Книги, научные публикации
Библиотека Магазин Математическая книга в МЦНМО Математическое просвещение В магазине представлен наиболее полный ассортимент книг издатель ства МЦНМО. Эти книги продаются по издательским ценам. Здесь
также можно найти книги по мате матике ведущих издательств, таких как Мир, Физматлит, УРСС, Факториал, Регуляр ная и хаотическая динамика.
А. В. Жуков В отделе школьной лите ратуры представлен широкий ассортимент книг для школь- ОЧИСЛЕ ников, учителей, руководите лей математических кружков.
В отделе вузовской и научной литературы можно найти учебники и научные монографии ведущих российских и зарубежных математиков.
В магазине также имеются отделы книгаЧпочтой и букинистический.
Адрес магазина: 119002, Москва, Бол. Власьевский пер., 11. Проезд до ст. м. Смоленская или Кропоткинская, далее пешком (см. схему).
Телефон для справок: 241 72 85.
l Магазин работает ежедневно кроме воскресенья (летом Ч кроме =?
2r субботы и воскресенья) с 1130 до 2000.
r l ISBN 5 94057 030 Издательство Московского центра непрерывного математического образования E-mail: biblio@mccme.ru 9 785940 570301 Москва Х /biblio.mccme.ru/ Y K Библиотека Математическое просвещение Выпуск А. В. Жуков Научно- редакционный совет серии:
В. В. Прасолов, А. Б. Сосинский, В. М. Тихомиров (гл. ред.), И. В. Ященко.
ОЧИСЛЕ Серия основана в 1999 году.
Издательство Московского центра непрерывного математического образования Х Москва УДК 51(09) ВВЕДЕНИЕ ББК 22. Все знают, что длина окружности больше её диаметра в одно и Ж то же, не зависящее от самой окружности, число раз. К этому выво ду можно прийти, задавшись вопросом: почему все окружности по хожи друг на друга? Для похожих, или, как говорят математики, Аннотация п о д о б н ы х фигур естественно предположить пропорциональность Изучение числа Ч задача, интересующая математи их линейных размеров. Так, для двух произвольных окружностей с ков на протяжении нескольких тысячелетий. В этой бро длинами C1 и C2 идиаметрамиd1 и d2 соответственно мы вправе ожи шюре излагается история вычислений числа, начиная от C1 d Архимеда и заканчивая новейшими сверхэффективными дать выполнение равенства =. По свойству пропорции отсюда алгоритмами. Рассказывается также о различных пробле C2 d мах, связанных с этим числом, некоторые из которых пока C1 C остаются нерешёнными.
получаем =. Осталось только обозначить последнее отношение d1 d Брошюра написана по материалам лекции, прочитан ной автором22 декабря 2001 года на Маломмехмате МГУ буквой и заключить, что длина C произвольной окружности для школьников 9Ч11 классов.
диаметра d может быть вычислена по формуле C = d. Конечно же, Для широкого круга читателей, интересующихся ма эти рассуждения носят лишь правдоподобный характер, поскольку тематикой: школьников старших классов, студентов млад ших курсов, учителей...
основываются на интуитивномпредставлении о длине окружности.
То, что отношение длины окружности к её диаметру постоянно, было известно ещё в глубокой древности. Первое о б о з н а ч е н и е Издание осуществлено при поддержке Московской городской Думы этого числа греческой буквой содержится в работе Synopsis и Московского комитета образования.
Palmoriorum Matheseos (Обозрение достижений математики) ан глийского преподавателя Уильяма Джонса (1675Ч1749), вышедшей в 1706 году. Обозначение для отношения длины окружности к диаметру широко распространилось после того, как его стал исполь ISBN 5-94057-030-5 й Жуков А. В., 2002.
зовать в своих трудах Леонард Эйлер (1707Ч1783).
й МЦНМО, 2002.
ПРЕДЫСТОРИЯ ЧИСЛА Жуков Александр Владимирович.
Вычисления числа претерпели удивительную эволюцию Ч от Очисле.
наивных оценок древних, тысячелетия потративших для того, чтобы определить первые два знака после запятой этого числа, до миллиар (Серия: Библиотека ДМатематическое просвещениеУ).
М.: МЦНМО, 2002. Ч32с.: ил.
дов знаков, полученных в наши дни.
Из математических текстов древних вавилонян (3Ч2 тысячеле Редактор Е. Ю. Смирнов.Техн. редактор М. Ю. Панов.
C тия до н. э.) вытекает такое соотношение: S =, где S Чплощадь Лицензия № 01335 от 24/III 2000 года. Подписано к печати 11/VI 2002 года.
Формат бумаги 60 88 /16. Офсетнаябум ага№1. Офсетнаяпечать. Физ. печ. л. 2,00.
круга, а C Ч длина окружности. Способ, применявшийся для выво Усл. печ. л. 1,96. Уч.-изд. л. 1,81. Тираж 3141 экз. Заказ 1988.
да этой формулы, неизвестен. Если в неё подставить выражение для Издательство Московского центра непрерывного математического образования.
площади круга S = r2 и длины окружности C =2r, то из равенства 119002, Москва, Бол. Власьевский пер., 11. Тел. 241 05 00.
(2r) r2 = получимоценку для числа, которую использовали древ Отпечатано в ФГУП Производственно-издательский комбинат ВИНИТИ.
140010, г. Люберцы Московской обл., Октябрьский пр-т, 403. Тел. 554 21 86. ние вавилоняне. Они полагали, что равно трём.
Более точное значение для числа было получено в Древнем рецептам древних умельцев и мастеров пришли строгие рассуждения Египте. В Лондоне и Нью-Йорке хранятся две части древнеегипетско- математиков.
го папируса, который известен как папирус Ринда (или Райнда), по Идеи Антифона и Бризона имени Генри Ринда Ч мецената, приобрётшего папирус в 1858 году (в год его обнаружения). Эту древнюю рукопись относят к периоду Попытку осмыслить понятие длины окружности одним из пер между 2000 и 1700 годами до н. э.
вых предпринял философ Антифон, живший в Греции в V в. до н. э.
В папирусе Ринда приводятся решения различных практических В Истории геометрии Евдема (IV в. до н. э.) так описывается его задач. Тамможно прочитать наставление, как вычислить круглый способ определения длины окружности:
хлебный амбар, имеющий форму цилиндра с диаметром основания Начертив круг, он вписал в него такой правильный многоуголь 9 локтей (локоть Ч старинная мера длины, немногим менее 0,5 м).
ник, который мы умеем вписать. Пусть это будет квадрат. Потом он Для вычисления площади основания предлагается такой рецепт:
разделил каждую сторону квадрата пополами через точки деления провёл прямые, перпендикулярные к сторонам до пересечения с От 9 отними, т. е. 1. Получится8. Ум ножь8на8. См отри: это64.
окружностью. Очевидно, они делят сегменты круга на две равные Ты правильно нашёл.
части (рис. 1). Затем он соединил полученные точки с концами Здесь сформулировано такое правило для определения площади сторон квадрата так, что получились четыре треугольника, и вся круга. Эта площадь S равна площади квадрата, сторона которого рав образовавшаяся фигура стала правильным восьмиугольникомЕ.
1 на диаметру круга d, уменьшённому на своей длины, т. е. S = d, Продолжая этот процесс дальше, Антифон по 9 лучает 16-угольник, 32-угольник, 64-угольник изначит, = 3,1604Е Из каких соображений получена эта формула?
и т. д. Поступает он так, пока не исчерпает весь Неизвестно.
круг, Ч пишет Евдем. Ч И Антифон заключает, Неизвестно также происхождение множества других содержа что такимобразомбудет вписан многоугольник, щихся в древних источниках математических рецептов.
периметр которого можно рассматривать как Среди примечательных результатов предыстории числа от длину окружности.
