На правах рукописи

Сбродова Елена Александровна ГРАНИЧНЫЕ НАКЛОНЫ ТРЕХМЕРНЫХ МНОГООБРАЗИЙ 01.01.04 геометрия и топология

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физикоЦматематических наук

Екатеринбург 2008

Работа выполнена на кафедре компьютерной топологии и алгебры Челябинского государственного университета.

Научный консультант: член-корреспондент РАН, доктор физикоЦматематических наук, профессор С. В. Матвеев

Официальные оппоненты: доктор физикоЦматематических наук, А. Ю. Веснин кандидат физикоЦматематических наук, М. Ф. Прохорова

Ведущая организация: Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова

Защита состоится 20 мая 2008 г. в 10.30 на заседании диссертационного совета Д 004.006.03. в Институте математики и механики УрО РАН по адресу: 620219, г. Екатеринбург, ул. С. Ковалевской, 16.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики и механики УрО РАН.

Автореферат разослан 19 апреля 2008 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, доктор физ.-мат. наук В. В. Кабанов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

1 Актуальность темы.

Одним из способов изучения трехмерных многообразий является рассмотрение вложенных в него поверхностей. Однако, с точки зрения изучения структуры трехмерного многообразия не все вложенные поверхности интересны. Например те, которые содержатся в трехмерном шаре B3 R3, и, следовательно, есть в любом трехмерном многообразии. Наибольший интерес представляют так называемые существенные поверхности, которые отличны от тривиальных сфер и дисков и не содержат тривиальных трубок и тоннелей, т. е. являются несжимаемыми и гранично несжимаемыми поверхностями.

Приведем несколько примеров того, какую информацию о многообразии могут нести лежащие в нем существенные поверхности.

Пример 1. Из определения операции связного суммирования следует, что трехмерное многообразие является составным (т. е.

разложимо в нетривиальную связную сумму) тогда и только тогда, когда оно содержит существенную 2-сферу. Поэтому задача алгоритмического нахождения существенных 2-сфер является весьма важной. Благодаря усилиям ряда математиков она полностью решена (смотри, например, [1, 3, 7]).

Пример 2. Напомним, что трехмерное гиперболическое многообразие не может содержать существенных колец и торов. Поэтому информация о наличии таких поверхностей весьма важна:

если многообразие содержит существенные кольца или торы, то оно не является гиперболическим. Задача алгоритмического нахождения существенных колец и торов также решена (смотри, например, [1]).

Пример 3. Поскольку все (кроме полнотория) многообразия Зейферта с непустым краем содержат существенные кольца, то отсутствие существенных колец говорит о том, что данное многообразие не является многообразием Зейферта.

Рассмотрим набор = {1, 2,..., n} простых замкнутых нетривиальных кривых на крае M трехмерного многообразия Работа выполнена при финансовой поддержке фонда РФФИ (грант № 07-01-96026, № 06-01-72014).

M, которые попарно не пересекаются и не изотопны. Будем говорить, что образует граничный наклон, если в M найдется собственная существенная поверхность F, край которой имеет вид F = k11 k22 knn, т. е. состоит из k1 копий кривой 1, k2 копий кривой 2 и т. д., где k1, k2,..., kn принимают натуральные значения. Будем говорить, что наклон края поверхности F равен, и писать [F ] =, если F имеет описанный вид. Два наклона = {1,..., n} и = {1,..., n} на M считаются равными, если существует изотопия, переводящая набор кривых {1,..., n} в набор {i,..., i }, где i.

1 n j В диссертации решается задача алгоритмического нахождения граничных наклонов на крае произвольного трехмерного многообразия. Более точно, строится алгоритм, выясняющий, содержит ли данное трехмерное многообразие M граничный наклон, род которого не превосходит данного числа N. Если ответ на этот вопрос положительный, то алгоритм строит один из таких граничных наклонов вместе с соответствующей существенной поверхностью. Так как такие существенные поверхности, а вместе с ними и граничные наклоны, несут важную информацию о данном трехмерном многообразии, позволяющую исследовать многообразие и сделать выводы о его структуре, то задача алгоритмического нахождения граничных наклонов является актуальной.

