Книги по разным темам Физика твердого тела, 2003, том 45, вып. 6 Механизм спиновой релаксации ДьяконоваЦПереля при частых электрон-электронных столкновениях в квантовой яме конечной ширины й М.М. Глазов Физико-технический институт им. А.Ф. Иоффе Российской академии наук, 194021 Санкт-Петербург, Россия E-mail: glazov@coherent.ioffe.rssi.ru (Поступила в Редакцию 15 октября 2002 г.) Для прецессионного механизма спиновой релаксации электронов проводимости в прямоугольной квантовой яме рассчитана зависимость времени спиновой релаксации от ширины квантовой ямы и высоты ее барьеров в случае когда электрон-электронные столкновения доминируют над другими процессами рассеяния носителей.

Работа частично поддержана грантом Российского фонда фундаментальных исследований и программами Министерства Науки и Президиума РАН.

1. Процессы спиновой релаксации привлекают в по- нониан электрона на нижней подзоне проводимости следние годы большое внимание в связи с их возможны- в параболическом приближении записывается в виде ми применениями в области спинтроники. Из механиз2 k2 мов спиновой релаксации для электронов проводимости H = + lnlkn, (1) 2m в квантовой яме наиболее эффективным в широком интервале температур оказывается механизм Дьяконова - где m Ч эффективная масса электрона, l Чматрицы Переля [1,2] (прецессионный механизм), обусловленный Паули, kn Ч компоненты волнового вектора электрона расщеплением спиновых ветвей закона дисперсии элект- в плоскости квантовой ямы. Линейное по k слагаемое ронов в системах без центра инверсии. Это расщепле- в яме с симметричными интерфейсами, обусловленное ние можно рассматривать как эффективное магнитное отсутствием центра инверсии в объемном материале, поле с частотой ларморовской прецессии k, зависяимеет вид [2] щей от величины и направления волнового вектора 1(y ky - x kx), (2) электрона k. Время релаксации спина определяется где оси x и y выбраны по кристаллографичекак s-1 2, где угловые скобки означают усредk ским направлениям [100] и [010] соответственно, нение по энергетическому распределению электронов, 1 k2 Ч некоторая константа, угловые скобки ознаz Ч микроскопическое время релаксации. В кванточают квантово-механическое среднее. В асимметричной вой яме ларморовская частота k является линейной квантовой яме кроме слагаемого (2) содержится еще функцией k, поэтому обычно время отождествляется один спин-зависимый вклад в линейные по k члены со временем релаксации электронов по импульсу [2Ц4].

в эффективном гамильтониане [7] Однако недавно было показано, что в обратное время аддитивно вносят вклад не только различные механизмы 2(x ky - y kx), (3) релаксации импульса, но и межэлектронные столкновегде 2 Ч постоянная.

ния [5,6]. Действительно, электрон-электронные столкВведем декартовы координаты x [110], y [110], новения хаотически изменяют k, а значит, и k. Таz [001], в которых линейная по волновому вектору ким образом, они контролируют спиновую релаксацию часть гамильтониана записывается в виде по прецессионному механизму так же, как и другие механизмы рассеяния. В [5] было вычислено время Hc1 = ( k ). (4) спиновой релаксации для двумерного электронного газа при доминирующих элекрон-электронных столкновениЗдесь введены эффективная ларморовская частота с комях. Представляет интерес (в отличие от [5]) учесть, понентами kx = ky, ky = +kx, kz = 0 и коэфчто в реальной квантовой яме волновая функция электфициенты = 2(2 1).

рона имеет квазидвумерный характер из-за размытия Распределение электронов по волновому вектору и в пределах квантовой ямы и проникновения туннельных спину будем описывать спиновой матрицей плотности, хвостов этой функции под барьеры. В настоящей работе которую можно разложить по базисным матрицам 2 2, вычисляется зависимость от ширины квантовой ямы и высоты ее барьеров.

k = f + sk, k 2. Будем рассматривать прямоугольные квантовые ямы, выращенные из материалов с решеткой цинковой где f = Sp(k/2) Ч функция распределия электронов, k обманки в направлении [001]. Эффективный гамиль- усредненная по спину, sk = Sp[k( /2)] Ч средний спин Механизм спиновой релаксации ДьяконоваЦПереля при частых электрон-электронных... электрона в точке k, единичную матрицу опускаем. составляет цель данной работы. Наличие формфактора Если пренебречь расщеплением спиновых состояний, H(q) ослабляет межэлектронное взаимодействие то поляризованный по спину, равновесно распределен- по сравнению с предельным случаем двумерного ный по энергии, невырожденный электронный газ опи- электронного газа, когда H(q) 1. В частном 0 сывается матрицей плотности k = f (1 + 2S0 ), где случае бесконечно высоких потенциальных барьеров k f = exp[( - Ek)/kBT ] Ч больцмановская функция рас- огибающая электронной волновой функции для k пределения, Ek = k2/2m, Ч химический потенциал, квантовой ямы ширины a имеет простой вид S0 Ч спин, приходящийся на один электрон. При e1(z ) = 2/a cos(z /a) и формфактор оказывается наличии спинового расщепления, малого по сравнению равным с /, функция распределения не меняется, в то время -324+324e-qa +3(qa)5+20(qa)32+324qa как вектор спина приобретает поправку sk = sk -2 f S0, k H(q)=.