метим довольно грубое приближение 3, которым пользовался Подход Антифона к определению длины ок ружности вызвал жаркие споры среди учёных известный римский архитектор Витрувий (живший в I в. до н. э.) Рис. Древней Греции. Симпликий (VI в. н. э.) в ком (ему приходилось проектировать сооружения внушительных раз ментариях к Истории геометрии Евдема пи меров, например, знаменитый Римский театр, и надо полагать, что сал по этому поводу, что мы никогда не достигнем окружности кру используемое им грубое значение для приводило к недочётам в га, даже если бы деление продолжалось до бесконечности. Что же строительстве), и выдающийся результат китайского математика смутило Симпликия и его единомышленников?
и астронома Цзу Чунчжи (V в. н. э.), дающий сем ь точных 113 Интуитивное понятие предела, на которомоснована конструкция десятичных знаков числа. Антифона, чревата хитроумными ловушками, о чём свидетельствует следующий древний софизм (неверное утверждение, производящее впечатление правильного):
ЭРА ВПИСАННЫХ И ОПИСАННЫХ МНОГОУГОЛЬНИКОВ Теорема. В любом треугольнике одна из сторон равна сумме Найти одно научное доказательство для меня двух других.
важнее, чем овладеть всем персидским царством.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть в рассматриваемом треугольнике Демокрит ABC точки D, E, F Ч середины сторон (рис. 2). По свойству средних Цивилизация древних эллинов подарила миру один из самых 1 линий треугольника DF = BC и EF = AB, так что длина ломаной значительных подарков в истории человечества Ч доказательную ма 2 тематику. На смену неизвестно откуда взявшимся вычислительным ADFEC равна сумме длин сторон AB и AC. Если далее взять середины 4 G, H, I, J сторон двух новых треугольников ADF и FEC, тоточнотак ничего не остаётся делать, как совпасть с указанными пределами:
же можно показать, что длина ломаной AGKHFILJC равна длине A = C = B. Современные методы анализа позволяют дать этим рассу ломаной ADFEC и, следовательно, равна сумме длин сторон AB и AC. ждениямстрогое обоснование (см. Приложение, с. 29).
Такой процесс измельчения ломаной можно продолжать сколь угодно Ну а коль скоро идея верна, то можно принять следующее опре долго, но на каждомшаге этого процесса длина всех последовательно деление длины окружности:
образованных ломаных равна AB + BC. Дли- Длиной окружности называется предел периметров правильных A на отрезков, составляющих ломаные линии, вписанных в окружность многоугольников при неограниченном постоянно уменьшается, их концы всё более возрастании количества их сторон.
K G и более прижимаются к основанию AC, и Или такое:
в пределе периметр ломаных сливается с Длиной окружности называется предел периметров правильных F D отрезком AC. Следовательно, AB + BC = AC. описанных около окружности многоугольников при неограничен H Итак, кажущиеся интуитивно ясными номвозрастании количества их сторон.
L I выводы о результатах бесконечного процесса могут отстоять от истины довольно далеко.
Измерение круга Архимеда Действительно ли стремится к пределу BE J C последовательность периметров вписанных в Рис. Дробь часто называют лархимедовым числом. Здесь имеется окружность правильных многоугольников?
А если стремится, то где гарантия того, что этот предел непременно давняя традиция. Например, из знаменитой Арифметики (1703) совпадёт с длиной окружности? Не случится ли так, что периметры Леонтия Магницкого (1669Ч1739), сыгравшей исключительную многоугольников стремятся к какому-то пределу, а длина окружнос роль в становлении точного знания в России, мы узнаём, что в колё ти при этом останется чем-то недосягаемым?
сах же пропорция архимедова диаметра ко окружности как 7 к 22.
Корректные ответы на эти вопросы были даны сравнительно Многие ошибочно полагают, будто заслуга Архимеда состоит недавно, когда появились строгие методы математического анализа лишь в обнаружении приближённого равенства. На сам ом (XVIIЧXVIII вв.). Удивительно, что за несколько тысячелетий до этого, на самой заре становления точного знания, деле Архимеду удалось не только найти это довольно хорошее учёные уже пытались нащупывать приёмы, приближение для числа, но и, что гораздо важнее, определить обуздывающие норов коварной бесконечности.
точность этого приближения, т. е. указать узкий промежуток чи Одну из плодотворных идей в этомнаправле словой оси, которому принадлежит отношение длины окружности к нии высказал пифагореец Бризон (V в. до н. э.).
её диаметру. В работе Измерение круга, чудом дошедшей до нас Он предложил для нахождения длины окруж благодаря стараниям многочисленных переписчиков, Архимед до ности не только вписывать в круг (по способу казывает цепочку неравенств, которая в современных обозначениях Антифона), но и описывать около него соответ выглядит так:
Рис. ствующие правильные многоугольники (рис. 3).
10 6336 Длина окружности всегда будет заключена меж- 3 31, 71 1 1 2017 ду периметрами вписанного и описанного многоугольников и может 4 быть установлена темточнее, чембольше сторон у этих многоуголь ников. или 3,1409096Е 3,1428265Е Свои выводы Архимед формули Если периметры вписанных многоугольников стремятся к вели- рует в виде теоремы:
чине A, а периметры описанных многоугольников Ч к величине B, то Периметр всякого круга равен утроенному диаметру с избыт длина окружности C должна находиться между этими двумя числа- ком, который меньше одной седьмой части диаметра, но больше ми: A C B. Если вдруг окажется, что A = B, то длине окружности C десяти семьдесят первых ([1], с. 185Ч191).
6 22 Как видим, лархимедово число приближает число сизбыт- а затем преобразовать его к обыкновенной дроби, то получим.
7 ком, и точность такого приближения равна 0,002. Архимед нашёл Если же оборвать цепочку на 12-м звене, то получим. Удиви три точных знака числа : = 3,14Е Именно эти три знака чаще всего тельное совпадение!
используются нами в несложных повседневных расчётах.
Архимед достоин восхищения ещё и потому, что свои высокоточ Сделать точные выводы Архимеду помогли вписанные и опи ные расчёты с дробями, а также выкладки по извлечению квадратных санные многоугольники. Отправляясь от вписанного в заданную корней из больших чисел, он проводил в неудобной с точки зрения со окружность и описанного около неё правильных шестиугольников, временного человека системе нумерации. Каким способом пользовал Архимед затем исследует правильные 12-угольники, 24-угольники, ся Архимед для приближённого извлечения квадратных корней Ч 48-угольники, 96-угольники. При этом Архимед проявляет чудеса неизвестно. В сложных выкладках Ар изобретательности. Так, для оценки отношения диаметра окруж B химеда очень легко запутаться.
ности d к стороне a6 правильного описанного шестиугольника он Упражнение 1. Попробуйте повто d D привлекает неравенство. С высоты сегодняшних знаний мы рить рассуждения Архимеда в ре a6 шении следующей задачи. На рис. d 3, знаем, что =ctg30 = но во времена Архимеда ещё не было изображена дуга окружности с цен a C E A тромв точке E идиам етром AC. BC Ч тригонометрических функций. Получается, что в своих расчётах Рис. сторона вписанного в эту окружность Архимед подобрал приближение для числа в виде обыкновенной правильного шестиугольника, а DC Ч дроби. Это приближение имеет поразительно высокую точность:
сторона вписанного правильного 12-угольника. Архимед подбирает величину диаметра окружности таким образом, чтобы для вели AB AB 3 265 0,000025.
чины была справедлива довольно точная оценка.
BC BC Для этого он полагает AC = 1560 (убедитесь, что при такомзначе В другом месте он воспользовался оценкой, ещё более точно нии диаметра величина AB2 отличается от величины BC 3с приближающей число избытком :
всего на единицу!). Исходя из этих числовых данных, докажите неравенство 3 0,000001.
AC Как Архимед мог получить такие точные приближения? Об этом CD можно только догадываться. Академик С. Н. Бернштейн в коммента (учтите, что Архимед тригонометрическими функциями не пользо риях к работе Архимеда ([2], с. 224) обращает внимание, например, вался).
на такой факт. Запишемчисло в виде цепной дроби (см., напри мер, [3]):
Начало удивительного соревнования Созданный древнегреческими математиками метод вычисления 3=1+.
