На правах рукописи

ВОЗНЕСЕНСКИЙ Михаил Андреевич МОДЕЛИРОВАНИЕ РАВНОВЕСНЫХ СВОЙСТВ КВАНТОВЫХ СИСТЕМ МЕТОДОМ МОНТЕ-КАРЛО В РАСШИРЕННЫХ АНСАМБЛЯХ Специальность 01.04.02 Ч теоретическая физика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург 2009

Работа выполнена на кафедре статистической физики физического факультета Санкт-Петербургского государственного университета.

Научный консультант: доктор физико-математических наук, профессор ВОРОНЦОВ-ВЕЛЬЯМИНОВ Павел Николаевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор ПИСЬМАК Юрий Михайлович доктор физико-математических наук, профессор КУЗЬМИН Владимир Леонидович

Ведущая организация: Объединенный институт высоких температур Российской академии наук

Защита состоится л 2009 года в часов на заседании Совета Д 212.232.24 по защите докторских и кандидатских диссертаций при Санкт-Петербургском государственном университете по адресу:

199034, Санкт-Петербург, Средний пр. В. О., д. 41/43, ауд.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Санкт-Петербургского государственного университета.

Автореферат разослан л ноября 2009 года.

Учёный секретарь диссертационного совета д. ф.-м. н., проф. Щёкин А.К.

2

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. Значение и возможности компьютерного моделирования в исследовании различных квантовых систем за последние время заметно возросли. Это связано с существенным ростом производительности вычислительных систем и развитием новых эффективных подходов.

Метод Монте-Карло интегралов по траекториям является одним из наиболее надёжных методов для численного изучения квантовых систем при конечных температурах. Существует большое число результативных исследований с использованием метода Монте-Карло интегралов по траекториям, но, к сожалению, на данный момент этот метод успешно применялся лишь для ферми-систем с малым числом степеней свободы или для систем, удовлетворяющих статистике Бозе. Это связано с фундаментальной особенностью описания ферми-систем. Волновая функция, а равно и матрица плотности, меняет знак (антисимметрична) при перестановке любых двух частиц. Это приводит к тому, что вклады в статистическую сумму оказываются знакопеременными, и при понижении температуры разность положительных и отрицательных вкладов в статистической сумме и в выражениях для средних экспоненциально уменьшается и становится трудно различимой на фоне статистического шума. Указанная проблема известна как проблема знака.

Существующие подходы, призванные решить проблему знака, оказываются эффективными в одномерных системах, или системах из двух частиц. Обобщения на системы большей размерности или большего числа частиц, если таковые удаётся построить, оказываются малоэффективными.

Целью работы являлось исследование возможностей применения метода расширенного ансамбля с настройкой балансировочных параметров по алгоритму Ванга Ч Ландау для моделирования равновесных свойств систем квантовых частиц, подчиняющихся статистике Ферми.

Научная новизна. Разработан подход, позволяющий заметно ослабить проблему знака, возникающую при моделировании ферми-систем, и получать равновесные свойства вплоть до температур при которых системы близки к основному состоянию.

Теоретическая и практическая ценность. Предложенный в работе подход универсален. Он не накладывает никаких ограничений на размерности исследуемых систем и на потенциалы взаимодействия в системе.

Подход может быть скомбинирован с различными аппроксимациями для высокотемпературных матриц плотности, аппроксимациями для притягивающих потенциалов, имеющих точку сингулярности, и другими подходами в рамках метода интегралов по траекториям. Возможность распараллеливания расчётов даёт возможность моделировать сложные многочастичные системы.

Апробация работы. По материалам диссертации были сделаны доклады на следующих конференциях: International Conference on Strongly Coupled Coulomb Systems (20-25 июня 2005, Москва), XIII Симпозиум по межмолекулярному взаимодействию и конформациям молекул (19Чиюня 2006 года, Санкт-Петербург), International conference "PNP12 Physics with Non-Ideal Plasmas" (3-8 сентября 2006, Darmstadt, Германия), Conference on Computational Physics CCP2007 (5-8 сентября 2007, Brussels, Бельгия), XIII International Conference on Physics of Non-Ideal Plasmas (13 - 18 сентября 2009, Черноголовка).

Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из введения, четырёх глав, заключения и списка цитируемой литературы. Объём работы составляет 117 страниц, включая 48 рисунков и 6 таблиц. Список литературы содержит 59 наименований.

Публикации: По материалам диссертации опубликовано 6 печатных работ. Список публикаций приведён в конце автореферата.

ичный вклад автора. Постановка задачи с существенной мере принадлежит научному руководителю, в обсуждении результатов, помимо автора и руководителя, принимал участие профессор Стокгольмского университета А. П. Любарцев. Разработка комбинированных алгоритмов, их компьютерная реализация и получение результатов полностью принадлежат автору.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ Во введении обосновывается актуальность выбранной темы, и даётся обзор работ по методам моделирования квантовых систем, направленных на решение проблемы знака.

