Книги, научные публикации
Экономические 8(81) Экономика и управление 86 науки 2011 Подход к
моделированию процесса страхования рисков й 2011 А.Д. Баскова й 2011 А.В. Матвеев кандидат технических наук, доцент Санкт-Петербургский государственный политехнический университет E-mail: fomin Авторами разработан подход к моделированию процесса страхования рисков, позволяющий оце нивать предупредительную функцию страхования, прогнозировать результаты деятельности сис темы страхования по управлению страховым риском и вырабатывать определенные требования к ее деятельности для поддержания необходимого показателя эффективности.
Ключевые слова: страхование рисков, моделирование, политика страховых организаций, страхо вой фонд, функции страховой деятельности.
Концептуальный подход к управлению рис- ленной на снижение вероятности наступления ком в страховании включает в себя три основ- страховых случаев. В этой связи необходимо рас ные позиции: выявление последствий деятель- смотреть стратегию управления риском за счет ности экономических субъектов в ситуации рис- страховой деятельности на основе модели уп ка;
умение реагировать на возможные отрица- равления страховым риском, позволяющей вы тельные последствия этой деятельности;
разра- рабатывать адекватные управленческие решения ботку и осуществление мер, при помощи кото- относительно проведения соответствующих про рых могут быть нейтрализованы или компенси- филактических мероприятий, направленных на рованы вероятностные негативные результаты снижение уровня риска.
предпринимаемых действий1. Предлагается рассмотреть модель страховой де Таким образом, основной задачей страхова- ятельности, учитывающую процесс изменения раз ния является формирование денежных фондов, мера страхового фонда, а также влияние на его раз за счет которых происходит предупреждение и мер количества застрахованных страховой компа компенсация потерь в случае наступления стра- нией рисков. Основная идея предлагаемого подхо ховых случаев. да заключается в том, что система страхования бу На наш взгляд, в действующей модели стра- дет характеризоваться на каждый момент времени хования не в полной мере реализованы подходы двумя случайными процессами - числом застрахо к комплексной унифицированной системе оцен- ванных рисков n(t) и размером страхового фонда ки уровня страховых рисков и системе управле- W(t). Структурно-функциональная схема процесса ния этими рисками, в первую очередь, направ- страхования рисков представлена на рис. 1.
Система страхования Страховой фонд W(t) Потенциальный nпр nnвып ng страховой рынок l Застрахованные объекты nm n(t) Рис. 1. Структурно-функциональная схема страхования рисков Экономические 8(81) Экономика и управление науки Разработка модели процесса страхования l l рисков предполагает: n0 e mt, n(t ) (1) формализацию процесса изменения числа m m застрахованных рисков, а также процессов воз где n0 - число рисков в начальный момент времени действий, приводящих к наступлению страхо t0.
вых случаев в рамках теории нестационарных Изменение за элементарный промежуток потоков Пуассона;
времени t размера страхового фонда W(t) мо формализацию деятельности по предуп жет произойти в случаях:
реждению возникновения страховых случаев в уплаты страховой премии по каждому из рамках теории обслуживания нестационарных по уже застрахованных рисков. По каждому из зас токов Пуассона по показательному закону с пе трахованных рисков регулярно с интенсивнос ременной интенсивностью;
тью уплачивается страховая премия в размере установку аналитической зависимости си сi, которая является случайной величиной с фун стемы страхования и окружающей среды, ока кцией распределения Fc(x) и математическим ожи зывающей негативные воздействия и приводя данием М(x)=с. Взносы вносятся независимо друг щей к наступлению страховых случаев;
от друга, и поэтому за время t в страховую установку зависимости числа застрахован компанию поступит такой взнос с вероятностью ных рисков и размера страхового фонда как слу nt;
чайного процесса от случайного потока входя при страховании нового риска. При стра щих рисков, величин страховых премий, слу ховании нового риска уплачивается страховая чайного потока страховых выплат, а также рас премия ai, размер которой является случайной ходов на проведение предупредительных мероп величиной с функцией распределения Fa(x) и ма риятий.
