Книги по разным темам Физика твердого тела, 2004, том 46, вып. 9 Зарождение дислокационных петель в напряженных квантовых точках, внедренных в гетерослой й А.Л. Колесникова, А.Е. Романов Институт проблем машиноведения Российской академии наук, 199178 Санкт-Петербург, Россия Физико-технический институт им. А.Ф. Иоффе Российской академии наук, 194021 Санкт-Петербург, Россия E-mail: aer@mail.ioffe.ru (Поступила в Редакцию 5 февраля 2004 г.) Исследуется вопрос о зарождении призматических дислокационных петель в напряженных квантовых точках. Рассматриваются квантовые точки, находящиеся в гетероструктуре пленкаЦподложка с наведенными механическими напряжениями. Последние вызваны различием параметров кристаллических решеток пленки (гетерослоя) и подложки. Собственная пластическая деформация квантовой точки m обусловлена несоответствием параметров решеток материалов квантовой точки и окружающей матрицы. Граница между гетерослоем и подложкой характеризуется собственным параметром несоответствия f. Анализируется влияние параметра несоответствия f на функциональную зависимость критического радиуса квантовой точки Rc(m), при котором в ней энергетически выгодно появление дислокационной петли.

Работа выполнена в рамках программы ДФизика твердотельных наноструктурУ Минпрома РФ.

В настоящее время исследование структур, содер- ческой деформации. Рассматриваемая задача продолжажащих квантовые точки и квантовые нити, вызывает ет исследование проблемы зарождения дислокационной значительный интерес. Упругие деформации таких полу- петли несоответствия на границе включения в ненапряпроводниковых гетероструктур существенно влияют на женной матрице [5].

их электронные и оптоэлектронные свойства [1Ц3]. Кван- Среди исследований, посвященных сходным проблетовые точки и квантовые нити обычно имеют параметры мам в квантовых нитях, отметим работы по зарождению дислокаций несоответствия, параллельных оси нити кристаллической решетки, отличные от аналогичных с треугольным, круговым и прямоугольным сеченияпараметров окружающей матрицы. Это обстоятельство ми [11Ц13]. В работе [13] проанализировано зарождение позволяет моделировать квантовые точки (квантовые нити) включениями с собственной пластической де- прямоугольной дислокационной петли в квантовой нити вблизи свободной поверхности. Родственными также формацией m, вызванной несоответствием параметров можно считать задачи о зарождении дислокаций несорешеток. Энергия упругих искажений, вносимых такими включениями, пропорциональна их объему [4] и ги- ответствия на границе между пленкой и подложкой в телах сферической [14] и цилиндрической [15] формы.

потетически может достигать неограниченно больших Для напряженных островков, размещенных на подложке, значений. Очевидно, что должны существовать механизмодели зарождения дислокаций несоответствия были мы сброса упругой энергии этими включениями. Среди предложены в работах [16Ц18].

таких механизмов отметим: а) зарождение на границе В нашем рассмотрении сфероидальное включение включения и окружающей его матрицы призматичерадиуса Rsp, моделирующее квантовую точку, находится ской дислокационной петли несоответствия [5] подобно в гетероструктуре пленкаЦподложка (рис. 1). Параметр тому, как это происходит на границе несоответствия кристаллической решетки пленки afilm отличен от парапленки и подложки (см., например, [6,7]); b) выброс метра решетки подложки asub. Это отличие характеризупризматической дислокационной петли из включения ется параметром несоответствия f =(asub - afilm)/afilm в окружающую матрицу [8Ц10]. Поскольку типичной и является причиной возникновения механических нагетероструктурой является упругонапряженная пленка, пряжений в гетероструктуре. В приближении, когда находящаяся в контакте с подложкой, возникает необподложка полубесконечна, а пленка имеет конечную ходимость анализа указанных выше механизмов сброса толщину t, напряжения постоянны и сосредоточены в упругой энергии квантовыми точками, внедренными в пленке:

такую гетероструктуру.