пропорциональную величине спинового расщепления.

(qa)2+42 (qa)Поэтому матрицу плотности можно искать в виде В случае qa 1 (предел больших расстояний между k = k + sk (5) электронами) H(q) 1, и взаимодействие между элект= ронами является в точности двумерным. В противопоПренебрегая переворотом спинов электронов при межложном предельном случае H(q) обратно пропорциоэлектронных столкновениях, запишем кинетическое нален q; следовательно, Vq q-2, как для трехмерного уравнение для sk в стандартной форме электронного газа.

Состояние электрона в квантовой яме с барьерами dsk + k sk + Qk{s, f } = 0. (6) конечной высоты V описывается огибающей dt cos kz, |z | a/2, Здесь Qk{s, f } Ч интеграл электрон-электронных (z )=C (9) столкновений, перемешивающий спины в k-пространстcos(ka/2) exp - (|z | -a/2),|z | > a/2, ве; другими процессами рассеяния электронов пренебрегаем, функцию распределения электронов f считаем k где C Ч нормировочная постоянная, k =(2mE/ )1/2, 1/равновесной. Интеграл электрон-электронных столкно = 2m(V - E)/ ; различием эффективных масс вений в пренебрежении обменным взаимодействием заэлектрона в материалах ямы и барьеров пренебреписывается в виде [5] гаем. Граничные условия непрерывности и d/dz сводятся к условию сшивки cos =, где = ka/2, = /a(2/mV )1/2 Ч безразмерный параметр, характеризующий глубину ямы. Формфактор H(q) зависит Qk{s, f }= k+k,p+p (Ek +Ek -Ep-Ep ) ! в рассматриваемом случае прямоугольной квантовой k pp ямы от двух параметров: ее ширины a и высоты барье2 0 2Vk-p(sk f - sp f ). (7) ров V.

k p Просуммировав (6) по волновому вектору, получаем Здесь Vq Ч фурье-образ эффективного потенциала взаиуравнение, описывающее медленную релаксацию средмодействия электронов в квантовой яме, получаемого него спина, усреднением трехмерной кулоновской потенциальной dS0/dt + s-1 S0 = 0,, энергии где тензор обратных времен спиновой релаксации опре2 e2 e1(z )e1(z ) деляется из уравнения V () = dz dz, 2 +(z - z )s-1 S0 = [ k sk], (10), где e Ч заряд электрона, Ч диэлектрическая посто- N k янная, Ч расстояние между электронами в плоскости интерфейса, e1 Ч огибающая волновой функции, N Ч концентрация элктронов в квантовой яме.

описывающая размерное квантование в направлении оси Пусть Ч угол между волновым вектором электk роста. Выполняя преобразование Фурье, получаем [8] рона k и осью x [110]. Для того чтобы получить уравнение для поправки s к функции распределения 2eспина, сохраним в кинетическом уравнении слагаемые, Vq = H(q), (8) q пропорциональные cos и sin :

k k 0 где Ч площадь образца в плоскости k (2 f S0) +Qk{s, f } = 0. (11) k интерфейсов, формфактор H(q) = exp(-q|z - z |) 2 e1(z )e1(z )dz dz 1 описывает размытие волновой 3. Для решения уравнений (10), (11) представим функции электрона в квантовой яме. Его проекции векторного произведения k S0 в виде учет при расчете времени спиновой релаксации и kS0, где введен тензор третьего ранга Физика твердого тела, 2003, том 45, вып. 1110 М.М. Глазов с четырьмя ненулевыми компонентами: = - xxz zxx = +/, = - = --/. Поскольку операyyz zyy тор Qk{s, f } сохраняет угловое распределение спина в k-пространстве, функция (1/k)Qk{kFk, f } не зависит от азимутального угла, если произвольная k функция Fk зависит только от модуля волнового вектора k. Уравнение (11) удобно переписать в безразмерных единицах, представив решение в виде Зависимость от ширины квантовой ямы коэффициента I, k B s(k) =- S0kT eee/k T v(K), (12) определяющего время спиновой релаксации согласно (14) k и (15). Квадраты Ч зависимость I от безразмерного параметра где v(K) удовлетворяет интегральному уравнению = kT a, рассчитанная для высоты барьера V = 300 meV. Для сравнения крестиками показаны значения I для квантовой ямы с бесконечно высокими барьерами.

Ke-K = d2K d2PWPP,KK 2 так как волновая функция электрона распределяется на v(K)e-K - cos v(P)e-P. (13) большем масштабе и электрон-электронное взаимодействие ослабевает.

