МАТ Е МАТ ИКА u мента к их полному набору особенно удобен для геоме u трически и физически сложных систем.

u 2. Каждое отдельное алгебраическое уравнение, u полученное на основе метода конечных элементов, со u4 u держит незначительную часть узловых неизвестных от u общего их числа. Другими словами, многие коэффици енты в уравнениях алгебраической системы равны ну a 1 2 3 4 5 b лю, что значительно облегчает ее решение.

x1 x2 x3 x4 x5 x6 x 3. Задачи, решение которых описывается функци ями, удовлетворяющими функциональным уравнени Рис. ям, носят название континуальных. В отличие от них решение так называемых дискретных задач точно опре изображаются в виде ломаных и определяются конеч деляется конечным числом параметров, удовлетворяю ным числом параметров - своими узловыми значения щих соответствующей системе алгебраических уравне ми. На рис. 1 показана одна из функций такого семей ний. Метод конечных элементов, так же как и другие ства. Здесь 5 элементов, 6 узлов и 6 узловых параметров численные методы, по существу приближенно заменя u(xi) = ui. В случае нескольких переменных схема мето ет континуальную задачу на дискретную. В методе ко да конечных элементов в принципе не меняется. Таким нечных элементов вся процедура такой замены имеет образом, метод конечных элементов заменяет задачу простой физический смысл. Это позволяет более пол отыскания функции на задачу отыскания конечного но представить себе весь процесс решения задачи, из числа ее приближенных значений в отдельных точках бежать многих возможных ошибок и правильно оце узлах. При этом если исходная задача относительно нить получаемые результаты.

функции состоит из функционального уравнения, на 4. Помимо континуальных задач схема метода ко пример дифференциального уравнения с соответству нечных элементов применяется для соединения эле ющими граничными условиями, то задача метода ко ментов и формирования алгебраических уравнений нечных элементов относительно ее значений в узлах при решении непосредственно дискретных задач. Это представляет собой систему алгебраических уравнений.

расширяет сферу применения метода.

С уменьшением максимального размера элементов Первая работа, где рассматривалась схема типа увеличивается число узлов и неизвестных узловых па метода конечных элементов, принадлежит известному раметров. Вместе с этим повышается возможность бо математику Р. Куранту [2]. Построение метода с ис лее точно удовлетворить уравнениям задачи и тем са пользованием физических соображений и его название мым приблизиться к искомому решению. В настоящее Уметод конечных элементовФ содержатся в статье, на время уже изучены многие вопросы, касающиеся схо писанной инженерами [3]. Такое сочетание специаль димости приближенного решения методом конечных ностей авторов характерно для работ по методу конеч элементов к точному. Для линейных задач, когда неиз ных элементов. В последующем было опубликовано вестные функции и операции над ними входят во все много статей и книг, посвященных этому методу и его соотношения задачи только в первой степени, метод различным модификациям. Некоторое представление конечных элементов получил достаточно полное мате об этом можно получить из списка литературы, напри матическое обоснование [1]. В дальнейшем будем рас мер в [4]. Метод конечных элементов реализован в сматривать только линейные задачи, решение которых больших универсальных компьютерных пакетах про метод конечных элементов сводит к решению систем ли грамм, которые имеют широкое применение.

нейных алгебраических уравнений. Отметим несколько важных достоинств метода конечных элементов.

ПРИМЕР ДИСКРЕТНОЙ ЗАДАЧИ 1. Метод конечных элементов позволяет построить Обратимся к дискретной задаче, состояние которой удобную схему формирования системы алгебраических точно определяется конечным числом параметров.

уравнений относительно узловых значений искомой Рассмотрим упругий стержень в виде прямого кругово функции. Приближенная аппроксимация решения при го цилиндра, длина которого значительно больше его помощи простых полиномиальных функций и все не- диаметра. Это позволяет отождествить стержень с его обходимые операции выполняются на отдельном типо- осью. Пусть три таких стержня расположены на оси x и вом элементе. Затем производится объединение элемен- соединены между собой в точках 1 и 2 (рис. 2, а). Точки тов, что приводит к требуемой системе алгебраических a и b закреплены, что условно изображено на рисунке.

