Книги по разным темам Физика и техника полупроводников, 2003, том 37, вып. 5 Дисперсия времени релаксации квазидвумерных электронов при рассеянии на ионах примеси в сверхрешетке с легированными квантовыми ямами й С.И. Борисенко Сибирский физико-технический институт им. В.Д. Кузнецова, 634050 Томск, Россия (Получена 24 июля 2002 г. Принята к печати 16 октября 2002 г.) Проведен анализ рассеяния на ионах примеси квазидвумерных электронов сверхрешетки GaAs/Al0.36Ga0.64As с легированными квантовыми ямами. Для расчета вероятности рассеяния применялась волновая функция, являющаяся собственной функцией основного состояния нижней минизоны сверхрешетки. Получены формулы и проведен численный анализ дисперсии продольного и поперечного времени релаксации по продольному волновому вектору. Исследована зависимость компонент тензора времени релаксации от периода сверхрешетки и температуры в области T = 77 K.

1. Введение зависимость компонент тензора времени релаксации от периода СР и температуры в области T = 77 K.

К настоящему времени имеется ряд работ [1Ц3], в которых теоретически исследуется проблема рассея2. Основные формулы ния электронов ионами примеси в структурах с квантовыми ямами (КЯ). В этих работах расчет времени Расчет вероятности внутриминизонного рассеяния релаксации и подвижности для переноса носителей заэлектронов СР на ионах примеси проводился, как и в раряда вдоль квантовых ям проводится в приближении боте [5], с приближенной огибающей волновой функцией двумерного электронного газа. В случае сверхрешеток нижней минизоны (СР) из КЯ, в которых кроме продольного переноса exp(ikr) имеется и поперечный перенос по минизоне, работ, k(r) = u0(z ), (1) V связанных с расчетом подвижности носителей заряда за счет примесного рассеяния, практически нет. Дангде k =(k, kz ) Ч волновой вектор электронов в систеная проблема решается в работе [4], где в рамках ме координат с осью z, параллельной оси СР, u0(z ) Ч уравнения Больцмана получены формулы для времени периодическая часть огибающей функции Блоха при релаксации и проведен анализ продольной и поперечной kz = 0. Для СР с легированными КЯ с учетом (1) веподвижности квазидвумерных электронов в СР типа роятность рассеяния электрона с волновым вектором k GaAs/AlxGa1-x As. Однако при расчете вероятности расв состояние с k принимает вид сеяния используется существенное приближение для Nz /волновой функции электронов, которая берется в виде 2e4Z2aNCW I w(k, k ) = SSn W (qn)W (qn ) суммы Блоха по волновым функциям изолированных n 02Vd n,n =-Nz /бесконечно глубоких КЯ. С учетом этого приближения поперечное и продольное время релаксации зависят a sin[ (n - n )] d только от поперечного волнового вектора или энергии E(k ) - E(k), (2) a (n - n ) d поперечного движения относительно оси симметрии СР и не зависят от продольного волнового вектора.

где d/В данной работе проведен анализ рассеяния квазидву1 2n мерных электронов сверхрешетки GaAs/Al0.36Ga0.64As Sn = exp i z |u0(z )|2 dz, d d с легированными квантовыми ямами на ионах приме-d/си. Для описания вероятности рассеяния применялась волновая функция, являющаяся собственной функцией W (q) =, (3) q2 + основного состояния нижней минизоны СР. Как показал анализ, используемый метод расчета вероятности E(k) =E = E + 1 - cos(kz d), (4) рассеяния приводит к зависимости времени релаксации электронов от продольного волнового вектора. В ра k2 2n Nz Nz E =, qn = k - k + ez, - < n <, боте получены формулы и проведен численный анализ 2m d 2 дисперсии продольного и поперечного времени релакNz Ч число периодов СР, которое считается бесконечно сации по продольному волновому вектору, исследована большим, Ч ширина нижней минизоны, a и d Чши E-mail: sib@elefot.tsu.ru рина КЯ и период СР, ez Ч единичный вектор вдоль оси Дисперсия времени релаксации квазидвумерных электронов при рассеянии на ионах примеси... СР, eZ и NCW Ч заряд и концентрация ионов примеси где I в КЯ, Ч коэффициент экранирования, Ч статическая диэлектрическая проницаемость. Формула (2) получена = CI 0(E, ) в приближении случайных фаз, для однородного распределения примеси по КЯ, в приближении однородной по + [2E + t2( - )2 + 2] d СР диэлектрической проницаемости и слабой зависимо, [t2( - )2 + 2]3/2[4E + t2( - )2 + 2]3/сти функции uk (z ) от kz.

z Неравновесная добавка к функции распределения (11) электронов рассчитывалась в виде (E, ) = (E, ) sin(), (12) f 0 g(k) =e i(k)Eivi(k), (5) e2Z aNCW I E CI = 2, i 40 md2 где Ei Ч компоненты напряженности электрического t2 =, 2 =, = kz d.

