Книги, научные публикации
Экономические 9(82) Математические и инструментальные 227
науки методы экономики 2011 Оценка устойчивости механизма взаимодействия между производителями на рынке объемной конкуренции й 2011 М.И. Гераськин доктор экономических наук, профессор й 2011 Г.М. Гришанов доктор технических наук, профессор й2011 Д.Г. Гришанов кандидат экономических наук, доцент Самарский государственный аэрокосмический университет им. академика С.П. Королева й2011 Д.А. Щелоков ФГУП ГНПР - УЦСКБ-ПрогрессФ E-mail: grishanov-sgau В работе сформирована модель конкурентной среды в виде комплекса взаимосвязанных моделей, учитывающих конкурентный характер отношений между участниками рынка сбыта продукции.
Ключевые слова: конкуренция, олигополия, олигопсония, равновесие Нэша, рынок сбыта, кон курентные стратегии.
Значительная доля реальных рынков отно- Пусть себестоимость продукта для i-го пред сится к олигополиям и олигопсониям. В этой приятия равна. Если связи рассмотрим олигопольный рынок однород- - общее количество ного продукта (т.е. не различающегося по каче продукта на рынке сбыта (суммарный выпуск), ству). В такой ситуации любой отдельный по то рыночная цена продукта, как обратная функ требитель не обладает рыночной властью, его ция спроса на выпускаемый продукт, равна доля в общем объеме продаж составляет доли (1) процента, поэтому исследование математических моделей и оценка устойчивости взаимодействия где - рыночная цена продукта;
между производителями однородного продукта - обратная функция спроса на выпуска для различных типов олигополии представляют емый продукт.
большой интерес. При анализе экономических Производственные мощности предприятий отношений между несколькими агентами-произ будем считать неограниченными, и они незави водителями в теории и практике используется симо друг от друга выбирают количество произ принцип равновесия по Нэшу.
водимого ими продукта. Целевая функ Рассмотрим модель задачи выбора конкурент ция i-го предприятия представляет собой при ных стратегий участниками сбытового рынка в быль, определяемую как разность между его до условиях олигополии. Предположим, что на рын ходом и затратами. Цель каждого пред ке сбыта продукции принимают участие n приятия состоит в том, чтобы получить наиболь конкурирующих предприятий, выпускающих од шую прибыль от продажи продукции. С учетом нородный продукт. Для формирования модели введенных обозначений модель целевой функ выбора решений по производству продукции каж ции i-го участника равна дым предприятием необходимо определить их целевые функции, ограничения на технологи- (2).
ческие, производственные, финансовые возмож- Данное уравнение позволяет определить ве ности, а также механизмы их взаимодействия на личину прибыли при производстве i-м предпри рынке сбыта продукции, т.е. сформировать мо- ятием продукции в количестве.
дель их совместного поведения.
Задача каждого предприятия состоит в оп Стратегия каждого предприятия, как агента ределении неотрицательных объемов производ в сбытовой системе, определяется правилом ин x 1 0, x 2 0,, x n ства продукции из дивидуального выбора, которое выделяет мно жество наиболее предпочтительных с точки зре- условия независимой максимизации прибыли.
ния предприятия решений1. Формирование равновесного статического реше Экономические 9(82) Математические и инструментальные 228 науки методы экономики ния задачи сводится к вычислению частных про (6) изводных функций прибыли (2) и затем к пос-.
ледующему решению этой системы относитель Экономический смысл полученной взаимо но объемов выпуска продукции предприятием.
связанной системы неравенств, обеспечивающей Таким образом, ситуация равновесия по Нэшу существование решения, состоит в том, что если находится из следующих условий существо разность между ценой и предельными затратами вания максимума: неотрицательна, а обратная функция спроса яв ляется невозрастающей функцией, то объем вы - пуска продукции каждым участником олигополь ного рынка, определяемый в соответствии с урав нением (5), является неотрицательной величи (3) ной. Это означает, что каждый участник сохра няет свое присутствие на рынке в условиях кон Из полученных уравнений (3) следует, что курентного взаимодействия.
если первая частная производная целевой функ- Определим суммарный равновесный объем ции каждого предприятия в точке равна нулю, выпуска продукции всеми предприятиями. Для этого просуммируем все компоненты системы (4) между собой, в результате получим:
т.е., то представляет со бой локально оптимальное решение задачи для (7) i-го предприятия. Совокупность таких решений обр азуют сит уацию р авн ове сия Н э ша на сбытовом рынке.