В данной работе выявляются условия зарождения 2G(1 + ) f misf misf xx = yy =, 0 z t. (1) призматических дислокационных петель несоответствия (1 - ) в квантовых точках. Анализируется влияние параметра несоответствия между пленкой и подложкой на зависи- Рассмотрим зарождение призматической дислокацимость критического радиуса квантовой точки (при ко- онной петли несоответствия во включении, располотором возникновение дислокационной петли становится женном достаточно далеко от свободной поверхности.

энергетически выгодным) от ее собственной пласти- Это существенно упрощает расчеты и анализ влияния 1594 А.Л. Колесникова, А.Е. Романов Упругая энергия круговой призматической дислокационной петли имеет вид [9] Gb2rloop 8rloop Eloop = ln - 2. (5) 2(1 - ) rcore Здесь b Ч величина вектора Бюргерса дислокационной петли, rloop Ч радиус петли, rcore Ч радиус ядра дислокации. Для учета энергии ядра дислокации в (5) полагается, что rcore = b/ ( Ч эмпирическая постоянная, зависящая от материала; например, для неметаллов = 4) [20]:

Рис. 1. Призматическая дислокационная петля несоответGb2rloop 1.08rloop ствия (MD) в квантовой точке (QD), находящейся в гетерослое. Eloop = ln. (6) 2(1 - ) b aЦd Ч варианты ориентации и типов MD. m Ч величина собственной пластической дилатации QD, f Ч параметр Энергия взаимодействия петли с включением Wsp-loop несоответствия кристаллических решеток пленки и подложки.

и энергия взаимодействия петли с полем напряжений пленки Wloop-film определяются как работа по созданию петли в поле напряжений включения и пленки соответнапряженного состояния пленки на появление призмаственно. Рассмотрим случай, когда на границе вклютической дислокационной петли на границе включения.

чения, имеющего m > 0, зарождается призматическая Свободная поверхность заметно влияет на упругие поля петля вычитания. Это энергетически выгодно (см. услои энергии включения и дислокационной петли, а следовие (4)), когда параметр несоответствия f принимает вательно, и на релаксационные процессы, протекающие отрицательные или небольшие положительные значения, во включении, только когда рассматриваемый дефект находится в приповерхностном слое толщиной порядка своего радиуса. При более детальном исследовании Wsp-loop = - iloopi(in)dV = - (-b)j(in)dS j j j влияние свободной проверхности будет учтено.

Vloop Sloop В сфероиде определена пластическая дисторсия ij, вызванная несоответствием параметров кристалличе4G(1 + )m = - br2, (7) loop ских решеток материала сфероида asp и окружающего 3(1 - ) материала пленки afilm:

xx = yy = zz = m( sp), (2) Wloop-film = - iloopimisfdV j j где m =(asp - afilm)/afilm, ( sp) Ч дельта-функция Vloop Дирака для области sp, занимаемой сфероидом. Она loop определяется следующим образом:

0,zz =- b(z - z )H(1- 1), (8) = 2Gb(1+) f loop 1, r sp, + br2, xx =- b(x - x0)H(1- 2). (9) loop (1-) ( sp) = 0, r sp.

Здесь (z - z ) и (x - x0) Ч дельта-функции Знак параметра m соответствует характеру дилатаДирака, H(1 - 1) и H(1 - 2) Ч функции ции: m > 0 при расширении, m < 0 при сжатии.

Хевисайда, 1 = (x - x0)2 +(y - y0)2/rloop, Напряжения внутри сферического включения i j, 2 = (z - z )2 +(y - y0)2/rloop, (x0, y0, z ) Ч коорди0 находящегося в бесконечной среде, имеют вид [4] наты центра петли.

4Gm(1 + ) Отметим, что зародившаяся петля имеет радиус, рав(in) (in) (in) xx = yy = zz = -, (3) 3(1 - ) ный радиусу включения rloop = Rp. Энергия взаимодействия петли с полем напряжений в пленке анализируется где G Ч модуль сдвига, Ч коэффициент Пуассона.

в двух случаях: a) плоскость петли параллельна плосЭнергетическое условие зарождения петли на поверхкости границы между пленкой и подложкой (плоскости ности включения представляется неравенством интерфейса) (8); b) плоскость петли перпендикулярна Eloop + Wsp-loop + Wloop-film 0, (4) плоскости интерфейса (9) (рис. 1).

