Книги, научные публикации
Экономические 8(93) Математические и инструментальные 173
науки методы экономики 2012 Модели управления объектами жилищно-коммунального хозяйства в условиях неопределенности й 2012 В.П. Чернышов Самарский государственный аэрокосмический университет им. академика С.П. Королева (национальный исследовательский университет) E-mail: zaskanov Рассматривается задача принятия решений по управлению объектами жилищно-коммунального хозяйства, в которой цели и ограничения не обязательно являются четко сформулированными.
В статье предложены методы и модели, позволяющие идентифицировать такого рода задачи, охарактеризовать свойства их решения и, насколько это возможно, настроить алгоритмы их реализации.
Ключевые слова: управление, неопределенность, нечеткие множества, оптимизация, критерии, ограничения.
В основе современной теории управления ходам. Иными словами, каждое ЛПР имеет мно организационными системами лежит понятие оп- жество четко сформулированных целей, на ос тимизации. Ищут оптимальные решения, т.е, зна- нове которого оно способно определить свои чения переменных, доставляющие максимум (ми- предпочтения.
нимум) целевой функции и удовлетворяющие Если рассмотреть некоторые реальные ситу ряду ограничений. Когда речь заходит о целях ации принятия решения, то можно заметить, что или ограничениях, чаще всего подразумевается, они не удовлетворяют приведенному выше оп что они хорошо известны. В последние же годы ределению.
все яснее становится то, что практика управле- Очевидно, что реальное ЛПP использует ния уже достигает той границы, где неопреде- выражение типа Уz должно быть в окрестности ленность начинает играть существенную роль. уФ, которое не представляет собой четко сформу Умение разрешать неопределенности или даже лированной цели.
просто работать с ними требует восприимчивос- Выражение Ув окрестностиЕ.Ф можно опи ти к условиям окружающей обстановки. сать нечетким подмножеством, определяемым В данной статье рассматриваются задачи при- функцией f : X L, где L - упорядоченное мно нятия решения (ЗПP), в которых цели и огра- жество (решетка).
ничения не обязательно являются четко сфор- Таким образом, нечеткую обстановку мож мулированными. Необходимо научиться иден- но рассматривать как множество X альтернатив тифицировать такого рода задачи, охарактеризо- вместе с его нечеткими подмножествами, пред вать свойства их решений и, насколько это воз- ставляющими собой нечетко сформулированные можно, построить методы их решения. критерии (цели и ограничения), т.е. как систему Под ситуацией принятия решения будем по ( X, f 0,..., f n, L).
нимать:
В такой задаче принять во внимание по воз множество альтернатив, из которых лицо, можности все критерии означает построить фун принимающее решение (ЛПР), производит вы бор;
кцию D f 0 f1,..., f n. Оптимум соответствует множество ограничений, накладываемых на той области Х, элементы которой максимизиру этот выбор;
ют D.
целевую функцию, которая позволяет ЛПР Имея в виду, что в формулировке решения ранжировать имеющиеся у него альтернативы. цели и ограничения участвуют одинаковым об Для задач принятия решения в условиях оп- разом (принцип слияния), нечеткую обстановку ределенности характерно то, что каждый конк- можно определить как тройку (X,D,L). Ход рас ретный выбор дает единственное значение целе- суждения полагает, что решение можно опреде вой функции. Получается, что не существует осо- лить как нечеткое подмножество универсально бых трудностей в описании предпочтений по ис- го множества альтернатив.
Экономические 8(93) Математические и инструментальные 174 науки методы экономики Под оптимальным решением понимаем эле- Дадим процедуру нахождения числа в ин тервале [b, B], расположенного по возможности мент x0 X (если такой существует), для кото ближе к b. Рассматриваемую ситуацию плани рого D( x0 ) sup D( x ) 1. Это и есть случай нечет- рования можно формулировать так: найти век x X x ( x1, x2,..., xn ) n, т ор т акой, чт о кого математического программирования (НМП).