тематическим ожиданием М(x)= а;
Данный подход позволит обосновать раци при проведении мероприятий по предуп ональные действия и способы их реализации по реждению страховых случаев. Финансируются ме расходованию средств страхового фонда на пре роприятия, направленные на снижение вероят дупреждение и компенсацию потерь страховых ности возникновения страховых случаев с ин рисков на основе разработанной модели.
тенсивностью пр. Тогда на интервале t предуп Для разработки модели процесса страхова редительное мероприятие будет проведено с ве ния необходимо рассмотреть процесс изменения роятностью прt и при этом будет затрачена сумма состояний системы страхования во времени, т.е.
в размере di, которая является случайной вели числа застрахованных рисков n(t) и капитала ком чиной с функцией распределения Fd(x) и мате пании W(t).
матическим ожиданием М(x)=d;
Рассмотрим элементарный промежуток вре при наступлении страховых случаев. На мени t. Изменение за данный промежуток вре каждом из застрахованных рисков независимо мени числа застрахованных рисков n(t) может друг от друга может наступить страховой случай произойти в случаях:
с интенсивностью вып. С учетом предупредитель при страховании нового риска. На основе ной функции страхования интенсивность наступ сделанных выше предположений - простей ления страховых случаев принимает значение ший поток новых страхуемых рисков. В этом вып(1-pпр), где pпр - вероятность предупреждения случае вероятность того, что за время t будет наступления страхового случая. Тогда на интер застрахован новый риск, равна t;
вале t наступит страховой случай с вероятнос при окончании срока страхования какого тью nвып(1-pпр)t, а страховая компания при этом либо риска и отказа от его дальнейшего страхо выплатит страховое возмещение в размере bi, вания. - интенсивность оставления каждым из которое является случайной величиной с функ застрахованных рисков страховой компании. В цией распределения Fb(x) и математическим ожи этом случае за время t страховую компанию данием М(x)=b.
покинет риск с вероятностью nt.
В начальный момент времени t0 капитал ком Число застрахованных рисков будет пред пании был равен W0. Нас интересует размер стра ставлять собой однородную марковскую цепь с хового фонда Wt в момент времени t0+t. Разобь непрерывным временем. Используя метод ис ем отрезок [t0,t0+t] на m элементарных отрезков следования однородных марковских цепей2 и по длиной t = t/m. Пусть W есть изменение раз строив систему дифференциальных уравнений, мера страхового фонда на i-м отрезке. Тогда со удалось определить математическое ожидание гласно принятой структурно-функциональной числа застрахованных рисков в нестационарном схеме:
режиме в момент времени t:
Экономические 8(81) Экономика и управление 88 науки м пр ai, с вероятностью ltdFa ( ai ), p пр (6), ci, с вероятностью ngtdFc (ci ), ( м l ф )( пр l ф ) Wi bi, с вероятностью n вып (1 p пр ) tdFb (bi ), (2) где ф - интенсивность появления негативных фак пр di, с вероятностью tdFd (di ), торов, потенциально способных привести к на 0, с вероятностью 1 (l kg k вып (1 p пр ) пр ) t, ступлению страхового случая;
м - интенсивность мероприятий по мониторин гу и выявлению факторов, потенциально способ m Wt W0 Wi. ных привести к наступлению страхового случая;
пр - интенсивность проведения мероприятий, i направленных на предупреждение наступления Учитывая значения математического ожида- страховых случаев и нейтрализации факторов.
ния функций распределения страховых выплат, С целью демонстрации потенциальных воз страховых премий и сумм, необходимых для про можностей предложенного подхода было прове ведения предупредительных мероприятий, при дено имитационное моделирование процесса стра фиксированной реализации процесса n(t) с уче хования. В качестве исходных характеристик были том (2) имеем:
выбраны следующие значения:
(3) M ( W / n(t )) l a пр d n(t ) g c выпb t. W0=1000;
n0=50;
t=10.
