ГЛАВА 5 ВЫБОР В настоящей главе объединим рассуждения о бюджетном множестве и тео рию предпочтений, чтобы исследовать оптимальный выбор, осуществляемый потребителями. Ранее

было сказано, что экономическая модель потребитель ского выбора сводится к выбору людьми наилучшего набора из числа доступ ных. Теперь можно перефразировать это, выражаясь более профессионально:

"потребители выбирают наиболее предпочитаемый набор из своих бюджетных множеств".

5.1. Оптимальный выбор Типичный случай оптимального выбора показан на рис. 5.1. Здесь на одном и том же графике изображены бюджетное множество и несколько кривых без различия. Мы хотим найти тот набор из данного бюджетного множества, ко торый находится на самой высокой кривой безразличия. Поскольку предпоч тения стандартны, так что большее предпочитается меньшему, можно огра ничиться рассмотрением наборов, лежащих на бюджетной линии, не заботясь о тех наборах, которые находятся под ней.

Будем двигаться влево из исходного положения в правом углу бюджетной линии. По мере движения вдоль бюджетной линии мы замечаем, что перехо дим на все более и более высокие кривые безразличия. Мы остановимся, когда попадем на самую высокую кривую безразличия, которая лишь касает ся бюджетной линии. На рассматриваемом графике товарный набор, связы ваемый с самой высокой кривой безразличия, лишь касающейся бюджетной линии, обозначен (*i, х 2 ) Глава Выбор (х*, Х2) является оптимальным выбором для потребителя. Множест во наборов, которые он предпочитает (jq,х 2 ), а именно, множество наборов, располагающееся над его кривой безразличия, не пересекает наборы, которые он может себе позволить приобрести, а именно, наборы под бюджетной ли нией. Таким образом, набор (x*,x2> Ч это наилучший набор, который по требителю по карману.

Кривые безразличия Оптимальный выбор. Оптимальное потребление приходится на точку, в ко торой кривая безразличия касается бюджетной линии.

Обратите внимание на важное свойство этого оптимального набора: при данном выборе кривая безразличия касается бюджетной линии. Если приза думаться, так и должно быть: если бы кривая безразличия не касалась бюд жетной линии, то она бы ее пересекала, а если бы она пересекала бюджетную линию, то существовала бы некая близлежащая точка на бюджетной линии, находящаяся выше кривой безразличия, а это означает, что наш исходный набор не мог быть оптимальным.

Должно ли это условие касания непременно соблюдаться в точке опти мального выбора? Оно, скажем так, соблюдается не во всех случаях, но в наи более интересных случаях соблюдается. Что верно всегда, так это то, что в точке оптимального выбора кривая безразличия не может пересекать бюд ВЫБОР жетную линию. Так когда же "непересечение" подразумевает касание? Внача ле рассмотрим исключения.

Во-первых, бывают случаи, когда к кривой безразличия невозможно про вести касательную, как на рис.5.2. Здесь кривая безразличия имеет излом в точке оптимального выбора, так что касательная просто неопределима, по скольку математическое определение касательной требует существования единственной касательной в каждой точке. Этот случай не имеет большого экономического значения, скорее, он доставляет неудобства. ' Кривые безразличия Ломаные предпочтения. Здесь оптимальный потребительский набор находит- Рис.

ся в точке, в которой к кривой безразличия нельзя провести касательную. 5. Второе исключение представляет больший интерес. Предположим, что в точке оптимума потребление какого-либо товара равно нулю, как на рис.5.3.

Тогда наклоны кривой безразличия и бюджетной линии различны, однако кривая безразличия по-прежнему не пересекает бюджетной линии. Мы гово рим, что на рис.5.3 представлен краевой оптимум, в то время как на рис.5.1 Ч внутренний оптимум.

Если исключить из рассмотрения "ломаные предпочтения", о примере, при веденном на рис.5.2, можно забыть. Если же мы хотим ограничиться рассмот рением лишь внутренних оптимумов, можно не рассматривать и второй пример.

В случае внутреннего оптимума с плавно убывающими кривыми безразличия Глава наклон кривой безразличия и наклон бюджетной линии должны быть одинако вы...потому что если бы они различались, кривая безразличия пересекла бы бюджетную линию, и мы не могли бы находиться в оптимальной точке.

Кривые безразличия Краевой оптимум. Оптимальное потребление предполагает нулевое потреб ление товара 2. Бюджетная линия не является касательной к кривой безраз личия.

Мы нашли необходимое условие, которому должен удовлетворять опти мальный потребительский выбор. Если оптимальный выбор предполагает по требление некоторого количества обоих товаров, т. е. речь идет о внутреннем оптимуме, то бюджетная линия с необходимостью будет выступать касатель ной к кривой безразличия. Но является ли соблюдение условия касания дос таточным для того, чтобы набор был оптимальным? Можем ли мы быть уве рены в том, что любой набор, находящийся в точке касания кривой безразли чия и бюджетной линии, характеризует оптимальный потребительский выбор?

Взгляните на рис.5.4. В изображенном на нем случае имеются три набора, удовлетворяющих условию касания, и все три касания Ч внутренние, но лишь два из указанных наборов оптимальны. Следовательно, вообще говоря, условие касания Ч лишь необходимое условие оптимальности, но не достаточное.

