На правах рукописи

УДК 532.5.032; 519.63 Шапеев Александр Васильевич ВЯЗКИЕ НЕСЖИМАЕМЫЕ ТЕЧЕНИЯ ЖИДКОСТИ В СЕКТОРАХ И КОНУСАХ Специальность: 01.02.05 механика жидкости, газа и плазмы

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Новосибирск 2009

Работа выполнена в Институте гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН

Научный консультант: член-корреспондент РАН профессор Владислав Васильевич Пухначев

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор Виктор Михайлович Ковеня кандидат физико-математических наук, доцент Сергей Валерьевич Головин

Ведущая организация: Институт проблем механики им.

А. Ю. Ишлинского РАН

Защита состоится 9 июня 2009 года в 15 часов на заседании диссертационного совета Д 003.054.01 при Институте гидродинамики им. М. А.

аврентьева СО РАН по адресу:

630090, г. Новосибирск-90, проспект ак. М. А. Лаврентьева, 15.

факс: (383) 333Ц16Ц12

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН.

Автореферат разослан 24 апреля 2009 г.

Ученый секретарь диссертационного совета доктор физико-математических наук Ждан С. А.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность исследований. Задачи о течениях жидкости в секторах и конусах начали изучаться почти сто лет назад [1, 2]. После этих работ на тему течений жидкости в секторах и конусах было опубликовано много работ [3Ц12]. Однако в большинстве существующих работ они рассматривались в стационарной постановке, которая не позволяет изучать развитие и установление течений. Задача о стационарных течениях в секторах изучена достаточно подробно, однако стационарные течения в конусе изучены недостаточно хорошо. Стационарная постановка позволяет лишь находить и изучать стационарные течения (такие как, например, течения Джеффри-Гамеля [1, 2], или течения Моффатта [6]), но не позволяет исследовать эволюцию течений. Нестационарная постановка же почти никем не рассматривалась.

Нестационарная постановка позволяет изучать эволюцию и установление стационарных течений, которые рассматривались в литературе.

Изучение нестационарных течений является сложной задачей, поскольку ее решения могут быть получены только численно и это может потребовать больших вычислительных ресурсов. Поэтому для изучения нестационарных течений в секторах и конусах необходим эффективный численный метод.

Таким образом, актуальным является изучение нестационарных течений в секторах и конусах (а в конусах также и стационарных течений).

В частности, актуальны изучение вопросов развития и установления стационарных течений, изученных ранее, и разработка эффективных численных методов для расчета таких течений.

Целью работы является:

1. Разработать и реализовать эффективный численный метод для решения задач о течениях жидкости в секторах и конусах.

2. Изучить развитие и установление течений в бесконечных секторах на основе нестационарной автомодельной постановки.

3. Изучить осесимметричные течения в конусах с ненулевым расходом жидкости как в стационарной постановке, так и в нестационарной автомодельной постановке.

4. Исследовать эффективность численного метода реализованного в данной работе в применении к задачам о течениях в секторах и конусах.

В данной работе нестационарные течения исследуются в автомодельной постановке, что соответствует развитию течений из начального радиального режима в двумерном случае и из начального режима специального вида в трехмерном случае.

Методы исследования. Стационарные течения в конусах изучаются с помощью методов асимптотических разложений. Нестационарные автомодельные течения изучаются численными методами.

Достоверность результатов обусловлена точностью численного метода, установленной в данной работе, а также сравнениями результатов данной работы с результатами предыдущих исследований.

Научная новизна. В данной работе впервые изучается задача о течениях жидкости в секторах и конусах в нестационарной постановке.

Рассматриваются два варианта течений: с нулевым и ненулевым расходом жидкости через угловую точку сектора или вершину конуса. В такой постановке впервые исследуются вопросы развития течений и установления течений, исследовавшихся ранее в стационарной постановке, таких как течения Джеффри-Гамеля, течения Моффатта и их аналогов в конусе. Обнаружен ряд новых гидродинамических явлений в нестационарных течениях в секторах и конусах, например образование вихрей при установлении течений Джеффри-Гамеля, в которых присутствуют зоны противотока. Также впервые приводятся примеры асимптотических разложений решений уравнений Навье-Стокса в конусе вдали от угла.

