Книги по разным темам
11. Траектория орбитального движения захваченного небесного тела во втором приближении
Как показано в [1], в первом приближении траектория захваченного орбитального тела может быть представлена плоской эллиптической спиралью с изменяющимся от оборота к обороту эксцентриситетом орбиты и расположенной в плоскости эклиптики планеты (спутника). Уравнение каждого из эллипсов, последовательно составляющих эту спираль, в полярных координатах ρρ, φφ (центр координат в одном из фокусов эллипса, полярная ось направлена от фокуса к ближайшие вершине) имеет вид (рис.13)
, (11.1)
где..
Большая полуось эллипса
==. (11.2)
Малая полуось
== (11.3)
Уравнение (1.11) описывает семейство эллипсов, последовательно составляющих спираль (эллипсоиду) при изменении эксцентриситета эллипсов от ен до.
Характерные точки эллипсоиды
,,
,, (11.4)
,.
В первом приближении предполагается, что эксцентриситет орбиты изменяется от оборота к обороту скачком, так что эксцентриситет орбиты каждого последующего эллипса отличается от эксцентриситета орбиты предыдущего эллипса на величину порядка
Рис. 13
. (11.5)
Величина имеет порядок 10 для планет и их спутников, то есть разность эксцентриситетов предыдущей и последующей орбит этих небесных тел настолько мала, что в практических расчетах ею можно пренебречь и предположить непрерывный последовательный переход от одного орбитального эллипса к другому в процессе эволюции орбитального движения этих небесных тел.
Однако в действительности эксцентриситет орбиты небесного тела не может изменяться скачком, он изменяется непрерывно и в течение одного оборота, при этом траектория орбиты изменяется примерно таким образом, как это показано пунктиром на рис.13. Конечно, траектория орбиты за один оборот, показанная на этом рисунке, сознательно сильно искажена с целью более наглядно показать лишь качественный характер ее изменения в течение одного оборота орбитального тела. В действительности эксцентриситеты орбит предыдущего и последующего эллипсов отличаются друг от друга на весьма малую величину, но качественная картина изменения траектории движения в течение одного оборота будет соответствовать показанной на рис.13. В конечном счете на основе этой схемы нам важно уяснить реальную картину эволюции движения небесного тела при переходе от одного орбитального витка к другому.
Уравнение движения орбитального тела при непрерывном изменении эксцентриситета орбиты получим из следующих соображений. Вначале рассмотрим непрерывную траекторию орбиты на том интервале орбитального движения, на котором эксцентриситет орбиты изменяется в первом приближении от до (рис.1). При этом >> и >>. Следовательно, разность
. (11.6)
Уравнение траектории орбитального движения при непрерывном изменении эксцентриситета орбиты от до (причем >> ) будет
, (11.7)
где и - эксцентриситеты предыдущего и последующего эллипсов на этом интервале орбитального движения.
Как видно, второе слагаемое в правой части (11.7) имеет наибольшие значения при и обращается в нуль при и, то есть траектория орбитального движения во втором приближении обязательно проходит через точки и (рис.13) и смещена (как это показано на рис.13) относительно вершин А и В начального эллипса (с эксцентриситетом ).
Далее рассмотрим непрерывную траекторию орбиты на том интервале орбитального движения, на котором эксцентриситет орбиты изменяется в первом приближении от до (рис.1). При этом >> и >>. Следовательно, разность
(11.8)
Уравнение траектории орбитального движения при непрерывном изменении эксцентриситета орбиты от до (причем >> ) будет
, (11.9)
Поправка, вносимая во втором приближении в закон Кеплера (11.1) незначительна при орбитальном движении захваченных тел относительной массы N ≈≈ 10-2 ÷÷ 10-5, но она может быть существенной при орбитальном движении тел очень малой относительной массы (N →→ 0), например, для искусственных спутников Земли и комет, особенно при эксцентриситете их орбит, близком к критическому.
Кроме того, обратим внимание на тот весьма важный факт, что именно благодаря этой поправке (то есть члену в уравнениях (11.7) и (11.9), ответственному за изменение траектории орбиты захваченного тела в течение одного оборота) имеют место изменения от оборота к обороту большой полуоси орбитального эллипса, периода обращения тела и его средней орбитальной скорости.
12. Об изменении солнечной "постоянной" и среднего момента количества движения орбитальных тел
По определению, солнечная постоянная равна полному количеству излучения, падающего на площадку в 1 см2, помещенную под прямым углом к солнечным лучам за пределами атмосферы на среднем расстоянии от Солнца до Земли. Такое же определение справедливо и для других планет Солнечной системы. Современная солнечная постоянная равна 0,0331666 и, конечно, изменяется по мере увеличения или уменьшения расстояния от Солнца до Земли (или планет). При значительном эксцентриситете орбиты солнечная "постоянная" будет существенно изменяться и в течении одного оборота орбитального тела, но здесь мы рассмотрим лишь ее изменения в зависимости от среднего расстояния орбитального тела (планеты) от Солнца.
Среднее расстояние планеты от Солнца определяется как полусумма расстояний в перигелии и афелии, то есть
. (12.1)
Но lп = а(1 - е), а lа = а(1 + е) и
. (12.2)
При е = 0.
При e =.
Полное количество излучения, падающего на площадку в 1 см2 вблизи поверхности планет (но за пределами их атмосфер) будет изменяться по закону
, (12.3)
где: - солнечная "постоянная Земли в соответствующую эпоху;
- среднее расстояние от Солнца до Земли;
- среднее расстояние от Солнца до планеты.
По определению, средний момент количества движения орбитального небесного тела
, (12.4)
где: М - масса тела,
ωω - его угловая скорость.
Но
,
и, используя (12.2),
получим
. (12.5)
При е = 0,
При e →→ - максимален.
Следовательно
. (12.6)
Таким образом, средний момент количества движения орбитального тела изменяется при изменении эксцентриситета орбиты, причем при е = 0 он имеет минимальное значение и увеличивается при увеличении эксцентриситета орбиты.
Заметим, что гипотеза о сохранении момента количества движения в изолированной системе двух тел вполне применима к этой системе на небольшом временном интервале движения периферийного тела (порядка десятка оборотов вокруг центрального тела), поскольку за это время эксцентриситет орбиты периферийного тела мало изменится. Это, в частности, позволяет использовать эту гипотезу для расчетного определения массы периферийного тела (при известных параметрах орбиты и массе центрального тела) и в теории возмущений орбит небесных тел.
Согласно [4], угловое смещение перигелия орбиты захваченного небесного тела
. (12.7)
При выводе этого соотношения предполагалось, что момент количества движения периферийного небесного тела величина переменная, так как по ней проводится дифференцирование некой функции действия центрально - симметрического гравитационного поля.
Заменяя в (12.7) значение большой полуоси орбитального эллипса в соответствии с (12.2), получим
, (12.8)
то есть угловое смещение перигелия не зависит от эксцентриситета орбиты, а определяется массой центрального тела и значением большой полуоси орбитального эллипса при эксцентриситете е = 0 (или, что то же самое, параметром эллипса).
итература
- Сабелев Г.И. Движение заряженных тел в центральном поле. М., Маркетинг, 1998.
- Сабелев Г.И. Движение звезд и галактик. М., Маркетинг, 1997.
- Сабелев Г.И. Эволюция планетных систем. М., Маркетинг, 1997.
- андау Л.Д., Лифшиц Е.М., Теория поля. М., ГИФМЛ, 1960.
- Экономические очерки о природе и человеке. Под ред. Б.Гржимека, пер. с нем., М., Прогресс, 1988.
Книги по разным темам