Книги по разным темам Физика и техника полупроводников, 1997, том 31, № 11 Влияние сужения запрещенной зоны на диффузию заряженных примесей в полупроводниках й Б.С. Соколовский, Л.С. Монастырский Львовский государственный университет им. Ив. Франко, 290602 Львов, Украина (Получена 11 декабря 1996 г. Принята к печати 1 апреля 1997 г.) Теоретически показано, что учет внутреннего электрического поля, связанного с сужением запрещенной зоны, которое происходит при сильном легировании полупроводника, приводит к уменьшению коэффициента диффузии заряженной примеси и формированию падающего участка на его концентрационной зависимости.

Процессы диффузии заряженных примесей в полу- найти из уравнения электронейтральности проводниках, имеющие важное значение для технологии EF -Ec(x, t) +e(x, t) полупроводниковых приборов, являются предметом мноNd(x, t) =NcF1/2 (2) kT гочисленных экспериментальных и теоретических исследований [1,2]. Несмотря на это, в литературе имеется при диффузии донорной примеси и очень мало информации о том, каким образом сужение запрещенной зоны (СЗЗ), происходящее при высоких Ev(x, t) -e(x, t) -Eg0 -EF Na(x, t) =NvF1/2 (3) уровнях легирования полупроводника [3-12], сказывается kT на диффузии заряженных примесей. Нам известна только одна работа [13], где затронуты некоторые аспекты в случае диффузии акцепторной примеси. Здесь Nc, Nv Ч указанной проблемы применительно к диффузии P в Si. эффективные плотности состояний в зоне проводимости Как показано в работе [13], кулоновское взаимодействие и валентной зоне, F1/2 Ч интеграл Ферми, Ec, Ev Ч носителей наряду с СЗЗ приводит к уменьшению энер- смещения краев зон проводимости и валентной зоны гии образования вакансии и увеличению коэффициента вследствие сильного легирования, Eg0 Ч ширина запревакансионной диффузии. щенной зоны нелегированного полупроводника, EF Ч В настоящей статье теоретически исследуются основ- энергия Ферми. При записи (2) и (3) предполагалось, что отсчет энергии ведется от дна зоны проводимости ные закономерности влияния СЗЗ на концентрационную зависимость коэффициента диффузии заряженной при- нелегированного полупроводника.

В предположении локального равновесия (EF = const) меси. Использованный в данной работе подход к расчету из (2) и (3) находим напряженности внутреннего элекконцентрационной зависимости коэффициента диффузии трического поля базируется на учете внутреннего электрического поля, связанного с пространственной неоднородностью энер kT Nd Ec гетической диаграммы сильно легированного полупро- = - - (4) x eNcF-1/2[F1/2(Nd/Nc)] x x водника в условиях градиента концентрации легирующей примеси.

в полупроводнике n-типа и При наличии электрического поля одномерные (вдоль оси x) потоки акцепторной qa и донорной qd однократно kT Na Ev - = - (5) заряженных примесей с локальными значениями конценx eNvF-1/2[F1/2(Na/Nv)] x x траций Na и Nd для произвольного момента времени t можно записать в следующем виде [2]: в полупроводнике p-типа, F1/2 Ч функция, обратная интегралу Ферми. При получении (4) и (5) было учтено, Na, e что dF1/2(z)/dz = F-1/2(z).

qa, d(x, t) =-D0 d d Na, d, (1) a, x kT x Вторые слагаемые в (4) и (5) описывают вклад во внутреннее электрическое поле от изменения положений где D0 d Ч коэффициенты диффузии акцепторной и краев зон разрешенных энергий, обусловленный сильa, донорной примесей при малых концентрациях послед- ным легированием полупроводника диффундирующей них, Ч потенциал электростатического поля, e Ч примесью. Необходимым условием наличия этого вклада элементарный заряд, T Ч температура, k Ч постоянная является неоднородность легирования (очевидно, при Больцмана.