Теоретическая и практическая ценность. Результаты данной работы имеют прежде всего теоретическую ценность. Подробный численный и асимптотический анализ течений, проведенный в данной работе, способствует лучшему пониманию нестационарных течений в секторах и конусах, а также стационарных течений в конусах с больш углами ими раствора. Результаты работы имеют также практическое значение, так как изученные в ней течения жидкости важны в таких приложениях, как машиностроение и аэрокосмонавтика. Численный метод, предложенный в данной работе, может быть обобщен для решения аналогичных задач, например, для изучения течений в конусах более общего вида (то есть, не обязательно осесимметричных).

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на семинаре под руководством чл.-корр. РАН П. И. Плотникова в Институте гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН, на семинаре под руководством чл.-корр. РАН В. В. Пухначева в Институте гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН, на семинаре под руководством проф. С. В. Нестерова в Институте проблем механики им. А.Ю. Ишлинского РАН, на семинаре под руководством академика РАН Ю. И. Шокина и профессора В. М. Ковени в Институте вычислительных технологий СО РАН, а также на следующих научных конференциях:

Международная конференция по вычислительной математике МКВМ2004 (Новосибирск, 2004) The 1st Mathematics and Physical Science Graduate Congress (Bangkok, Thailand, 2005), The 3rd East Asia SIAM Conference (Xiamen, China, 2007), The 3rd Mathematics and Physical Science Graduate Congress (Kuala Lumpur, Malaysia, 2007), Третья всероссийская конференция с участием зарубежных ученых УЗадачи со свободными границами: теория, эксперимент и приложенияФ (Бийск, 2008), и на следующих научных мероприятиях:

International Workshop УModeling and Simulation in Applied MathematicsФ (Nakhon Ratchasima, Thailand, 2006), Summer Mathematical Research Center on Scientific Computation and Its Applications, (Marseille, France, 2008).

Публикации. По теме диссертации опубликовано три статьи в реферируемых журналах, один препринт и тезисы трех конференций.

Структура и объем работы. Диссертация объемом 168 страниц состоит из введения, двух глав, посвященных течениям в секторах и конусах соответственно, заключения, 78 иллюстраций, 3 таблиц и списка литературы из 61 наименования. Главы 1 и 2 содержат следующие разделы: постановка задачи, численный метод и соответствующие разделы с результатами и их обсуждением.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дается обзор известных работ по вязким несжимаемым течениям в секторах и конусах, анализируются существующие результаты, дается краткий обзор численных методов, которые могут быть полезны для решения данных задач, приводятся цель и значимость диссертации, а также дается краткое описание работы.

В первой главе рассматриваются течения вязкой несжимаемой жидкости в секторах. В разделе 1.1 из уравнений Навье-Стокса динамики вязкой несжимаемой жидкости выводятся уравнения, описывающие автомодельные течения. Уравнения Навье-Стокса приводятся к единственному уравнению четвертого порядка для функции тока, для которого ставится краевая задача. Затем устанавливаются свойства полученной краевой задачи на основе анализа порядков членов уравнения. Показывается, что автомодельные течения описывают нестационарные течения жидкости, развивающиеся из радиального начального режима, и установление в них стационарных или квазистационарных режимов.

В разделе 1.2 предлагается численный метод, основанный на спектральной дискретизации в угловом направлении (то есть, по полярному или сферическому полярному углу), конечно-разностной дискретизации в радиальном направлении и применении прямых вычислительных методов линейной алгебры к получающейся после дискретизации системе линейных уравнений. Спектральная дискретизация в представленной работе проводится, следуя в основном [13]. Эффективность такого численного метода основывается на том, что конечно-разностная дискретизация дает разреженную матрицу блочного вида системы дискретных уравнений, спектральная дискретизация, в силу своей экономичности, позволяет обходиться небольшим количеством базисных функций, уменьшая размер блоков матрицы, а прямые методы линейной алгебры оказываются очень эффективными для таких матриц.

Предложенный численный метод используется для изучения течения нестационарных автомодельных течений. Отдельно друг от друга рассматриваются два варианта течений: с нулевым и ненулевым расходом жидкости через угловую точку сектора (положительный расход жидкости соответствует источнику, а отрицательный стоку). В стационарном случае течения с ненулевым расходом жидкости связаны с так называемыми течениями Джеффри-Гамеля, а течения с нулевым расходом связаны с течениями с вихрями Моффатта (также называемыми просто течениями Моффатта).

