А.И.Кибзун, Е.Р.Горяинова, А.В.Наумов, А.Н.Сиротин ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА.

БАЗОВЫЙ КУРС С ПРИМЕРАМИ И ЗАДАЧАМИ М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. - 224 с.

Книга предназначена для начального ознакомления с основами теории вероятностей и математической статистики и развития навыков решения практических задач.

Основное внимание уделяется краткости изложения полного курса Теории вероятностей и математической статистики, состоящего из теоретического и практического материала. Структура изложения максимально приближена к лекционным и практическим занятиям. Пособие может одновременно играть роль учебника, задачника и справочника.

Для преподавателей ВУЗов, инженеров и студентов технических и экономических специальностей.

СОДЕРЖАНИЕ Предисловие редактора 6 Предисловие 7 Список основных сокращений и обозначений 10 Глава I. Случайные события 13 з 1. Основные понятия 13 1.1. Пространство элементарных событий (13). 1.2. Алгебра событий (14). 1.3. Вероятность события (15).

з 2. Основные свойства вероятности 2.1. Аксиоматические свойства (17). 2.2. Свойства вероятности для полной группы событий (19). 2.3. Типовые задачи (21).

з 3. Основные формулы вычисления вероятностей 3.1. Формула умножения вероятностей (30). 3.2. Формула сложения вероятностей (32). 3.3. Формула полной вероятности (33). 3.4.

Формула Байеса (33). 3.5. Формула Бернулли (34). 3.6. Типовые задачи (35).

з 4. Задачи для самостоятельного решения Глава II. Случайные величины з 5. Основные понятия 5.1. Функция распределения (53). 5.2. Дискретные случайные величины (54). 5.3. Непрерывные случайные величины (56). 5.4.

Числовые характеристики случайных величин (58). 5.5.

Характеристическая функция (61). 5.6. Квантиль (62). 5.7. Типовые задачи (63).

з 6. Основные дискретные распределения 6.1. Биномиальное распределение (68). 6.2. Распределение Бернулли (70). 6.3. Распределение Пуассона (71). 6.4. Типовые задачи (73).

з 7. Основные непрерывные распределения 7.1. Равномерное распределение (76). 7.2. Экспоненциальное распределение (78). 7.3. Нормальное распределение (79). 7.4.

Распределение Вейбулла (82). 7.5. Логарифмически нормальное распределение (83). 7.6. Типовые задачи (84).

з 8. Задачи для самостоятельного решения Глава III. Случайные векторы з 9. Двумерные случайные величины 9.1. Функция распределения (93). 9.2. Плотность распределения (96).

9.3. Типовые задачи (99).

з 10. Условные распределения 10.1. Условная функция распределения (105). 10.2. Условная плотность распределения (107). 10.3. Условное математическое ожидание (109). 10.4. Корреляционная зависимость (111). 10.5.

Двумерное нормальное распределение (113). 10.6. Типовые задачи (114).

з 11. Многомерные случайные величины 11.1. Основные характеристики многомерных СВ (119). 11.2.

Многомерное нормальное распределение (122). 11.3. Биржевой парадокс (123). 11.4. Типовые задачи (125).

з 12. Задачи для самостоятельного решения Глава IV. Случайные последовательности з 13. Закон больших чисел 13.1. Виды сходимости последовательностей СВ (132). 13.2.

Сходимость усредненной суммы независимых СВ (135). 13.3.

Типовые задачи (138).

з 14. Центральная предельная теорема 14.1. Сходимость нормированной суммы независимых СВ (141). 14.2.

Сходимость частоты (144). 14.3. Типовые задачи (146).

з 15. Задачи для самостоятельного решения Глава V. Математическая статистика з 16. Основные выборочные характеристики 16.1. Основные понятия (152). 16.2. Вариационный ряд (153). 16.3.

Выборочная функция распределения (154). 16.4. Гистограмма (156).

16.5. Выборочные моменты (157). 16.6. Типовые задачи (159).

з 17. Основные распределения в статистике 17.1. Распределение хи-квадрат (161). 17.2. Распределение Стьюдента (162). 17.3. Распределение Фишера (164).

