Книги, научные публикации
Экономические 7(80) Финансы, денежное обращение и кредит 167
науки 2011 Параметрический анализ применимости современных теорий управления портфелем для инвестирования средств пенсионных накоплений й 2011 Д.М. Корчагин Самарский государственный аэрокосмический университет им. академика С.П. Королева E-mail: Korchagin В статье рассмотрены ключевые положения портфельной теории Марковица и критически оце нена возможность ее применения для управления портфелем пенсионных накоплений. Деталь но разобран алгоритм формирования портфеля в соответствии с методикой Блэка - Литтермана.
Сделан вывод, что использование данной модели позволит управляющей компании улучшить инвестиционные характеристики портфеля пенсионных накоплений.
Ключевые слова: пенсионные накопления, формирование оптимального инвестиционного порт феля, современная портфельная теория, модель Блэка - Литтермана.
доходность некоторого актива является слу Относительно недавно на российском рын чайной величиной, распределенной по нормаль ке доверительного управления активами появился ному закону;
новый сегмент - инвестирование средств для фи в качестве будущей доходности актива при нансирования накопительной части пенсии. Пен нимается его математическое ожидание;
сионные накопления по своей сути являются мерой риска актива является среднеквад УдлиннымиФ консервативными инвестиционны ратическое отклонение доходности случайной ве ми ресурсами, следовательно, инвестиционная личины от ее математического ожидания - чем стратегия управляющей компании (УК) должна больше колебания доходности актива, тем выше быть ориентирована на достижение доходности, инвестиционный риск;
превышающей уровень инфляции, на длитель величина капитала равна 1 и распределена ном горизонте инвестирования. Учитывая огром между n активами портфеля.
ную социальную значимость данных средств, Соответственно, при формировании инвести риск портфеля необходимо свести к минимуму ционного портфеля необходимо оценивать лишь при условии обеспечения заданной доходности.
два показателя: E(r) - математическое ожидание Для оптимального управления портфелем доходности актива и - стандартное отклонение пенсионных накоплений УК должна использо (дисперсию) как меру риска (так как именно эти вать теоретически обоснованные методики, бази два показателя определяют плотность вероятности рующиеся на применении современных портфель случайных чисел при нормальном распределении).
ных теорий. В соответствии со специфическими При управлении портфелем пенсионных на целями и функциями пенсионных накоплений коплений УК исходит из приоритетности умень применяемые теории управления портфелем дол шения риска портфеля над увеличением его до жны оцениваться по следующим критериям:
ходности. Задача оптимизации портфеля для УК вторичность показателей доходности пор формулируется следующим образом: это нахож тфеля по отношению к параметрам риска;
дение вектора распределения капитала (Х) по n высокая диверсификация портфеля для финансовым активам, который минимизирует обеспечения сохранности средств;
риск формируемого портфеля при обеспечении обеспечение высокой ликвидности вложе- доходности, превышающей уровень инфляции.
ний;
w T x1, x 2,,x n ;
снижение до минимума необходимости ре балансировки портфеля при изменении рыноч n n ной конъюнктуры.
2 x i x j K ij min;
p Проанализируем возможность применения i 1 j различных портфельных теорий для управления пенсионными накоплениями. Так, современная n портфельная теория (теория Марковица) исхо x i ri r p, дит из следующих положений:
i где w - вектор долей активов в оптимальном портфеле;
Экономические 7(80) Финансы, денежное обращение и кредит 168 науки рии, а также дает возможность УК ввести в мо xi - доля капитала, вложенного в i-й актив;
дель собственные прогнозы доходности активов.
2 - риск портфеля;
В основе теории Блэка - Литтермана лежит p алгоритм нахождения оптимального портфеля по r p - заданная доходность портфеля (уровень Марковицу, однако вместо вектора доходности, основанного на математическом ожидании, исполь инфляции);
зуется комбинированный вектор доходности. В ri - математическое ожидание доходности i-го общем виде данный вектор представляет собой актива;
комплексное взвешенное среднее вектора равно K ij - ковариация между доходностями i-го и j-го весных доходностей активов () и вектора про гнозных доходностей (Q). Формула для расчета активов;
комбинированного вектора доходностей активов n - количество активов в портфеле.
(Е[R]), основанная на применении метода Байе В отсутствие ограничений решением данной са, известна как формула Блэка - Литтермана:
оптимизационной задачи будет являться следу () ющий вектор весов активов в оптимальном пор- E R ()1 P T 1P P T 1Q, тфеле:
где K - количество прогнозов;
w П () 1, N - количество активов;
(Е[R]) - комбинированный вектор доходностей где - вектор будущих доходностей активов (мате (Nx1 вектор);
матические ожидания их доходностей);
- вектор равновесных ожидаемых доходностей - коэффициент неприятия риска;
(Nx1 вектор);
- матрица ковариаций доходностей.