уравнений. Такой алгоритм перехода от отдельного эле- К осям стержней вдоль x приложим внешнюю нагрузку.

РОЗИН Л.А. МЕТОД КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ МАТ Е МАТ ИКА (r) aб в г ----------, N(r) = c(r)du (49) i dx a N(r) a где c(r) > 0 носит название продольной жесткости (1) (1) стержня и определяется из опыта. Пусть c(r) = const для l(r) 1 1 элемента r. Подставляя (2) в (1) получим задачу относи q(r)(x) (r) dx q(r)(x) тельно u(r)(x) в виде дифференциального уравнения и (2) граничных условий 2 (2) j ----------- Цc(r) d2u(r-) = q(r), N(r) + dN(r) (3) dx x 3 u(r)(0) = u(r), u(r)(l(r)) = u(jr). (50) i (4) В нашем примере для случая дискретной задачи по ложим q(r) = 0 и будем считать, что на стержневую систе (3) 4 му действуют только сосредоточенные силы P1 и P2 со ответственно в узлах 1 и 2. Тогда решение (3) примет вид b (5) u(jr) - u(r) i -x u(r)(x) = -------------------- + u(r), N(r) = (r)(u(jr) - u(r)), x i i 5 l(r) (51) (6) (r) ------) 0 x l(r), (r) = c(r-.

b l На основании (4) можно заключить, что состояние x типового элемента r, то есть u(r)(x), N(r), точно определя ется двумя параметрами - перемещениями его узлов Рис. u(r), u(jr), что делает задачу дискретной.

i Очевидно, точки на осях стержней перемещаются (r) (r) Рассмотрим внутренние силы f, f, действую i j вдоль x. Силы и перемещения считаются положитель ными, если они направлены в положительном направ- щие в узлах i, j на элемент r. Поскольку имеет место ли лении x. Задача состоит в определении перемещений нейная задача, то они линейно зависят от u(r), u(jr):

i точек, принадлежащих осям стержней и продольных (r) (r) (r) внутренних сил в поперечных сечениях стержней.

f = f u(r) + f u(jr), i ii i ij (52) (r) (r) (r) Согласно методу конечных элементов, представим f = f u(r) + f u(jr).

j ji i jj стержневую систему в виде элементов, соединенных в (r) (r) узлах. В качестве элементов примем отдельные стерж- Здесь f (l = i, j;

t = i, j) есть внутренняя сила f, дей lt l ни, а узлов - точки 1 и 2. На рис. 2, а в скобках указаны ствующая на элемент r в узле l и возникающая от еди номера элементов. Обратимся к типовому для данной ничного перемещения узла t. При этом перемещение системы элементу r. На элемент r с узлами i, j (рис. 2, б) (r) другого узла равно нулю. На рис. 3, а показана сила f ji может действовать распределенная нагрузка интенсив для сжатого элемента при u(r) = 1, u(jr) = 0.

i ности q(r)(x) и перемещения его узлов u(r), u(jr). Примем i Соотношения (5) можно представить в матричной x = 0 в узле i и обозначим длину элемента l(r). Получим форме. Введем столбцы f(r), u(r) и матрицу K(r) задачу для функции u(r)(x) перемещений точек оси r.

Бесконечно малая часть элемента dx находится в рав (r) (r) (r) новесии под действием нагрузки q(r)(x)dx и продольных i f(r) = f i, u(r) = u(r), K(r) = f ii f ij (53).

(r) (t) (r) внутренних сил N(r)(x), действующих так, как показано f u(jr) f f j ji jj на рис. 2, в. Из условия равновесия dx имеем Тогда (5) можно записать в виде dN(r-) = Цq (r) dN(r) + q(r)dx = 0, -----------. (48) f(r) = K(r)u(r). (54) dx Для упругой пружины коэффициент пропорцио Согласно закону Гука, для упругого стержня нальности между силой и перемещением называется СОРОСОВСКИЙ ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЙ ЖУРНАЛ, ТОМ 6, №4, МАТ Е МАТ ИКА а б стемы в целом определяется двумя узловыми переме щениями u1, u2 и рассматриваемая задача является дис i u(r) = i кретной.