Из полученного уравнения следует важный Предположим, что коэффициенты влияния вывод, что для неотрицательности суммарного выпуска i-го предприятия на выпуск каждого объема выпуска в точке равновесия необходимо выполн е н ие сле д ующе го н е р аве н ст ва:
конкурента равны нулю, т.е., тогда составляющая системы уравнений (3) Экономический смысл этого неравенства состоит в том, что равновесная цена. С учетом сделан не должна быть меньше средних по предприя тиям предельных затрат.
ного предположения система уравнений (3) при- Учитывая, что равновесная цена продукции мет вид зависит от суммарного объема выпуска, подста вим (7) в уравнение для обратной функции спроса (4). (1) и получим следующее ее значение:
(8) Из системы (4) получим уравнения для оп Равновесной цене, равновесному объему ределения объема выпуска каждым предприяти ем продаж соответствует равновесная прибыль, определяемая для каждого предприятия из урав, нения:
(5).
Рассмотрим параметрическую задачу опре.
деления равновесного и устойчивого состояния Система уравнений (5) позволяет сформу на рынке сбыта продукции при параметрически лировать следующее утверждение.
заданной функции спроса и функции затрат.
Утверждение 1. Пусть функция затрат вы Предположим, что функция спроса и функции пукла для каждого производителя, а обратная затрат представляют собой линейные функции функция спроса является убывающей соответствующих параметров. Пусть функции функцией по суммарному объему выпуска Q. затрат и обратная функция спроса определяются Тогда для существования решения (5) и устой- следующими уравнениями:
чивости конкурентной среды необходимо, чтобы (9) для каждого участника рынка выполнялась сле- (10), дующая система неравенств:
Экономические 9(82) Математические и инструментальные науки методы экономики где - предельные затраты на единицу продукции;
Прi xi* - постоянные затраты i-го производителя;
0, i N, а вторая производная т.е.
xi - начальная цена при отсутствии про дукта;
2 Прi xi - коэффициент чувствительно 0 - отрицательно определенная ве xi сти цены продукта к изменению величины его предложения Q на рынке сбыта, характеризую щей скорость убывания функции спроса. личина, то xi представляет собой локально С учетом (9) и (10) целевая функция i-го оптимальное решение задачи для i-го предприя участника равна:
тия. Совокупность таких решений образуют си Прi x p0 bQ c i x i 0 0 туацию равновесия Нэша x x1,..., xn на сбытовом рынке.
n Из системы (12) получим уравнения для оп p0 b x j c i x i с 0i, i I. (11) ределения объема выпуска каждым предприяти j ем в зависимости от обстановки Таким образом, равновесное по Нэшу со n p ci стояние x0 находится из следующих условий су x i0 x, i N.
j ществования максимума: j (13) b 2 ji 2 ji j i j j i Таким образом, решение задачи статистичес кой оптимизации конкурентных стратегий по вы бору объемов выпуска сводится к решению сис темы уравнений (13), которое и определяет точ ку равновесия Нэша2.
Определим условия на параметры механиз ма конкурентного взаимодействия, реализация ко торых обеспечивает существование точки равно весия Нэша. Для этого просуммируем все ком или поненты системы (12) между собой при ji 0, j,i=1,n. В результате получим следующее равен ство:
n n n np0 nb x 0 b x 0 ci 0. (14) j j j 1 j 1 i Из данного уравнения находим следующую зависимость суммарного равновесного объема вы (12) пуска продукции всеми предприятиями от пара метров механизма конкурентного взаимодействия:
xi n n 1 Q0 x 0j ji 0 np0 c i. (15) где - коэффициент влияния (вытес bn x j j 1 i нения) выпуска i-го предприятия на выпуск j-го Из полученной зависимости между суммар конкурента;
ным объемом и параметрами механизма конку рентного взаимодействия можно сделать следу ющий вывод: для неотрицательного значения - суммарный выпуск продукта кон суммарного объема в точке равновесия необхо димо, чтобы выполнялось следующее неравен ство:
курентами i-го производителя.
Из полученных условий (12) следует, что если первая частная производная целевой функ ции каждого предприятия в точке xi равна нулю, Экономические 9(82) Математические и инструментальные 230 науки методы экономики Данное неравенство означает, что начальная p0 p0i, i N.