В первой главе изложены методы, лежащие в основании подхода.

Вначале выписывается общее выражение для статистической суммы системы тождественных частиц [1], далее изложен метод Монте-Карло (МК) интегралов по траекториям [2] и выписаны выражения для статистических сумм в вершинном приближении [3]. Описываются метод энтропического моделирования [4], связанный с ним алгоритм Ванга Ч Ландау (ВЛ) [5], и метод расширенного ансамбля [6].

Для системы N тождественных частиц, подчиняющихся статистике Ферми, статистическая сумма задаётся в виде суммы по классам G перестановок частиц в матрице плотности системы различимых частиц:

1 G AS, ( ) Z = ( ) (-1)[ ] K (G)M (G)Z((D) ( ).

G ) N! G -Здесь = kBT Ч обратная температура в энергетических единицах, ( ) C K G = 2s +1 Ч спиновая часть статистической суммы, C - число ( ) ( ) циклов длинной в данной перестановке, т.о. C есть полное число N C циклов в классе, M G = N!/ C Ч число элементов в G, ( ) ( ) ! =Z((D) Ч координатная часть статистической суммы, соответствующая ( ) P ) перестановке из класса G.

Статистические суммы Z((D) представляются в виде интегралов по ( ) P ) траекториям в n -вершинном приближении (записано в безразмерных переменных):

-ndN /nn n n Z b = ( ) (r - ri+1) - b V (ri ), 1 ni dr...dr exp bb n i=1 i=где rn+1 P r1 = r(1), P r(2),..., P r(N ) Ч условие замыкания. Потен( ) ( ) ( ) ( ) (P ) циал V включает в себя взаимодействие со внешнем полем и межчастичное взаимодействие. В рамках n -вершинного приближения каждая квантовая частица представляется в виде формально классической системы.

Метод расширенного ансамбля [6] позволяет в ходе одного расчёта получить отношение статистических сумм исследуемой и опорной систем.

Пусть h =- H q есть приведённая конфигурационная часть классиче( ) ского гамильтониана H q, а h0 Ч гамильтониан системы, для которой ( ) статистическая сумма определена точно. Строится цепочка гамильтонианов h0,h1,...hM h, в которой с изменением индекса m от 0 до M гамильтониан h0 постепенно превращается в hM, например, по линейному закону hm = 1- m h0 + mhM, где 0 = 0 < 1 <... < M =1. Каждому m соответству( ) ет конфигурационный интеграл Zm = m dqexp(h ) в каноническом ансамбле. Составляется расширенный и модифицированный ансамбль со статистической суммой:

M m Z = e-S Z m m=где Sm Ч так называемые балансировочные параметры. В расширенном ансамбле организуется МК-блуждание согласно стандартному алгоритму Метрополиса. В ходе описанной МК-процедуры подсчитывается число раз nm, которое система побывала в подансамбле с индексом m. В результате получается оценка вероятности состояния характеризуемого значением m : pm nm / nMC, где nMC Ч полное число MK-шагов. С другой стороны, m pm = Zme-S / Z, и, следовательно nМ ZM = Z0 e(-S +SМ ).

nВ работе для настройки балансировочных параметров Sm в методе расширенных ансамблей используется ВЛ-алгоритм.

Во второй главе в начале описывается использование ВЛ-алгоритма в методе расширенных ансамблей. Следуя алгоритму, вводятся два массива размером M +1, один для весов Sm, второй для чисел посещения nm. В начале расчёта все Sm и nm берутся равными нулю. В расширенном ансамбле запускается блуждание. Вероятность перехода определяется выражением pmm1 = min 1,exp hm1 - hm - Sm1 + Sm.

( ) ( ) Вне зависимости от того, состоялся переход или нет, в счётчик nm, соответствующий текущему подансамблю, добавляется единица, а значение Sm увеличивается на величину S. Таким образом, последним действием мы уменьшаем вес текущего подансамбля, а, следовательно, вероятность попасть в него в следующий раз. Описанным образом выполняется серия, обычно порядка 106 107 шагов. Такого количества вполне достаточно, по крайней мере, для рассматриваемых в этой работе систем, для формирования равномерного распределения чисел посещения подансамблей nm. Далее, величина S домножается на константу a < 1 и запускается новая серия, тем самым начинается более тонкая настройка балансировочных параметров.

В разделе 4 проведено тестирование метода на системе двух тождественных невзаимодействующих бесспиновых частиц в гармоническом поле, Рис. 1. Зависимость от обратной темпера- Рис. 2. Зависимость от обратной температуры фактора f2 системы двух невзаимо- туры энергии двух невзаимодействующих бесспиновых частиц в гармоническом подействующих бесспиновых частиц в гарле. Сплошная линия Ч точные формулы, моническом поле. Сплошная линия Ч штрихованная Ч конечномерное приблиточные формулы, штрихованная Ч кожение. E0 = 2 для d = 1, E0 = 4 для d = 3.