Q - вектор прогнозируемых доходностей (Kx Таким образом, современная портфельная вектор);
теория представляет собой методику построения - матрица ковариации доходностей (NxN мат оптимального портфеля ценных бумаг на основе рица);
теоретико-вероятностной формализации понятий - ковариационная матрица, выражающая не доходности и риска, т.е. позволяет перевести уверенность в прогнозе (KxK матрица);
проблему оптимального распределения средств P - матрица, идентифицирующая активы, пред между активами в сферу теории вероятности и ставленные в прогнозах (KxN матрица);
применить математические методы для решения - скалярная величина.
этой задачи. Однако большинство УК приходит Рассмотрим этапы построения оптимально к выводу, что применение данной модели для го портфеля по методике Блэка - Литтермана.
определения оптимальной структуры портфеля Отправной точкой оптимизации является вектор пенсионных накоплений нецелесообразно по сле- доходностей активов в состоянии рыночного рав дующим причинам: новесия (). Рыночный портфель - это порт во-первых, из-за чрезмерно высокой чув- фель, состоящий из всех доступных активов в ствительности структуры портфеля к исходным долях, пропорциональных их рыночной капита данным. Портфели получаются крайне нестабиль- лизации.
ными - даже незначительное изменение эконо ki мической ситуации часто требует ребалансиров w i mkt, ки большей части портфеля в относительно ко- n ki роткие сроки. В случае управления крупным пор i тфелем пенсионных накоплений это может ока заться крайне затруднительным или вообще не- где wi mkt - вес i-го актива в рыночном портфеле;
приемлемым;
k i - капитализация i-го актива;
во-вторых, при оптимизации по Марко вицу веса активов получаются экстремальными, n т.е. слишком большая доля подлежит вложению k i - суммарная капитализация активов;
в тот или иной финансовый актив, а следова- i тельно, полученные на основе модели портфели n - количество доступных активов.
отличаются слабой диверсификацией.
Вектор доходностей активов в состоянии Рассмотрим модель формирования оптималь рыночного равновесия вычисляется решением ного портфеля ценных бумаг, разработанную задачи обратной оптимизации.
Фишером Блэком и Робертом Литтерманом. Мо w mkt, дель Блэка - Литтермана позволяет устранить клю чевые недостатки современной портфельной тео- где - вектор ожидаемых равновесных доходностей;
Экономические 7(80) Финансы, денежное обращение и кредит науки Вычислить дисперсию погрешности прогноза - матрица ковариации доходностей;
() можно задав предельную величину отклоне wmkt - вектор рыночных весов капитализации ак ния доходности актива от своего прогнозируе тивов;
мого значения и вероятность попадания в этот - коэффициент склонности инвестора к риску.
интервал, пользуясь следующим выражением:
Характеризует готовность инвестора жертвовать ожидаемой доходностью портфеля ради сниже 1 0 ния его риска.
0 0.
На данный вектор впоследствии Унакладыва етсяФ вектор прогнозных доходностей. В случае, 0 0 k если прогноз доходности активов не задан, мо Вероятность отклонения нормально распре дель предлагает формировать рыночный портфель.
деленной случайной величины X от своего мате Прогноз доходности активов является клю матического ожидания на величину :
чевым параметром в модели Блэка - Литтерма на. Прогноз УнакладываетсяФ на ожидаемую до- P ( X a ) 2Ф ( ), ходность активов в состоянии рыночного равно- весия. В случае, если прогнозируемая доходность где - дисперсия случайной величины.
актива выше равновесной, доля данного актива x в портфеле будет увеличена, и наоборот, если e t dt Ф (x ) - функция Лапласа.
прогнозируемая доходность ниже равновесной, модель придаст данному активу меньший вес.
Прогнозы ставятся в соответствие определен ному активу посредством идентификационной Q1 матрицы P. В матрице Р каждому прогнозу соот Q ветствует вектор-строка (1xN). Активу, по кото.
Q k k рому выдвинут прогноз, присваивается значение 1, всем остальным активам - 0. Таким образом, K Прогноз выражается в виде вектора-столбца прогнозов формируют матрицу размера KxN.
(Q) размерностью (Kx1), элементами которого являются прогнозируемые значения доходности P1,1 P1, n активов. Неуверенность в прогнозе выражена в P.
виде случайного нормально-распределенного век P P тора погрешности () с математическим ожида- k,1 k, n нием 0 и ковариационной матрицей. Таким Объединенный вектор доходности представ образом, прогноз в модели представлен в форме ляет собой средневзвешенное соотношение век Q+.