длины окружности посредствомвписанных и описанных многоуголь 1+ 2+ ников оставался основнымна протяжении почти двух тысяч лет.
1+ Клавдий Птолемей (ок. 100Ч178) для вписанного правильно 2+.
.
.
го 720-угольника получает 3,14167. Китайский математик Если оборвать бесконечную цепочку в этомвыражении на 9-мзвене, Лю Хуэй (IIIЧIV вв. н. э.) для вписанного 3072-угольника находит 8 3,14159. Самаркандский математик Гияс ад-Дин Джемшид ал-Ка- Метод вписанных и описанных многоугольников достиг своего ши (XIVЧXV вв.) в Трактате об окружности (1424) ставит задачу с наивысшего развития в работах голландских математиков Вилле интригующимусловием: выразить окружность через диаметр с такой брорда Снеллия (1580Ч1626) и Христиана Гюйгенса (1629Ч1695).
точностью, чтобы погрешность в длине окружности, диаметр которой Тонкие геометрические рассуждения позволили им получить более равен 600000 диаметров Земли, не превосходила толщины волоса точные результаты при меньшем числе сторон используемых мно (примерно 0,5 мм). Для этой цели он определяет число с точностью гоугольников. Результат Архимеда Ч три точных знака ЧСнел до 16 верных десятичных знаков: 3,14159265358979325, попутно лий получает уже для вписанного и описанного шестиугольников, а указывая, что всей истины этого*) не знает никто, кроме Аллаха. 96-угольники помогают ему рассчитать 7 точных знаков. Христиан Ал-Каши последовательно расчитывает вписанные многоугольники, Гюйгенс в сочинении О найденной величине круга (1654) доказы начиная с треугольника и дойдя до 805306368-угольника**). Полу- вает ряд теорем о соотношениях между длинами хорд и стягиваемых ченная ал-Каши точность в измерении окружности была достигну- ими дуг, которые позволили ему вычислить 10 точных знаков числа та и превзойдена европейскими математиками лишь в конце XVI в. уже для 60-угольника.
В 1597 году голландский математик Адриан ван Роомен (1561Ч1615) Упражнение 2. Один из тонких геометрических фактов, обна публикует свои результаты по вычислению 17 десятичных знаков чи- руженных Гюйгенсом, состоит в следующем. Отложим на число сла, для чего применяет 1073741824-угольник***). На скрупулёз- вой оси значение pn периметра правильного n-угольника, вписан ные вычисления Адриан ван Роомен потратил несколько лет. ного в окружность единичного диаметра, и значение Pn периметра Однако рекорд фантастического прилежания и неимоверной точ- правильного n-угольника, описанного около неё. Разделимотрезок ности побил профессор математических и военных наук Лейденского [pn,Pn] на три равные части. Докажите, что для любого n число университета Лудольф ван Цейлен (1539Ч1610). На протяжении де 2 принадлежит первой из этих частей, т. е. pn pn + Pn.
сяти лет, удваивая по методу Архимеда число сторон вписанных и 3 описанных многоугольников и дойдя до 32512254720-угольника, он вычислил 20 точных десятичных знаков числа. Своё сочинение с ЭРА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА изложениемрезультатов в 1596 году профессор завершил патетиче ской фразой: У кого есть охота, пусть пойдёт дальше. И как бы С конца семнадцатого столетия бурная река человеческой пытли в доказательство того, что лохота пуще неволи и лучшего охотни вости вышла из берегов элементарной математики Ч началась эра ка, чемон сам, во всёммире не сыскать, Лудольф ван Цейлен опять математического анализа. Бесконечные последовательности и ряды ринулся вычислять очередные точные знаки числа, впоследствии стали привычными объектами исследований математиков. Возник доведя их количество до 35. Эти знаки он завещал выбить на своём ло дифференциальное и интегральное исчисление, базирующееся на надгробном камне. В память о неординарном вычислителе современ строго определённомпонятии предела. Новые инструменты исследо ники ещё долгое время называли числомЛудольфа ([2], с. 54Ч55).
ваний позволили взглянуть на число с совершенно неожиданной Отдавая должное мастерству и поистине самоотверженному тру стороны.
ду математиков этого периода, посвящавших годы своей жизни, или Однимиз первых результатов в этомнаправлении стал ряд даже всю жизнь, вычислению точных знаков числа, всё же нуж но признать, что их результаты носили скорее спортивный, чемна 1 2 1 1 =1 + + +Е, (1) учный характер. Если, например, рассчитать длину экватора сферы, 4 3 5 7 9 вмещающей известную нам часть Вселенной (радиус сферы 5 1026 м), используя при этомнайденное Лудольфомзначение, то погрешность названный в честь открывшего его в 1673 году немецкого матема не превысит одной миллионной доли миллиметра! тика Готфрида Вильгельма Лейбница (1646Ч1716) рядом Лейбница.
Многоточие, поставленное справа от знака л+ в формуле (1), следу *) Точного значения.
ет понимать так. Чем больше слагаемых взять в правой части этого **) 805306368 = 3 228.
***) 1 073 741 824 = 230. равенства, тем меньше их алгебраическая сумма будет отличаться 10 трических тождеств:
от числа. Это даёт принципиальную возможность вычислять со x + y сколь угодно большой точностью.
arctgx +arctgy =arctg1 xy (xy 1), Ряд Лейбница является частнымслучаемболее общего ряда, от x y крытого английским математиком Джеймсом Грегори (1638Ч1675) arctgx arctg y =arctg1+xy (xy 1), в1670году:
2x x3 x5 x7 x9 x11 2arctgx =arctg ( x 1).
arctg x = x + + +Е (2) 1 x 3 5 7 9 1 (здесь 1). Раскладывая каждый из арктангенсов arctg, arctg в ряд x 5 Грегори не заметил, что этот ряд имеет отношение к числу. Ряд Грегори, получимвесьма удобное для вычислений выражение Лейбница (1) получается из ряда Грегори (2) при x =1.
1 1 1 Коль скоро появился удобный инструмент, вычислители не пре =4 + +Е 4 3 53 5 55 7 минули им воспользоваться. Ряд (1) не очень удобен для расчётов:
1 1 1 чтобы получить с двумя верными знаками после запятой, надо сло + +Е.
3 2393 5 2395 7 жить 50 членов ряда, а для трёх десятичных знаков понадобится более Это разложение позволило Джону Мэчину вычислить 100 десятич 300 действий. Если же в формуле (2) положить x =, то получится ных знаков числа. Его результат был опубликован в 1706 году ряд У. Джонсом в уже упоминавшейся работе Обозрение достижений 3 1 1 1 1 математики, где впервые зарегистрировано использование буквы = 1 + + +Е (3) 6 3 9 45 189 729 для обозначения отношения длины окружности к диаметру.
Упражнение 3. Приведённые формулы Л. Эйлера и Л. К. Шульца с гораздо более быстрой сходимостью (обратите внимание, как бы позволяют сформулировать следующую гипотезу:
стро здесь увеличиваются знаменатели). Именно этим разложени ем (3) воспользовался Авраам Шарп (1651Ч1742) для вычисления 1 1 1 1 arctg 1 = arctg +arctg +arctg +arctg +arctg +Е в 1699 году рекордного количества точных десятичных знаков чи 2 5 13 34 сла Ч71знак.
(в знаменателях дробей в правой части стоят числа Фибоначчи с Следующая хитрость, которой воспользовались вычислители, нечётными номерами). Обоснуйте эту закономерность.
состояла в подборе комбинаций арктангенсов, каждый из которых Успехи Шенкса и Мэчина окрылили других вычислителей, и они выражается при помощи ряда, сходящегося быстрее, чемряд Лейб с азартом присоединились к удивительному соревнованию, начатому ница (1):
математиками эпохи вписанных и описанных многоугольников.