Имеется, однако, один важный случай, в котором это условие выступает достаточным: речь идет о предпочтениях, представленных кривыми безразли ВЫБОР чия, выпуклыми к началу координат. В случае таких предпочтений любая точка, удовлетворяющая условию касания, должна быть точкой оптимума.

Геометрически это очевидно: поскольку кривые безразличия, выпуклые к на чалу координат, должны изгибаться по направлению от бюджетной линии, они не могут отклониться назад, чтобы вновь ее коснуться.

Кривые безразличия Оптимальные наборы Неоптимальный набор Бюджетная линия Случай более чем одного касания. Налицо три касания, но лишь две точки Рис.

оптимума, так.что условие касания является необходимым, но не достаточг 5. ным.

Рис.5.4 показывает также, что, вообще говоря, может иметься более од ного оптимального набора, удовлетворяющего условию касания. Однако вы пуклость кривых безразличия к началу координат и здесь накладывает огра ничение. Если кривые безразличия строго выпуклы к началу координат Ч не имеют никаких прямых участков, то на каждой бюджетной линии будет на ходиться лишь одна точка оптимального выбора. Хотя это можно показать математически, это представляется вполне правдоподобным и при взгляде на рисунок.

Условие равенства MRS наклону бюджетной линии в точке внутреннего оптимума графически очевидно, но каков его экономический смысл? Вспом ним одну из приведенных выше интерпретаций MRS Ч трактовку ее как нормы обмена, при которой потребитель хочет остаться в данной точке.

96_ Глава Рынком потребителю предлагается норма обмена, равная Чр\/К- отказавшись от одной единицы товара 1, вы можете купить р\/рг единиц товара 2. Если потребитель хочет остаться в точке, соответствующей данному потребитель скому набору, то это должна быть точка, в которой MRS равна указанной норме обмена:

Рг Можно рассуждать и по-другому: представить себе, что произошло бы, если бы MRS отличалась от отношения цен. Предположим, например, что MRS есть Д*2/Дх1 = Ч 1/2, отношение цен составляет 1/1. Это означает, что потребитель готов отказаться от двух единиц товара 1, чтобы получить взамен одну единицу товара 2, однако на рынке эти товары можно обменять только в соотношении "один к одному". Таким образом, потребитель был бы, конеч но, готов отказаться от некоторого количества товара 1, чтобы приобрести несколько больше товара 2. Во всех случаях, когда MRS отличается по вели чине от отношения цен, потребитель не может находиться в точке своего оп тимального выбора.

5.2. Потребительский спрос Оптимальный выбор товаров 1 и 2 при некой комбинации цен и дохода назы вается набором спроса потребителя (под набором спроса здесь и далее автор по нимает товарный набор, на который потребитель предъявляет спрос Ч прим.

науч.ред.). Вообще с изменением цен и дохода оптимальный выбор потребителя будет меняться. Функция спроса есть функция, связывающая этот оптимальный выбор, или количества спроса, с различными значениями цен и доходов.

Будем представлять функции спроса зависящими как от цен, так и от до хода: х\(р\, Р2, т) и XI(P\, Р2, т). Для каждой другой комбинации цен и дохода будет существовать своя комбинация товаров, выражающая оптимальный вы бор потребителя. Как мы вскоре убедимся на ряде примеров, на базе различ ных предпочтений формируются разные функции спроса. Главной нашей за дачей на протяжении нескольких последующих глав будет изучение того, как ведут себя эти функции спроса Ч как меняется оптимальный выбор потреби теля по мере изменения цен и дохода.

5.3. Некоторые примеры Применим рассмотренную нами модель потребительского выбора к примерам предпочтений, описанным в гл. 3. Для каждого примера процедура будет в основном одна и та же: надо графически представить кривые безразличия и бюджетную линию и найти точку касания бюджетной линии с самой высокой из кривых безразличия.

ВЫБОР Совершенные субституты Случай совершенных субститутов проиллюстрирован на рис. 5.5. Перед нами три возможных случая этого рода. Если pi > p\, то наклон бюджетной линии менее крутой, чем наклон кривых безразличия. В этом случае оптимальный набор находится в точке, где потребитель тратит все свои деньги на товар 1.

Если р\ > Р2, потребитель покупает только товар 2. И, наконец, если р\ = Р2, существует целый ряд точек оптимального выбора Ч в этом случае оптималь ным будет любое количество товаров 1 и 2, которое удовлетворяет заданному бюджетному ограничению. Таким образом, функция спроса на товар 1 будет иметь вид:

когда Pi

Щ/р\ любое число от 0 до когда р\= Рг, когда О Согласуются ли эти результаты со здравым смыслом? Они говорят лишь о том, что в случае совершенных субститутов потребитель купит тот из двух товаров, который дешевле. Если же цена обоих товаров одинакова, то потре бителю все равно, какой из двух товаров купить.

Кривые безразличия Наклон = Ч Бюджетная линия Оптимальный выбор Оптимальный выбор в случае совершенных субститутов. Если товары являют- Рис.

ся совершенными субститутами, оптимальный выбор всегда будет краевым'. 5. 4 Микроэкономика Глава Совершенные комплементы Случай совершенных комплементов иллюстрирует рис. 5.6. Обратите внима ние на то, что точка оптимального выбора в данном случае всегда находится на луче под 45 из начала координат, на котором потребитель покупает рав ные количества обоих товаров, независимо от уровня цен. Применительно к нашему примеру это означает, что люди, у которых две ноги, покупают обувь парами1.

