На правах рукописи

ТАНАНА Галина Викторовна СТРУКТУРНЫЕ И ЭКВАЦИОНАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ПРИСОЕДИНЕННО РЕГУЛЯРНЫХ КОЛЕ - 01.01.06 математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание уч степени еной кандидата физико-математических наук

Екатеринбург 2007

Работа выполнена на кафедре алгебры и дискретной математики Уральского государственного университета.

Научный руковoдитель: доктор физико-математических наук, профессор М. В. Волков

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор Л. М. Мартынов кандидат физико-математических наук, доцент О. Б. Финогенова

Ведущая организация: Уральский государственный педагогический университет

Защита диссертации состоится 27 февраля 2007 года в 14 часов на заседании диссертационного совета Д 004.006.03 в Институте математики и механики УрО РАН по адресу:

620219, г. Екатеринбург, ул. С.Ковалевской, 16.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики и механики УрО РАН.

Автореферат разослан 26 января 2007 г.

Уч секретарь еный диссертационного совета, доктор физ.-мат. наук В. В. Кабанов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы Основным объектом настоящей диссертации является класс присоединенно регулярных колец. (Здесь и ниже слово кольцо означает ассоциативное кольцо.) Понятие присоединенной регулярности возникло на стыке двух важных направлений современной теории колец, а именно, теории регулярных колец и направления, изучающего присоединенное умножение. Напомним соответствующие определения.

Кольцо R называется регулярным, если для любого a R найдется такой элемент b R, что aba = a. Понятие регулярного кольца, введенное фон Нейманом [29] в 1936 году, обеспечило единообразный подход к классическим результатам теории полупростых колец. Позже выяснилось, что регулярные кольца обладают многими замечательными структурными и гомологическими свойствами. Обзор современного состояния теории регулярных колец дается в известной монографии Гудерла [15].

Отметим, что поскольку определение регулярности использует только умножение, его можно рассматривать и для полугрупп. Идея ввести в кольце R присоединенное умножение по правилу a b = a + b - ab для любых a, b R возникла в 1940-х гг. в основополагающих работах Перлиса [15], Бэра [1] и Джекобсона [25], посвященных распространению идеи радикала на кольца без условий конечности. Хорошо известен тот факт, что кольцо является радикальным (в смысле Джекобсона) тогда и только тогда, когда оно является группой относительно присоединенного умножения.

В общем случае легко проверить, что относительно присоединенного умножения любое кольцо становится полугруппой с единицей, роль которой играет нуль кольца. Полугруппа R, называется присоединенной полугруппой кольца R.

Изучению присоединенной полугруппы кольца и связи ее свойств со свойствами кольца посвящены десятки работ, причем в последнее время интенсивность исследований в этом направлении возрастает. Из недавних работ, посвященных присоединенным полугруппам колец, упомянем здесь статьи Ду Ксиянкуна [12Ц14], Келарева [26Ц28], Чик и Гарднер [3Ц6], Колеман и Исдауна [8Ц11], Хитерли и Туччи [17Ц24].

По аналогии с определением фон Неймана назовем кольцо присоединенно регулярным, если для любого a R найдется такой элемент b R, что a b a = a. Другими словами, кольцо R присоединенно регулярно тогда и только тогда, когда его присоединенная полугруппа регулярна.

Обозначим через AR класс всех присоединенно регулярных колец.

Отметим, что этот класс весьма обширен. Очевидно, что класс AR содержит все радикальные кольца; с другой стороны, как было показано в работах Ду Ксиянкуна [13] и Хитерли и Туччи [20], все регулярные кольца являются присоединенно регулярными. Тот факт, что понятие присоединенно регулярного кольца дает одновременное обобщение двух столь полярных типов колец как радикальные и регулярные кольца, делает задачу изучения класса AR весьма интригующей. В то же время, изучение класса присоединенно регулярных колец весьма естественно в рамках направления, рассматривающего связь между свойствами кольца и свойствами его присоединенной полугруппы.

Цель работы Целью работы является исследование присоединенно регулярных колец, осуществляемое в двух направлениях: структурном и эквациональном. В первом случае изучается индивидуальное строение присоединенно регулярных колец; при этом основное внимание уделяется вопросу о реконструкции присоединенно регулярного кольца по его радикальному и регулярному подкольцам. Под эквациональным направлением мы понимаем изучение различных классов присоединенно регулярных колец с точки зрения теории многообразий.

Научная новизна Основные достижения диссертации заключаются в следующем.

- Получено достаточное условие присоединенной регулярности кольца, раскладывающегося в сумму радикального подкольца и присоединенно регулярного подкольца. Из него следует критерий присоединенной регулярности для кольца, являющегося суммой радикала и регулярного подкольца.

