Книги, научные публикации
Экономические 2(87) Экономика и управление 90 науки 2012
Прогнозирование динамики экономических параметров предприятия на основе нейронных сетей й 2012 М.С. Суменков доктор экономических наук, профессор й2012 С.М. Суменков кандидат экономических наук, доцент Уральская государственная юридическая академия, г. Екатеринбург й 2012 Н.Ю. Новикова ООО КБ УКольцо УралаФ E-mail: ssm0001 В статье предложена методика построения модели статистического анализа временных рядов на основе нейронных сетей, которые дают дополнительные возможности в моделировании неста ционарных процессов и описании их хаотичного поведения.
Ключевые слова: нейронная сеть, временной ряд, случайная компонента, прогнозирование, тренд.
Необходимость изучения поведения различ- ний статистической зависимости и на основе ных показателей, характеризующих деятельность имеющейся исходной информации определять предприятия и находящихся в постоянном изме- методом наименьших квадратов значения коэф нении и движении, приводит к целесообразности фициентов каждой из рассматриваемых функ использования теории случайных процессов, в ций с выдачей оценок тесноты связи.
основе которой лежит изучение закономерностей Первый нейрон реализует линейное пред изменения случайных величин, характеризующих ставление поведение реальных экономических показателей1. f(t) = a t + b, Нейронные сети можно рассматривать как т. е. вычисляет значения коэффициентов a и b и оценку тесноты связи R2x/t.
обобщение традиционных статистических под ходов к анализу временных рядов. Они дают Второй нейрон оценивает степенную функ дополнительные возможности в моделировании цию f(t) = a tb нестационарных процессов и описании их хао тичного поведения. Благодаря своей большой путем преобразования ее к линеаризованной гибкости, когда на одной типологии сети можно ln f(t) = ln a + b ln t.
реализовать множество различных отображений, Третий нейрон - показательную функцию f(t) = a + bt их семантическая сеть позволяет увязать в еди ное целое все процессы моделирования поведе- с существующим преобразованием ния временных рядов. Это, в первую очередь, ln f(t) = ln a + t ln b.
выявление тренда и циклической составляющей, Четвертый нейрон - показательно-степенную а также анализ случайной компоненты. За осно- функцию f(t) = a tb ct ву примем многослойную нейронную сеть с пря мой связью (см. рисунок). с соответствующим приведением к линейному Первый слой нейронов обеспечивает опре- случаю деление наиболее подходящих вариантов статис- ln f(t) = ln a + b ln t + t ln C.
тической модели тренда. Учитывается тот факт, Пятый нейрон - логистическую функцию что все расчеты будут проводиться на сравни a тельно небольших (часто на минимально допус- f (t ) 1 b e -ct тимых) размерах выборок, поэтому целесообраз но анализировать лишь наиболее простые выра- с соответствующим приведением к линейному жения этой компоненты. случаю Каждый из нейронов данного слоя будет a ln ln b ct.
моделировать одно из возможных представле ( f (t )-1) Экономические 2(87) Экономика и управление науки f(t) х(t) g(t) х(t) х(t) х(t) х(t) (t) прогноз 5 3 х(t) х(t) х(t) х(t) 9 х(t) х(t) I слой II слой III слой Рис. Трехслойная нейронная сеть Шестой нейрон - функцию Гомперца a bt.
ln f(t) = ln a + bcx f (t ) с соответствующим приведением к линейному Восьмой нейрон - дробно-рациональную виду функцию ln (ln f(t) - ln a) = ln b + x ln c.
Седьмой нейрон - гиперболическую функ- t f (t ) a bt ct цию с соответствующим приведением к линейному f(t) = случаю a bt t с соответствующим приведением к линейному = a bt ct.
f (t ) случаю Экономические 2(87) Экономика и управление 92 науки Девятый нейрон - функцию Торн-Квиста В силу сделанного нами предположения об ограниченности числа наблюдений (в целях дос at f (t ) тижения стационарности случайных процессов) для bt того, чтобы случайные возмущения не станови с соответствующим приведением к линейному лись статистически закономерными, будем рас случаю сматривать такие выражения циклической ком 1 b1 1 поненты, которые содержат только две различ.
f (t ) a t a ных циклических переменных из выражения (2).
Если такое предположение неприемлемо, т.е.
Десятый нейрон - функцию Джонсона не гарантирует достаточную степень адекватнос a ln f (t ) ти моделирования случайного процесса, то в со c-bt став нейронов 2-го слоя необходимо включать с соответствующим приведением к линейному алгоритмы пошаговой регрессии и количество случаю циклических переменных может быть увеличено.
Перечень нейронов 2-го слоя и выражения их 1 b t.