Знание граничных наклонов в данном трехмерном многообразии M интересно не только для изучения многообразия M, но и для многообразий его содержащих. Рассмотрим произвольное компактное ориентируемое многообразие M с торическим краем. Приклеим к нему полноторие по гомеоморфизму края на край, который переводит меридиан полнотория в данный наклон M (так как M тор, то наклон M состоит из ровно одной кривой). Полученное многообразие M() называется заполнением Дена многообразия M. Известно (смотри [12]), что если M является гиперболическим, то M() тоже является гиперболическим для всех наклонов, кроме конечного числа так называемых исключительных наклонов. В последнее время именно исключительные наклоны вызывают большой интерес [4, 5, 10, 11]. В частности, если M() является приводимым (содержит существенную 2-сферу), то является плоским исключительным наклоном. Другими словами, в многообразии M найдется собственный существенный диск с несколькими дырками, все граничные кривые которого изотопны кривой.

Следует отметить, что алгоритм, позволяющий ответить на вопрос, содержит ли данное многообразие существенный собственный диск с заданным краем, был построен еще В. Хакеном в начале 60-х годов [6]. В 1998 году У. Джейко и Э. Седжвик описали алгоритм, выясняющий, содержит ли данное многообразие с торическим краем собственную существенную плоскую (рода 0) поверхность [9]. При этом они предполагали, что край многообразия состоит ровно из одного тора. Переход к случаю нескольких краевых торов был осуществлен только через 8 лет: в 2006 году У. Джейко, Х. Рубинштейн и Э. Седжвик построили алгоритм нахождения плоской существенной поверхности в многообразии, край которого состоит из нескольких торов [8]. В диссертации упомянутые результаты обобщены и усилены в двух направлениях. Во-первых, удалось отказаться от всех ограничений на край:

существует алгоритм нахождения плоских наклонов в многообразии с произвольным краем. Во-вторых, можно алгоритмически находить не только существенные поверхности рода 0 (т. е. плоские), но и такие, род которых не превосходит заданного числа.

Цель работы. Исследование свойств граничных наклонов на крае многообразия. Построение алгоритма, выясняющего, содержит ли данное многообразие граничный наклон ограниченного рода.

Основные методы исследования. В работе используются стандартные методы маломерной топологии, в том числе, теория нормальных поверхностей Хакена.

Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми и соответствуют проблематике данного раздела топологии. Они состоят в следующем:

1. Построен алгоритм, выясняющий, содержит ли данное ориентируемое компактное многообразие существенную плоскую поверхность (плоский наклон). В случае положительного ответа, алгоритм строит существенную плоскую поверхность (теорема 2.4).

2. Построен алгоритм, выясняющий, содержит ли данное ориентируемое компактное многообразие существенную ориентируемую поверхность рода не выше N, где N задано (граничный ориентируемый наклон ограниченного рода).

В случае положительного ответа, алгоритм строит такую поверхность (теорема 3.2).

3. Построен алгоритм, выясняющий, содержит ли данное ориентируемое компактное многообразие существенную инъективную поверхность рода не выше N, где N задано (граничный инъективный наклон ограниченного рода). В случае положительного ответа, алгоритм строит такую поверхность (теорема 3.6). Этот алгоритм является модификацией предыдущего и нужен для того, чтобы находить неориентируемые существенные поверхности.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Ее методы и результаты могут быть использованы для дальнейших исследований трехмерных многообразий. Разделы диссертации могут составить содержание специальных курсов и семинаров для студентов и аспирантов математического направления.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались в Московском государственном университете имени М. В. Ломоносова на семинаре под руководством академика РАН А. Т. Фоменко.

Кроме того, результаты работы в качестве докладов были представлены на Международной конференции Геометрическая топология, дискретная геометрия и теория множеств, посвященной столетию Л. В. Келдыш (Москва, 24Ц28 августа г.), Международной школе-конференции Геометрия и топология 3-многообразий (Новосибирск, 22Ц27 августа 2005 г.), Всероссийской научной конференции Математика. Механика. Информатика, посвященной 30-летию ЧеГУ (Челябинск, 19Цсентября 2006 г.), 38-мой региональной молодежной конференции Проблемы теоретической и прикладной математики (Екатеринбург, 29 января 2 февраля 2007 г.), Российской конференции Математика в современном мире, посвященной 50-летию Института математики им. С. Л. Соболева СО РАН (Новосибирск, 17Ц23 сентября 2007 г.).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [13]Ц[18].

Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и библиографии. Она изложена на 64 страницах, библиография содержит 25 наименований. Нумерация теорем, лемм и т. п. в каждой главе своя.