(1) Для всей системы можно записать соотношения типа (5) относительно суммарных для смежных эле f(1) (r) ментов внутренних сил в узлах 1, 2. Обозначим их f1, f2.

1 u1 = Очевидно, как и в случае типового элемента, они долж f(2) ны линейно зависеть от u1, u2:

j u(r) = j (2) f1 = f11u1 + f12u2, 2 u2 = f(r) = f(r) f2 = f21u1 + f22u2.

ji j Введем столбцы f, u и матрицу жесткости всей сис (3) темы K по формулам f u1 f f 1 11 f =, u =, K =. (58) (1) (2) f u2 f f f11 = f + f = f1 2 21 11 Тогда матричное соотношение типа (7) для всей систе Рис. мы будет f = Ku. (59) коэффициентом жесткости пружины. Аналогично K(r) носит название матрицы жесткости элемента r.

Здесь flt (l = 1, 2;

t = 1, 2) есть суммарная для смежных От типового элемента перейдем к отдельным эле элементов в узле l внутренняя сила fl, возникающая от ментам данной системы. Для элемента 2 с двумя узлами единичного перемещения узла t. При этом перемеще 1, 2 справедливы все зависимости (4)Ц(7), где следует ние другого узла равно нулю. Эти суммарные силы оп положить r = 2, i = 1, j = 2. Поскольку точки a, b непо ределяются через узловые силы в смежных элементах движны, то состояние элемента 1 определяется пере (1) (2) (1) (2) (2) f = f + f, f = f + f = f, мещением узла 1, а элемента 3 - перемещением узла 2.

11 11 11 12 12 12 (60) На основании (4) будем иметь для элементов 1 и 3 соот- (2) (3) (2) (2) (3) f = f + f = f, f = f + f.

21 21 21 21 22 22 ношения (1) (2) На рис. 3, б показаны силы f, f при u1 = 1, 11 u(1) u(1) = -------x, N(1) = (1)u(1), u2 = 0. При этом элемент 1 растянут, а элемент 2 сжат. В l(1) (55) (1) (3) (13) f = 0, f = 0, поскольку узел 2 не принадлежит 12 u(3) u(3) = -------x + u(3), N(3) = Ц(3)u(3).

2 элементу 1, а узел 1 не принадлежит элементу 3. Из (13) l(3) следует, что матрица жесткости системы строится на В (8) координата x для элемента 1 равна нулю в точке a, основе коэффициентов жесткости для отдельных эле а для элемента 3 - в узле 2. Зависимости (5) для элемен- ментов. Алгоритмически выполнить это можно по-раз тов 2 и 3 примут соответственно вид ному [5]. Например, можно для всех элементов строить матрицы жесткости одинаковой размерности равной (1) (1) (3) (3) f = f u(1), f = f u(3). (56) 1 11 1 2 22 размерности матрицы K, основываясь на столбце u пе ремещений всех узлов системы. Это возможно, по Сравнивая (5) или (7) для элемента 2 с (9) для элемен (r) тов 1 и 3, можно заключить, что вместо матрицы жест- скольку f = 0, если по крайней мере один из узлов l lt кости для двуузлового элемента 2 фигурируют коэффи или t не принадлежит элементу r. В данном примере бу циенты жесткости для одноузловых элементов 1 и 3.

дем иметь Теперь все известно о каждом отдельном элементе сис темы. Следующим шагом является соединение элемен- (2) (2) (1) f K(1) =, K(2) = f 11 f 12, тов в узлах на основе условий (2) (2) 0 f f 21 u(1) = u(2) = u1, u(2) = u(3) = u2, (57) 1 1 2 0 где u1, u2 - перемещения узлов системы 1, 2. Отсюда K(3) = (3) следует, что состояние соединенных элементов или си- 0 f РОЗИН Л.А. МЕТОД КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ МАТ Е МАТ ИКА и, согласно (13), K = K(1) + K(2) + K(3). Из условия равно- фициенты fij образуют квадратную матрицу, состоящую (r) из n строк и n столбцов:

весия элемента r следует f = N(r) при u(r) = 0, lt l f f Е f 11 12 1n u(r) = 1, где N(r) > 0 при растяжении и N(r) < 0 при сжа t K =.