поля, v(k) =kE/ Ч скорость электрона, f (E) Ч 0 2md2 2m равновесная функция ФермиЦДирака. Функции i(k) Следует отметить, что в отличие от рассеяния на представляют собой компоненты тензора времени реакустических колебаниях [5] единственным параметром, лаксации, зависящие от компонент волнового вектора.

характеризующим СР, в формулах (9)Ц(11) является Для расчета этих функций с помощью линеаризованнопериод СР d. Влияние на примесное рассеяние других го уравнения Больцмана были получены интегральные параметров, таких как ширина квантовой ямы, толщина уравнения и высота барьера в случае однородного распределения примеси невелико. Причина этого связана с незначиkk тельным вкладом в сумму (2) членов с n, n = 0 по (k) =0(k) w(k, k )(k ) + 1, (6) k2 сравнению с нулевым членом из-за особенности фурье k компоненты экранированного кулоновского потенциала в области малых значений продольного волнового sin(k z d) вектора.

(k) =0(k) w(k, k ) (k ) + 1, (7) Расчет подвижности электронов проводился по форsin(kz d) k мулам где xx = yy = = e /m, 0-1(k) = w(k, k )(8) zz = = e / m, (13) k где Ч полная вероятность рассеяния электрона из состоя ния с волновым вектором k за единицу времени. В при- ближении квазидвумерного электронного газа ( = = [- f (E)](E)E dE f (E) dE, при k0T ), с учетом формулы для вероятности 0 рассеяния (2), в которой учитывается лишь основной (14) член суммы с n = n = 0, уравнения (4), (5) принимают вид = [- f (E)] (E) d [- f (E)] dE, 0 0 (E, ) (15) = CI 0(E, ) (E) = (E, ) d, + 2E(E, ) d + 1, [t2( - )2 + 2]3/2[4E + t2( - )2 + 2]3/ (9) (E) = (E, ) sin2() d, (16) (E, ) = CI 0(E, ) 1 1 d = [- f (E)] dE f (E) dE + m 2 [2E + t2( - )2 + 2] (E, ) d 0 [t2( - )2 + 2]3/2[4E + t2( - )2 + 2]3/(17) Ч усредненное по энергии значение продольной эффек+ sin(), (10) тивной массы электронов.

Физика и техника полупроводников, 2003, том 37, вып. 590 С.И. Борисенко 3. Численный анализ Расчет времени релаксации и подвижности электронов за счет рассеяния на ионах примеси проводился для композиционной сверхрешетки GaAs/Al0.36Ga0.64As с легированными квантовыми ямами. В расчете для GaAs и сплава AlxGa1-x As были использованы следующие значения параметров [6]: m = m = 0.066m0, = 13.18.

Решение нелинейных интегральных уравнений (9), (10) проводилось численно разностным методом [7].

Зависимость времени релаксации от энергии поперечного движения и продольного волнового вектора рассчитывалась для СР с параметрами a = 5нм, b = 8нм, = 0.10 мэВ, где b ширина потенциального барьера. Расчет ширины минизоны проводился метоРис. 2. Дисперсия по энергии поперечного движения усреддом, изложенным в работе [8]. Расчет времени релак- ненного по продольному волновому вектору поперечного сации проводился при условии aNCW = nd для невы- и продольного времени релаксации: 1 Ч (E), 2 Ч (E), I рожденного электронного газа с концентрацией элек- 1 Ч (E), 2 Ч (E), 3 Ч (E)-GaAs. Чрасчет проведен с приближенной волновой функцией [4].

тронов n = 1016 см-3 при T = 77 K. При этих значениях параметров для усредненных по энергии времен релаксации, рассчитанных по формулам (14), (15), были получены следующие значения: = 2.1nc, перечного времени релаксации невелик, то продольное = 1.1 nc. Эти значения близки по величине к время релаксации при стремлении kz к /d стремится = 1.6 nc Ч времени релаксации для однородно легик бесконечности.

рованного GaAs, рассчитанного с теми же параметрами Зависимости усредненного по продольному волнопри помощи формулы БруксаЦХерринга, и к значевому вектору поперечного (кривая 1) и продольного нию = = 1.8 nc Ч времени релаксации элек(кривая 2) времени релаксации от энергии поперечного тронов в рассматриваемой СР на акустических коледвижения, рассчитанные по формулам (16), приведены баниях [5]. Значения подвижности, рассчитанные по на рис. 2. Характер этих зависимостей близок к стеформулам (13), при m = 25m0 получились равными пенному, причем показатель степенной зависимости для = 5.6м2/(В с) и = 7.9 10-3 м2/(В с) по срав(E) больше, а для (E) меньше единицы. Из нению с подвижностью = 4.3м2/(В с) в GaAs.