Пользуясь случаем, автор выражает глубокую признательность своему научному руководителю С. В. Матвееву за постановку задачи и всестороннюю помощь в работе.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Глава 1 посвящена описанию основных фактов теории нормальных поверхностей Хакена, основных объектов исследования диссертации (существенные поверхности и наклоны) и их свойств.

Подробное описание метода нормальных поверхностей Хакена и основные факты теории нормальных поверхностей в триангулированных многообразиях приведено в параграфе 1.1. При этом мы приспосабливаем для наших целей полезную модификацию метода Хакена для многообразий с граничными узорами.

Граничный узор это граф на крае многообразия, а модификации состоит в том, что рассматриваются только так называемые чистые поверхности, которые не пересекают узор.

В параграфе 1.2 дано определение существенных поверхностей в многообразиях с граничными узорами и приведено несколько свойств существенных поверхностей.

1. Свойство ориентируемой поверхности быть существенной является алгоритмически проверяемым (смотри теоремы 1.4, 1.5).

2. Свойство поверхности F быть существенной сохраняется при нормализации (смотри лемму 1.1).

3. При некоторых условиях свойство поверхности быть существенной сохраняется при геометрическом суммировании (смотри теорему 1.7).

Параграф 1.3 посвящен изучению основных свойств граничных наклонов. Отметим важность того факта, что число кривых любого наклона на крае ориентируемого компактного многообразия (M, ) с фиксированным узором ограничено константой 3g(M)+2+c(), где c() равно числу компонент связности графа (смотри лемму 1.5). Отметим, что эта константа зависит только от многообразия M и узора.

Вообще говоря, при геометрическом суммировании поверхностей число их граничных кривых может вести себя непредсказуемым образом. Оно может стать как больше, так и меньше суммарного числа граничных кривых слагаемых. Однако, для специальной триангуляции края данного многообразия удается доказать, что это число сохраняется при геометрическом суммировании (смотри лемму 1.7). В лемме 1.6 доказывается, что такую специальную триангуляцию всегда можно построить.

Глава 2 посвящена алгоритмическому нахождению существенных плоских поверхностей (плоских наклонов) в неприводимых гранично неприводимых компактных ориентируемых трехмерных многообразиях.

Основным результатом параграфа 2.1 служит следующая теорема.

Теорема 2.1. Существует алгоритм, который для данного неприводимого гранично неприводимого компактного ориентируемого трехмерного многообразия (M, ) и данного наклона на (M, ) выясняет, содержит ли (M, ) такую существенную плоскую поверхность F, что [F ]. В случае положительного ответа алгоритм строит такую поверхность.

В параграфе 2.2 множество всех наклонов на (M, ) делится на три типа. Будем говорить, что наклон на крае многообразия (M, ) удовлетворяет условию A, если (M, ) содержит такую чистую существенную плоскую поверхность F, что [F ].

Наклон удовлетворяет условию B, если (M, ) содержит такую чистую существенную плоскую поверхность F, что F не пересекает кривых наклона и имеет ровно одну или ровно две кривые, чисто не изотопные в (M, ) никакой кривой наклона.

Тогда наклон имеет тип I, если удовлетворяет условию A.

Наклон имеет тип II, если удовлетворяет условию B и не удовлетворяет условию A. Наклон имеет тип III, если не удовлетворяет ни условию A, ни условию B.

Справедлива следующая теорема.

Теорема 2.3. Существует алгоритм, выясняющий, какой тип имеет данный наклон на крае данного неприводимого гранично неприводимого ориентируемого компактного трехмерного многообразия (M, ).

Напомним, что длиной нормальной кривой на крае триангулированного трехмерного многообразия M называется число l() точек пересечения кривой с ребрами триангуляции многообразия M. Средняя длина граничных кривых нормальной собk ственной поверхности F M есть число l(ci), где c1, k i=c2,..., ck граничные кривые поверхности F.

В параграфе 2.3 доказан следующий важный факт. Пусть (M, ) триангулированное неприводимое гранично неприводимое трехмерное многообразие без существенных колец. Тогда найдется такая константа C, что средняя длина граничных кривых любой чистой существенной плоской поверхности в (M, ) не превосходит C. Отметим, что константа C может быть построена алгоритмически и зависит только от многообразия и его триангуляции. При доказательстве этого факта используется обобщение на многообразия с граничными узорами метода У. Джейко, Х. Рубинштейна и Э. Седжвика [8] для оценки средней длины граничных кривых.