- Дано полное описание (на языке тождеств и языке запрещенных объектов ) многообразий, состоящих из присоединенно регулярных колец.

- Введено понятие e-многообразия присоединенно регулярных колец и выяснено соотношение между e-многообразиями присоединенно ортодоксальных и присоединенно право-инверсных [лево-инверсных] колец. Это позволило описать важный фрагмент решетки e-многообразий присоединенно регулярных колец.

Все результаты диссертации являются новыми.

Основные методы исследования В работе используются подходы, конструкции и результаты теории колец, теории регулярных полугрупп и теории многообразий. Характерным для работы является сочетание структурных и комбинаторных методов.

Практическая и теоретическая ценность Диссертационная работа носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы в дальнейших исследованиях по присоединенным полугруппам колец.

Апробация результатов Изложенные в диссертации результаты были представлены на международной алгебраической конференции, посвященной памяти З. И. Боревича (С-Петербург, 2002) и на международной алгебраической конференции, посвященной 100-летию со дня рождения П. Г. Конторовича и 70-летию Л. Н. Шеврина (Екатеринбург, 2005). По результатам работы автор выступал с докладами в Екатеринбурге (семинар Алгебраические системы, 1999Ц2006).

Публикации Основные результаты диссертации опубликованы в шести работах, список которых приведен в конце автореферата [31Ц36]. Результаты работ [31Ц34] получены автором и М. В. Волковым в нераздельном соавторстве.

Структура диссертации Текст диссертации состоит из оглавления, введения, трех глав, предметного указателя, списка обозначений и списка литературы. Библиография включает 82 наименования. Общий объем диссертации составляет 71 страницу.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении даны основные определения, обоснование и описание рассматриваемых вопросов, необходимые предварительные сведения, вспомогательные результаты и литературный обзор.

Текст диссертации, следующий за введением, разделен на 3 главы.

Основные утверждения диссертации названы теоремами; их всего три, по одной в каждой главе, и они имеют сквозную нумерацию.

Первая глава посвящена структурной характеристике присоединенно регулярного кольца, в первую очередь, реконструкции присоединенно регулярного кольца по его радикальному и регулярному подкольцам.

Основным результатом главы является следующее достаточное условие присоединенной регулярности кольца, раскладывающегося в сумму радикального подкольца и присоединенно регулярного подкольца:

Теорема 1. Пусть R = K +S, где K - радикальное, а S - присоединенно регулярное подкольцо, причем K = 0 для любого из S. Тогда кольцо R присоединенно регулярно.

В качестве следствия приводится критерий присоединенной регулярности кольца, являющегося суммой радикала и регулярного подкольца:

Следствие 1. Кольцо R, являющееся суммой своего радикала J (R) и регулярного подкольца S, будет присоединенно регулярным тогда и только тогда, когда eJ (R)e = 0 для любого идемпотента e S.

В свете классических теорем Веддербарна (см., например, [2], глава 2), наш результат дает полную классификацию конечномерных присоединенно регулярных алгебр над совершенным полем. В первой главе обсуждаются также некоторые другие следствия теоремы 1.

Вторая глава посвящена характеризации многообразий, состоящих из присоединенно регулярных колец, т.е. нахождению тождеств, гарантирующих присоединенную регулярность. Чтобы сформулировать основной результат главы 2, потребуется одно обозначение. Для каждого простого числа p рассмотрим кольцо Sp = e, a | pe = 0, e2 = e, ea = ae = a, a2 = 0.

Кольцо Sp состоит из p2 элементов, коммутативно и имеет наглядную реализацию 2 2-матрицами над p-элементным полем GF (p), а именно Sp, GF (p).

= Напомним еще, что кольцо называется обобщенно радикальным (присоединенно вполне регулярным), если его присоединенная полугруппа является объединением групп. Впервые обобщенно радикальные кольца начал изучать Кларк [7] в 1968 году, положив тем самым начало теории присоединенно регулярных колец.

Следующая теорема дает исчерпывающее описание многообразий присоединенно регулярных колец как на языке тождеств, так и на языке запрещенных объектов :

Теорема 2. Для многообразия колец V следующие условия эквивалентны:

(i) V состоит из присоединенно регулярных колец;

(ii) V состоит из обобщенно радикальных колец;

(iii) V не содержит ни одного из колец Sp, где p простое число;

(iv) для некоторых k > 1 и m в V выполняется тождество xm(y - yk)xm = 0.