нечномерное приближение.

для которой существуют точные выражения для равновесных средних [7].

Для N = 2 имеется два класса перестановок, которые обозначены как (две отдельные частицы) и 01 (цикл из двух частиц), M 20 = M 01 =1.

( ) ( ) ( Статистическая сумма Z2A) = Z20 - Z01 / 2 представляется в виде [ ] ( Z2A) = Z20 f2, где f2 = 1- Z01 / Z20 / 2, и производится расчёт отношения [] Z01 / Z20 методом расширенного ансамбля с настройкой балансировочных параметров по ВЛ-алгоритму. Использовано 5-и вершинное приближение, расширенный ансамбль составлен из 2-х подансамблей. Выполнены расчёты для системы в одномерном и трёхмерном случаях и проведено сравнение результатов с точными [7] (сплошные линии) и конечномерными [8] (штрихованные линии) зависимостями (рис. 1). Хорошее согласие результатов наблюдается до b =10 (b = ). При более низких температурах отличие отношений статистических сумм от единицы становится меньше точности расчётов. Возможность вычисления канонических средних показана на примере средней энергии. Энергия вычислена двумя способами Ч усреднением эстиматоров энергии (треугольники) и путём вычисления коРис. 3. Зависимость от обратной темпера- Рис. 4. Зависимости от обратной темпера( туры энергии двух тождественных бестуры статистических сумм Z2A) системы спиновых частиц с кулоновским отталкидвух тождественных бесспиновых частиц ванием в гармоническом поле. Энергии с кулоновским отталкиванием в гармониосновных состояний см. текст.

ческом поле.

нечно-разностной производной от логарифма статистической суммы (кружки) (рис. 2).

Удаётся проследить выход кривых на горизонтальный уровень основного состояния. Аналогичные расчёты проведены для системы трёх частиц. Получены следующие оценки для энергии основного состояния: для d =1, s =1/ 2 Ч E0 = 2,47 0,04 (точное значение E0 = 2,5 ), для d = 3, s =1/ 2 Ч E0 = 5,54 0,03 (точное значение E0 = 5,5).

В разделе 6 выполнены расчёты для двух тождественных частиц с кулоновским отталкиванием в гармоническом поле. Статистическая сумма ( 00 Zпредставляется в виде Z2A) = Z20 / Z20 - Z01 Z01 / Z01 / 2 и вычисля( ) ( ) 0 ются отношения Z20 / Z20 и Z01 / Z01. В качестве опорной системы использована система без взаимодействия. Расширенный ансамбль составлен из 10-и подансамблей. Проведены расчёты в 5-и вершинном приближение в одномерном и трёхмерном случае (рис. 3). Получена оценка энергии основного состояния для d =1, s = 0 E0 = 2,82 0,02 ; для d =1, s =1/ 2 Ч E0 = 2,53 0,01; для d = 3, s = 0 Ч E0 = 4,52 0,03; для d = 3, s =1/ 2 Ч Рис. 5. Статистические суммы Z20, Z01 и Рис. 6. Отношение Z5- /Z5+ системы ( N = 5 тождественных невзаимодейстZ2A) для системы двух тождественных вующих частиц в трёхмерном гармоничечастиц с кулоновским отталкиванием в ском поле в сравнении с точными зависикулоновском поле притяжения заряда 2.

мостями.

E0 = 4,13 0,01 (рис. 4). Также выполнены аналогичные расчёты для системы трёх частиц с кулоновским отталкиванием в трёхмерном гармоническом поле, получены следующие оценки для s = 0 Ч E0 =12,28 0,04, для s =1/ 2 Ч E0 =11,94 0,02.

В разделе 7 рассмотрена система двух фермионов с кулоновским отталкиванием в кулоновском поле притяжения центрального заряда 2 (атом гелия) (рис. 5). В качестве опорной системы использована система без взаимодействия в гармоническом поле. Использовано 100 вершинное приближение, расширенный ансамбль составлен из 22-х подансамблей. Полученные значения энергии основного E0 = -2,83 0,05 и триплетного Et =-2,03 0,07 состояний удовлетворительно согласуются с литературными данными E0 =-2,904 и E0 = -2,175 [9]. Для решения проблемы сингулярности кулоновского потенциала использовано приближение Кола Ч Де Рэдта [10]. В рамках этого приближения повторены расчёты для системы двух частиц с кулоновским отталкиванием в одномерном гармоничеРис. 7. Построение аппроксимации Рис. 8. Построение аппроксимации A ( ) F = E0 + At2 для системы N = 5 тождест- ln Z = Eb + C / b для системы N = венных частиц с кулоновским отталкиватождественных частиц с кулоновским отнием в трёхмерном гармоническом поле.

талкиванием в трёхмерном гармоническом поле.

ском поле. Уточнённое значение E0 = 2,70 0,02 оказывается в лучшем согласии с данными из [11] ( E0 = 2,72 ).