где Eloop Ч упругая энергия призматической дислока- На основе выражений (4), (6)Ц(9) и с учетом того, ционной петли, Wsp-loop Ч энергия упругого взаимодей- что rloop = Rsp, получаем уравнение для определения ствипя сфероида и петли, Wloop-film Ч энергия упругого критического радиуса включения Rc, при котором энервзаимодействия петли с полем напряжений пленки. гетически выгодно зарождение призматической дислокаФизика твердого тела, 2004, том 46, вып. Зарождение дислокационных петель в напряженных квантовых точках, внедренных в гетерослой в отсутствие напряжений в пленке ( f = 0) в рамках упругой континуальной модели петля несоответствия во включении может быть произвольно ориентирована в пространстве. Интересна ситуация, когда f > 0.

Согласно (10), существует единственная возможность:

петля расположена параллельно плоскости интерфейса ( f = 0). Однако при достаточно больших положительных напряжениях в пленке во включении энергетически выгоднее зарождение петли внедрения, так как именно она уменьшает общую упругую энергию системы (см. условие (4)). В этом случае уравнение для критического радиуса включения имеет вид 3b 1.08Rc Rc = ln. (11) 4(1 + )(3 f - 2m) b Критерием образования петли внедрения является условие 3 f > 4m (m > 0).

Таким образом, проведенный анализ выявляет следующие возможные варианты для образования петли несоответствия во включении с собственной пластической дилатацией m > 0, находящемся в пленке, нанесенной на подложку.

1) Если параметр несоответствия между пленкой и подложкой f < 0, во включении образуется призматическая дислокационная петля вычитания, плоскость которой перпендикулярна границе интерфейса (рис. 1, a).

Критический радиус включения определяется из условия (10) (рис. 2, a).

2) Если f = 0, во включении образуется призматическая дислокационная петля вычитания, плоскость которой произвольно ориентирована в пространстве Рис. 2. Зависимость критического радиуса квантовой точки Rc (рис. 1, b). Критический радиус включения также опреот величины собственной пластической дилатации m при различных параметрах несоответствия f. Величина вектора деляется из условия (10) (рис. 2, a).

Бюргерса дислокационной петли b = 0.3 nm, константа вкла3) Если 0 < f < m, во включении образуется призда энергии ядра дислокации = 4, коэффициент Пуассона матическая дислокационная петля вычитания, плоскость = 0.3.

которой параллельна границе интерфейса (рис. 1, c).

Критический радиус включения определяется из условия ционной петли несоответствия, 3b 1.08Rc Rc = ln. (12) 8(1 + )m b 3b 1.08Rc Rc = ln, (10) 4(1 + )(2m - 3 f ) b Зависимость Rc(m) иллюстрируется кривой, показанной на рис. 2, a при f = 0.

где f = 0, когда плоскость петли параллельна плос 4) Если f = m, во включении образуется либо призкости интерфейса, и f = f, когда плоскость петли матическая дислокационная петля вычитания, плоскость перпендикулярна плоскости интерфейса. Из (10) следукоторой параллельна границе интерфейса (рис.1, c), лиет, что при f < 0 энергетически выгодно зарождение бо призматическая дислокационная петля внедрения, петли, перпендикулярной границе интерфейса. При этом плоскость которой перпендикулярна границе интерфейполя напряжений в пленке (при f < 0 они сжимающие) са (рис. 1, d). Критический радиус включения определяспособствуют образованию локальной неоднородности в ется из условия (12) (рис. 2, a).

виде дислокационной петли несоответствия на границе 5) Если f > m, во включении образуется призмативключения (при m > 0 напряжения внутри включения также сжимающие). Включение в такой пленке при- ческая дислокационная петля внедрения, плоскость кообретает петлю несоответствия при меньших радиусах торой перпендикулярна границе интерфейса (рис. 1, d).

по сравнению с включением, находящимся в нена- Критический радиус включения определяется из услопряженной матрице ( f = 0) (рис. 2, a). Отметим, что вия (11) (рис. 2, b).