1 1 Де Ланьи (1660Ч1734), используя метод Шарпа, в 1719 году arctg 1 = 4arctg arctg (Джон Мэчин), 5 вычислил 127 точных десятичных знаков числа. Вскоре Леонард Эйлер другим способом проверил результат Ланьи и обнаружил arctg 1 = arctg +arctg1 (Леонард Эйлер), 2 3 ошибку в 113-мзнаке. В 1794 году Вега указал значение с точно стью до 140 десятичных знаков, из которых точными оказались 136.
1 1 arctg 1 = 4arctg arctg +arctg99 (Джеймс Стирлинг, В 1841 году УильямРезерфорд сообщает 208 десятичных знаков. Его 5 Томас Симпсон, результат перепроверил талантливый гамбургский вычислитель Ио УильямРезерфорд), ганн Мартин Захария Дазе (1824Ч1861). Он показал, что Резерфорд 1 ошибся в 153-мзнаке. В 1844 году Дазе довёл точность до 205 зна arctg 1 = arctg +arctg +arctg1 (Л. К. Шульц).
2 5 ков, из которых 200 были вычислены верно. В 1847 году Томас Проверить эти формулы можно исходя из известных тригономе- Клаузен продвинулся до 250 знаков, из которых 248 были точны.
12 В 1853 году Резерфорд увеличил своё достижение до 440 десятичных кордсменов стали делить между собой машины. У кого тактовая знаков. Рекорд того времени установил Уильям Шенкс Ч 530 знаков частота процессора больше, тот и победил.
(из них 527 верных). В последующем Шенкс упорно работал над Но не тут-то было! Оказалось, что человека Ч виновника всей вычислениями новых знаков, доведя их количество до 707. этой кутерьмы с вычислениями числа Ч рано списывать со счетов.
Он стал придумывать не просто схемы умножения многозначных чи сел, а схемы с в е р х б ы с т р о г о умножения, не просто алгоритмы НОВАЯ ЭРА вычисления числа, а сверхэффективные алгоритмыЕ Впечатляющие результаты Уильяма Шенкса возглавляли табли цу рекордов вплоть до середины XX века. Вычисленные Шенксом Схемы сверхбыстрого умножения 707 десятичных знаков числа появились на страницах научно-по Способ умножения в столбик, которым мы обычно пользуемся, пулярных изданий. Архитекторы стали украшать ими свои сооруже с точки зрения современного компьютера довольно расточителен.
ния. Именно эти 707 цифр были размещены в виде гипсового фри Чтобы перемножить таким способом два натуральных n-разрядных за под потолком лцифирной палаты в Доме занимательной науки числа, нужно произвести n2 попарных умножений цифр и ещё некото на Фонтанке (в Ленинграде), организованномпо инициативе Якова рое количество сложений. Объёмэтой вычислительной работы можно Исидоровича Перельмана в 1934 году. Этими же 707 цифрами Уильям существенно уменьшить, если рационально распорядиться промежу Голени в 1937 году украсил купол циклической галереи парижского точными вычислениями.
Дворца Открытий.
На одно из рационализаторских усовершенствований подобно Двадцатый век вошёл в историю человеческой цивилизации не го рода обратил внимание отечественный математик Анатолий Алек только своими разрушительными войнами. Он ознаменовался значи сандрович Карацуба в 1962 году (см., например, [5]). Предположим, тельными достижениями человеческого духа, в частности, компью что каждый из сомножителей x и y имеет по 2n цифр. Разобьёмих на терной революцией. Уже первые проверки на появившихся в 1945 го два блока по n цифр:
ду электронно-вычислительных машинах показали, что Уильям x =10nx1 + x0, y =10ny1 + y0.
Шенкс в своих расчётах ошибся, начиная с 528 знака, так что весь последующий хвост из 180 знаков оказался неверным. Это дало по Здесь x1, x0, y1, y0 Ч n-значные числа. Воспользовавшись тождеством вод английскому математику Гарольду Коксетеру (р. 1907) с горечью (x1 x0)(y0 y1) = x1y1 x0y0 + x1y0 + x0y1, констатировать: Нельзя без грусти думать о том, что вычисления, на которые бедный Шенкс потратил значительную часть своей жизни, произведение xy можно записать так:
современная ЭВМ может воспроизвести (без его роковой ошибки) xy =(10nx1 + x0)(10ny1 + y0) = всего за несколько секунд просто для ДразминкиУ ([4], с. 379).
=(102n +10n)x1y1 +10n(x1 x0)(y0 y1)+(10n +1)x0y0.
С появлениемкомпьютеров темпы погони за точными десятич ными знаками числа резко ускорились. Таким образом, задача умножения 2n-разрядных чисел свелась к В июне 1949 года Джон фон Нейман (1903Ч1957) и его сотруд- трёмоперациямдля n-разрядных чисел x1y1, (x1 x0)(y0 y1), x0y0 и ники вычислили 2037 знаков на одной из первых вычислительных ещё к операциямсложения и сдвига. Вместо 4n2 операций поразряд машин ENIAC. Рубеж в 10000 знаков был достигнут в 1958 году ного умножения обычнымспособомздесь требуется всего 3n2 опера Ф. Женюи с помощью компьютера IBM 704. Сто тысяч знаков вычи- ций. Выигрыш, казалось бы, небольшой, но ведь и возникшие здесь слили в 1961 году Дэниэл Шенкс (однофамилец Уильяма Шенкса) и n-значные числа также можно перемножать подобным образом, их Джон Ренч с помощью компьютера IBM 7090. В 1973 году Жан Гийу составные части Ч тоже, и т. д. По мере увеличения n экономия вы и М. Буйе преодолели отметку в 1000000 знаков, что заняло меньше числений может оказаться существенной.
одного дня работы компьютера CDC-7600. Современные алгоритмы сверхбыстрого умножения использу Казалось бы, эра компьютеров окончательно и безвозвратно ют ещё более изощрённую технику вычислений. Например, алгоритм устранила человека с арены соревнований. Лавры победителей-ре- ШёнхагеЧШтрассена (1971) умножения целых чисел использует 14 интерполяцию полиномов и так называемое быстрое преобразование a2, Е, вычисляяихпоформ уле Фурье. Объём вычислений по этому алгоритму двух целых n-разряд an+1 =(1+yn+1)4an 22n+3yn+1(1 + yn+1 + y2 ), n = 0, 1, 2, Е n+ ных чисел по сравнению с методом умножения в столбик умень n шается в раз. Например, поиск произведения двух Оказывается, по мере увеличения номера шага n величина очень log2 n log2 log2 n an быстро приближается к, а именно, имеет место оценка 216-разрядных сомножителей ускоряется более чемв тысячу (210) раз по сравнению с обычнымспособомумножения. Довольно существен 2n+ 0 an 1 22n+5 e 2.
ная экономия для электронных вычислителей точных знаков числа ! Так, уже a4 даёт 694 верных знаков числа.
Сверхэффективный алгоритм Джонатана и Питера Борвейнов У истоков открытия этого алгоритма лежали исследования в области так называемых эллиптических интегралов и тета-функ Канадские математики Джонатан и Питер Борвейны в 1987 году ций Ч высших разделов современной математики [7]. Авторы этого нашли удивительный ряд:
поразительного алгоритма также утверждают, что им помогли некоторые идеи гениального индийского математика Сринивазы 1 ( 1)n (6n)!
=12 Рамануджана (1887Ч1920).
3n+ n=0 (n!)3 (3n)! (5280(236674 + 30303 61)) Продолжение марафона (212175710912 61 + 1657145277365 + Удивительный марафон, начатый с вычисления Архимедом + n(13773980892672 61 + 107578229802750)), трёх точных знаков числа, сегодня так же далёк от завершения, как и две тысячи лет назад.
По алгоритму Джонатана и Питера Борвейнов в январе 1986 го где n! =1 2 3 Е n, а0! =1.