Из формулировки теоремы со всей очевидностью следует невозможность различать присоединенно регулярные и обобщенно радикальные кольца на языке тождеств. Отсюда возникает естественная потребность в применении более тонкого инструмента для изучения связей в классе AR. В качестве такого инструмента в третьей главе вводится понятие e-многообразия присоединенно регулярных колец, аналогичное понятию e-многообразия регулярных полугрупп, появление которого в свое время открыло второе дыхание теории регулярных полугрупп [16]. А именно, e-многообразием присоединенно регулярных колец называется класс присоединенно регулярных колец, замкнутый относительно взятия присоединенно регулярных подколец, прямых произведений и гомоморфных образов. Легко понять, что если V - e-многообразие регулярных полугрупп, то класс всех колец, присоединенные полугруппы которых лежат в V, образует e-многообразие присоединенно регулярных колец. С другой стороны, для любого многообразия колец V класс всех присоединенно регулярных колец из V также образует e-многообразие. Таким образом, понятие e-многообразия присоединенно регулярных колец естественно и с полугрупповой, и с кольцевой точек зрения.

Основным результатом третьей главы является построение фрагмента решетки e-многообразий присоединенно вполне регулярных колец.

Нам представляется перспективным подход к классификации e-многообразий присоединенно регулярных колец в терминах решетки, которую они образуют относительно включения классов. (В этой решетке операция пересечения совпадает с их теоретико-множественным пересечением, а объединением A B двух e-многообразий A и B является наименьшее e-многообразие, содержащее как A, так и B.) В частности, основной результат данной главы показывает, что накопленные в литературе структурные результаты допускают очень прозрачную теоретико-решеточную интерпретацию.

Для формулировки теоремы нам потребуются некоторые определения. Регулярная полугруппа S называется ортодоксальной, если множество E(S) всех ее идемпотентов образует подполугруппу, т. е. ef = (ef)для любых e, f E(S), инверсной, если ef = fe для любых e, f E(S) и право-инверсной [лево-инверсной], если ef = fef [соответственно ef = efe] для любых e, f E(S).

Отметим, что регулярные полугруппы каждого из перечисленных выше типов составляют e-многообразия. Таким образом, налагая соответствющие условия регулярности на присоединенную полугруппу кольца, можно рассматривать e-многообразие присоединенно ортодоксальных колец, e-многообразие присоединенно инверсных колец и e-многообразие присоединенно право-инверсных [лево-инверсных] колец.

Теорема 3. Пусть O - e-многообразие присоединенно ортодоксальных колец, LI - e-многообразие присоединенно лево-инверсных колец и RI - e-многообразие присоединенно право-инверсных колец. Тогда O = LI RI.

Отметим, что полугрупповой аналог теоремы не имеет места: e-многообразие ортодоксальных полугрупп не является решеточным объединением e-многообразий лево-инверсных и право-инверсных полугрупп.

С учетом нашей теоремы и результатов Ду Ксиянкуна [14], в решетке e-многообразий присоединенно вполне регулярных колец можно выделить фрагмент, представленный на рис. 1. На рисунке, кроме введенных ранее, использованы следующие обозначения: I - e-многообразие присоединенно инверсных колец, CR - e-многообразие присоединенно вполне регулярных колец.

Благодарности Автор выражает глубокую признательность своему научному руководителю профессору М. В. Волкову за постановки задач, постоянное CR O LI RI I Рис. 1: Фрагмент решетки e-многообразий присоединенно вполне регулярных колец внимание к работе и всестороннюю поддержку. Автор благодарит научного руководителя кафедры алгебры и дискретной математики, доктора физико-математических наук, профессора Л. Н. Шеврина и весь коллектив кафедры алгебры и дискретной математики за создание плодотворной творческой обстановки.

Список литературы [1] Baer R. Radical ideals // Amer. J. Math., 1945. Vol. 65, № 4. P. 537Ц568.

[2] Херстейн И. Некоммутативные кольца. М.: Мир, 1972.

[3] Chick H. L. The properties of some rings having isomorphic additive and circle composition groups // Austral. Math. Soc. Gaz. 1996. Vol. 23. P. 112 - 117.

[4] Chick H. L. Rings with isomorphic additive and circle composition groups // Pitman Res. Notes. Ser., 1996. Vol. 346. Longman, Harlow, P. 160Ц169.

[5] Chick H. L., Gardner B. J. Commutative quasiregular rings with isomorphic additive and circle composition groups. II: Rational algebras // Comm. Algebra 1998. Vol. 26. № 2. P. 657Ц670.

[6] Chick H. L., Gardner B. J. Quasiregular torsion rings having isomorphic additive and circle composition groups// Quaest. Math. 1999. Vol. 22. №. 3, P. 371Ц384.

[7] Clark W. E. Generalized radical rings // Canad. J. Math. 1968. Vol. 20, № 1. P. 88Ц94.