..............................

тии. В результате на основании (4) и (8) будем иметь f f Е f n1 n2 nn (1) (2) (2) f = (1), f = f = (2), 11 11 Если обозначить столбец неизвестных u, а столбец (2) (2) (3) f = f = Ц(2), f = (3), 12 21 свободных членов P, то (16) принимает матричную форму (15). Система алгебраических уравнений долж а матрица K примет вид на быть невырожденной, то есть иметь единственное решение. Казалось бы, дальнейшее ясно. Можно вос (1) + (2) Ц(2).

K = (61) пользоваться для решения (16), например, методом ис Ц(2) (2) + (3) ключения Гаусса. Однако при применении приближен ных методов обычно приходится иметь дело с системами Из условия равновесия узлов 1, 2 следует f1 = P1, большого порядка n, и матрица, вообще говоря, может f2 = P2 или для столбцов f = P, где P - столбец из P1, P2.

иметь такую структуру, которая затрудняет получение Подставляя сюда вместо f его выражение согласно (12), решения. При этом на точности результата в той или окончательно получим систему алгебраических урав иной степени сказываются неизбежные в процессе вы нений относительно u1, u числений ошибки округления. Одним из важных до стоинств метода конечных элементов является то, что ((1) + (2))u1 - (2)u2 = P1, он обычно приводит к таким системам алгебраических Ku = P или (62) уравнений, матрицы K которых позволяют эффектив Ц(2)u1 + ((2) + (3))u2 = P2.

но строить решение.

После определения u1, u2 в результате решения (15) на Выясним, какой желательно иметь матрицу K в ходятся u(r)(x), N(r) во всех элементах системы при по (16). Пределом мечты была бы система (16) с диаго мощи (4) и (8).

нальной матрицей K, когда все fij = 0 при i j. В этом Таким образом, схема метода конечных элементов случае (16) распадается на отдельные уравнения для дискретных задач состоит из представления систе- fiiui = Pi. Такое может быть, только если в физической мы в виде совокупности отдельных элементов, исполь- системе, рассчитываемой методом конечных элемен зования точного решения для типового элемента и со- тов, узлы между собой не связаны, то есть по существу единения элементов в систему. Матрица жесткости системы не существует. Однако теперь уже ясно, к чему всей системы определяется посредством матриц жест- надо стремиться: следует так выполнять процесс пост кости отдельных элементов и является матрицей систе- роения алгебраической системы уравнений, чтобы мат мы алгебраических уравнений относительно неизвест- рица по возможности содержала больше нулевых ко ных узловых перемещений. Наличие точного решения эффициентов и была близка к диагональной, другими для типового элемента, зависящего от конечного числа словами, желательно, чтобы в каждое уравнение входи параметров - узловых перемещений, делает задачу ло относительно небольшое число неизвестных в со дискретной. седних узлах.

Матрицы, близкие к диагональным, обычно имеют СИСТЕМА ЛИНЕЙНЫХ ленточную структуру, когда все ненулевые и некоторые АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ нулевые коэффициенты находятся между двумя лини ями, параллельными главной диагонали. Например, Метод конечных элементов сводит решение линейной задачи к решению системы линейных алгебраических t уравнений * 0 * 0 f11u1 + f12u2 + Е + f1nun = P1, t2 0 * * * K = * * * 0 0, (64)............................................. (63) 0 * 0 * * fn1u1 + fn2u2 + Е + fnnun = Pn.