тора равновесной доходности () и вектора про За исключением гипотетического случая, гнозных доходностей (Q), масштабирующим фак когда инвестор на 100 % уверен в своем прогно тором в котором выступает скаляр тау (). Боль зе, погрешность является некоторой (отличной шинство исследователей задавали величину от нуля) величиной. Чем больше уверенность в близкой к нулю, руководствуясь тем, что по точности прогноза, тем ближе комбинированный грешность исходного вектора существенно мень вектор доходности будет к вектору прогнозных ше погрешности прогноза.
значений, и, наоборот, если инвестор не уверен В общем виде процесс формирования порт в своем прогнозе, полученный результат будет феля по модели Блэка - Литтермана изображен ближе к вектору равновесной доходности.
на следующей схеме (см. рисунок).
Вектор погрешности () непосредственно не Нахождение оптимального портфеля при входит в формулу Блэка - Литтермана, однако в наличии ограничений является более сложной формуле содержится дисперсия погрешности () задачей. Однако сам алгоритм остается без изме в составе ковариационной матрицы погрешнос нений: сначала строится объединенный вектор ти прогнозов ( ). Матрица является диаго доходности активов, а затем используется сред нальной, так как предполагается, что прогнозы недисперсионный подход к решению задачи оп независимы друг от друга. Диагональные эле- тимизации в условиях наложения ограничений:
менты матрицы составляют значения дисперсии погрешностей прогнозов. Дисперсия погрешно 1 T 1 1 T E R () P P () P Q max сти () выражает неуверенность в прогнозе: чем больше уверенность в прогнозе, тем меньше зна 2 T 1 T 1 w P P) w min чение ().
ограничения.
Экономические 7(80) Финансы, денежное обращение и кредит 170 науки Коэффициент Ковариационная Прогноз Неуверенность Вектор рыночных в прогнозе (? ) склонности к риску () матрица () (Q) весов w mkt Вектор доходностей рыночного портфеля Прогноз доходности активов wmkt Объединенный вектор доходности () E R ( ) 1 P T 1 P P T 1Q Оптимальный портфель в отсутствие ограничений w E ( R)( р ) Рис. Схема процесса формирования портфеля по модели Блэка - Литтермана Использование модели Блэка - Литтермана 3. Буренин А.Н. Рынок ценных бумаг и произ водных финансовых инструментов: учеб. пособие.
для управления портфелем пенсионных накоп М., 2005.
лений позволит УК:
4. Карпиков Е.И., Федоров А.А. Основные по учитывать при формировании портфеля стулаты классической теории портфельных инвес собственные прогнозы будущей динамики рын тиций. URL: ка и трансформировать их в обоснованные ин- theor.html.
вестиционные решения;
5. Bevan A., Winkelmann К. Using the Black более эффективно решать поставленные за- Litterman Global Asset Allocation Model: Three Years дачи и оперативно реагировать на изменения эко- of Practical Experience // Fixed Income Research.
номической конъюнктуры финансовых рынков;
Goldman, Sachs & Company. 1998. December.
6. Black F., Litterman R. Asset Allocation: Combining получать высокую отдачу от находящихся Investors Views with Market Equilibrium // Fixed под управлением средств без ущерба для сохран Income Research, Goldman, Sachs & Company. 1990.
ности и ликвидности сбережений.
September.
Таким образом, можно сделать вывод, что при 7. Black F., Li tterman R. Global Portfolio менение методики Блэка - Литтермана даст воз- Optimization // Financial Analysts J. 1992. September/ можность УК реализовать свое конкурентное пре- October. P. 28-43.
имущество путем достижения относительно высо- 8. He G., Litterman R. The Intuition Behind Black кой доходности инвестиций без увеличения риска Litterman Model Portfolios // Investment Management и минимальной необходимости ребалансировки Res earch, G oldm an, Sach s & Comp any. 199 9.
December.
портфеля за счет введения в модель прогнозов соб 9. Markowitz H. M. Portfolio Selection // The J. of ственного аналитического подразделения.
Finance. 1952. March. P. 77-91.
10. Satchell S., Scowcroft A. A Demystification of 1. Говшвань О.Дж. Финансирование инвестиций, the Black - Litterman Model: Managing Quantitative инфляция, риски и страхование // Проблемы про and Traditional Construction // J. of Asset Management.
гнозирования. 2008. 6. С. 15-29.
2000. September. P. 138-150.
2. Шведов А.С. Теория эффективных портфелей ценных бумаг. М., 2008.
Поступила в редакцию 04.06.2011 г.