Физика твердого тела, 2004, том 46, вып. 1596 А.Л. Колесникова, А.Е. Романов [8] Н.Д. Захаров, В.Н. Рожанский, Р.Л. Корчажкина. ФТТ 16, 1444 (1974).

[9] V.V. Chaldyshev, N.A. Bert, A.E. Romanov, A.A. Suvorova, A.L. Kolesnikova, V.V. Preobrazhenskii, M.A. Putyato, B.R. Semyagin, P. Werner, N.D. Zakharov, A. Claverie. Appl.

Phys. Lett. 80, 377 (2002).

[10] Н.А. Берт, А.Л. Колесникова, А.Е. Романов, В.В. Чалдышев. ФТТ 44, 2139 (2002).

[11] T.J. Gosling, L.B. Freund. Acta Mater. 44 1 (1996).

[12] J. Colin, J. Grihle. Phil. Mag. Lett. 82, 125 (2002).

[13] M.Yu. Gutkin, I.A. OvidТko, A.G. Sheinerman. J. Phys.: Cond.

Matter 15, 3539 (2003).

[14] L.I. Trusov, M.Yu. Tanakov, V.G. Gryasnov, A.M. Kaprelov, A.E. Romanov. J. Cryst. Growth 114, 133 (1991).

[15] M.Yu. Gutkin, A.G. Sheinerman. Phys. Stat. Sol. (a) 184, (2001).

Рис. 3. Изоконтуры критических радиусов включения Rc [16] E. Pehlke, N. Moll, A. Kley, M. Scheffler. Appl. Phys. A 65, (Rc, nm: 1 Ч 80, 2 Ч 50, 3 Ч 40, 4 Ч 30, 5 Ч 20, 6 Ч10) 525 (1997).

в зависимости от собственной пластической дилатации m и [17] K. Tillmann, A. Foster. Thin Solid Films 368, 93 (2000).

параметра несоответствия f. Области aЦd соответствуют ори[18] I.A. OvidТko. Phys. Rev. Lett. 88, 046 103 (2002).

ентациям дислокационной петли несоответствия, показанным [19] J. Dundurs, N.J. Salamon. J. Phys. C 50, 125 (1972).

на рис. 1. Величина вектора Бюргерса дислокационной петли [20] J. Hirth, J. Lothe. Theory of Dislocations. Wiley, N.Y. (1982).

b = 0.3 nm, константа вклада энергии ядра дислокации = 4, 752 p.

коэффициент Пуассона = 0.3.

На рис. 3 представлены изоконтуры критических радиусов в координатной системе m- f. Выделены области a-d, отвечающие положениям дислокационной петли, изображенным на рис. 1.

Анализ зарождения дислокационной петли несоответствия для включений с m < 0 аналогичен изложенному выше и приводит к зеркальному результату.

Проведенный теоретический анализ позволяет сделать вывод, что напряжения в пленке, обусловленные параметром несоответствия f в системе пленкаЦподложка, существенно влияют не только на величину критического радиуса квантовой точки, при котором энергетически выгодно зарождение дислокационной петли несоответствия, но и на ориентацию такой петли по отношению к границе интерфейса и тип самой петли (петля вычитания или внедрения).

Список литературы [1] A.D. Andreev, E.P. OТReilly. Phys. Rev. B 62, 15 851 (2000).

[2] P. Waltereit, A.E. Romanov, J.S. Speck. Appl. Phys. Lett. 81, 4754 (2002).

[3] N. Usami, T. Ichitsubo, T. Ujihara, T. Takanashi, K. Fujiwara, G. Sazaki, K. Nakajima. J. Appl. Phys. 94, 916 (2003).

[4] T. Mura. Mircomechanics of Defects in Solids. Martinus Nijhoff, Boston (1987). 587 p.

[5] А.Л. Колесникова, А.Е. Романов. Письма в ЖТФ 30, (2004).

[6] В.И. Владимиров, М.Ю. Гуткин, А.Е. Романов. ФТТ 29, 2750 (1987).

[7] R. Beanland, D.J. Dunstan, P.J. Goodhew. Adv. Phys. 45, (1996).

   Книги по разным темам