достижении однородного распределения примеси они Будем предполагать, что характерная длина простран- принимают нулевые значения). Заметим, что аналогичственного распределения примеси намного превышает ные слагаемые присутствуют во внутреннем электридлину экранирования, а концентрация примесей суще- ческом поле варизонных полупроводниковых твердых ственно больше собственной концентрации носителей растворов [14]. Однако если в последних градиенты заряда ni. Тогда внутреннее электрическое поле можно краев зон разрешенных энергий зависят не только от Влияние сужения запрещенной зоны на диффузию заряженных примесей в полупроводниках распределения примесей, но и от химического состава, экстремума той же зоны вследствие взаимодействия то в сильно легированных полупроводниках профиль между носителями и примесями. Согласно [8,9], формулу их энергетической диаграммы однозначно определяется (8) можно применять ко многим полупроводникам в координатным распределением примеси. широком температурном диапазоне (вследствие слабой Подставляя (4) и (5) в (1), представим потоки приме- зависимости многочастичных взаимодействий от темпесей в виде диффузионных потоков ратуры [4]) и в области концентрации, соответствующей как вырожденному, так и невырожденному газу носитеNa, лей заряда.

qa, d(x, t) =-Da, d d (6) x Ограничиваясь при последующем анализе использованием формулы (8), заметим, что установленные далее с зависящими от концентрации коэффиициентами дифзакономерности процессов диффузии будут качественно фузии соблюдаться и в случае применения других моделей СЗЗ, Na, d в частности [3,10] (ввиду того что во всех моделях велиDa, d = 1 + чина СЗЗ является монотонно возрастающей функцией Nv, cF-1/2[F1/2(Na, d/Nv, c)] концентрации примеси).

1 dEv, c Выражение (8) для смещения краев зон основных Na, D0. (7) носителей можно представить в виде kT dNa, d d a, d 1/3 1/Для анализа особенностей концентрационной зависиEc, v = An, pNd, a + Bn, pNd, a, (9) мости коэффициента диффузии в условиях СЗЗ необгде An, p, Bn, p Ч положительные коэффициенты, численходимо иметь выражения для зависимостей изменения ные значения которых для Si, Ge и ряда полупроводников профилей дна зоны проводимости и потолка валентной AIIIBV обоих типов проводимости приведены в [8,9].

зоны от концентрации примеси. К настоящему времени предложен ряд моделей СЗЗ, основанных на учете воз- Из (7), (9) следует, что учет внутреннего электрического поля, связанного с СЗЗ, приводит к уменьшению можных взаимодействий в системе носителиЦпримеси коэффициента диффузии, причем поправка на сужение (см., например, [3Ц12] и содержащиеся там ссылки), которые достаточно хорошо согласуются с экспери- запрещенной зоны увеличивается по модулю с ростом концентрации примеси. Отмеченная особенность коэфментальными концентрационными зависимостями СЗЗ фициента диффузии в сильно легированных полупроводдля многих полупроводников. Наиболее широко сейчас никах имеет прозрачное физическое объяснение. Трансиспользуется модель СЗЗ, разработанная в [8,9]. Это формация энергетической диаграммы при легировании, связано главным образом с тем, что данная модель, в приводящая к уменьшению энергии основного носителя которой на квантово-механическом уровне принимается в области с большой концентрацией примеси, противово внимание большее, чем в других моделях, число действует уходу основных носителей в менее легировзаимодействий, дает правильную (а именно, обратно пропорциональную) зависимость величины СЗЗ от эф- ванную область и таким образом уменьшает внутреннее электрическое поле [15], ускоряющее диффундирующую фективной массы носителей заряда [5]. Сдвиг краев зон заряженную примесь.

в модели [8,9] описывается выражением Поскольку характер концентрационной зависимости коэффициента диффузии определяется соотношением 1.Ec, v = Rc, v 1/3 +, (8) 3/2-го и 3-го слагаемых в (7), которое изменяется с изме Nc, v rd, a 2Nc, vrd, a нением концентрации примеси (уровня Ферми), целесо2 образно рассмотреть отдельно поведение Da, d в области где Rc, v = me, he4/22 Ч эффективные боровские концентраций примеси, при которых вырождение носиэнергии для зоны проводимости и валентной зоны, телей заряда отсутствует или невелико, а также в случае, Ч относительная диэлектрическая проницаемость покогда легирование приводит к сильному вырождению.