Здесь, пожалуй, уместно отметить, что любая n задача НМП является задачей многокритериальной aij x j bi, Bi и разность aij x j bi, по возмож оптимизации и что соответствие ( X, f 0,..., f n, L) x0 j есть компактная запись общей задачи математичес ности, мала для любого i 1,.... m.
кого программирования, которая, как уже говори Последнее ограничение можно описать нечет лось, заключается в том, чтобы каждому семейству целей и ограничений сопоставить некоторое под- n aij x j множество множества альтернатив, называемое оп- Bi тимизирующим множеством. n ким множеством F j : 0,1, Fi j 1.
Цель статьи - использование математичес- Bi bi кого аппарата нечетких множеств для решения Учитывая теорему об аппроксимации3 и используя задач планирования - управления активами час тного капитала.
обозначение xn 1 min Fi ( x), приходим к следую В работе2 решены теоретические проблемы i применения математического аппарата нечетких щей простой задаче планирования: найти max xn 1 при множеств, который позволил не только рассуж дать о нечеткой обстановке, но и получить ре- n aij x j (Bi bi ) xn1 < Bi.
зультат, полезный для решения задач математи- ограничении ческого программирования в такой обстановке. j Практическое значение данного результата в Преимущество такого представления исход том, что он позволяет без труда свести задачу НМП ной задачи налицо: оно позволяет пользоваться к классической задаче математического програм обычными вычислительными методами нахож мирования. При этом необходимо решать ЗПР в дения оптимальных решений. В этом случае не хорошо известной ситуации управления активами четкость не является неприятной особенностью клиента. Рассмотрим случай задачи планирования, задачи планирования;
она оказывается довольно сформулированной в форме задачи линейного про удачным и подходящим свойством. Этот способ граммирования. Она характеризуется ограничени использования гибкости нечетких ограничений, по-видимому, соответствует характеру мышле n aij bi,i 1,...,m, которые определяют ями вида ния клиента банка.
Главная идея здесь заключена в том, что j многие нечеткие по своей природе модели мож допустимую область. Ясно, что при несовместных но описывать детерминированным образом и что ограничениях эта область пустая. В таком случае недостаток точности модели возмещается ее гиб налицо необходимость модификации ограничений.
костью.
Менеджеру желательно выяснить, как изменить До сих пор под принятием решения в не ограничения задачи, чтобы появились допустимые четкой обстановке понимался процесс принятия решения. Фактически он хочет знать, как мини решения, в котором цели и ограничения пред мально изменить первоначальный вариант описа ставляют собой нечеткие множества.
ния, чтобы задача стала разрешимой. Ясно, что Обычно же целевая функция или функция для этого можно изменить коэффициенты bi. стоимости определяется не как нечеткое множе Предположим, что планирование происхо- ство, а как функция f : X, которая также дит гибким образом, т.е. менеджер оперирует не служит субъективной мерой эффективности не числами, а интервалами. Это означает, что вмес которого действия.
то чисел bi он использует интервалы [bi, Bi ]. В данном случае роли целей и ограничений Задача успешно решается, если в данном интер- несимметричны. Обсудим теперь эту проблему.
Известно, что для каждого нечеткого множе вале найдется число, такое, что неравенства ства f : 0.1 можно определить множества n aij x j будут описывать допустимую область. уровня j Экономические 8(93) Математические и инструментальные науки методы экономики Таким образом, для того чтобы получить оп N ( f ) {r | f (r ) }, 0.1, тимум f 0 на f, мы должны решить бесконечное причем N 0 ( f ) и N ( f ) N ( f ).
множество обычных задач оптимизации. Вместо Нечеткое множество f : 0.1 называет- этого такого рода задачи решаются с помощью понятия аппроксимации нечеткого множества4.
ся ограниченным, если ограничены все множе Рассмотрим операцию с множеством допус ства N ( f ) при 0.
тимых альтернатив, представляющим собой рас Отметим, что ограниченность sup f влечет за пределения ресурсов, которые ЛПР может вло жить в данную операцию. Очевидно, было бы собой ограниченность f, поскольку неразумным проводить резкую границу для мно supp f жества допустимых альтернатив, поскольку мо N ( f ).