Кривые безразличия Оптимальный выбор Бюджетная линия Рис. Оптимальный выбор в случае совершенных комплементов. Если товары Ч со вершенные комплементы, количества спроса всегда лежат на луче под 45 5. из начала координат, поскольку оптимальный выбор имеет место там, где х\ равен Х2 Найдем координаты точки оптимального выбора алгебраически. Извест но, что потребитель покупает одинаковое количество товаров 1 и 2 независи мо от того, каковы их цены. Обозначим это количество буквой х. Тогда вы бор потребителя должен удовлетворять бюджетному ограничению Не беспокойтесь, дальше мы получим некоторые не столь тривиальные результаты.

ВЫБОР Решив это уравнение для х, получим оптимальные количества товаров 1 и 2:

_ *я Х\ Ч Х2 Ч X Ч ЧЧЧЧЧ.

Функция спроса, отражающая оптимальный выбор, в данном случае по лучена совершенно интуитивно. Поскольку два товара всегда потребляются вместе, потребитель как бы тратит все деньги на один товар, цена которого равна р\ + Р2 Безразличные блага и антиблага В случае безразличного блага потребитель тратит все деньги на товар, ко торый ему нравится, и совсем не покупает безразличное благо. То же самое происходит, если один из товаров представляет для потребителя антиблаго.

Так, если товар 1 Ч благо, а товар 2 Ч антиблаго, то функции спроса на эти товары будут иметь вид _т Pi' Дискретные товары Предположим, что товар 1 Ч дискретный товар, приобретаемый только неде лимыми единицами, а товар 2 Ч деньги, которые тратятся на все остальное.

Выбирая 1, 2, 3,... единицы товара 1, потребитель тем самым выбирает наборы (1, т Ч р\), (2, т Ч 1р\), (3, т Ч Ър\) и т.д. Мы можем просто сравнить полез ности каждого из этих наборов и увидеть, у какого из них она наивысшая.

Можно также применять и анализ с использованием кривых безразличия, показанный на рис.5.7. Как всегда, оптимальным набором будет тот, который находится на самой высокой "кривой" безразличия. Если цена товара 1 очень высока, потребитель выберет нулевое потребление этого товара;

при сниже нии цены он сочтет оптимальным потреблять одну единицу данного товара.

Обычно по мере дальнейшего снижения цены потребитель предпочитает по треблять больше единиц товара 1.

Вогнутые предпочтения Рассмотрим ситуацию, изображенную на рис.5.8. Представляет ли собой X оп тимальный выбор? Нет! В случае предпочтений такого вида оптимальный вы бор всегда будет краевым, как набор Z. Подумайте, каков может быть смысл предпочтений, описываемых вогнутыми кривыми безразличия. Если у вас имеются деньги на покупку мороженого и оливок, но вы не любите потреблять их вместе, вы потратите все деньги на покупку либо того, либо другого.

Глава Бюджетная линия Оптимальный выбор Л 1 2 3 1 1 2 А Величина спроса равна нулю В Величина спроса равна одной единице Дискретные товары. На рис. А спрос на товар 1 равен нулю, а на рис.В он составляет одну единицу.

Кривые безразличия Оптимальный выбор в случае вогнутых предпочтений. Оптимальный выбор представлен не точкой внутреннего касания X, а точкой краевого равнове сия Z, поскольку Z лежит на более высокой кривой безразличия.

ВЫБОР Предпочтения Кобба Ч Дугласа Предположим, что функция полезности задана в виде функции Кобба ЧДуг ласа и(х\, х2) = xf*2 - В приложении к настоящей главе, используя диффе ренциальное исчисление, мы выводим координаты точек оптимального вы бора для функции полезности данного вида. Они оказываются следующими:

cm dm *- _..... v_ **~ ij с + а, р, с+а PI Эти функции спроса часто бывают полезны в алгебраических примерах, поэтому, возможно, стоит их запомнить.

Предпочтения Кобба Ч Дугласа обладают одним удобным свойством. Рас смотрим долю дохода, которую потребитель с предпочтениями Кобба Ч Дугласа тратит на товар 1. Если он потребляет х\ единиц товара 1, это обхо дится ему в р\х\, что составляет долю общего дохода, равную р\х\/т. Под ставляя в это выражение функцию спроса для х\, получаем Р\х\ _ Р\ с т_ с т т c + d PI c +d Аналогично доля дохода, которую потребитель тратит на товар 2, состав ляет d/(c + d).

Таким образом, потребитель с предпочтениями Кобба Ч Дугласа всегда тра тит на каждый товар постоянную долю своего дохода. Величина этой доли опре деляется соответствующим показателем степени в функции Кобба Ч Дугласа.

Вот почему часто бывает удобным пользоваться таким представлением функции Кобба Ч Дугласа, в котором сумма показателей степени равна 1.

Если и(х\, *2) =*f*2~a >то можно непосредственно истолковывать а как долю дохода, затрачиваемую на товар 1. По этой причине мы будем обычно ис пользовать для предпочтений Кобба Ч Дугласа данную форму записи.

5.4. Построение оценочных функций полезности Мы уже познакомились с несколькими различными формами предпочтений и функций полезности и изучили порождаемые этими предпочтениями виды поведения потребителей в отношении предъявляемого ими спроса на товары.