циклической составляющей приведены в табл. 1.
ln f (t )-c aa Таблица 1. Перечень нейронов второго слоя и выражения их циклических составляющих Номер нейрона Выражение циклической составляющей g (t) = a 0 + a1 sin t/6 + b1 cos t/ g (t) = a 0 + a1 sin t/6 + a2 sin 2 t/ g (t) = a 0 + a1 sin t/6 + b2 cos 2 t/ g (t) = a 0 + a2 sin 2 t/6 + b 1 cos t/ g (t) = a 0 + a2 sin 2 t/6 + b 2 cos 2 t/ g (t) = a0 + b1 cos t/6 + b 2 cos 2 t/ В качестве оценки степени приближения Из таблицы видно, что при m = 2 в выра будет выступать величина жении (2) охватываются все возможные комби R2x/t = (x(t) - f(t))2 / Var x (t), (1) нации варьирования двумя циклическими пере t T менными.
Каждый нейрон 2-го слоя связан со всеми где Var x(t) - дисперсия временного ряда.
нейронами 1-го слоя, тем самым обеспечивает Второй слой нейронов обеспечивает оп возможность полного перебора вариантов тренд ределение циклической компоненты для каждо сезонных колебаний. Если обозначить fk(t) - пред го из возможных представлений тренда f(t). Каж ставление тренда в каждом нейроне 1-го слоя, а дый из нейронов данного слоя будет моделиро gi(t) - циклическую составляющую, реализован вать одно из возможных представлений цикли ную в i-м нейроне 2-го слоя, то на выходе ческой составляющей. Эти представления долж i-го нейрона 2-го слоя будет тренд-сезонная ком ны быть адаптированы к конкретным условиям понента, имеющая следующую форму связи:
рассматриваемой задачи, т. е. учитывать резуль fk(t) = gi(t), которая обеспечивает максимальную таты статистического моделирования.
по параметру к оценку тесноты связи, в качестве Наиболее часто в качестве циклической которой выступают либо коэффициент множе составляющей выступает сезонная компонента, ственной корреляции R2 y/t, либо дисперсия адек для нее период колебания известен и составляет, ватности S2 y/t.
например, годовой период. В этом случае апп C помощью данной нейронной сети можно роксимирующая функция может иметь следую оценить 10х6 =60 вариантов представления тренд щий вид:
сезонной составляющей для каждого временно m го ряда, в то время как при традиционном под kt a gm (t) = + ak sin + ходе удалось бы оценить лишь 10+6=16 вариан 2 k тов представления этой составляющей.
Третий слой нейронной сети содержит толь m kt ко один нейрон, на вход которого подается ин + bk cos. (2) 6 формация о форме представления тренд-сезон k ной компоненты с соответствующей оценкой тес Как правило, для реальных задач m 32.
Экономические 2(87) Экономика и управление науки ноты связи (в случае отсутствия автокорреля- 2. Проверка нормальности необходима для обо ции) от каждого из шести нейронов 2-го слоя. снования оценок точности прогнозов на базе стати стического моделирования. Как известно3, случай Задача нейрона 3-го слоя - сделать обоснован ный выбор из шести возможных вариантов наи- ная величина { t} должна быть распределена по более подходящего представления тренд-сезон- нормальному закону с известными параметрами:
ной компоненты. а) математическое ожидание равно нулю;
Данный выбор производится не только с б) дисперсия равна единице.
помощью анализа оценок тесноты связи R2y/t, Для оценки гипотезы о нормальности рас но и включает анализ случайности компоненты пределения { } вычисляются выборочная сред (t) для каждого из шести случаев. няя этого ряда и его выборочная дисперсия Такой анализ случайной компоненты (t) T 2, все множество значений данного времен включает в себя следующие три типа:
1) проверка случайности (t);
ного ряда разбивается на шесть равных интерва 2) проверка нормальности распределения;
лов длины T с центром в точке. Подсчиты 3) оценка параметров нормального распре вается число попаданий элементов ряда в каж деления.
дый из интервалов. Эти величины образуют вы Введем следующие обозначения:
борочные частоты ni (i = 1,..., 6), данные зано y(t) - наблюдаемое значение временного ряда, сятся в следующую таблицу (табл. 2).
t 1, Т;
Здесь N = 24 - общее число наблюдений;
Рi Y(t) = fk(t) + gi(t) - расчетная величина тренд вероятность попадания в i-й интервал случайной сезонной компоненты;
величины, распределенной по нормальному зако (t) = Y(t) - y(t).
Таблица 2. Величина выборочных значений (n i - n'i) Номер ni Pi N'i = 24P i ni интервала (n1 - 1)2/ n1 0,02 (n 2 - 3)2/ n2 0,14 (n3 - 8)2/ n3 0,34 (n4 - 8)2/ n4 0,34 (n5 - 3)2/ n5 0,14 (n6 - 1)2/ n6 0,02 X 2набл 24 1 1. Проверка случайности производится в дан- ну;
nТi - выравнивающие частоты, определяемые ной нейронной сети по критерию медианы. Пусть по формуле nТi = N Рi. Тогда можно вычислить 1, 2,Е, t,Е T - (ni ni ) исследуемый временной ряд остатков или слу X н= nt i чайной компоненты. Упорядочим его и найдем i для него медиану ш. Затем, сравнивая уровни наблюдаемое значение критерия Пирсона, по исходного ряда с медианой, образуем новый ряд которому производится оценка гипотезы о нор по следующему правилу: если мальности временного ряда (t).
t > m, то ставим плюс, Гипотеза о нормальности распределения счи t < m, то ставим минус, тается справедливой, если (при заданном уровне t = m, то уровень пропускается.
