Книги по разным темам Физика и техника полупроводников, 2003, том 37, вып. 6 О температурной зависимости статической электропроводности полупроводниковой квантовой проволоки в изоляторе й Н.А. Поклонский, Е.Ф. Кисляков, С.А. Вырко Белорусский государственный университет, 220050 Минск, Белоруссия (Получена 14 ноября 2002 г. Принята к печати 18 ноября 2002 г.) Рассматривается электрическое сопротивление на постоянном токе полупроводниковой квантовой проволоки в диэлектрической матрице, обусловленное взаимодействием носителей заряда с продольными акустическими фононами матрицы. Для случая невырожденного газа носителей в проволоке на основе приближения времени релаксации получены простые аналитические выражения для расчета электропроводности. При независящей от температуры концентрации носителей заряда сопротивление проволоки растет 5/2 с температурой как T, т. е. более сильно, чем в объемном ковалентном полупроводнике.

1. Задача расчета температурной зависимости элек- поперечной локализации электронов в квантовой провотрической проводимости квантовых проволок (с учетом локе означает полную неопределенность их поперечного квантово-размерных ограничений на поперечное движе- импульса, т. е. закон сохранения импульса для попение электронов проводимости и дырок) возникает во речных компонент не выполняется, что увеличивает многих областях физики конденсированных систем (см., по сравнению с трехмерным случаем фазовый объем, например, [1Ц3]) и важна для приложений в наноэлек- доступный в процессе электрон-фононного рассеяния, тронике. При этом, как правило, квантовые проволоки и соответственно вероятность рассеяния (см. также [7]).

находятся в трехмерной диэлектрической матрице, т. е. Модуль матричного элемента гамильтониана взаимоих электропроводность зависит в том числе и от взаи- действия электрона проводимости проволоки с продольмодействия электронов проводимости с акустическими ным акустическим фононом диэлектрической матрицы фононами матрицы. Полезно иметь соотношения для в приближении потенциала деформации имеет вид [4] оценки связанных с этим взаимодействием эффектов.

Цель работы Ч получение аналитического выражения Cq 2 1 Vkq,kz qz = Nq + z для электропроводности квантовой проволоки при рас3 V1ql 2 сеянии невырожденных электронов проводимости продольными акустическими (LA) фононами матрицы.

1 w(q) Nq +, (1) В основе нашего вывода формулы для электросопро2 тивления, обусловленного взаимодействием электронов где kz, k z = kz qz Ч квазиволновые векторы электрона проводимости с LA-фононами матрицы, лежит кинетидо и после взаимодействия с фононом (верхний знак ческое уравнение Больцмана в приближении времени соответствует поглощению, нижний Ч испусканию форелаксации. При этом мы намереваемся выяснить, как нона с проекцией qz волнового вектора на ось проволоменяются известные [4Ц7] соотношения для темпераки); q Ч модуль квазиволнового вектора фонона; q Ч турной зависимости электропроводности трехмерных круговая частота, l Ч плотность материала матрицы, полупроводниковых материалов в случае квантово-разV1 Ч нормировочный объем; C Ч константа деформамерного ограничения движения носителей заряда в двух ционного потенциала; Nq = [exp( q/kBT ) - 1]-1 Ч поперечных к линии движения направлениях.

среднее число LA-фононов с энергией q при тепловой 2. Рассмотрим предельно тонкую квантовую проволоэнергии kBT.

ку, когда можно ограничиться вкладом в электропроводЭлектропроводность на постоянном токе прямолиность электронов только наинизшего квантово-размернейной квантовой проволоки, ориентированной вдоль ного уровня энергии. Электрон проводимости в проволооси OZ, можно по [4Ц7] привести к виду ке будем характеризовать продольным квазиимпульсом pz = kz и волновой функцией: |kz = L-1/2 exp(ikz z ) + для x, y = 0, где L Ч длина прямолинейной проволо-2e2 f z = p2 z dpz, (2) z ки вдоль оси OZ; kz = pz / Ч квазиволновой вектор m2A z электрона, движущегося вдоль проволоки. При этом мы полностью пренебрегаем размытием волновой функции где A Ч площадь поперечного сечения проволоки;

электрона в поперечном направлении, что справедливо e Ч модуль заряда электрона; z k =( kz )2/2m Ч z тогда, когда длина волны фононов, эффективно взаикинетическая энергия движения электрона модействующих с электронами проводимости, больше с эффективной массой m вдоль проволоки; f = диаметра квантовой проволоки. Приближение строгой = [exp((k - EF)/kBT ) +1]-1 Ч функция Ферми - z E-mail: poklonski@bsu.by Дирака, EF Ч уровень Ферми, отсчитанный от первого 736 Н.А. Поклонский, Е.Ф. Кисляков, С.А. Вырко квантово-размерного уровня движения электрона попе- где рек проволоки; z (kz ) Ч время релаксации квазиимпульса электрона проводимости вдоль проволоки.