Однако в реальной жизни обычно приходится действовать в обратном поряд ке: поведение потребителей в отношении спроса мы наблюдаем, задача же состоит в том, чтобы определить, какого рода предпочтения породили на блюдаемое поведение.

Например, предположим, что из наблюдений нам известен выбор потре бителя при нескольких различных ценах и уровнях дохода. Такого рода при Глава мер описан в табл.5.1. Это таблица спроса на два товара при разных уровнях цен и доходов, преобладавших в разные годы. Используя формулы s\ = р\х\/т и $2 = pixi/m, мы также подсчитали долю дохода, ежегодно затрачиваемую на каждый товар.

Некоторые данные, описывающие потребительское поведение Табл.

5. т Полезность Год Р\ *1 * Р2 *2 * 1 100 0, 1 1 25 75 57, 0, 21 0, 2 100 38 0,76 33, 32 1 100 13 0, 74 0,74 47, 41 2 200 0,24 67, 48 76 0, 2 1 200 0, 5 25 150 0,75 95, 1 4 6 400 0,25 0, 75 80, 74 1 24 0,24 0, 400 304 161, При этих данных доли расходов на товары сравнительно постоянны.

Имеются небольшие изменения этих долей от наблюдения к наблюдению, но они, возможно, не столь велики, чтобы о них стоило беспокоиться. Средняя доля расходов на товар 1 составляет около 1/4, а средняя доля расходов на товар 2 Ч примерно 3/4. Создается впечатление, что функция полезности j_ ^ вида u(x\, XT) =х|4х24 достаточно хорошо подходит к этим данным. Иными словами, функция полезности данного вида породила бы потребительский выбор, достаточно близкий к наблюдаемому. Для удобства мы подсчитали полезность, связываемую с каждым наблюдением, используя эту оценочную функцию полезности Кобба Ч Дугласа.

Насколько можно судить по наблюдаемому поведению, похоже, потреби тель максимизирует функцию полезности м(хь х^) = xfxj. Вполне может ока заться, что дальнейшие наблюдения за поведением потребителя привели бы нас к отказу от этой гипотезы. Однако если исходить из имеющихся данных, ее соответствие указанной модели оптимизации достаточно велико.

Сказанное имеет очень важный смысл, поскольку теперь можно приме нить эту "подогнанную" функцию полезности для оценки воздействия на по требителя предлагаемых изменений экономической политики. Предположим, например, что правительством рассматривается вопрос о введении налоговой системы, результатом которой было бы установление для данного потребите ля цен (2,3) и дохода, равного 200. Согласно нашим оценкам, набор спроса при этих ценах составил бы 1 200 _, х\= - ЧЧ = 25, 42.

ВЫБОР 3 200 Д Х 2 = - Ч Ч = 50.

Оценочная полезность данного набора есть iI 2> = 254504 л42.

Это означает, что новая налоговая политика повысила бы благосостояние потребителя по сравнению с годом 2, но понизила бы его относительно года 3. Следовательно, известный из наблюдений потребительский выбор может использоваться для оценки влияния предлагаемых изменений экономической политики на положение данного потребителя.

Ввиду большой важности этой идеи для экономической теории повторим логику наших рассуждений еще раз. Располагая какими-то наблюдениями, характеризующими потребительский выбор, мы пытаемся определить, имеет ли место максимизация чего-либо и, если да, то чего именно. Как только мы получаем оценку того, что же именно максимизируется, можно использовать ее и для прогнозирования поведения потребителя в новых ситуациях, и для оценки предлагаемых изменений в экономической среде.

Конечно, описанная нами ситуация очень проста. В реальной жизни мы обычно не располагаем детальными данными в отношении индивидуального потребительского выбора. Но у нас часто имеются данные по группам инди видов Ч подросткам, домохозяйствам среднего класса, пожилым людям и пр.

Эти группы могут иметь различные предпочтения в отношении разных това ров, получающие отражение в структуре расходов указанных групп на по требление. Можно построить оценочную функцию полезности, описываю щую структуру потребления соответствующих групп, а затем использовать эту оценочную функцию полезности для прогнозирования спроса и оценки предложений в области политики.

В описанном выше простом примере очевидно, что доли дохода, затрачи-, ваемые на каждый товар, относительно постоянны, так что функция полез ности Кобба Ч Дугласа хорошо подойдет для данного случая. В других случа ях может подойти более сложная функция полезности. Это может усложнить расчеты, потребовав использования компьютера для построения оценочной функции, но главная идея рассматриваемой процедуры останется той же.

5.5. Смысл условия оптимума потребителя, связанного с MRS В предыдущем параграфе рассмотрена важная идея, заключающаяся в том, что наблюдения за поведением в области спроса говорят нам многое о пред почтениях потребителя, стоящих за данным поведением и вызывающих его.

При наличии достаточного количества наблюдений за выбором потребителей часто становится возможным построить оценочную функцию полезности, обусловившую данный выбор.

104Глава Однако наблюдение одного случая потребительского выбора при одном наборе цен позволит нам сделать некоторые полезные зыводы о том, как из менится полезность для данного потребителя с изменением его потребления.

Посмотрим, как это происходит.