цена обратной функции спроса не должна быть (18) bn меньше среднего по всем предприятиям значе ния удельных затрат. Полученное решение, как следует из (18), Подставляя уравнение для суммарного объема зависит от параметров механизма конкурентного в (3), находим равновесные по Нэшу стратегии взаимодействия - обратной функции b, p0, коли предприятий по выбору объемов производства чества участников n, предельных переменных зат рат каждого участника сi и уровня их конкурент 1 n p0 c i 1 np0 c j ного преимущества ri, i=1,n.
x i n 1 b Из системы уравнений (18) следует, что с j ростом конкурентного преимущества по затра там i-го участника dij увеличиваются его конку 1 n 1 рентоспособность, конкурентный потенциал по p 0 c j c i, i N. (16) b n 1 цене и, следовательно, объем выпускаемой про j дукции и доля занимаемого рынка сбыта в точке Приводим систему уравнений (16) к следу- равновесия.
ющему виду: Из (16) следует, что равновесный объем про даж продукции для каждого конкурирующего n p 0 c j n 1c i предприятия существует и является рентабель x i b n 1 ным, если выполняется следующая система не j равенств:
nc n 1 1 p0 ci j n (19) p0 c j с i, i N.
n 1 b n 1 j 1 c i j Из неравенства (19) следует, что при задан 1 ных значениях удельных затрат сi, i=1,n для каж p0 c i ri n, i N, = (17) b n 1 дого предприятия нижние границы начальной цены p0, при которой выпуск продукции являет ся рентабельным, определяются из условий:
cj n n c d ri где - конкурентоспособность n n ij p 0 i n 1c i c j nс i c j j 1 j i j i j i j 1 j по затратам i-го участника рынка сбыта относи- j i cj d ij, ко- nc тельно конкурентов, а отношение ci j c i n ri, i 1, n. (20) ci n j 1 c i торое характеризует конкурентное преимуще j i ство по затратам i-го участника относительно d ij 1, то i-й участник имеет пре- Отметим, что величина p 0i характеризует j-го, т.е. если уровень конкурентного потенциала i-го участ d ij 1, то имущество по затратам над j-м, если ника, зависящего от предельных затрат на вы пуск продукции, его конкурентного преимуще j-й участник имеет преимущество по затратам над i-м. ства по затратам и количества участников на рынке сбыта. Максимальная из этих начальных Назовем величину КП i p0 ci ri n цен величина, определяемая из неравенства конкурентным потенциалом по цене i-го участ p0 max p0 i, i 1, n ника, а разность c i ri n poi - конкурент- i ным потенциалом по затратам i-го участника.
n С учетом введенных обозначений неравен max n 1c i c j, i 1, n, (21) ство (17) представим в виде i j x i ri p0 ci ri n обеспечивает существование точки равновесия bn 1 Нэша и рентабельность выпуска продукции для Экономические 9(82) Математические и инструментальные науки методы экономики всех конкурирующих на рынке сбыта предприя Равновесной цене p э, равновесному объе тий.
Экономический смысл неравенства (19) зак- му продаж x iэ соответствует равновесная при лючается в том, что для устойчивости конкурен быль, определяемая для каждого предприятия из тного рынка сбыта и, следовательно, существо уравнения вания точки равновесия необходимо и достаточ но, чтобы соотношения между параметрами сис p э ci p э ci p c x э э темы сбыта p0, ci, i=1,n обеспечивали выполне- Прi i i b ние неравенства (21).
Равновесная цена продукции зависит от сум p э марного объема выпуска продукций всеми пред- ci приятиями и равна b n 1 p 0 p0 bQ 0 p0 np0 c j n 1 n p0 c j n 1c i j j i N.(24), n 1 b n p0 c j. (22) n 1 j Таким образом, каждому набору исходных Как следует из полученного уравнения, цена данных ( p э, b, ci, i N) соответствуют конкрет продукции определяется количеством участни ные значения равновесного суммарного объема ков рынка сбыта, начальной ценой (ценой при отсутствии предложения) и суммарными удель Q э, равновесного объема продаж каж продаж ными затратами. Если это цена в соответствии с неравенством (10) больше удельных затрат, то дым предприятием x iэ, i N, равновесной при выпуск продукции для каждого участника рын были Прi, определяемые из уравнений (6), (7), ка сбыта является рентабельным, т.е. условие рентабельности продукции можно представить в (10) и (12).
виде Механизм выбора конкурентных стратегий. Ус p э ci, i N, (23) ловия равновесности и устойчивости рынка сбыта продукции: монография / Д.Г. Гришанов [и др.]. Са n мара, 2009.
p0 c j Новиков Д.А. Теория управления организаци j pэ где - равновесная цена. онными системами. 2-е изд. М., 2007.
n Поступила в редакцию 02.09.2011 г.