упроводника, me, h Ч эффективные массы электрона При слабом вырождении (Na, d Nv, c, когда интеграл и дырки, rd, a = (3/4Nd, a)1/3/ae, h Ч средние расФерми можно представить в виде [16] стония между донорами и акцепторами, нормированные на эффективные боровские радиусы электрона и дырки exp z F1/2 =, z < 1.3, (10) ae, h = /me, he2, Nc, v Ч число эквивалентных экс1 + exp z тремумов в зоне проводимости и валентной зоне, Ч где = 0.27, концентрационная зависимость Da, d дается коэффициент порядка единицы, учитывающий анизотровыражением пию зоны проводимости в полупроводниках n-типа и взаимодействие между зонами легких и тяжелых дырок Nv, c Da, d(Na, d) =D0 d 1 + в полупроводниках p-типа проводимости. 1-е слагаемое a, Nv, c -Na, d в (8) описывает смещение экстремума зоны основных носителей заряда вследствие обменного взаимодействия Ap, n 1/3 Bp, n 1/- Na, d - Na, d. (11) между последними, а 2-е Ч характеризует смещение 3kT 2kT Физика и техника полупроводников, 1997, том 31, № 1334 Б.С. Соколовский, Л.С. Монастырский Из формулы (11), справедливой в случае невырожден- значения, равного 1.3, при Na = 1.1 1021 см-3, ного полупроводника, следует, что учет СЗЗ приводит что соответствует положению уровня Ферми внутри к формированию на концентрационной зависимости ко- валентной зоны на расстоянии 4kT от ее потолка.

эффициента диффузии падающего участка. Уменьшение При уровнях легирования, приводящих к сильному Da, d с ростом концентрации примеси происходит как в вырождению носителей заряда (Na, d Nv, c), для Da, d области невырожденного газа носителей, так и в области из (7) и (9) получаем выражение слабого вырождения. В 1-м случае фактор увеличения 1/ Na, d 2/коэффициента диффузии Da, d/D0 d за счет внутреннего a, Da, d = D0 d 1 + a, 6 Nv, c электрического поля, неперенормированного эффектом СЗЗ, не зависит от концентрации примеси, принимая зна1/3 1/Ap, nNa, d Bp, nNa, d чение равное 2 [15] (напомним, что наше рассмотрение - -. (13) ограничено условием Na, d ni). Во 2-м случае наблю3kT 2kT дается увеличение этого фактора вследствие вырождения В области сильного вырождения разность D a, d - Da, d носителей, которое в области спада Da, d не превышает монотонно возрастает с увеличением Na, d. При этом уменьшающей Da, d поправки, связанной с СЗЗ.

вследствие более сильной концентрационной нелинейПоскольку зависимость 2-го слагаемого в (11) от ности второго слагаемого в (13) по сравнению со Na, d сверхлинейна, а слагаемые, описывающие вклад слагаемыми, связанными с СЗЗ, отношение D a, d/Da, d СЗЗ, имеют сублинейный характер, в области слабого уменьшается с ростом уровня легирования.

вырождения возможно образование локального миниТаким образом, в работе показано, что СЗЗ привомума на зависимостях Da, d(Na, d). В случае, когда Na, d (2Ap, n/3Bp, n)6, минимальное значение Da, d дит к уменьшению коэффициента диффузии заряженной примеси. При этом в области слабого вырождения на достигается при концентрационной зависимости коэффициента диффузии наблюдается падающий участок, а при промежуточном Ap, nNv, c 3/min Na, d =. (12) вырождении отношение коэффициентов диффузии, рас9kT считанных без учета и с учетом СЗЗ, достигает максимального значения.