Типичными для хорошо организованных рынков являются примерно одинаковые товарные цены для всех покупателей. Возьмем, например, два таких товара, как масло и молоко. Если цены масла и молока для всех потре бителей одни и те же, если все потребители оптимизируют свою полезность и каждый оказывается в положении внутреннего оптимума... то каждый потре битель должен иметь одну и ту же норму замещения по маслу и по молоку.

Это непосредственно вытекает из приведенного выше анализа. Рынок предлагает всем одну и ту же норму обмена между маслом и молоком, и каж дый перераспределяет свое потребление между двумя этими товарами до тех пор, пока его собственная "внутренняя" предельная оценка этих товаров не станет равной их "внешней" оценке, производимой рынком.

Интересно в этом утверждении то, что его справедливость не зависит от дохода и вкусов. Люди могут очень по-разному оценивать свое совокупное по требление двух указанных товаров. Одни могут потреблять очень много масла и мало молока, другие Ч наоборот. Одни состоятельные люди могут потреб лять много молока и масла, другие же Ч лишь понемножку и того, и другого.

Но предельная норма замещения у каждого потребителя указанных товаров должна быть одинакова. Все, кто потребляет эти товары, должны придти к согласию в отношении того, сколько стоит один из этих товаров в единицах другого: скольким количеством одного товара они готовы пожертвовать, что бы получить чуть больше другого.

Тот факт, что отношения цен измеряют предельные нормы замещения, очень важен, поскольку означает, что у нас имеется способ оценки возмож ных изменений потребительских наборов. Предположим, например, что цена молока составляет 1$ за кварту, а цена масла Ч 2$ за фунт. Тогда предельная норма замещения для всех потребителей молока и масла должна быть равна 2: они должны получить 2 кварты молока, чтобы компенсировать свой отказ от потребления 1 фунта масла. Или, наоборот, они должны получить 1 фунт масла, чтобы оправдать свой отказ от двух кварт молока. Следовательно, каж дый, кто потребляет оба товара, будет оценивать предельное изменение в по треблении одинаково.

Предположим теперь, что изобретатель открыл новый способ превраще ния молока в масло: из каждых трех кварт молока, заливаемых в сконструи рованное им устройство, вы получаете один фунт масла и никаких других полезных побочных продуктов. Вопрос: существует ли рынок для такого уст ройства? Ответ: рисковые капиталисты наверняка не заинтересуются этим изобретением. Ведь каждый субъект экономики уже действует в точке, где он готов обменять 2 кварты молока на 1 фунт масла;

с какой стати ему замещать 3 кварты молока одним фунтом масла? Ответ состоит в том, что никто не станет этого делать;

это изобретение ничего не стоит.

ВЫБОР Но что произошло бы, если бы изобретатель мог заставить устройство ра ботать наоборот, так что он мог бы заложить в него 1 фунт масла и извлечь из него 3 кварты молока? Имеется ли рынок для такого устройства? Ответ: да!

Рыночные цены молока и масла говорят нам о том, что люди едва-едва со глашаются обменять один фунт масла на 2 кварты молока. Поэтому получе ние трех кварт молока за один фунт масла Ч сделка гораздо более выгодная, чем та, которая в настоящее время предлагается рынком. Подпишите меня на тысячу акций! (И несколько фунтов масла.) Рыночные цены показывают, что первое устройство невыгодно: оно произ водит масла на 2$, используя молока на 3$. Тот факт, что оно невыгодно, Ч лишь другой способ заявить, что люди оценивают вводимые ресурсы дороже, чем производимую с их помощью продукцию. Второе устройство производит молока на 3$, используя при этом масла лишь на 2$. Это устройство выгодно, потому что люди в данном случае оценивают готовую продукцию дороже, чем вводимые факторы производства.

Суть в том, что поскольку цены показывают пропорцию, в которой люди готовы заместить один товар другим, они могут быть использованы для оцен ки предложений в области экономической политики, связанных с измене ниями в потреблении. Факт, что цены являются не произвольными числами, а отражением предельной оценки вещей людьми, выражает одну из фунда ментальнейших и важнейших идей экономической теории.

Наблюдая один потребительский выбор при одной комбинации цен, мы получаем значение MRS в одной точке потребления. Если цены изменяются и мы наблюдаем другой потребительский выбор, мы получаем другое значе ние MRS. По мере наблюдения все большего и большего числа точек потре бительского выбора, мы узнаем все больше и больше о форме предпочтений, которые могли породить наблюдаемое потребительское поведение.

5.6. Выбор налогов Даже тот маленький кусочек теории потребительского выбора, который уда лось рассмотреть выше, можно использовать для выведения интересных и важных умозаключений. Вот неплохой пример, в котором описывается выбор одного из двух типов налогов. Как мы видели, налог на объем покупок есть налог на потребляемое количество товара, подобный налогу на бензин, со ставляющему 15 центов за галлон. Подоходный налог Ч это просто налог на доход. Допустим, правительство хочет собрать некоторую сумму дохода. Ка ким способом предпочтительнее это сделать Ч посредством налога на объем покупок или же посредством подоходного налога? Для ответа на этот вопрос воспользуемся уже полученными нами знаниями.

Во-первых, проанализируем введение налога на объем покупок. Предпо ложим, что исходное бюджетное ограничение имеет вид Р\х\ + Pix2 = т.