да Дэвид Х. Бейли получил 29360000 десятичных знаков на су Последовательность стоящих под знаком суммы слагаемых при перкомпьютере Cray-2, а в 1987 году Я. Канада и его сотрудники Ч n = 0, 1, 2, Е добавляет около 25 точных цифр числа с каждым 134217000 знаков на суперкомпьютере NEC SX-2. Результат Дэвида новымчленом. Первый член (соответствующий n =0) даётчисло, со и Грегори Чудновски из Колумбийского университета в Нью-Йорке, впадающее с в 24 десятичных знаках [6].
вычисливших в 1989 году 1011196691 знак числа, попал даже Джонатан и Питер Борвейны предложили также алгоритмрас в книгу рекордов Гиннесса. Для своих расчётов они использовали чёта десятичных знаков числа, имеющий фантастическую эффек суперкомпьютер Cray-2 и сеть компьютеров IBM-3090. К октябрю тивность: каждый новый шаг выполнения этого алгоритма уточняет 1995 года сотрудниками Токийского университета Ясумасой Кана количество верных цифр в разложении числа более чемвчетверо!
дой и Дайсуке Такахаши было вычислено свыше 6 миллиардов цифр.
[6, 7]. Вот этот удивительный алгоритм.
Они же в 1999 году на компьютере HITACHI SR 8000 вычислили Вначале положим y0 = 1, a0 =6 4 2, а затемкаждое новое 206158430000 цифр числа [8].
значение yn+1 будемнаходить, отправляясь от предыдущего значения В конце прошлого столетия посетители сайта [9] встречали объ по формуле явление, приглашающее их принять участие в глобальном проекте 1 y Pi-Hex. Любой житель Земли, подключив свой компьютер к сети n yn+1 =, n = 0, 1, 2, Е Интернет, мог стать участником коллективных вычислений отдель 1+ n 1+y ных цифр двоичной записи числа. Координаторомэтого глобально Похожимобразомбудемнаходить члены последовательности a0, a1, го проекта выступил студент университета Симона Фрезера (США) 16 Колин Персивал. В проекте приняло участие около 2000 доброволь- опишет некоторую непрерывную линию, начинающуюся внутри S, цев. Вычисления на каждомотдельномкомпьютере в глобальной се- а заканчивающуюся снаружи S втакойточкеO1, что A1O1 = AO. Сле ти проводились в так называемом фоновом режиме, когда участ- довательно, найдётся такое положение BC этого вектора, при кото вующий в совместных работах компьютер не занимался решением роми его начало B и его конец C будут принадлежать окружности S.
каких-то своих собственных задач. Объединённая общим проектом Так как четырёхугольники OABC и OA1CB Ч параллелограммы, то команда нашей планеты в 1998 и 1999 годах вычислила цифры, стоя (A,B) =(O,C) =1, (B,C) =(A,O) =1, (A1,C) =(O,B) =1.
щие на 5000000000000 и на 40000000000000 местах двоичной дроби Отсюда вытекает, что периметр центрально симметричного выпукло числа. Ими оказались нули [9].
го шестиугольника ABCA1B1C1, вписанного в единичную окруж Остановится ли когда-либо удивительная погоня за исчезающи ность S, в геометрии МинковскогоЧБанаха равен 6, поэтому пери ми в бесконечности знаками числа ? По-видимому, этот вопрос мож метр 2 окружности S не меньше 6 и, значит, 3.
но переформулировать так: прекратит ли когда-либо своё существо вание человеческая цивилизация?
C Q B M N ВСЕГДА ЛИ = 3,14Е?
R U Условимся считать, что вдоль любой прямой евклидовой плоско U1 а) б) A O A1 O1 O сти расстояния измеряются как обычно с той лишь разницей, что еди- P N S ница длины различна для прямых разных направлений, но одинакова S M в) C1 B для параллельных прямых. Это соглашение лежит в основе причуд- T ливой геометрии, придуманной Германом Минковским (1864Ч1909) Рис. 5 Рис. 6 Рис. и СтефаномБанахом(1892Ч1945).
Выберем фиксированную точку O плоскости и отложим от неё А теперь покажем, что 4.
во всех направлениях отрезки единичной длины. Мы получим не- Рассмотрим всевозможные вписанные в S параллелограммы с которую замкнутую кривую Ч единичную окружность. Можно по- центром O и выберемсреди них параллелограммMNM1N1 наиболь казать (см., например, [10], с. 465Ч469), что если точка O лежит шей возможной (евклидовой) площади. Опишем вокруг MNM1N внутри единичной окружности, причём ограниченный этой окруж- параллелограмм PQRT, стороны которого параллельны диагоналям ностью единичный круг является выпуклой фигурой, симметричной MM1 и NN1. Если быкривая S содержала некоторую точку U, рас относительно точки O, то все аксиомы расстояния (A,B) как функ- положенную дальше от прямой MM1, чемпрямаяPQ (рис. 6), то па ции двух точек A и B в данной геометрии выполняются: раллелограмм MUM1U1 имел бы большую площадь, чем MNM1N1, 1) (A,B) =(B,A);
что невозможно. Итак, кривая S целикомзаключена внутри парал 2) (A,B) 0, причём (A,B) = 0 лишь в томслучае, если точка A лелограмма PQRT. С другой стороны, (P,Q) =(M,M1) =2, (Q,R) = совпадает с точкой B;
= (M,M1) = 2, поэтому периметр параллелограмма PQRT в геоме 3) (A,B)+(B,C) (A,C) для любых точек A, B, C. трии МинковскогоЧБанаха равен 8, и, значит, 2 8, т. е. 4.
В дальнейшемвыполнение этих условий мы будем предполагать. Нетрудно убедиться, что число может принимать любые значе Обозначимдлину единичной окружности 2. Следуя [10], дока- ния в промежутке от 3 до 4. Для этого нужно взять в качестве единич жем, что в геометрии МинковскогоЧБанаха 3 4, причёмчисло ной окружности S произвольную выпуклую центрально симметрич может принимать любые значения в указанном промежутке. ную фигуру периметра 2. Равенство = 3 выполняется, если S пред Пусть A Ч произвольная точка единичной окружности S с цен- ставляет собой, например, правильный шестиугольник (рис. 7, а), тром O, A1 Ч диаметрально противоположная ей точка окружнос- =4, если S представляет собой квадрат (рис. 7, б). А если S со ти S (рис. 5). При непрерывномобносе вектора AO вдоль кривой S, впадает с обыкновенной (евклидовой) окружностью (рис. 7, в), то при которомначало A этого вектора описывает дугу AA1, его конец O = 3,14159Е 18 НЕРЕШЁННЫЕ ПРОБЛЕМЫ Тогда можно рассматривать новые цифры в этой новой системе и исследовать выполнимость равенства Сначала немного о том, что известно достоверно. К настояще му времени доказано, что число иррационально и трансцендентно. N(,n) lim =,(6) n g n Свойство иррациональности числа, т. е. непредставимость его в ви де отношения двух целых чисел, доказали Иоганн Ламберт (1728Ч аналогичного равенству (5) (здесь 0 g). Если бы вдруг оказалось, 1777) и Адриен Лежандр (1752Ч1833) в конце XVIII века. Свойство что для любой системы счисления (для любого g 2) и для любой циф трансцендентности означает, что число не является корнемникако ры в этой системе последовательность цифр дробной части числа го многочлена с целыми коэффициентами. Это свойство было доказа удовлетворяла равенству (6), то в этомслучае дробная часть числа но немецким математиком Фердинандом Линдеманом (1852Ч1939) представляла бы собой слабо нормальное число.
в 1882 году. В настоящее время ведутся исследования по уточнению Наконец, чтобы ввести понятие нормального числа, рассмотрим тонкой структуры числа.
не одиночные цифры, а произвольные кортежи из цифр. Предста вим, что в k-местные сани для бобслея (k Ч любое натуральное число) Нормально ли число ?