В разделе 1.3 рассчитываются автомодельные течения с ненулевым (а) линии тока (б) линии тока Рис. 1: Течение с источником при Re = 9.5 и = 30, в различные мо менты безразмерного времени t. При этих значениях параметров в стационарном режиме течения имеются противотоки вблизи стенок. Видны два вихря, образовавшиеся в процессе установления такого течения. На втором графике виден установившийся стационарный радиальный режим течения вблизи вершины.

расходом жидкости в широком диапазоне значений числа Рейнольдса Re и угла раствора сектора 2. В численном расчете обнаружено, что все изученные течения при времени t стремятся к соответствующим режимам Джеффри-Гамеля, когда последние устойчивы. Тем самым подтверждается вывод о том, что автомодельная формулировка позволяет изучать вопросы развития и установления стационарных режимов течений в секторе. Также обнаружено, что когда стационарные течения ДжеффриГамеля с источником неустойчивы, то тогда же и неустойчивы автомодельные течения. В расчетах наблюдается гидродинамический эффект возникновения в процессе установления течения двух симметричных вихрей, которые двигаются в сторону, противоположную углу области (см.

рис. 1).

Течения со стоком, которые более устойчивы, чем течения с источником, при очень больших числах Рейнольдса имеют погранслои вблизи стенок конуса. Обнаружено, что численный метод адекватно описывает течения с такими погранслоями (хотя в решении наблюдается явление Гиббса), и в частности, не расходится при увеличении Re. Более подробные результаты о точности расчетов течений с погранслоями приведены во второй главе (для задачи о течениях в конусах).

В разделе 1.4 рассматриваются автомодельные течения в секторах (а) линии тока (б) линии тока (в) линии тока (г) линии тока Рис. 2: Автомодельное течение с нулевым расходом жидкости при Re = и = с нулевым расходом жидкости. Результаты расчетов показывают, что во всех случаях эти течения стремятся к квазистационарным режимам течений при t, аналогично поведению течений с ненулевым расходом.

При малых и умеренных углах раствора образуются квазистационарные вихри Моффатта с увеличивающимися размерами. Проведенное сравнение отношения интенсивностей и размеров вихрей с теоретическими значениями указывает на то, что предложенный метод может рассчитывать вихри Моффатта с высокой точностью, несмотря на возможные большие отношения интенсивностей соседних вихрей (например, 9.61 106 при = 60).

Во второй главе рассматриваются осесимметричные вязкие несжимаемые течения в конусах. Вследствие того, что стационарные течения в конусах другими исследователями изучены не настолько основательно, насколько были изучены течения в секторах, то сначала изучются как стационарные, так и нестационарные течения в конусах. Задача о течениях в конусах во многом сходна с задачей о течениях в секторах.

Отличия заключаются в особенностях на оси конуса и в вершине конуса. С особенностью на оси конуса можно справиться специальной заменой переменной. Особенность в вершине конуса для течений с ненулевым расходом жидкости является более сильной по сравнению с особенностью в угловой точке сектора. Это является причиной доминирования инерционных сил вблизи вершины, что в свою очередь приводит к образованию погранслоев вблизи стенок (вне зависимости от того, насколько мал расход жидкости).

В разделах 2.1 и 2.2 дается математическая постановка задач об автомодельных и о стационарных течениях в конусах. Вывод уравнений во многом повторяет соответствующий раздел диссертации о течениях в секторах. Разница заключается в том, что в уравнениях течений в конусах присутствует особенность на оси вращения конуса, что обуславливает введение вспомогательной переменной s = cos, где 0 < сферический полярный угол.

В разделе 2.3, по аналогии с задачей о течениях в секторах, на основе простого анализа порядков членов в уравнениях показывается, что автомодельные течения описывают развитие течений из начальных ре жимов специального вида с полным расходом жидкости Q(t) = c t (для заданной константы c) и установление в течениях квазистационарных режимов. Также показывается, что автомодельные течения могут иметь два или три режима в зависимости от значений числа Рейнольдса Re: начальный режим, квазистационарный режим с преобладающими нелинейными силами инерции и, в случае малых Re, квазистационарный режим с преобладающими линейными силами вязкости. Число Рейнольдса Re здесь соответствует скорости нарастания расхода жидкости Q.

Также в разделе 2.3 проводится асимптотический анализ уравнений Стокса и Навье-Стокса вдали от вершины конуса, результаты анализа сравниваются с результатами существующих работ. Следует отметить, что результаты существующих работ не во всем согласуются между собой.

Анализ уравнений Стокса во многом следует работе Керчмана [10], на основе которого приводится (впервые) анализ уравнений Навье-Стокса.