Глава Каким станет бюджетное ограничение, если ввести налог на потребление товара 1 по ставке f? Ответ прост. С точки зрения потребителя, это все равно, что поднять цену товара 1 на величину t. Следовательно, новое бюджетное ограничение будет иметь вид (Pi + 0*i + />2*2 = ". (5.1) Таким образом, налог на объем покупок повышает цену для потребителя.

На рис.5.9 показан пример возможного влияния изменений цены на спрос.

На этой стадии мы не знаем с уверенностью, увеличит или уменьшит данный налог потребление товара 1, хотя есть основания предполагать, что он его уменьшит. Как бы то ни было, мы знаем наверняка, что оптимальный выбор ( *i, *2 ) Должен удовлетворять бюджетному ограничению m. (5.2) Доход, собранный благодаря введению этого налога, составляет R* = tx\ Х Теперь рассмотрим подоходный налог, приносящий такую же сумму до хода. Бюджетное ограничение в этом случае примет вид Р\х\ или, если мы подставим в него выражение для R*, Каким образом пройдет эта бюджетная линия на рис. 5.9?

Нетрудно заметить, что она имеет тот же наклон Чр\/р2, что и исходная бюджетная линия, однако местоположение новой бюджетной линии предсто ит определить. Оказывается, бюджетная линия для случая введения подоход ного налога должна пройти через точку ( х\, х2 ). Чтобы проверить это, под ставим (х*,х%) в бюджетное ограничение для случая подоходного налога и посмотрим, не нарушается ли равенство.

Верно ли, что Р\х\ +Л*2 = / я - ? х * ?

Да, поскольку это не что иное, как результат преобразования уравнения (5.2), которое, как мы знаем, справедливо.

Тем самым установлено, что ( х\, х\ ) лежит на бюджетной линии для слу чая подоходного налога: это допустимый выбор для потребителя. Но является ли он оптимальным? Легко увидеть, что не является. В точке ( х\, х2 ) MRS равна Ч (р\ + ft/fa. Но введение подоходного налога позволяет нам обмени вать товары в пропорции Чр\/Рг- Следовательно, бюджетная линия пересека ВЫБОР ет кривую безразличия в точке (х\,х^), а это подразумевает существование на бюджетной линии некой точки, предпочитаемой (х*, х\).

Кривые безразличия Оптимальный выбор в случае подоходного налога Бюджетное ограничение для случая подоходного налога, наклон = Чр Опти мальный выбор в случае налога на объем покупок х* Бюджетное ограничение * для случая налога на объем покупок, наклон =Ч(PJ+/)// Рис.

Сопоставление подоходного налога и налога на объем покупок. Рассмотрим налог на объем покупок, приносящий доход Л*, и подоходный налог, при- 5. носящий такой же доход. Благосостояние потребителя окажется более вы соким при подоходном налоге, так как в этом случае он может выбрать точку на более высокой кривой безразличия.

Таким образом, подоходный налог явно предпочтительнее налога на объ ем покупок в том смысле, что позволяет собрать с потребителя ту же сумму дохода, сохраняя при этом более высокий уровень его благосостояния.

Это неплохой результат, и его стоит запомнить, но важно также понять его ограниченность. Во-первых, он относится только к одному потребителю.

Проведенные рассуждения показывают, что для каждого данного потребителя существует подоходный налог, позволяющий получить от этого потребителя такую же сумму денег, что и с помощью налога на объем покупок, и сохра нить при этом более высокий уровень его благосостояния. Однако размеры этого подоходного налога обычно различаются от потребителя к потребите лю. Поэтому единый подоходный налог для всех потребителей не обязательно 108Глава лучше, чем единый налог на объем покупок для всех потребителей.

(Представим себе случай, когда какой-то потребитель совсем не потребляет товара 1 Ч этот индивид, безусловно, предпочтет единому подоходному на логу налог на объем покупок.) Во-вторых, мы предположили, что при введении подоходного налога до ход потребителя не меняется. Тем самым мы предположили, что подоходный налог есть аккордный налог, т.е. такой налог, который изменяет лишь сумму денег, расходуемую потребителем, не влияя при этом на потребительский вы бор. Однако такая предпосылка нереалистична. Если потребитель зарабатывает свой доход, можно ожидать, что введение налога на доход уменьшит стимулы к заработкам, так что доход после налогообложения может уменьшиться даже на большую сумму, чем та, которая изымается посредством налога.

В-третьих, мы совершенно упустили из виду реакцию на налог со сторо ны предложения. Мы показали, какова реакция спроса на изменения налого обложения, но реакция предложения также будет иметь место, и для полноты анализа эти изменения тоже следует учесть.

Краткие выводы 1. Оптимальный выбор потребителя есть тот принадлежащий бюджетному множеству данного потребителя набор, который находится на самой высокой кривой безразличия.

2. Как правило, оптимальный набор характеризуется соблюдением условия равенства наклона кривой безразличия (MRS) наклону бюджетной линии.

3. При наблюдении нескольких случаев потребительского выбора возможно построение оценочной функции полезности, которая могла бы обусловить потребительское поведение данного рода. Такую функцию полезности можно использовать для прогнозирования будущего потребительского выбора и в целях оценки полезности новой экономической политики для потребителей.

4. Если цены двух товаров одинаковы для всех потребителей, то предельная норма замещения будет у всех потребителей одна и та же, и, следова тельно, каждый из них будет готов обменять указанные товары в одной и той же пропорции.

ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ 1. Какова функция спроса на товар 2 в случае, если два товара являются совершенными субститутами?

2. Предположим, что кривые безразличия представляют собой прямые линии с наклоном, равным ЧЬ. Как будет выглядеть оптимальный выбор потребителя при заданных произвольных ценах р, pi и денежном доходе /я?

ВЫБОР 3. Предположим, что потребитель всегда выпивает одну чашку кофе с двумя ложками сахара. Сколько кофе и сахара захочет купить потребитель, если цена ложки сахара равна р\, цена чашки кофе равна р^ и потребитель может потратить на эти товары т долларов?

4. Предположим, что ваши предпочтения в отношении мороженого и оливок описываются вогнутыми кривыми безразличия, подобными приведенным в тексте настоящей главы, и что вы можете потратить на эти товары т долларов, а их цены составляют соответственно р\ и р^.

Перечислите варианты выбора оптимальных потребительских наборов.

5. Если функция полезности для данного потребителя имеет вид и(х\, х%) = *1 *2 > то какую долю своего дохода он будет тратить на товар 2?

= 6. При какого рода предпочтениях благосостояние потребителя будет оди наковым как в случае налога на объем покупок, так и в случае подоход ного налога?

ПРИЛОЖЕНИЕ Весьма полезно уметь решать задачу максимизации полезности при заданных предпочтениях, получая при этом алгебраические примеры реально встречающихся функций полезности. В тексте главы мы проделали это для таких простых случаев, как совершенные субституты и совершенные комплементы, а в настоящем приложе нии посмотрим, как это делается в более общих случаях.

Во-первых, обычно мы будем стремиться к тому, чтобы представить предпочтения потребителя функцией полезности u(xlt x2). Как мы видели в гл. 4, данная предпо сылка не накладывает слишком серьезных ограничений, поскольку большую часть стандартных предпочтений можно описать с помощью функции полезности.

Прежде всего заметим, что нам уже известно, как решать задачу на нахождение оптимального выбора потребителя. Требуется лишь свести воедино все изученное на ми в трех последних главах. Из настоящей главы мы знаем, что оптимальный выбор С*], х2) должен удовлетворять условию MRS(x b x 2 ) = -^-, (5.3) Рг а в приложении к гл. 4 мы видели, что MRS можно выразить в виде отношения про изводных функции полезности, взятого с обратным знаком. Произведя эту подстанов ку и сократив знаки "минус", получаем _ Р\.^ Из гл. 2 известно, что оптимальный выбор должен удовлетворять также бюджет ному ограничению т. (5,5) 110_Глава Получаем два уравнения Ч для условия, связанного с MRS, и для бюджетного ог раничения Ч с двумя неизвестными jq и х2. Остается лишь решить эти уравнения, найдя оптимальный выбор х\ и х2 как функцию цен и дохода. Имеется ряд способов решения двух уравнений с двумя неизвестными. Один из них, который всегда приме ним, хотя, возможно, и не всегда оказывается самым простым, состоит в том, чтобы выразить из бюджетного ограничения одно неизвестное и подставить полученное вы ражение в условие для MRS.

Переписав бюджетное ограничение, получаем **= Ч-^-*ь (5.6) Р2 Pi а подставив это выражение для х2 в уравнение (S.4), получаем ди(Х1,т/p2-(pi/pjx\)ldx\ _ Pi du(xi,m/p2-(pl/p2)xi)/dX2 p2' Это достаточно громоздкое с виду выражение содержит лишь одну неизвестную переменную xlt и ее значение обычно можно выразить через (pt, р2, т). Затем из бюджетного ограничения можно получить решение для х2 как функции цен и дохода.

Можно вывести и более строгое решение задачи максимизации полезности, ис пользуя условия существования максимума функции, известные из курса дифферен циального исчисления. Для этого сначала представим задачу максимизации полезно сти в виде задачи на нахождение условного максимума:

max u(xi, Х2) хг, хг При P\XI + Р2*2 = т Х Эта задача требует выбора таких значений xt и х2, которые, во-первых, удовлетво ряли бы данному ограничению, а во-вторых, давали бы большую величину полезно сти и(х\, х2), чем любые другие значения х\ и х2, которые ему удовлетворяют.

Существуют два способа решения задачи такого рода. Первый заключается в том, чтобы из бюджетного ограничения просто выразить одну переменную через другую, а затем подставить полученное выражение в целевую функцию.

Например, для любого заданного значения х{ количество х2, требуемое для того, чтобы удовлетворялось бюджетное ограничение, задано линейной функцией *2(*l)=Ч - Ч *i (5.7) Р2 Р Теперь подставим в функцию полезности х2(х\) вместо х2 и получим задачу на на хождение безусловного максимума max и(хь т/р2 - (pi/ft)*i) *i Это задача на нахождение безусловного максимума только по х\, поскольку мы использовали функцию х2 (хг) для того, чтобы гарантировать, что значение х2 всегда будет удовлетворять бюджетному ограничению, каково бы ни было значение XY.

ВЫБОР Задача решается, как обычно, путем взятия производной функции полезности по *! и приравнивания ее к нулю. В результате получим условие первого порядка в виде дх\ dxz dx\ Первый член этого выражения отражает прямое воздействие возрастания х\ на воз растание полезности. Второй член состоит из двух частей: du/dx2 Ч скорости возраста ния полезности по мере роста х2, умноженной на dx^/dxi Ч скорость возрастания х2 по мере роста х{ в связи с необходимостью удовлетворения уравнению бюджетной линии.