друг за другомсадятся произвольные k цифр (1, 2, Е, k) систем ы С точки зрения здравого смысла число вполне нормально, ничем счисления с основанием g, а затемэти сани проносятся вдоль после не хуже других чисел. Здесь мы познакомимся с определением нор довательности мальности числа, которое дал французский математик Эмиль Борель 1, 2, 3, Е, n, Е, (7) в 1909 году. Грубо говоря, положительное число, меньшее единицы, получающейся при разложении действительного числа, 0 1 в называется нормальным, если в его десятичной записи любая ком 1 2 3 n бинация цифр встречается одинаково часто. Это определение можно бесконечную дробь = + + +Е+ + Е в системе счисления с g g2 g3 gn распространить и на другие, недесятичные системы счисления. Вот основанием g. Пусть N(,n) Ч число совпадений набора (1,2,Е,k) более точное определение.
с наборами вида (i,i+1,Е,i+k 1), где i принимает значения от 1 до n.
Рассмотрим последовательность десятичных цифр дробной части Тогда, если числа :
N(,n) 1, 4, 1, 5, 9, 2, 6, 5, Е (4) lim =, n n gk Зададимся какой-нибудь одной цифрой, например 9, и подсчитаем то число называется нормальным.
количество появлений этой цифры среди первых n членов после В настоящее время неизвестно даже, является ли дробная часть довательности (4). Обозначим это количество через N(9,n). Имеем:
числа слабо нормальной к основанию 10 или к какому-либо дру N(9,1) = 0, N(9,2) = 0, N(9,3) = 0, N(9,4) = 0, N(9,5) = 1, N(9,6) = гому основанию. Иными словами, неизвестно, одинаково ли часто и т. д. Если в среднемсреди 10 цифр последовательности (4) оказыва встречаются все цифры в записи. Имеющиеся в настоящее время ется одна девятка, то при больших значениях n естественно ожидать данные вычислительного эксперимента свидетельствуют о том, что N(9,n) появления приближённого равенства, или, более точно, среди первых 200000000000 десятичных знаков числа (не считая 10 целой части) все цифры встречаются примерно одинаково часто:
N(9,n) lim =.(5) n n Цифра Сколько раз появляется Цифра Сколько раз появляется Если бы аналогичное (5) равенство выполнялось не только для девят ки, но идлялюбойцифры0, 1, Е, 9, то в этомслучае дробнаячасть 0 20000030841 5 числа, по терминологии Э. Бореля, представляла бы собой веще 1 19999914711 6 ственное число, слабо нормальное к основанию 10. Естественно, что 2 20000013697 7 3 20000069393 8 число можно представить в системе счисления с другим основани 4 19999921691 9 ем g, наприм ер, в двоичной (g =2) или в троичной (g =3) системе.
20 (данные лаборатории Токийского университета, руководимой Ясу масой Канадой и Дайсуке Такахаши [8]). Как видно, доля появлений каждой десятичной цифры примерно равна одной десятой (погреш ность такого приближения не превышает 0,0015%).
Предположение о равномлпредставительстве цифр в десятич ном разложении было выдвинуто уже при вычислении первых со тен его знаков в начале XIX века. Английского математика Огастеса де Моргана (1806Ч1871) в своё время очень удивил тот факт, что среди 700 цифр десятичной дроби числа, вычисленных Уильямом Шенксом, цифра 7 оказалась на особом положении. Если любая дру гая цифра встречалась примерно одинаково Ч около 70 раз, то ци фра 7 Ч всего 53 раза. Причина этого явления, как мы уже знаем, скрывается в неверно вычисленных Шенксом знаках, начиная с 528-го. Последующее устранение этой ошибки устранило и дискри минацию цифры 7 Ч как и следовало ожидать, семёрки стали встре чаться с той же частотой, как и остальные цифры.
Впрочем, действительно ли этого следует ожидать? Этот вопрос сегодня остаётся открытым.
Тонкая структура числа Какие комбинации цифр возможны, а какие невозможны в деся тичномразложении числа ? (См. табл. на с. 23.) До недавнего вре мени на этот счёт нельзя было сказать ничего вразумительного. Но вот появился первый результат на эту тему. Автору брошюры его со общил профессор Восточного Иллинойсского университета Григорий Александрович Гальперин.
Рассмотрим любые m цифр числа, идущие подряд, начиная с са мого начала: 314Е Австралийский математик Альф ван дер Поортен доказал, что сразу же за этими m цифрами в десятичном разложении числа не может идти набор из 7m девяток: за первой цифрой 3 не идёт 7 девяток;
за цифрами 31 не идут 14 девяток и т. д.
Г. А. Гальперин выдвигает гипотезу, что сразу же за m первыми цифрами числа не может идти набор из m девяток. Эта гипотеза верна по крайней мере для тех цифр числа, которые в настоящее время вычислены с помощью компьютеров. Верна ли эта гипотеза в общемслучае, неизвестно.
Существуют ли объекты размерности ?
Если под размерностью понимать наименьшее число коорди нат, необходимое для однозначного определения положения точки в пространстве (одна координата для числовой прямой, две Ч для 22 8 728 557 42 321 758 57 402 068 83 358 197 89 634 825 40 852 015 66 625 560 91 912 325 55 172 085 53 699 510 137 803 268 152 752 201 123 040 860 133 601 569 150 339 161 183 859 550 149 835 855 181 276 557 115 040 878 Начиная с разряда № Начиная с разряда № Последовательность Последовательность 53 217 681 26 852 899 41 952 536 99 972 955 45 111 908 50 494 465 66 787 942 148 425 641 102 081 851 171 257 652 149 589 314 132 217 072 100 850 401 189 727 479 125 310 799 129 469 449 168 614 433 197 954 994 173 036 790 199 571 086 Начиная с разряда № Начиная с разряда № Некоторые любопытные последовательности цифр в десятичной записи числа Некоторые любопытные последовательности цифр в десятичной записи числа Данные лаборатории Токийского университета, руководимой Я. Канадой и Д. Такахаши [8].
Последовательность Последовательность =3,14 1 5 9 2 6 5 3 5 8 9 7 9 3 2 3 8 4 6 2 6 4 3 3 8 3 2 7 9 5 0 2 8 8 4 1 9 7 1 6 9 3 9 9 3 7 5 1...
разряды:
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 1/ =0,31 8 3 0 9 8 8 6 1 8 3 7 9 0 6 7 1 5 3 7 7 6 7 5 2 6 7 4 5 0 2 8 7 2 4 0 6 8 9 1 9 2 9 1 4 8 0 9...
разряды:
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 координатной плоскости, и т. д), то в этомслучае размерность задаёт ся натуральнымчислом, и ответ на вопрос, вынесенный в заголовок, отрицателен. Однако возможны обобщения понятия размерности, сулящие немало сюрпризов. Рассмотрим одно из них, восходя щее к немецкому математику Феликсу Хаусдорфу (1868Ч1942) ([11], с. 15Ч23).
Разрезая квадрат на одинаковые составляющие его квадратики, м ыполучим количество N этих квадратиков, пропорциональное ве личине 1/k2, где k Ч коэффициент подобия маленького квадратика разрезаемому квадрату. Разрезая куб на одинаковые составляющие его кубики, мы получаем количество кубиков N, пропорциональное величине 1/k3,гдеk Ч коэффициент подобия маленького кубика дан ному кубу.
Поскольку и в общемслучае для n-мерного куба существует ана логичная связь Nkn = 1, то последнее соотношение при заданных зна чениях N и k может служить для определения размерности:
lnN n =.(8) ln k Французский математик (ныне работающий в США) Бенуа Ман дельброт распространил определение размерности (8) не только на Рис. многомерные кубы, но и на причудливые объекты, называемые само подобными фракталами. Слово фрактал происходит от латинско го fractus Ч дробный. Самоподобный фрактал Ч множество, которое представлено в виде объединения непересекающихся подмножеств, полученных масштабированием оригинала. Если N Ччисло таких подмножеств, а k Ч коэффициент подобия (масштабирования), то ха рактеристика n самоподобного фрактала, вычисленная по формуле K0 K (8), называется его фрактальной размерностью. Вобщемслучае та кая размерность не обязана быть целым числом, поэтому её иногда называют ещё дробной размерностью.
Пример самоподобного фрактала был построен шведским матема K2 K тикомХельгой фон Кох в 1904 году. Он получил название снежинка Кох (рис. 8).