(2 - 1)2d (2 - 1)2d () = + ;

Вероятность перехода электрона в единицу времени 1 - exp((2 - 1)) exp((2 - 1)) - из состояния kz в состояние k z вследствие взаимодей- 0 ствия с акустическими фононами матрицы в 1-м порядке = p z /pz ; = p2/2mkBT.

z теории возмущений дается соотношением [4,7] В предельных случаях высоких и низких температур Wk,k z = w2(q) (1 + Nq)(k,kz -qz + q) функция () выражается через гамма-функцию Эйлеz z ра и дзета-функцию Римана (см., например, [9]):

+ Nq(k,kz +qz - q), (3) z pz где w(q) определяется соотношением (1); (k,kz qz 2mkBT = () z q) Ч дельта-функция Дирака; k,k z =(p 2 - p2)/2m.

z z z Продольное время релаксации z получается [8] в ре (5/2) (5/2)-5/2/2 0.89-5/2 при <2, зультате суммирования (3) по всем конечным состоя (7) 8/ниям k z, допустимым законами сохранения энергии, ко- при >5.

торые учитываются -функциями Дирака, и усреднения В невырожденной квантовой проволоке функция распо неучаствующим в рассеянии электрона LA-фононам пределения электронов по кинетической энергии z с перпендикулярными к оси проволоки волновыми векимеет вид f exp ((EF - z )/kBT), так что из (2) с учеторами q. Это дает том (6) электропроводность проволоки есть + 1 V1 k z + = 1 - dk z Wk,k z d2q, (4) z e236l(vl )4 EF exp(-p2/2mkBT ) z (2)3 kz z z = exp dpz.

AC2kBT kBT p3 (p2/2mkBT ) z z где q = |q| Ч модуль поперечной компоненты ква(8) зиволнового вектора q акустического фонона матрицы;

Интегрирование в формуле (8), с учетом того d2q = 2qdq.

что в невырожденном газе для одномерного электроВ невырожденном электронном газе qz = |kz - k z | на со средней тепловой энергией kBT /2 параметр q, так что q q, и выражение (4) можно предста 0.5 и, согласно (7), справедлива аппроксимация вить в виде () 0.89-5/2, дает + 1 C2 p z dp z 1 - dq q2 (1 + Nq) le2 v4 EF l z 9 lvl pz z 8.95 exp. (9) - 0 mA(CkBT )2 kBT (p,p z + q) +Nq(p,p z - q), (5) Одномерная концентрация невырожденных электроz z нов проводимости [1] где vl = q/q Ч продольная скорость звука в матрице;

+ дельта-функция (p,p z q) (k,kz qz q) вы- z z 2 1 EF ражает закон сохранения энергии при испускании (верхn = f d pz 2mkBT exp ; (10) 2 kBT ний знак) и поглощении (нижний знак) фонона соответственно.

С учетом соотношения (p,p z q) = (vl )-при температуре T <( n)2/2kBm начинается вырождеz (p,p z /vl q) из (5) получим ние электронного газа (уровень Ферми EF сдвигается z в зону разрешенных энергий).

+pz 1 C2 p z p 2 - p2 Исключая из (9) и (10) уровень Ферми EF, получаем, z z dp z 1 что ограниченная рассеянием на LA-фононах матрицы z 9l(vl )2 pz 2m vl -pz электропроводность невырожденного газа электронов проволоки -p 2 - p2 p z z z 1 - exp + dp z 1 - e l( vl)4n 2mkBT pz z 11.21, (11) |p z |>|pz | C Am3/2(kBT )5/2 -где n/A Ч трехмерная концентрация электронов провоp 2 - p2 p 2 - pz z z z exp - димости.