жет случиться так, что распределения, лежащие за этой границей, дадут эффект, перевешиваю Легко показать, что если g f и f - огра щий меньшую желательность этих распределе ниченное множество, то g - также ограниченное ний для ЛПР.
В таких случаях представляется целесообраз множество, и что из ограниченности f и g ным вводить нечеткое множество допустимых следует ограниченность f g.
элементов и, следовательно, рассматривать зада Допустим, что имеется ограниченное нечет- чу как задачу НМП с применением подхода, да кое множество f : 0.1. Для того чтобы оп- ющего ЛПP больше свободы в использовании его субъективных представлений о ситуации.
ределить границы, положим:
Требуется максимизировать внешний кри inf f {inf N ( f ) } 0 { m } 0, терий - функцию : X на заданном нечет sup f {sup N ( f ) } 0 { M } 0.
ком множестве допустимых альтернатив f.
Отметим, что границы нечеткого множества Для любого, удовлетворяющего условию семейства действительных чисел, точнее, функ N ( f ), введем множество ции [О, 1].
Если упорядочить эти семейства: N () x | ( x) sup ( x ).
( ) (b ) b, x N ( f ) то получим Под решением указанной задачи НМП бу inf f < sup f. дем понимать нечеткое подмножество нечеткого Пусть имеется функция f 0 : X. Обыч- множества f с функцией принадлежности ные задачи оптимизации записываются в виде sup, при x N ( ) 1 ( x) xN ( ) A X sup f 0 ( x ) или inf f 0 ( x).
0,в противном случае.
x A x A Пусть f F ( X ) - нечеткое подмножество Следующее предложение дает возможность выразить решение в более простой форме. Легко X, f : X 0,1. Под sup f 0 понимается sup f 0 ( f ), показать, что где f 0 ( f ) : 0,1 - образ нечеткого множества x supp 1 ( x) 1 ( x) f ( x), f при отображении f 0.
откуда Известно, что f ( x),если r f ( X );
f ( x), при x N() 1 ( x) f 0 ( f )( x) f 0 ( x ) r 0, если r f 0 ( X ). 0, в противном случае.
Тогда sup f 0 sup f 0 ( f ) = {sup N f 0 ( f ))} 0.
Будем говорить, что решение 1 задачи НМП Поскольку N f 0 ( f )) f 0 ( N ( f )), име е м существует, если 1 ( x ) тождественно не равно нулю. Отсюда немедленно следует, что данная sup f 0 sup f 0.
задача НМП имеет решение 1 тогда и только N ( f ) Экономические 8(93) Математические и инструментальные 176 науки методы экономики тогда, когда найдется такое число 0, для ко N (). Это озна Легко показать, что P торого N (). Нечеткое максимальное значение функции чает, что для всех x X выполняется равен (x) н а зад ан н ом н е че т ком мн оже ст ве ство 2 ( x ) 1 ( x) и, следовательно, решение f ( x), f : X 0, 1 есть нечеткое подмножество всегда является подмножеством решения 1.
с функцией принадлежности вида Решение 2 явно предполагает, что ЛПР дол жно использовать в своем нечетком решении (r ) sup ( x ) sup sup.
только те элементы универсального множества x 1 ( r ) x 1 (r ) : x N ( ) X, для которых значения функций (x) и Рассмотрим некоторые простые свойства ре f (x) одновременно неулучшаемы. Другими сло шения 1, которые понадобятся нам в дальней вами, если ЛПР надо выбрать в качестве реше шем:
r0 supp (r ) N () 1 (r0 ), ния единственный элемент x 0, оно должно взять его из элементов четкого множества supp 2 ( x).
Весьма интересным оказывается то, что оба r0 supp (r ) sup ( x) sup f ( x).
1 решения 1 и 2 при некоторых условиях дают x ( r ) x ( r ) одно и то же нечеткое значение функции (x).