значимости a = 0,05) выполняется следующее Ряд состоит из случайных величин, если соотношение:
выполняются следующие неравенства:
X 2н < Х 2кр (a = 0,05, k = 3) = 7,81, Kmax < [ 3,3 (lg (T + 1)], (3) где Х кр - критические точки распределения Пир 1 сона, значение которых взято из таблицы4.
(4) N (n) а (T 1 1, 96 Т 1), 2 3. Оценка параметров нормального распре деления осуществляется с помощью оценки сле где Т - число уровней ряда, дующих двух статистических гипотез с учетом Кm ax - длина наибольшей серии, состоящей сплошь из (+) или (-), того, что N(n) - число таких серий.
T Квадратные скобки означают взятие целой (t ), части соответствующих чисел. T t Экономические 2(87) Экономика и управление 94 науки ного ряда;
n - число независимых слагаемых этой T 1 модели;
Y(t) - теоретическое значение компонент 2 ((t ) ) S. временного ряда.
(T 1) t T Первая гипотеза H0 : M ( ) = ( y(t ) Y (t )) Гипотеза считается справедливой, если S 2y / t t T n t kp (a 0, 05, k T - 1) S, дисперсия адекватности временного ряда;
T - уровень значимости;
где tkp (a, k) - критическая точка распределения tkp (, T - n - 1) - критическое значение распре Стьюдента.
деления Стьюдента;
Вторая гипотеза H0 : M (S2 ) = 1.
(T + 1,ЕT +,Е) - период прогнозирования.
Гипотеза считается справедливой, если вы- В данном случае можно утверждать6, что с полняется соотношение доверительной вероятностью = 1 - прогноз (T - 1) S2 2kp (a = 0,05;
k = T - 1). ное значение исследуемого параметра Y (T + ) попадает в следующий доверительный интервал Таким образом, для признания выражения через промежуток времени.
тренд-сезонной компоненты оптимальной в рам ках сформулированных положений необходимо, Y (T ) t (,T n 1)Sy чтобы ее остаточная составляющая имела нор- kp мальное распределение N(0,1). 1 3(Т 2 1)2 t 1.
Сформированная по описанным алгоритмам Т (Т 1) Т нейронная сеть позволяет получать аналитичес С помощью построения доверительных ин кое выражение его тренд-сезонной компоненты, тервалов производится оценка достоверности по с помощью которой путем экстраполяции мож лучаемых прогнозных оценок экономических по но осуществлять прогнозирование динамики по казателей.
ведения экономических параметров с получени По предложенной методике можно форми ем соответствующих доверительных интервалов.
ровать прогнозные оценки динамики экономи Этот процесс осуществляет нейрон 4-го слоя, ческих параметров предприятий различных от который связан с нейроном 3-го слоя. Основ раслей народного хозяйства и производить оценку ные задачи нейрона 4-го слоя следующие:
их экономической деятельности.
1) определение продолжительности периода прогнозирования;
Концептуальный подход к прогнозированию 2) получение прогнозных оценок;
динамики временных рядов / М.С. Суменков [и др.] 3) оценка достоверности получаемых про // Стратегическое управление организациями: про гнозных оценок динамики экономических пока блемы и возможности современной экономики:
зателей.
материалы Всерос. науч.-практ. конф. СПб., 2011.
Понятно, что все эти задачи тесно взаимо- Ч. 1. С. 176-184.
связаны. Мюллер П. Таблицы по математической ста Для решения указанных задач нейрон реа- тистике. М., 1982.
лизует алгоритм, изложенный в5. Возможность Кильдишев Г.С., Френкель А.А. Анализ времен его использования следует из того факта, что ных рядов и прогнозирование. М., 1983.
Ерина А.М. Математико-статистические мето случайная величина (t) распределена нормально ды изучения экономической эффективности произ с параметрами (0,1). Введем следующие обозна водства. М., 1983.
чения. Пусть y(t) - наблюдаемые значения вре- Нейронные сети и финансовые рынки / менного ряда;
T - период предыстории, т.е.
Д.-Э. Бэстенс [и др.]. М., 1997.
t 1, T, Y(t) + gi(t) - сепарабельная регрессион- Дженкинс Г., Ваттс Д. Спектральный анализ ная модель тренд-сезонной компоненты времен- и его применение. М., 1981.
Поступила в редакцию 03.01.2012 г.