з 18. Точечные оценки 18.1. Основные понятия (165). 18.2. Метод максимального правдоподобия (169). 18.3. Метод моментов (172).

з 19. Интервальные оценки 19.1. Основные понятия (173). 19.2. Использование центральной статистики (174). 19.3. Использование точечной оценки (180). 19.4.

Типовые задачи (182).

з 20. Проверка статистических гипотез 20.1. Основные понятия (183). 20.2. Проверка гипотезы о значении параметра (185). 20.3. Проверка гипотезы о виде закона распределения (186). 20.4. Проверка гипотезы о независимости двух СВ (188). 20.5.

Проверка гипотезы об однородности наблюдений (189). 20.6. Типовые задачи (190).

з 21. Задачи для самостоятельного решения Глава VI. Приложения математической статистики з 22. Регрессионный анализ 22.1. Модели регрессии (198). 22.2. Схема Гаусса-Маркова (199). 22.3.

Простая линейная регрессия (201). 22.4. Типовые задачи (204).

з 23. Метод статистических испытаний 23.1. Основные понятия (205). 23.2. Вычисление вероятности события (205). 23.3. Вычисление определенного интеграла (208). 23.4. Типовые задачи (211).

з 24. Задачи для самостоятельного решения Ответы Таблицы Список литературы Предметный указатель ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ Аксиомы теории вероятностей 16 Группировка выборки Алгебра Буля 15 Диаграммы Венна Ч событий 15 Дисперсия выборочная Биржевой парадокс 124 Ч Ч несмещенная Вероятность доверительная 174 Ч случайной величины Ч события 16 Доверительная область Ч Ч апостериорная 34 Доверительный интервал Ч Ч априорная 33 Ч Ч право (лево) сторонний Ч Ч условная 19 Ч Ч центральный Выборка неоднородная 152 Закон больших чисел Ч однородная 152 Ч Ч Ч усиленный Выборочная дисперсия 157 Ч распределения СВ Ч квантиль 154 Информация Фишера Выборочное среднее 157 Квантиль Выборочные начальные и Ч выборочная центральные моменты 157 Ковариация Гамма-функция 83 Коэффициент корреляции Гипотеза 19 Ч Ч выборочный Ч о виде закона распределения 186 Кривая Гаусса Ч Ч значении параметра 185 Ч регрессии Ч Ч независимости 188 Кривые Пирсона Ч об однородности 189 Ч Стьюдента Ч статистическая 183 Ч Фишера Гистограмма 156 Критерий статистический Группа событий полная 19 Ч хи-квадрат (Пирсона) 186, 188, 189 Ч точечная (выборочная) Ч эффективности 168 Ч эффективная Критическая область 183 Ч R-эффективная Линия регрессии 204 Ошибка 1-го (2-го) рода ММ-оценка 172 Ч предсказания МНК-оценка 199, 202 среднеквадратическая МП-оценка 169 План эксперимента Математическое ожидание СВ 58 Плотность распределения Ч Ч условное 109, 110 (вероятности) двумерной СВ Ч Ч n-мерной СВ 119 Ч Ч двумерной нормально Матрица ковариационная 119 распределенной СВ Ч корреляционная 120 Ч Ч случайной величины Ч ортогональная 175 Ч Ч условная Ч плана 199 Ч Ч n-мерной СВ Ч регрессионная 199 Полигон частот Медиана 62 Поправки Шеппарда Метод максимального Порядковая статистика правдоподобия 170 Ч экстремальная Ч моментов 172 Правило л k сигм Ч наименьших квадратов 199, 202 Пространство выборочное Ч статистических испытаний Ч элементарных событий (Монте-Карло) 205 Прямая среднеквадратической Многоугольник распределения 55 регрессии Моменты случайной величины Разряд начальные 59 Распределение Бернулли Ч Ч Ч Ч выборочные 157 Ч Вейбулла Ч Ч Ч