Функция принадлежности (r ) монотонно Это следует из теоремы о том, что если Х - би убывает на множестве supp (r ).
компактное множество, функция (x) непрерыв Если ЛПР надо выбрать в качестве решения на на Х, а функция f (x) полунепрерывна сверху один-единственный элемент x, то его выбор должен основываться не только на значении при- на Х, то 2 (r ) 1 (r ) для любого r.
надлежности ( x ), но и на значении функции В заключение статьи рассмотрим взвешен ную свертку в НМП.
(x), соответствующем этому элементу. Чем Наше понимание нечеткой обстановки в связи больше значение, тем меньше значение сте с задачей принятия решений опиралась на сле пени принадлежности элемента x0, для которо- дующее определение: нечеткая обcтановка есть набор ( Х, f 0,... f n, L ), где Х - множество альтер го (x) = r0, нечеткому множеству 1. Иными н ат ив, L - н е кот ор ая р е ше т ка и словами, ЛПР должно принимать во внимание f i : X L, i 0,1, 2,...,n, - нечеткие критерии.
четкое значение (r ) и вначале выбрать пару Рассматривая все критерии как равнозначные в соответствии с принцином слияния Беллмана ( r0, ( r0 ) ), согласующуюся с его желанием по Заде, математически нечеткую обстановку мож лучить как по возможности большее значение н о опр ед е лит ь как т ройку (Х, D, L ), принадлежности r0, так и по возможности боль где D f 0f1 Е f n. Этот путь рассуждений шее значение принадлежности r0 нечеткому мно- подразумевает, что решение можно определить как подмножество множества альтернатив. Под жеству (r ).
оптимальным же решением понимается точка Другой тип решения рассматриваемой здесь x 0 X (если такая существует), для которой задачи НМП основывается на понятии макси D ( x 0 ) sup D ( x ).
мума Парето в векторной оптимизации.
x X Пусть Р - множество максимальных по Па Однако в реальном мире многие решения рето элементов для двух функций (x) и f (x) принимаются в нечеткой обстановке при нали на множестве Х, тогда решением 2 задачи НМП чии целей неодинаковой значимости. В этом слу является нечеткое множество чае понятие нечеткой обстановки должно вклю чать в себя взвешивание целей для того, чтобы f ( x ) при x P 2 ( x). можно было получить адекватную формулиров 0 в противном случае ку основной задачи принятия решения.
Экономические 8(93) Математические и инструментальные науки методы экономики Можно рассматривать взвешивание крите- Теперь с помощью нечетких мер можно оп ределить нечеткие интегралы, очень похожие на риев в виде отображения P ( N n ) L, где N n интегралы Лебега.
множество индексов критериев. Это отображе Для каждого x X рассмотрим отображение ние должно быть нечеткой мерой, отражающей предпочтения, т.е. степени значимости различ- hx : N n L, которое задается выражением ных коалиций, образованных из элементов мно hx (i ) f1 ( x ).
жества N n. Пусть функция-решение D : X L опреде Сразу же уточним понятие нечеткой меры. ляется в виде нечеткого интеграла:
Нечеткой мерой5 называется функция множества D ( x ) f hx ( i ) g sup inf h x (i ) g ( M )),, g, определенная на монотонном семействе M P ( N n ) iM Nn подмножеств множества N n и обладающая сле- где f - символ нечеткого интеграла и в то же время дующими свойствами: символ нечеткости, а - символ композиции.
1) g()=0 и gN n 1;
Элемент x X, максимизирующий D (x ), 2) если A, B P N n и A B, то g ( A) g ( B). оптимальное решение.
В ог Орловский С.А. Проблемы принятия решений раниченность и неотрицательность, а свойство 2 при нечеткой исходной информации. М., 1981.
монотонность. Отметим, что здесь не говорится Там же.
об аддитивности. Монотонность представляется Там же.
очень естественным допущением о характере Там же.
субъективных суждений человека, в то время как Там же.
условие аддитивности излишне ограничительно.
Поступила в редакцию 04.07.2012 г.