Книги по разным темам Физика твердого тела, 1998, том 40, № 3 К теории квантового стохастического резонанса в однодоменных магнитных частицах й Э.К. Садыков, А.Г. Исавнин, А.Б. Болденков Казанский государственный университет, 420008 Казань, Россия (Поступила в Редакцию 29 июля 1997 г.) Теоретически исследуется явление стохастического резонанса в системе малых магнитных частиц с анизотропией типа Флегкая осьФ, когда стохастическое перемагничивание таких частиц осуществляется благодаря механизму макроскопического квантового туннелирования намагниченности. В приближении дискретных ориентаций предложена аналитическая модель для вычисления динамической (радиочастотной) восприимчивости легкоосных однодоменных частиц в постоянном магнитном поле, приложенном перпендикулярно легкой оси. Новизна модели состоит в более корректном рассмотрении процесса квантового туннелирования в условиях радиочастотной модуляции при температурах вблизи абсолютного нуля. Адекватность предложенной аппроксимации проверяется численным моделированием и сопоставлением ее результатов с имеющимися в литературе результатами по квантовому туннелированию и стохастическому резонансу.

1. Суперпарамагнитные частицы с анизотропией Флег- постоянное поле является необходимым элементом для кая осьФ (ЛО) исследовались ранее [1,2] как системы, в возникновения квантовых флуктуаций намагниченности, которых возможна реализация стохастического резонан- так как при сохранении аксиальной симметрии гамильтониана проекция вектора намагниченности на ЛО коммуса (СР) [3] Ч явления, заключающегося в немонотонной тирует с гамильтонианом, т. е. является сохраняющимся зависимости выходного сигнала системы от внешнего квантовым числом, и, следовательно, туннелирование слабого периодического сигнала при монотонном увеневозможно [6]. Величина этого поля определяет инличении шума в системе. В качестве стохастической тенсивность средней скорости подбарьерных переходов, компоненты динамики системы рассматривались теплот. е. уровень шума в системе. Скорость туннелирования вые флуктуации намагниченности, и было, в частности, вектора магнитного момента из метастабильного состопоказано, что в определенном температурном интервале яния определяется величиной экстремального действия динамическая магнитная восприимчивость таких систем Se (называемого евклидовым) в мнимом времени вдоль значительно возрастает [4]. В [5] было впервые предтраектории перехода из одной устойчивой ориентации в ложено рассматривать явление СР на основе механиздругую [6] ма квантовых флуктуаций вектора магнитного момента однодоменной частицы, обусловленных явлением макро- W = 0 exp(-Se ) скопического квантового туннелирования [6]. Отметим, что квантовый СР исследовался и в [7] для туннельных = 0 exp -i dt (Mv/) cos - E(, ) /. (2) переходов в мезоскопических контактах. В настоящей работе мы предпринимаем дальнейшее развитие основных Здесь 0 Ч частота попыток, имеющая обычно веположений, высказанных в [5], и предлагаем аналитиче- личину порядка частоты ферромагнитного резонанса скую модель описания динамики туннельных переходов 0 109-1010 s-1, Ч гиромагнитное отношение. Для вектора намагниченности сквозь потенциальный барьер получения аналитического выражения для скорости тунв условиях радиочастотной модуляции бистабильного нелирования рассматриваем статический метастабильпотенциала. На ее основе мы изучаем явление кванто- ный потенциал Ч результат усреднения по половине периода модуляции вого СР для магнитных частиц вблизи абсолютного нуля температур.

E = Kv sin2 - 0HMv sin cos + 0H1Mv cos. (3) 2. Энергия рассматриваемой системы Ч однодоменНеобходимо производить усреднение именно по полоной частицы с магнитной анизотропией типа ЛО Ч в вине периода, так как в следующую половину периода сферической системе координат имеет вид модуляции потенциал уже не метастабилен и вероятность туннелирования сквозь барьер бесконечной шириE(t) =Kv sin2 - 0HMv sin cos ны стремится к нулю, т. е. переходы из более низкого + 0(/2)H1Mv cos sin(t + 0). (1) минимума в верхний невозможны при температурах, близких к абсолютному нулю.