0 0 0 * * Здесь ui (i = 1, 2, Е, n) - неизвестные, Pi (i = 1, 2, Е, n) - заданные свободные члены, fij (i, j = 1, 2, Е, n) - коэф- где знак * заменяет коэффициенты, отличные от нуля, фициенты при неизвестных. По аналогии с (11) коэф- а главная диагональ и параллельные ей линии указаны СОРОСОВСКИЙ ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЙ ЖУРНАЛ, ТОМ 6, №4, МАТ Е МАТ ИКА (1) пунктиром. Ленточную матрицу характеризует ширина P ---------------------- u2 = + (2-)u1 - --------), ленты t = t1 + t2 + 1, равная наибольшему числу коэф (2) ( (65) фициентов в строке в пределах ленты. В данном случае (2) - P t1 = t2 = 2 и t = 5. Для диагональной матрицы t = 1. При u2 = -----------------------)u1 + -----------------------).

(2) + (3 (2) + ( решении системы уравнений с ленточной матрицей участвуют только те коэффициенты, которые располо В прямоугольной системе координат u1, u2 на рис. жены в пределах ленты. Число арифметических опера уравнение прямой будет u2 = u1tg + g, где - угол ций, необходимых для решения системы алгебраичес между прямой и положительным направлением оси u1, ких уравнений с полностью заполненной матрицей g - отрезок отсекаемый прямой на оси u2. Уравнения методом Гаусса, при больших n имеет порядок n3. В то (18) описывают две прямые на рис. 4, а решение (18) же время для ленточной матрицы при t1 = t2 и t1 n он представляет собой координаты точки пересечения составляет nt2.

этих прямых. Здесь Для примера ленточной матрицы обратимся к за (1) дачам предыдущего раздела, но с пятью узлами и шес (2) ---------------------- tg = + (2-), tg = -----------------------).

1 тью элементами на рис. 2, г. Аналогично (11) матрица K (2) (2) + ( будет иметь коэффициенты flt. По смыслу flt они отлич Если = и прямые параллельны, то решение ны от нуля только для тех узлов l, где перемещение узла 1 t вызывает отличную от нуля силу при условии, что ос- системы (18) не существует и она является вырожден тальные узлы, кроме t, неподвижны. Отсюда при нуме- ной. Если и различаются мало, то система близка 1 к вырожденной. При этом незначительные изменения рации узлов, показанной на рис. 2, г, слева от оси x имеем углов, сильно скажутся на координатах точки пе 1 ресечения прямых, то есть на решении. Таким образом, * * 0 0 плохая обусловленность объясняется тем, что система * * * 0 является почти вырожденной.

K = 0 * * * 0.

В качестве примера обратимся к (18). Пусть 0 0 * * * (1) = (3) = и (2), то есть элемент 2 на рис. 2, а 0 0 0 * * значительно более жесткий, чем элементы 1 и 3. При этом tg tg и система (18) почти вырожденная. В 1 Здесь t = 3 и матрица K является трехдиагональной.

данном случае разумно изменить постановку задачи и При применении метода конечных элементов ши- считать элемент 2 абсолютно жестким по сравнению с рина полосы ленточной матрицы зависит от нумера- элементами 1 и 3. Это позволяет объединить узлы 1 и ции узлов. Например, если пронумеровать узлы так, в один узел, который обозначим 12, и приложить к не как показано на рис. 2, г справа от оси x, то K примет му суммарную силу P12 = P1 + P2. Если в (18) положить вид (17). Вообще если элементы имеют несколько уз- u1 = u2 = u12, вычесть из первого уравнения второе и по лов, то при t1 = t2 величина t1 равна максимальной по сле преобразований пренебречь по сравнению с (2), элементам величине наибольшей разности между но- то задача сведется к одному уравнению 2u12 = P12.

мерами узлов в отдельном элементе. В первом случае нумерации узлов слева на рис. 2, г t1 = 1, а при нуме u рации справа t1 = 2.

В некоторых случаях исходная постановка задачи может оказаться настолько плохой, что даже метод ко P ------------------------) нечных элементов не может помочь. И надо ее менять.