Чтобы подсчитать эту последнюю производную, продифференцируем выражение (5.7) А <&2Д Рг dx\ Подстановка полученного результата в (5.8) даст выражение Р говорящее лишь о том, что предельная норма замещения товаров xl и х2 в точке оп тимального выбора ( х*, х2 ) должна быть равна отношению цен. Это именно то усло вие, которое мы вывели ранее: наклон кривой безразличия должен равняться наклону бюджетной линии. Разумеется, оптимальный выбор должен удовлетворять и бюджет ному ограничению р\ х* + р2 х2 Ч т, что снова дает нам два уравнения с двумя неиз вестными.

Второй способ решения таких задач заключается в использовании множителей Лагранжа. Применение этого метода начинается с составления вспомогательной функции, известной как функция Лагранжа:

L = u(xlt х2) Ч K(pixi + Р2Х2 Ч т) Новая переменная X именуется множителем Лагранжа, так как на нее умножается ограничение. Согласно теореме Лагранжа, оптимальный выбор ( х\, х2) должен удов летворять трем условиям первого порядка дх\ 9x dL Три этих уравнения характеризуются несколькими интересными моментами. Во первых, они представляют собой просто приравненные к нулю производные функции Лагранжа по х{, х2 и X. Последняя производная, по X, есть не что иное, как бюджетное 112 Глава ограничение. Во-вторых, теперь у нас имеются три уравнения с тремя неизвестными хь х2 и X. Мы надеемся получить их решения для xt и х2, выраженные через р\, р2 и т.

Доказательство теоремы Лагранжа можно найти в любом учебнике по дифферен циальному исчислению продвинутого уровня. Эта теорема очень широко используется в продвинутых курсах экономической теории, для наших же целей требуется знать лишь формулировку данной теоремы и как ее применять.

В нашем конкретном случае стоит обратить внимание на то, что, поделив первое условие на второе, получим Рг показывающее, как и раньше, что MRS должна равняться отношению цен. Другое уравнение дано бюджетным ограничением, так что у нас снова оказываются два урав нения с двумя неизвестными.

ПРИМЕР: Функции спроса Кобба Ч Дугласа В главе 4 мы ввели функцию полезности Кобба Ч Дугласа Поскольку функции полезности определимы лишь с точностью до монотонного преобразования, удобно прологарифмировать указанное выражение и работать далее с выражением In и(х\, ф) = с In *i + d In *2 Найдем функции спроса на Х[ и х2 для функции полезности Кобба Ч Дугласа. За дача, которую мы хотим решить, имеет вид max с In *i + d In x^ *1. Х2. А при PIXI + Р2.х2 = т.

Существует по меньшей мере три способа решения этой задачи. Один из них Ч просто записать условие для MRS и бюджетное ограничение. Используя выражение для MRS, выведенное в гл. 4, получаем СХ2 ^ Р\ dx\ P2 ' Р\*\ + Р2*2 = т.

Это два уравнения с двумя неизвестными, решив которые, можно получить опти мальный выбор Xj и х2. Один из путей решения этих уравнений Ч подстановка вто рого уравнения в первое, которая дает фя/ р2-х\р}/ Р2) _ Pi dx\ P ВЫБОР Проделав перекрестное умножение, получим с(т Чхм) = dpixi.

Преобразование данного уравнения дает cm = (с + d) = P\XI или ст Х 1 ~ ЧЧ7Ч Х c+d pt Это функция спроса на х{. Чтобы найти функцию спроса на х2, подставим полу ченное выражение в бюджетное ограничение и получим т р\ с т dm Х2 = ЧЧЧ Ч ЧЧЧЧ = ЧЧЧЧ.

Pi P2c + d PI c + d p Второй путь решения Ч с самого начала подставить бюджетное ограничение в за дачу на нахождение максимума. Если мы сделаем это, задача примет вид max с In х\ + d In (т/р? Ч x\p\/pi).

* Условие первого порядка для этой задачи имеет вид xi m-p\x\ Pi Немного несложных алгебраических преобразований и мы получаем решение т d Х\г. ^^ _ _ c+dPl' Подставив это выражение в бюджетное ограничение х2 = т/р2 Ч х\р\/р2, получим dт _ c + d р2' Таковы функции спроса на два товара, к счастью, оказавшиеся теми же самыми, что и выведенные ранее другим методом.

Теперь обратимся к методу Лагранжа. Построим функцию Лагранжа L = с In jq + d In *2 Ч X (piXi + P2X2 Ч m) и продифференцируем ее, чтобы получить три условия первого порядка ЧЧ = Ч Ч X 9xi х\ и OLt дх2 Х 114_Глава зх ~ = P\X\ + P2*1Ч "* = О Фокус теперь состоит лишь в том, чтобы их решить! Лучше всего сначала найти решение для X, а затем Ч для х{ и х2. Преобразуем первые два уравнения и перекре стно их перемножим, получив в результате С= Кр\Х\, d= \P2X2 Эти два уравнения так и хочется сложить:

с + d = X (р\х\ + faXi) = X т, что даст нам, с+   Книги, научные публикации