рисунка следует, что поперечное время релаксации при На рис. 1 представлена зависимость поперечного всех значениях E больше, чем в объемном GaAs (кри(кривая 1) и продольного (кривая 2) времени релаксации вая 3), тогда как для продольного это имеет место при от величины = kz d при энергии поперечного движеE < 3k0T. Приближенный расчет с волновой функцией ния E = k0T. Из рисунка следует, что с ростом пров виде суммы Блоха по функциям бесконечно глубоких дольного волнового вектора от нуля до максимального изолированных квантовых ям [4] приводит к более низзначения и увеличиваются. Однако если рост поким значениям (E) (кривая 1 ) и (E) (кривая 2 ).

Для продольного времени релаксации в отличие от поперечного эта разница оказывается существенной, за счет чего анизотропия усредненного по энергии времени релаксации / = 1.9 по сравнению с приближенным расчетом / = 3.4 уменьшается.

Различная зависимость (E) и (E) от энергии поперечного движения приводит к различной температурной зависимости средних по энергии времен релаксации и подвижностей (см. рис. 3). Согласно рисунку, слабое увеличение с ростом температуры (кривая 2 ) по сравнению с зависимостью (кривая 1 ) приводит к тому, что продольная подвижность (кривая 2) с ростом температуры убывает, тогда как поперечная подвижность (кривая 1), как и в объемном GaAs растет.

Рис. 1. Дисперсия по продольному волновому вектору поЗависимости усредненных по энергии компонент тенперечного и продольного времени релаксации при T = 77 K для энергии поперечного движения E = k0T : 1 Ч (E, ), зора времени релаксации и от периода СР 2 Ч (E, ).

при постоянном значении концентрации электронов Физика и техника полупроводников, 2003, том 37, вып. Дисперсия времени релаксации квазидвумерных электронов при рассеянии на ионах примеси... различной зависимости продольного и поперечного времени релаксации от энергии поперечного движения, приводящее к различной температурной зависимости продольной и поперечной подвижности; 3) рост анизотропии времени релаксации с ростом периода СР.

Следует отметить, что численные результаты проведенного анализа получены в приближении квазидвумерного характера электронного газа. Это накладывает существенные ограничения на величину и соотношение параметров СР, таких как ширина КЯ, толщина и высота потенциального барьера, при которых должно выполняться условие k0T. В связи с этим актуальной является задача, связанная с учетом энергии продольного движения в законе сохранения полной энергии при рассеянии электронов на ионах примеси в тех СР, Рис. 3. Зависимость от температуры усредненных по энерв которых условие квазидвумерности электронного газа гии компонент тензора времени релаксации и подвижности:

не выполняется.

1 Ч , 2 Ч , 1 Ч, 2 Ч.

Список литературы [1] J. Lee, H.N. Spector, V.K. Arora. J. Appl. Phys., 54, (1983).

[2] A. Gold. Phys. Rev. B, 35, 723 (1987).

[3] J.L. Thobel, L. Baudry. J. Appl. Phys., 73, 233 (1993).

[4] С.И. Борисенко. ФТП, 36, 861 (2002).

[5] С.И. Борисенко. ФТП, 36, 1237 (2002).

[6] Landolt-Brnstein. Numerical Date and Functional Relationships in Science and Technology, ed by O. Madelung (Springer Verlag, Berlin, 1987) New Series III, 22 a, p. 451.

[7] Н.Н. Калиткин. Численные методы (М., Наука, 1978) гл. 14, с. 455.

[8] С.И. Борисенко. Г.Ф. Караваев. ФТП, 32, 607 (1998).

Редактор Л.В. Беляков Рис. 4. Зависимости усредненных по энергии компонент Dispersion of relaxation time of quasi-2D тензора времени релаксации от периода СР при постоянном electrons at scattering on ions значении концентрации электронов: 1 Ч, 2 Ч, of an impurity in a superlattice with doped 3 Ч /.

quantum wells S.I. Borisenko n = 1016 см-3 представлены на рис. 4. Из рисунка слеSiberian Physical and Technical Institute, дует, что с увеличением периода СР среднее значение 634050 Tomsk, Russia поперечного времени релаксации (кривая 1) растет, тогда как продольное время релаксации (кривая 2)

Abstract

The analysis of scattering on ions of an impurity уменьшается. Различный характер изменения рассматof quasi-2D electrons of a superlattice GaAs/Al0.36Ga0.64As with риваеммых величин с ростом периода СР в 2 раза doped quantum wells is carried out. The eigen wave function приводит к увеличению параметра анизотропии времени of the basic state of the bottom minizone of a superlattice was релаксации / (кривая 3) примерно в 4 раза. applied to the calculation of scattering probability. The formulas are received and the numerical analysis of dispersion of longitudinal and transverse relaxation time on a longitudinal wave vector is carried out. The dependence of components of relaxation 4. Заключение time tensor from the period superlattice and temperature in area T = 77 K is investigated.

   Книги по разным темам