(1) + ( При этом имеет место система алгебраических уравне- u ний, в которой малые изменения коэффициентов или P --------) свободных членов приводят к значительному измене ( нию решения. Такие системы уравнений носят назва ние плохо обусловленных. Выясним, в чем причина плохой обусловленности на примере системы (15), ко Рис. торую перепишем в виде РОЗИН Л.А. МЕТОД КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ МАТ Е МАТ ИКА ПРИМЕР КОНТИНУАЛЬНОЙ ЗАДАЧИ узлах и определяемых своими узловыми значениями ui, i = 1, 2, Е, n. На концах интервала 0, 1 они обращаются Обратимся к задаче (3) для одного элемента. В общем в нуль. Каждую из таких функций можно изобразить в случае задания q(r)(x) она является континуальной зада виде ломаной линии.

чей. Для простоты положим с(r) = 1, l(r) = 1, u(r) = u(jr) = i Остается определить ui в (20). Это можно сделать и опустим индекс r, тогда задача (3) будет по-разному путем приближенного удовлетворения уравнению в (19). Однако, поскольку уравнение в (19) - u" = q(x), u(0) = u(1) = 0, (66) содержит u", а уже u' в (20) терпит разрывы непрерыв где штрихи означают дифференцирование по x. Со ности в узлах, воспользуемся следующим приемом.

гласно схеме метода конечных элементов разобьем ин Обозначим R(x) = u"(x) + q(x) невязку уравнения в (19).

тервал 0, 1 на элементы, соединенные в узлах xi (i = 0, 1, Точное решение дает R(x) = 0, и, следовательно, Е, n + 1) (рис. 5). Будем разыскивать приближенное ре шение (19) среди функций семейства с конечным чис (68) лом параметров в виде [u"(x) + q(x)] (x)dx = u(x) = u0 (x) + u1 (x) + Е + un (x) + un + 1 (x). (67) 0 1 n n + для любых функций (x), которые носят название тес Здесь u(x) приближенно представлена линейной ком товых. Поскольку разыскивается приближенное реше бинацией некоторых функций (x) с коэффициентами i ние в форме (20) и для него, как правило, R(x) 0, то (параметрами) ui = u(xi) - неизвестными значениями выполнение тестового условия (21) на базе (20) невоз искомой функции в узлах xi. Для того чтобы в (20) можно. Смягчим выполнение условия (21), потребо u(xi) = ui во всех узлах xi, функции (x) должны удов i летворять условиям (xi) = 1 и (xj) = 0 для всех узлов xj вав, чтобы оно выполнялось только для n функций i i (x), которые совпадают с пробными. Такой прием но j при j i. Кроме того, чтобы выполнялись граничные сит название метода Галёркина. Выполним в (21) инте условия (19), следует в (20) положить u0 = un + 1 = 0. В ос грирование по частям при условии (x) = (x) и (0) = j j тальном функции (x), которые носят название проб i = (1) = 0, тогда вместо (21) получим j ных, можно выбирать в довольно широких пределах.

Общие требования к ним состоят в возможности вы полнить процесс построения приближенного решения j ( - u' 'j + q )dx = 0, j = 1, 2, Е, n. (69) и на основе (20) при n осуществить сколь угодно точно соответствующую аппроксимацию любой функ ции, среди которых разыскивается решение задачи. Теперь уже в задачу (22) входит u' и можно подста Очевидно, выбор (x) играет важнейшую роль как в от- вить u из (20) в (22), что дает систему линейных алгеб i ношении трудоемкости расчета, так и точности резуль- раических уравнений относительно ui вида (16) с коэф тата. Метод конечных элементов оперирует в качестве фициентами fij и свободными членами Pi (x) кусочно-полиномиальными функциями, отлич i 1 ными от нуля в пределах небольшого числа элементов f = ' 'j dx, Pi = dx. (70) ij i j вблизи узла xi. Именно это делает метод максимально q 0 эффективным. Поскольку u(x) по своему физическому смыслу должна быть непрерывной функцией, выберем Здесь fij = fji и матрица K симметричная, что характерно (x) в виде кусочно-линейных функций-УдомиковФ, i для метода Галёркина. Для простоты примем длину отличных от нуля на двух элементах (см. рис. 5). Каж элементов одинаковой и равной h. Согласно рис. 5, на дая такая функция (x), i = 1, 2, Е, n, равна единице в i клон ' функции равен 1/ h на интервале xi - 1, xi и i i xi и нулю во всех остальных узлах. При этом набор - 1/h на интервале xi, xi + 1.