Здесь, Ч соответственно полярный и ази3. Динамика вектора магнитного момента описывается мутальный углы, K Ч константа анизотропии, M, уравнением Гильберта, которое в сферической системе v Ч намагниченность насыщения и объем частицы, координат без учета диссипации имеет вид [6] (/2)H1 Ч амплитуда переменного магнитного поля, sin =(/Mv)E/, направленного вдоль ЛО, H Ч постоянное магнитное поле, приложенное перпендикулярно ЛО частицы. Такое sin = -(/Mv)E/. (4) К теории квантового стохастического резонанса в однодоменных магнитных частицах Подставляя (3) в систему (4), приводим ее к дифференциальному уравнению второго порядка Hc d2/d = w2 cos 1 +(d/d )2/w2 1/h h H - w2 cos 1 +(d/d )2/wh h H- w2 1 +(d/d )2/w2 1/2, (5) h h H где = it Ч мнимое время, wh =0H, Hc = 2K/(0M).

В предельном случае H Hc устойчивым ориентациям вектора M соответствуют направления, близкие к H.

Производя замену = /2 - 1, из уравнения (5) получим d2/d = w2(3 + H1/H2 - 2 + 2H1/H)/2, h Рис. 1. Зависимость евклидова действия от величины постоянного поля, приложенного перпендикулярно легкой = 1 - H/Hc 1. (6) оси железной однодоменной частицы. K = 4 104 J/m3, Решение уравнения (6) в приближении малого потенциM = 1.72 106 A/m, H1/Hc = 0.01, v = 10-26 m3.

ального барьера имеет вид a Ч аналитический результат (8), b Ч результат [9], c Ч результат наших численных расчетов, d Ч результат [5].

( ) =2 (0 -a)(0 - b) +, и методов. Так, кривая a представляет собой результат (a - b)ch {(0 - a)(0 - b)}1/2wh/2 -(20 -a-b) полученного нами аналитического выражения (8). Кри(7) вая b построена по модели Заславского [9]. В данном где 0 = H1/(3Hc) +2[2/3]1/2 cos(/3) Ч полослучае двумерная задача (4) сводится к одномерной пужение метастабильного минимума потенциала (3) [8], тем перехода к так называемому эффективному потенциcos = -H1/Hc[2/3]-3/2, a = -2H1/(3H) - 0 алу. Поскольку такой эффективный потенциал позволяет 2 +[4 -20]1/2, b = -2H1/(3H) -0 -[4 -20]1/2.

получить лишь приближенное аналитическое выражение Бистабильность системы (3) сохраняется при величидля действия в случае малого потенциального барьера, нах перпендикулярного поля H < Hc1 = (1 - 3/мы построили кривую b, пользуясь численным решением [H1/Hc]2/3)Hc. Минимальное действие имеет вид соответствующей задачи, без разложения эффективного потенциала в кубическую параболу [9]. Кривая c постро1 a + b ена на основе нашего численного решения уравнения (5).

Se = - 2(K - 0MH)v 0 + wh Кривая d отражает результат модели, предложенной в [5].

В рамках такой модели скорость туннелирования из ме20MH - K + vCтастабильного асимметричного потенциала выражается через скорость туннелирования в бистабильном симмеa - b тричном потенциале [6] с учетом поправки, возникающей ln 20 - a - b + 2[(0 - a)(0 - b)]1/2 вследствие приложения поля H1.

4. В условиях радиочастотной модуляции 20MH - K H1(t) = H1 sin t скорость туннелирования вектора - 2(K - 0MH)v + v магнитного момента в бистабильном потенциале при T = 0 K имеет ступенчатую форму 1/ 0 + C20 + C3 (0 - a)(0 - b), exp(-Se/ ), 2m < t < (2m + 1), где W(t) = (9) (2m + 1)

В качестве аналитической модели мы предлагаем C2 = 0/2 + 5(a + b)/12, следующую форму записи для динамической скорости C3 = 0 + 30(a + b)/4 + 15(a2 + b2)/24 + 7ab/12.