Положение минимума зависимости Da, d(Na, d) при увеличении температуры смещается в область больших концентраций. При этом несколько уменьшается глуСписок литературы бина минимума. Например1, для p-Si при T = 600C минимальное значение Da составляет 1.82D0, а при [1] Atomic Diffusion in Semiconductors, ed. by D. Shaw a (Plenum Press, LondonЦN.Y., 1973). [Пер.: Атомная дифT = 900C, Da = 1.85D0. Такое поведение коэффициa фузия в полупроводниках, под ред. Д. Шоу (М., Мир, ента диффузии связано с тем, что обусловленная СЗЗ 1975)].

поправка к Da, d за счет температурного фактора 1/kT [2] Б.И. Болтакс. Диффузия и точечные дефекты в полувозрастает при уменьшении температуры (в использупроводниках (Л., Наука, 1972).

емой модели [8,9] СЗЗ величины смещений краев зон [3] H.P.D. Lanyon, R.A. Tuft. IEEE Trans. Electron. Dev., 26, практически не зависят от температуры.). Очевидно, что 1014 (1979); С. Зи. Физика полупроводниковых приборов использование моделей [3,10], в которых величина СЗЗ (М., Мир, 1984) т. 1.

уменьшается с ростом температуры, приведет к более [4] H.S. Bennett, J.R. Lowney. J. Appl. Phys., 52, 5633 (1981).

заметной температурной трансформации концентраци[5] B.E. Sernelius. Phys. Rev. B33, 8582 (1986).

онных зависимостей коэффициента диффузии.

[6] H.S. Bennett, J.R. Lowney. J. Appl. Phys., 62, 521 (1987).

Заметим, что наличие на концентрационной зависимо- [7] S.C. Jain, E. Heasell, D.J. Roulston. Prog. Quant. Electron., 11, 105 (1987).

сти коэффициента диффузии падающего участка может [8] S.C. Jain, J.M. McGregor, D.J. Roulston. J. Appl. Phys., 68, приводить к неустойчивости диффузионного потока, в 3747 (1990).

частности способствовать процессам коагуляции приме[9] S.C. Jain, D.J. Roulston. Sol. St. Electron., 34, 453 (1991).

сей в сгущения.

[10] Д.И. Бычковский, О.В. Константинов, Б.В. Царенков. ФТП, Дальнейшее возрастание концентрации примеси 24, 1848 (1990).

min (Na, d > Na, d ) сопровождается увеличением абсо[11] Z.H. Lu, M.C. Hanna, A. Majerfeld. Appl. Phys. Lett., 64, лютного и относительного отклонения коэффициентов (1994).

диффузии D a, d и Da, d, рассчитанных без учета и с учетом [12] B.P. Yan, J.S. Luo, Q.L. Zhang. J. Appl. Phys., 77, 4822 (1995).

СЗЗ соответственно. Расчет концентрационной зависи[13] А.О. Константинов. ФТП, 26, 339 (1992).

мости коэффициента диффузии в p-Si, выполненный с [14] Л.С. Монастырский, Б.С. Соколовский. ФТП, 26, применением формулы (7), показывает, что отношение (1992).

[15] K. Lehovec, A. Slobodskoy. Sol. St. Electron., 3, 45 (1961).

D a/Da достигает при T = 900C максимального [16] Дж. Блекмор. Статистика электронов в полупроводДля численных оценок выбран p-Si как материал, в котором конниках (М., Наука, 1964).

центрационная зависимость края зоны основных носителей является Редактор Т.А. Полянская одной из наиболее сильных [8,9] Физика и техника полупроводников, 1997, том 31, № Влияние сужения запрещенной зоны на диффузию заряженных примесей в полупроводниках The influence of band gap narrowing on diffusion of charged impurities in semiconductors B.S. Sokolovskii, L.S. Monastyrskii I. Franko Lviv State University, 290602 Lviv, the Ukraine

Abstract

It has been shown theoretically that the built-in electric field due to band gap narrowing which occurs during heavy doping of a semiconductor, results in the decrease of the diffusion coefficient of a charged impurity and in appearance of a drop on its dependence on impurity concentration.

   Книги по разным темам