Средняя страховая сумма одного застрахо Поэтому ванного риска S = 100 усл.ед.;
m M (Wt / n (t )) W0 l a пр d n (t ) g c вып b t. = 5;
= 3;
a = Tнс S усл. ед.;
c = Tнс S усл. ед., i Переходя к пределу t 0, получили:
где Tнс - тарифная нетто-ставка объекта страхования;
t0 t b = 25 усл. ед.;
d = 0,5 усл. ед.;
ф = 25.
l a d n (t ) g с вып b dt.
пр M (Wt / n (t )) W Был рассмотрен стационарный режим для t (4) числа застрахованных рисков. Получена оценка Усредняя по реализациям процесса n(t) и эффективности предупредительной функции используя значение n(t ), представленное в (1), страхования pпр на основе выявленных аналити получим математическое ожидание размера стра- ческих закономерностей (4) в зависимости от размера тарифной нетто-ставки Tнс и размера хового фонда W (t ) : средств от страхового фонда, затраченных на предупреждение страховых случаев. При этом 1 пр были определены условия финансовой устойчи вып пр W (t ) W0 (l a g с (1 p )b d )( n0 ) m m вости страхового фонда, а также математическое ожидание значения числа застрахованных рис l l ков (1) и размера страхового фонда (3).
l (1 p пр )b пр d )(n0 ) t l (l a g с вып (1 p пр )b пр d ) рис. g с вып (1 p пр )b проф d )(n l )e вып t На (l a 2 представлены графики зависимос m m m m ти показателя эффективности предупредитель l пр ной функции страхования p и изменения раз l 1 проф мера страхового фонда W в зависимости от раз вып пр пр вып пр )e t с (1 p )b d ) (l a g с (1 p )b d )(n тарифной нетто-ставки T и размера средств мера m m нс страхового фонда, затраченных на предупрежде (5) ние страховых случаев. Для демонстрации по l (l a g с вып (1 p пр )b проф d )(n0 )e mt. тенциальных возможностей были рассмотрены m значения показателя Tнс = 2 %, 3 %.
Таким образом, разработанный инструмент Для обеспечения финансовой устойчивости страховой компании необходимо соблюдение ус- позволяет оценить предупредительную функцию страхования, прогнозировать результаты деятель ловия: l a g с вып (1 p пр )b пр d 0.
ности системы страхования по управлению стра В3 было получено аналитическое выражение ховым риском и выработать определенные тре для определения вероятности предупреждения бования к ее деятельности для поддержания тре наступления страхового случая в стационарном буемого показателя эффективности. Этот под режиме: ход позволяет обосновать политику страховых Экономические 8(81) Экономика и управление науки 1 0,9 0, 0,8 0, 0,7 0, 0,6 0, pп р p пр 0,5 0, 0,4 0, 0,3 0, 0,2 0, 0,1 0, 0 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 % средств на предупредительные мероприятия от размера страхового % ср едств на предупреди тель ные мер опри ятия о т размер а страхов ого фонда (Тнс =3%) фонда (Тн с =2%) 140 120 W W 40 0% 1 0% 2 0% 30% 40% 50 % 60 % 70 % 80% 90% 100% - - -200% 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90% 100% - - -60 - % ср едств на предупредительные мероприятия от размера страхового % ср едс тв на п редупр еди тельные мер оп ри яти я от р азмер а стр ахо во го фонда (T нс=3%) фо нда (Tн с =2% ) Рис. 2. Результаты моделирования процесса страхования организаций, создать основу для проведения стра- Вентцель Е.С. Теория случайных процессов и ее инженерные приложения: учеб. пособие. 5-е изд.
ховых операций, финансовой устойчивости стра М., 2011.
ховщиков, а также обосновать оптимальное рас- Матвеев А.В., Иванов М.В., Шевченко А.Б. Об пределение средств страхового фонда на различ щий подход к реализации предупредительной функ ные функции страховой деятельности.
ции страховой деятельности // Высокие интеллек туальные технологии и инновации в национальных Фалин Г.И. Математический анализ рисков в исследовательских университетах: материалы XVIII страховании. М., 1994. Междунар. науч.-метод. конф. 17-18 февр. 2011 г., СПб., 2011. Т. 4.
Поступила в редакцию 05.07.2011 г.