переходов (9), т. е. скорости подбарьерных переходов в модулированной бистабильной системе:

На рис. 1 мы приводим для сравнения результаты по вычислению безразмерного действия Se/ для туннелиW(t) =0 exp(-Se/ )(1 + sin t)/рования из метастабильного минимума потенциала (3) при H Hc, полученные на основе различных моделей = 1/2(W0 + W0 sin t). (10) Физика твердого тела, 1998, том 40, № 518 Э.К. Садыков, А.Г. Исавнин, А.Б. Болденков Получив аналитическое выражение для скорости подбарьерных переходов, мы далее используем аппарат управляющего уравнения, описывающего динамику бистабильной системы, dn+ dn= - = W-(t)n- - W+(t)n+ dt dt = W-(t) - [W-(t) +W+(t)]n+. (11) Здесь n Ч вероятность того, что дискретная динамическая переменная x = M cos примет значение, соответствующее одному из минимумов (+ или -) бистабильного потенциала, W(t) Ч скорость туннелирования из состояния. В квазиадиабатическом пределе решение данного управляющего уравнения может быть выражено аналитически [3].

Запишем на основе [3,4] выражения, определяющие Рис. 3. Сравнение результатов численного моделирования с динамическую магнитную восприимчивость системы, аналитическим приближением (10). Параметры системы те же, что и для рис. 1. a Ч результат численных расчетов, M sin 0W0 M sin 0Wb Ч аналитический результат (12).

Re =, Im =, 2 H1(W0 +2) H1(W0 +2) Msin 0W|| =. (12) 5. В заключение отметим, что механизм туннельноH1(W02 +2)1/го (подбарьерного) перемагничивания проявляет себя Кривые, представленные на рис. 2, отражают зависилишь при температурах ниже некоторой критической, мость динамической магнитной восприимчивости от вевеличина которой определяется обычно из соотношения личины перпендикулярного поля H.

Tc U/Sek [6], где U Ч высота потенциального Нами также получено численное решение управляюбарьера, k Ч постоянная Больцмана. Обычно такая щего уравнения (11) для ступенчатой формы скорости критическая температура не превышает десятых долей туннелирования (9), вычисленной при изменяющейся во Кельвина. Для того чтобы рассматривать явление СР времени энергии системы (1). Результаты такого решепри отличных от нуля конечных температурах, следует ния (рис. 3) подтверждают справедливость модели (10), учитывать возможность туннелирования не только со дна описывающей скорости туннелирования в случае внешпотенциальной ямы, но и с более высоких уровней.

ней модуляции. Использование модели (10) при вычиВ качестве возможного экспериментального метода слении компонент динамической магнитной восприимчинаблюдения предсказанных эффектов наряду с описанвости вблизи абсолютного нуля температур приводит к ным в[5] можно предложить применить установку на базе результатам, по крайней мере на порядок превышающим SQUID, аналогичную используемой в [10].

результаты, полученные по модели, предложенной в [5].

Список литературы [1] Э.К. Садыков. ФТТ 33, 11, 3302 (1991).

[2] Э.К. Садыков, А.И. Скворцов. Письма в ЖЭТФ 52, 2, (1990).

[3] B. McNamara, K. Wiesenfeld. Phys. Rev. A39, 9, 4854 (1989).

[4] Э.К. Садыков, А.Г. Исавнин ФТТ 36, 11, 3473 (1994).

[5] А.Н. Григоренко, В.И. Конов, П.И. Никитин. Письма в ЖЭТФ 52, 11, 1182 (1990).

[6] E.M. Chudnovsky, L. Gunther. Phys. Rev. Lett. 60, 8, (1988).

[7] R. Lofstedt, S.N. Coppersmith. Phys. Rev. Lett. 72, 13, (1994).

[8] Э. Маделунг. Математический аппарат физики. М. (1961).

618 с.

[9] O.B. Zaslavskii. Phys. Rev. B42, 1, 992 (1990).

[10] W. Wernsdorfer, K. Hasselbach, D. Mailly, B. Barbara, A. Benoit, L. Thomas, G. Suran. J. Magn. Magn. Mater. 145, Рис. 2. Динамическая магнитная восприимчивость и ее 1Ц2, 33 (1995).

компоненты для железной однодоменной частицы. Параметры системы те же, что и для рис. 1. =105 s-1.

Физика твердого тела, 1998, том 40, №    Книги по разным темам