Граница этой фигуры составлена из трёх одинаковых фракталов.
...
Каждый из них строится итеративно (рис. 9).
K Из начального отрезка K0 выбрасывается средняя треть и вме сто неё добавляются два новых отрезка такой же длины (стороны Рис. равностороннего треугольника, построенного на выброшенномотрез ке, см. рис. 9). В итоге получается множество K1. С каждымзвеном 24 фигуры K1 производится такая же операция Ч образуется фигура K2, ПРИЛОЖЕНИЕ и т. д. Последовательность кривых {Kn} сходится к некоторой пре Докажемследующие утверждения, следуя [13].
дельной кривой K. Если взять копию K, уменьшенную в три раза 1. Существует предел последовательности периметров правиль (k = 1/3), то всё множество K можно составить из N =4такихкопий.
ных многоугольников, вписанных в окружность заданного радиуса Отсюда размерность множества K равна R, при неограниченномвозрастании количества их сторон.
ln 2. Существует предел последовательности периметров правиль n = 1,2618.
ln ных многоугольников, описанных около окружности заданного ра Коль скоро существуют самоподобные фракталы дробной размер диуса R, при неограниченномвозрастании количества их сторон.
ности, то не исключено, что может существовать и некий загадочный 3. Эти пределы совпадают.
фрактал размерности. Существует ли он на самом деле? Это пока Для доказательства первого утверждения (второе утверждение неизвестно. Может быть, его удастся сконструировать вам?
доказывается аналогично) воспользуемся достаточно очевидным при Имея в виду размерность Хаусдорфа, можно поставить вопрос о знакомсуществования предела числовой последовательности: всякая существовании таких натуральных N и k, что монотонная и ограниченная числовая последовательность имеет пре lnN дел. В более строгой формулировке, справедлива следующая теорема.
= = logk N.
lnk Теорема. Пусть числовая последовательность {xn}, n =1, 2, Евоз Круг подобных вопросов можно расширять и дальше. Например, су растает (убывает), т. е. её члены удовлетворяют условию xn xn+ ществует ли такое натуральное число n, чтоsinn =1/?
(соответственно, xn xn+1) для любого n = 1, 2, Е Предположим, она ограничена сверху (снизу), т. е. xn B (соответственно, xn A), Романтическая гипотеза где A, B Ч некоторые числа. Тогда у этой последовательности су Знаете любимую игру бесконечности?
ществует предел, равный некоторому числу M (соответственно, m), Мерцать на ресницах.
удовлетворяющий неравенству M B (соответственно, A m).
Владимир Казаков, Объём ы Доказательство этой интуитивно очевидной теоремы о монотон Мы остаёмся в неведении относительно того, какие комбинации ной и ограниченной последовательности можно найти в стандартном цифр могут встретиться в десятичном разложении числа. Это незна курсе математического анализа (см., на A ние лежит в основе следующей красивой гипотезы.
пример, [14], т. 1, с. 71).
Закодируемиспользуемые при наборе этой брошюры типограф C1 A Удостоверимся в том, что после ские символы комбинациями цифр от 0 до 9. Например, каждому A довательность периметров правильных C символу можно сопоставить уникальный десятизначный код, в ко многоугольников, вписанных в окруж тором задействованы различные цифры. Вся брошюра тогда пред Cn An ность радиуса R, удовлетворяет условиям ставится длиннымцифровымкодом, в которомодинаковые цифры этой теоремы. Обозначим через an и an+1 O An+ Cn+ могут стоять не более чем на двух соседних местах (на границах ко длины сторон правильных n-угольника дов двух соседних символов). Очевидно, все ныне известные огра и(n + 1)-угольника, вписанных в данную ничения, свойственные тонкой структуре числа, приэтомбудут окружность, соответственно. Тогда их соблюдены.
периметры равны, соответственно, nan и B Гипотеза состоит в том, что где-то на бескрайних просторах де (n +1)an+1. Докажем, что сятичного разложения числа может встретиться построенный нами B nan (n +1)an+1.(9) код. Ясно, что вместо данной брошюры можно закодировать и солид Рис. ные сочинения: роман Л. Н. Толстого Война и мир, Британскую На рис. 10 показаны стороны AB и энциклопедию и вообще, как фантазирует известный популяризатор A1B1 (A1B1 AB) правильных n-угольника и (n + 1)-угольника, впи науки Мартин Гарднер, любую книгу, которая была, будет или мог- санных в окружность с центром O. Проведёмрадиус OAn+1, который ла быть написана ([12], с. 427). пересекает сторону AB в середине Cn+1. ТогдаACn+1 = an/2.
26 n pn Дуга окружности A1An+1 составляет -ю часть от дуги AAn+1.
lim = 1. Отсюда следует, что lim pn = lim Pn. Как следствие из этого n + Pn n n n Разделимугол AOAn+1 на n + 1 равных частей, и пусть разделяющие получаемвыражение длины окружности C = lim pn = lim Pn через её n n радиусы пересекают дугу AAn+1 в точкахA1, A2, Е, An+1. Опустив из радиус:
этих точек перпендикуляры на AB, получимсоответственно точки C1, C =2R, C2,Е, Cn+1. Отрезки AC1, C1C2, C2C3,Е, CnCn+1 являются проекциями на AB хорд равной длины AA1, A1A2, A2A3, Е, AnAn+1 с последователь- где через обозначен предел но уменьшающимся углом наклона. Следовательно, справедливы 180 lim nsin = lim ntg.
неравенства n n n n AC1 C1C2 C2C3 Е CnCn+1.
Определив площадь круга как предел площадей правильных Отсюда заключаем, что n-угольников, вписанных в круг или описанных около него, при неограниченномувеличении количества их сторон n, аналогичным AC1 ACn+1.
n +1 образом можно вывести формулу для площади круга S = R2.
an an+ Но ACn = = AC1 +, поэтом у 2 РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ an an an+ 1 (решение Архимеда). Сначаладокажем, чтотреугольникADC подобен +, 2 n +1 2 2 треугольнику CDG, где G Ч точка пересечения отрезков AD и CB (рис. 12). Углы BAD и DCB равны по свойству вписанных углов, опи откуда следует неравенство (9).
рающихся на одну и ту же дугу. Но BAD = DAC, B поэтому DCB = DAC. Кроме того, у треугольни Итак, последовательность периметров правильных вписанных в ков ADC и CDG общий угол при вершине D. Следо окружность заданного радиуса n-угольников с увеличениемколиче D вательно, эти треугольники подобны. Тогда ства их вершин n монотонно возрастает. Эта последовательность так G AD AC =. (10) же является ограниченной. Действительно, любой вписанный в ок DC DG ружность n-угольник лежит внутри описанно Поскольку AG Ч биссектриса треугольника ABC, CA AC AB го около неё квадрата. Если же один выпуклый получаем: =. Привлекая далее свойство Рис. CG BG многоугольник лежит внутри другого, то его пропорции и учитывая, что CG + GB = BC, им е AC AC + AB AC + AB периметр заведомо меньше периметра объем ем: = =. Возвращаясь к равенству (10), заключаем отсюда, что CG CG + BG BC лющего многоугольника. Идея доказательства AD AC + AB =. (11) последнего утверждения видна из рис. 11. При DC BC каждом лотрезании периметр внешнего мно 1 AB Поскольку BAC =30, то BC = AC = 780. Кроме того,, поэтом у из ра 2 BC гоугольника уменьшается, так как ломаная за AD 2911 AD2 8473921 AD2 + DC2 меняется отрезком. Утверждение 1 доказано. венства (11) следует. Отсюда и. Но DC DC2 608400 DC2 Для доказательства утверждения 3 выра Рис. AC2 9082321 AC зимчерез радиус окружности периметры впи AD2 + DC2 = AC2, поэтом у, т. е..
CD2 608400 CD санного в окружность и описанного около неё правильных n-уголь 2. Неравенство pn очевидно, поэтому сосредоточим свои усилия на доказа ников.