Здесь использованы следующие обозначения:

Результаты расчета зависимости I от ширины кванK = k/kT, kT =(2mkBT / )1/2, Чугол между K и P;

товой ямы представлены на рисунке. Для квантовой P = K + K - P, ямы с бесконечно высокими барьерами I монотонно kBT возрастает с увеличением ширины ямы. В квантовой ee =, e4N яме нулевой ширины I 0.027, как и в двумерном электронном газе при отсутствии обменного взаимоWPP,KK = H(kT |K - P|)(K2 + K 2 - P2 - P 2). действия [5]. Зависимость I() может быть аппрокси|K - P|мирована линейной функцией I() 0.027 + 0.009, Подставляя sk в виде (12) в уравнение (10) и суммируя при увеличении ширины квантовой ямы до a /kT по k, получаем главные значения тензора обратных относительное изменение I становится порядка единицы, времен спиновой релаксации так как энергия размерного квантования сравнивается с энергией теплового движения электрона.

1 +kT 2 1 -kT В квантовой яме с барьерами конечной высоты ха=, =, xs x ys y рактерное время электрон-электронных столкновений зависит от ширины ямы немонотонно, его минимум при 1 1 a = am 2 (2mV )1/2 отвечает наименьшему размытию = +, (14) s zz xs x ys y волновой функции электрона в яме. С увеличением или уменьшением ширины квантовой ямы относительно am где параметр, контролирующий спиновую релаксацию интеграл I, а значит, и время = eeI монотонно возпо механизму ДьяконоваЦПереля, равен растают.

Таким образом, в настоящей работе проведено тео ретическое исследование прецессионного механизма = eeI, I = v(K)K2dK. (15) спиновой релаксации в квантовой яме с барьерами конечной высоты. Проанализирована зависимость параметНеоднородное слагаемое в (13) и неизвестная функ- ра времени, контролирующего спиновую релаксацию, ция v(K) раскладывались по базисным функциям от ширины квантовой ямы и высоты ее барьеров. Зави ln() = 2exp(-)Ln(2), где Ln(x) ЧполиномыЛагер- симость от ширины ямы оказывается немонотонной, ра, = K2. Подставляя эти разложения в уравнение (13) положение минимума определяется наибольшей локаи суммируя по безразмерным волновым векторам мето- лизацией электронной плотности в квантовой яме. Как дом Монте-Карло, получаем систему линейных неодно- видно из рисунка, в области значений kT a от 0.2 до 1.родных уравнений для коэффициентов разложения функ- время отличается от его значения для двумерных ции v(K). Таким образом вычислялись значения I (15) электронов не более чем на 50%.

в зависимости от безразмерных параметров и. Отметим в заключение, что входит в выражения Вычисленная зависимость коэффициента I от высоты для тензора обратных времен спиновой релаксации (14) барьера V при фиксированной ширине квантовой ямы с множителями , которые могут очень сильно зави a = 42 A может быть при V > 200 meV приближенно сеть от ширины ямы. В частности, в квантовой яме описана следующей формулой: I 0.032 + 1.2 meV/V. с симметричными интерфейсами, когда 2 = 0, в преПри уменьшении высоты барьеров значения I и време- дельном случае бесконечно высоких барьеров 1 убыни, контролирующего спиновую релаксацию, убывают, вает с ростом ширины ямы по закону a-4.

Физика твердого тела, 2003, том 45, вып. Механизм спиновой релаксации ДьяконоваЦПереля при частых электрон-электронных... Автор благодарен Е.Л. Ивченко за постановку и полезное обсуждение задачи.

Список литературы [1] М.И. Дьяконов, В.И. Перель. ФТТ 13, 12, 3581 (1971).

[2] М.И. Дьяконов, В.Ю. Качоровский. ФТП 20, 1, 178 (1986).

[3] Е.Л. Ивченко, П.С. Копьев, В.П. Кочерешко, И.Н. Уральцев, Д.Р. Яковлев. Письма в ЖЭТФ. 47, 8, 407 (1988).

[4] Y. Ohno, R. Terauchi, T. Adachi, F. Matsukura, H. Ohno. Phys.

Rev. Lett. 83, 20, 4196 (1999).

[5] М.М. Глазов, Е.Л. Ивченко. Письма в ЖЭТФ 75, 8, (2002).

[6] R.T. Harley, M.A. Brand, A. Malinowski, O.Z. Karimov, P.A. Marsden, A.J. Shields, D. Sanvitto, D.A. Ritchie, M.Y. Simmons. Proc. Int. Conf. on Superlattices Nano-structures and Nano-devices. Toulouse, France (2002).

[7] Ю.Л. Бычков, Э.И. Рашба. Письма в ЖЭТФ. 39, 7Ц8, 66 (1984).

[8] V.V. Afonin, V.L. Gurevich, R. Laiho. Phys. Rev. B 62, 23, 15 913 (2000).

   Книги по разным темам