2m vl 2mkBT 3. Рассмотрим возможное приложение полученных соотношений. Перспективным материалом для формиC2 p5 pz z =, (6) рования в нем квантовой полупроводниковой проволоки 18lm2(vl )4 2mkBT Физика и техника полупроводников, 2003, том 37, вып. О температурной зависимости статической электропроводности полупроводниковой... может служить нелегированный кристалл алмаза. Про- [5] В.Л. Бонч-Бруевич, С.Г. Калашников. Физика полупроводников (М., Наука, 1990).

волоку p-типа проводимости по [10,2] можно сформиро[6] K. Seeger. Semiconductor Physics: An introduction (Berlin, вать при имплантации ионов бора в алмаз сверхтонким Springer, 1999).

пучком (диаметр Ч десятки нанометров). Важно, что [7] B.K. Ridley. Quantum Processes in Semiconductors (Oxford, при последующем термическом отжиге не происходит Clarendon Press, 1999) chap. 3, 10.

расплывания профиля легирования, так как атомы бора, [8] Э.Л. Нагаев. ЖЭТФ, 100, (4(10)), 1297 (1991).

замещая атомы углерода в решетке алмаза, практически [9] Справочник по специальным функциям, под ред. М. Абв ней не диффундируют [11].

рамовица, И. Стиган (М., Наука, 1979).

Пусть одномерная концентрация водородоподобных [10] I.A. Dobrinets, A.M. Zaitsev, T. Etzel, J. Butler, A.D. Wieck.

акцепторов в зарядовых состояниях (0) и (-1) равна J. Wide Bandgap Mater., 9 (1/ 2), 7 (2001).

N = N0 + N-1, а концентрация компенсирующих одно- [11] В.С. Вавилов. УФН, 167, 17 (1997).

кратно положительно заряженных доноров Ч KN, так Редактор Л.В. Беляков что концентрация делокализованных вдоль проволоки дырок p = N-1 - KN. Концентрация отрицательно заряOn the DC electroconductivity женных акцепторов без учета их возбужденных состояtemperature dependence ний равна [5,6] of semiconductor quantum wire EF + Ea -in insulator N-1 = N 1 + a exp, (12) kBT N.A. Poklonski, E.F. Kislyakov, S.A. Vyrko где a Ч фактор вырождения водородоподобного акцепBelarusian State University, тора с энергией ионизации Ea в квантовой проволоке;

220050 Minsk, Belarus EF и Ea отсчитываются от первого квантово-размерного уровня v-зоны.

Abstract

DC electrical resistivity of semiconducting quantum При низких температурах, когда p K(1 - K)N, wire in insulating matrix due to scattering on LA matrix phonons из уравнения электронейтральности N-1 KN is considered. For the case of nondegenerate carriers in wire с учетом (12) и (10) определяем уровень Ферми on the basis of relaxation time approximation, simple analytical EF = -Ea + kBT ln[(1 - K)/Ka], так что из (9) следует expressions for resistivity have been derived. For the constant charge carrier density the resistivity increases with temperature as e l v4(1 - K) -Ea l 5/z 8.95 exp, (13) T, i. e. stronger than in a bulk covalent semiconductor.

C Am(kBT )2Ka kBT т. е. измерение температурной зависимости z T позволяет определить энергию Ea отрыва дырки с эффективной массой m от акцептора в квантовой проволоке.

При высоких температурах, когда p (1 - K)N, электропроводность квантовой проволоки в условиях рассеяния дырок только на LA-фононах матрицы, согласно (11), уменьшается с ростом темпера5/туры: z 1/T. Для этих же условий в объемном невырожденном ковалентном полупроводнике [4Ц7]:

3/ 1/T. Это различие в температурной зависимости z и согласуется с приведенным выше качественным обсуждением проявления строгой локализации электронов проводимости поперек квантовой проволоки.

Работа поддержана Белорусским республиканским фондом фундаментальных исследований, грант Ф01-199.

Список литературы [1] S. Kagoshima, H. Nagasawa, T. Sambongi. One-dimensional conductors (Berlin, Springer, 1988).

[2] Nanotechnology, ed. by G. Timp (N. Y., Springer, 1999).

[3] Электронные свойства дислокаций в полупроводниках, под ред. Ю.А. Осипьяна (М., Эдиториал УРСС, 2000).

[4] А.И. Ансельм. Введение в теорию полупроводников (М., Наука, 1978).

7 Физика и техника полупроводников, 2003, том 37, вып.    Книги по разным темам