180 2pn + Pn Периметр вписанного n-угольника равен pn =2Rnsin ;
пери- тельстве неравенства p, где p =.
n Используемследующие два неравенства:
метр описанного n-угольника равен Pn =2Rntg. Отношение этих x3 x n tgx x + и sin x x (12) 3 величин cos при неограниченномувеличении n стремится к 1:
(0 x /2).
n 28 x ЛИТЕРАТУРА Заметим, что производная функции f(x) =tgx x + положительна:
[1] Хрестоматия по истории математики / Под ред. А. П. Юшкеви f (x) = (1 + x2) =tg2 x x2 0, cos2 x ча. Ч М.: Просвещение, 1976.
поскольку tgx x Ч в этом можно убедиться, сравнив площади сектора OAB [2] О квадратуре круга. С приложением теории вопроса / Сост.
окружности единичного радиуса с центральным углом и прямоугольного тре n Ф. Рудио под ред. и с прим. акад. С. Н. Бернштейна. Ч М.ЧЛ.:
угольника OAC, катет AC которого касается дуги ГТТИ, 1934.
A этого сектора (рис. 13). Это означает, что функция f возрастает. Отсюда следует f(x) f(0) = 0 Ч первое В этой книге собраны первоисточники: А р х и ме д, Измерение круга;
из неравенств (12).
Х. Г ю й г е н с, О найденной величине круга;
И. Л а мб е р т, Предваритель tg x Доказательство второго из неравенств (12) не ные сведения для ищущих квадратуру и спрямление круга;
А. Л е ж а н д р, sin x x3 Доказательство того, что отношение окружности к диаметру и его квадрат сколько сложнее. Положим g(x) =sinx x.
x суть иррациональные числа.
Имеем:
O D B C [3] Хинчин А. Я. Цепные дроби. ЧМ.: Наука, 1978.
x g (x) =cos x 1+, g (x) = x + x sin Рис. [4] Б о л л У., К о к с е т е р Г. Математические эссе и развлече (см. рис. 13, длина дуги AB = x больше длины перпен ния. Ч М.: Мир, 1986.
дикуляра AD =sinx). Поэтому g (x) Ч возрастающая функция. Значит, g (x) g (0) = 0.
[5] Б е л о в А., Т и х о ми р о в В. Сложность алгоритмов // Квант.
Аналогично заключаем, что g(x) g(0) = 0.
Вернёмся к доказательству неравенства p. Используя неравенства (12), имеем: 1999. № 2. С. 8Ч11.
3 3 [6] Б о р в е й н Дж., Б о р в е й н П. Рамануджан и число // В мире 2n + n + 2nsin + ntg n n n 6n3 n 3n науки. 1988. № 4. С. 58Ч66.
p = =.
3 [7] Borwei n J. M., Borwei n P. B. Pi and the AGM. A Study Pn В статье [15] обосновывается ещё более тонкий факт: lim =2. Из этого in Analytic Number Theory and Computational Complexity. Ч pn n следует, что число, находясьприлюбомn 3винтервале(pn,p), при всех достаточно N. Y.: John Wiley & Sons, 1987.
больших значениях n ближе к правому концу этого интервала, чем к левому.
[8] Новости о числе лаборатории Я. Канады. Ч 3. Сначала докажемравенство 1 1 arctg =arctg +arctg, n = 1, 2, Е, (13) [9] Вычисление совместными усилиями. Ч u2n u2n+1 u2n+ где uk обозначает число Фибоначчи с номером k. Для этого воспользуемся тождеством для чисел Фибоначчи u2n+1u2n+2 u2nu2n+3 = 1, которое можно доказать методом ма- [10] Р о з е н ф е л ь д Б. А., Я г л о м И. М. Неевклидовы геометрии тематической индукции. Перепишем это равенство в виде // Энциклопедия элементарной математики. Т. 5: Геометрия. Ч 1 + М.: Наука, 1966. Ч С. 433Ч439.
1 u2n+3 u2n+1 + u2n+2 u2n+1 u2n+ = = =.
[11] К р а н о в е р Р. М. Фракталы и хаос в динамических систе u2n u2nu2n+2 1 u2n+1u2n+2 1 1 u2n+1 u2n+ мах. Ч М.: Постмаркет, 2000.
Привлекая тригонометрическое тождество [12] Г а р д н е р М. Математические головоломки и развлечения. Ч x + y arctg =arctgx +arctgy (xy 1), М.: Мир, 1971.
1 xy [13] З в о н к и н А. Что такое ? // Квант. 1978. № 11. С. 28Ч31.
получаем(13).
[14] Ф и х т е н г о л ь ц Г. М. Курс дифференциального и интеграль Многократно применяя (13) к выражениям arctg при n =1, 2, Е, находим :
u2n ного исчисления: В 3 т. Ч М.: Наука, 1969.
1 1 1 1 1 =arctg =arctg +arctg =arctg +arctg +arctg =Е [15] В а в и л о в В. В. Об одной формуле Христиана Гюйгенса // 4 u2 u3 u4 u3 u5 u 1 1 1 1 Квант. 1985. № 11. С. 9Ч14.
Е=arctg +arctg +Е+arctg +arctg = u3 u5 u2n 1 u2n [16] Кое-что о. Ч 1 1 1 1 =arctg +arctg +Е+arctg +arctg +arctg =Е u3 u5 u2n 1 u2n+1 u2n+ 1 1 Е=arctg +arctg +arctg +Е u3 u5 u БИБЛИОТЕКА МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ПРОСВЕЩЕНИЕ ВЫПУСК 1 ВЫПУСК В. М. Т и х о ми р о в. Великие Б. П. Г е й д ма н. Площади мно математики прошлого и их ве- гоугольников.
ОГЛАВЛЕНИЕ ликие теоремы.
ВЫПУСК В в е д е н и е.................... А.Б.С о с и н с к и й. Узлы и косы.
ВЫПУСК Предыстория числа............... А. А. Б о л и б р у х. Проблемы ВЫПУСК Эра вписанных и описанных многоугольников.. 4 Гильберта (100 лет спустя).
Э. Б. В и н б е р г. Симметрия Идеи Антифона и Бризона (5). Измерение круга многочленов.
Архимеда (7). Начало удивительного соревнования (9).
ВЫПУСК Д. В. А н о с о в. Взгляд на мате Эра м атем атического анализа........... 11 ВЫПУСК матику и нечто из неё.
В. Г. С у р д и н. Динамика звёзд Новая эра..................... ных систем.
Схемы сверхбыстрого умножения (15). Сверхэффек ВЫПУСК тивный алгоритмДжонатана и Питера Борвейнов (16).
В. В. П р а с о л о в. Точки Брока- ВЫПУСК Продолжение марафона (17).
ра и изогональное сопряжение.
В. О. Б у г а е н к о. Уравнения Всегда ли = 3,14Е?............... Пелля.
ВЫПУСК Нерешённые проблем ы.............. ВЫПУСК Н. П. Д о л б и л и н. Жемчужи Нормально ли число ? (20). Тонкая структура чи сла (22). Существуют ли объекты размерности ? (22).
В. И. А р н о л ь д. Цепные дроби.
ны теории многогранников.
Романтическая гипотеза (26).
ВЫПУСК ВЫПУСК П р и л о ж е н и е.................. В. М. Т и х о ми р о в. Дифферен А. Б. С о с и н с к и й. Мыльные Р е ш е н и я у п р а ж н е н и й........... циальное исчисление (теория и плёнки и случайные блуждания.
приложения).
Л и т е р а т у р а.................. ВЫПУСК ВЫПУСК И. М. П а р а мо н о в а. Сим В. А. С к в о р ц о в. Примеры метрия в математике.
метрических пространств.
ВЫПУСК ВЫПУСК В. В. О с т р и к, М. А. - ф а с ма н.
В. Г. С у р д и н. Пятая сила.
Алгебраическая геометрия ВЫПУСК и теория чисел: рациональные и эллиптические кривые. А. В. Ж у к о в. О числе.