центральные 59 Ч Коши Ч Ч Ч Ч выборочные 157 Ч Пуассона Неравенство Рао-Крамера 168 Ч Стьюдента Ч Чебышева 134 Ч Фишера Область доверительная 183 Ч биномиальное Ч критическая 183 Ч логнормальное Опыт 13 Ч нормальное (гауссовское) Ч сводящийся к схеме случаев 19 Ч равномерное Отклик 198 Ч треугольное (Симпсона) Оценка интервальная 174 Ч хи-квадрат Ч максимального правдоподобия Ч экспоненциальное 169 Реализация выборки Ч метода моментов 172 Ч случайной величины Ч Ч наименьших квадратов 199, 202 Регрессия Ч несмещенная 165 Ч параболическая Ч робастная 203 Ч простая линейная Ч состоятельная 166 Регрессор Ч Ч сильно 166 Решающее правило Ряд вариационный 153 Ч элементарное Ч распределения 54 Событий произведение Ч статистический 156 Ч разность Свойство счетной аддитивности Ч сумма вероятности 32 События независимые Ч устойчивости частоты 13, 16 Ч Ч в совокупности Система уравнений метода моментов Ч Ч попарно 172 Ч несовместные ЧЧ Ч правдоподобия 170 Ч равные Случай 19 Среднее выборочное Ч благоприятствующий событию 19 Ч значение СВ Случайная величина 53 Ч квадратическое отклонение СВ Ч Ч абсолютно непрерывная 56 Статистика Ч Ч двумерная 93 Ч порядковая Ч Ч Ч дискретная 95 Ч Ч экстремальная Ч Ч Ч непрерывная 96 Ч центральная Ч Ч дискретная 54 Статистическая гипотеза Ч Ч непрерывная 56 Ч Ч альтернативная Ч Ч нормальная (гауссовская) 79 Ч Ч основная Ч Ч Ч стандартная 80 Ч Ч простая Ч Ч нормированная 59 Ч Ч сложная Ч Ч сингулярная 56 Статистическая модель Ч Ч центрированная 59 Ч Ч параметрическая Ч Ч n-мерная 119 Ч Ч Ч регулярная Ч Ч Ч нормально распределенная Статистический критерий 122 Схема Бернулли Случайная последовательность 135 Ч Гаусса-Маркова Ч Ч независимых СВ 131 Сходимость случайной Случайные величины последовательности в среднем коррелированные 111 квадратическом Ч Ч Чотрицательно 112 Ч Ч Ч по вероятности Ч Ч Ч положительно 112 Ч Ч Ч Ч распределению Ч Ч независимые 95, 120 Ч Ч Ч почти наверное Ч Ч некоррелированные 111 Теорема Бернулли Ч Ч Ч попарно 120 Ч Гаусса-Маркова Случайный вектор 93 Ч Гливенко-Кантелли Событие 13, 16 Ч Колмогорова Ч достоверное 14 Ч Ляпунова Ч невозможное 13 Ч Муавра-Лапласа Ч почти никогда не происходящее Ч Ч интегральная 17 Ч Ч локальная Ч происходящее почти наверное 17 Ч Пуассона Ч противоположное 14 Ч Фишера Ч случайное 13, 16 Ч Чебышева Ч о нормальной корреляции 114 Функция Лапласа Ч центральная предельная 141 Ч единичная ступенчатая Уровень доверия 174 (Хевисайда) Ч значимости 184 Ч правдоподобия Ч надежности 174 Ч Ч логарифмическая Условие Ляпунова 141 Ч распределения Ч независимости 72 Ч Ч выборочная (эмпирическая) Ч нормировки 55, 56, 95 Ч Ч двумерной СВ Ч ординарности 72 Ч Ч случайной величины Ч стационарности 72 Ч Ч условная Условная плотность распределения Ч Ч n -мерной СВ (вероятности) 107 Ч теоретической регрессии Ч функция распределения 105 Ч характеристическая Формула Байеса 34 Центральная предельная теорема Ч Бернулли 34 Частота события Ч классическая вычисления Ч луспехов 137, вероятности 20 Число испытаний гарантирующее Ч полного математического ожидания 110 Ч перестановок Ч полной вероятности 33 Ч сочетаний Ч свертки плотностей -алгебра Ч сложения вероятностей Ч умножения вероятностей    Книги, научные публикации