функций u(x) в (20) будет состоять из непрерывных Кроме того, произведение ' 'j отлично от нуля функций линейных в пределах элементов с изломами в i только при j = i, j = i 1, когда соответствующие два элемента, которые несут на себе функции и, пере i j i - 1 i i + крываются (см. рис. 5). В противном случае ' 'j = 0.

i Если i = j, то x h h h h xi + 1 xi xi + x0 = 0 x1 xi - 1 xi xi + 1 xn xn + 1 = 1 2 f = ( ')2dx = -- dx + Ц-- dx = ij i - - h h h xi - 1 xi - 1 xi Рис. СОРОСОВСКИЙ ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЙ ЖУРНАЛ, ТОМ 6, №4, МАТ Е МАТ ИКА Аналогично fij = - 1/ h при j = i 1. Следовательно, ментов для континуальной и дискретной задач в основ матрица K в данном случае оказывается трехдиаго- ном совпадают. Здесь, так же как и в случае дискретной нальной: задачи, можно выполнить построение матрицы K(r) для типового элемента и из них в процессе соединения элементов в систему сформировать матрицу K для всей 2 - системы. Аналогично формируются и свободные чле Ц1 2 Ц1 ны уравнений. Алгоритм метода конечных элементов - K = 1. (71) особенно эффективен для решения двух- и трехмер h 0 Ц1 2 Ц1 ных задач, где проявляются основные преимущества этого метода.

Ц1 Согласно (23), интегрирование в Pi совершается только ЛИТЕРАТУРА на двух соседних элементах. Решение полученной сис 1. Стренг Г., Фикс Дж. Теория метода конечных элементов.

темы алгебраических уравнений дает ui и позволяет М.: Мир, 1977. 349 с.

представить приближенное решение в форме (20).

2. Courant R. // Bull. Amer. Math. Soc. 1943. Vol. 49. P. 1Ц43.

В данном примере непрерывность пробных функ- 3. Turner M., Clough R., Martin H., Topp L. // J. Aeronaut Sci.

1956. Vol. 23, № 9. P. 805Ц823.

ций позволила воспользоваться (22). Кроме того, все i 4. Зинкевич О., Морган К. Конечные элементы и аппроксима функции отличны от нуля на разных интервалах 2h, i ция. М.: Мир, 1986. 318 с.

что делает их существенно различными и построенную 5. Розин Л.А. Стержневые системы как системы конечных на их основе при помощи (23) систему линейных ал элементов. Л.: Изд-во ЛГУ, 1976. 232 с.

гебраических уравнений невырожденной. Более того, матрица (24) оказалась ленточной и каждое уравнение Рецензент статьи Ю.Г. Мартыненко связывает не более трех неизвестных в соседних узлах.

Полученное приближенное решение (20) в виде лома * * * ной линии хорошо аппроксимирует решение задачи Леонид Александрович Розин, доктор физико-матема при достаточно больших n.

тических наук, профессор, зав. кафедрой строитель Таким образом, для континуальной задачи метод ной механики и теории упругости Санкт-Петербург конечных элементов осуществляет приближенный пе ского государственного технического университета, реход к дискретной задаче на основе (20) и соответству заслуженный деятель науки и техники РФ. Область ющих кусочно-полиномиальных функций, отличных i научных интересов - численные методы решения за от нуля на нескольких соседних элементах, содержащих дач механики деформируемых систем. Автор более узел xi. Дальнейшие процедуры метода конечных эле- 160 статей и семи монографий.

РОЗИН Л.А. МЕТОД КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ    Книги, научные публикации