Авторефераты по всем темам  >>  Авторефераты по разное о

о н

01.01.07 | ллна мамаа оа да наоан ной н дооазо-мама на оа| 2011 аоаолнна ждн ойой адм на ллном н м. . . ооднна алн оонн: доо зо-мама на, оо лн . .

доо зо-мама на, о . .

доо зо-мама на, но . .

да оанза: азанй (олжй) далнй н ааоо \ " 2011 . мн.

назадан аонноо оа 002.045.01 ждн ойой адм на н ллной мама о ад: 119333, . оа, л. на, 8.

дай можно ознаом ло на ллной мама .

оа азолан \ " 2011.

нй а аонноо оа доо зо-мама на оао ..

ой озо. мааонн модо лнном н м лнйн аннй азжннм маам алноо дал замн доаоно дано, о айнй м дн 20-о а. одаж л омн днннй ндоао: мдлнна одмо аонн лжнй омом н, м а аз дл зада, оо наол аалн.

м ннм аам аз аонн аломо н м лнйн аннй ммной оложлно одлнной май ал (а) азаоаном лм 1952 од мода ожнн адно, оой, о од, но зан аломом даоналза, олоаннм аном 19од;() азаоан дололан дл аонн модо (ооа алннадалном лнйном оазоан ма м), омлоанной з онм модаожнн адно аоа анл 19ода,3 . . аа . A. зноа1968 ода,4 O. лона д.

ононом, о дололнноо модаожнн адно азала о оно онон ан а (.наз. алноо лаололнно) дололнной ма, о оождало оо аа дололан.

M. R. Hestenes and E. Stiefel. Methods of conjugate gradients for solving linear systems, J. Research Nat. Bur. Standards, 49 (1952) 409{436.

C. Lanczos. An iteration method for the solution of the eigenvalue problem of linear di erential integral operators. J. Research Nat. Bur. Standards, 45 (1950) 255{282.

J. W. Daniel. The conjugate gradient method for linear and nonlinear operator equations. SIAM J. Numer. Analysis, 4 (1967) 10{26.

. . а, . A. зно. омалн аонн оа. ол. ад. а , .181, 6 (1968) 1331{1334.

O. Axelsson. A class of iterative methods for nite element equations. Computer Meth. Appl. Mech.

Engrg., 9 (1976) 123{137.

о ознаало, о н оло о, но оон модо н м лнйн аннй ой л ной м олала олма, оаздо ол ложна о анн одной, мнно, оонна задаанаонн знан. ом олдн зада н мой, оаной оано, о а аам дололай ма з ло мнммаонон айн онн знанй.

нно, о о м ложнн алн ладн зада, аа а лла ноо мжд ално мнмм ломам, доазам о а но (однао заа н мм доаоно ооо ооноан), м онм, оо о доал олн нал н ан лаай дл ноо модлн олм (.. мл оо ооноан), однао, д алзоан д лома, оазал одн л дл доолно оаннноо аалн зада.

ом оо, ажм налооазно адоолнлн ой адололнн ма, ааз наномно адлн онн знанй н ан а. а ойаа, одно, н зан ноднно о алнм лом ололнно (дл модаожнн адно, ажнм л н оло мало оо лаололнно, но азжнно аонн знанй лоо она о лонн аоо ).

мм о азао нандан ододо дололан модаожнн адно, м., на., [1, 2], ааж нданй озо,7 оо оал най аа дололан, аннй д лдоааон k In Mk F Rn о дололнной ма M до днной In. днао, аом одод зн оанн, дла о нанм O. Axelsson and G. Lindskog. On the rate of convergence of the preconditioned conjugate gradient method, Numer. Math. 48, (1986) 499{523.

T. Huckle. Factorized Sparse Approximate Inverses for Preconditioning. The Journal of Supercomputing v.25, no.2 (2003) 109{117.

о мно ажн а, м. на., ождн ао [26]. олднй ао одж заоннна о одмо мода оонн мнмалн нзо мна лн k In Mk F доолнлноо аама, аазо одлн аM о нл. днао, он азжнн ма олоо азма, н дал алной оаноазада о мнмза k In Mk ло, нам, оаннно k M 1 k.

F ам оазом, аа о но онн мода оон н дололанй заономно од ноодмо азао лнан ододо он аадололанй модаожнн адно.

аом ж лооазн о азаоамодо дололан, оноанн нанн доаоно о ла азжнн ма нзамо о аной (оно, нам, знанй ннл лмно азжнно), оо зан о ойам мама модлй з оо, о зам маам. ам оазом, а ажнйа аа задаа о азао н оло н, но доаоно налн аломо н ол азжнн м лнйн аннй, лжа ооно аоа жм "ноо а".

ао. а лй ао можно аза н лд олм:

1. длн ододо лнаноо лаололнно, ооноо а н оло онон айн онн знанй, оло налн ойаа, н занноо, ам оазом, одлно зм оннм знанм дололнной ма.

2. оон нлам оно лаай мода ожнн адно мна оо лаололнно.

3. лн зн оон но дололанй, оо л омалнм (л лз аом) о зн нооо лаололнно.

4. оа оано оонн дололанй о зн лаой о (оноанной намнн онон ан адололнной ма).

5. ломза но дололанй ( ом л, одн дл алза наооаалллн ома) аа оа ллной но на далн о задаа.

ално м. н лнйн м азжннм ( ом л ммнм оложлно одлннм) маам олой азмно ао озна а ооа ( ом домна о домо) одзадаа лома, алз ам азнооазн ладн а. мом мо лж зада мамаой з, зада оон о, зада омза мно д.

оолно анданой л а, ода лнйн зада, оо лн ноно наалнй дл аонноо н нлнйной зада. ом ойаозна ма о н даолн дазм, оан наджно ломо н лнйн м ом ла озаа.

дой оон, о аз ллной н дл оо оан ломам н; а, од омзай лома, оммо ноо оан ла оай омаам, мож одазма лн л оон лнй, олай н ао омо аой мой ам /л аалллной оанзай лнй.

ам оазом, ло замоололнноо оа ллн моной ложнн оаноо ладн зада, оа олмаоон "нало" модан ол азжнн м лнйн аннй оа далой о ооналноо н (даж л оан задаам ммной оложлно одлнной май).

д зна, о нмо нал мноолнн лдоалй наожн до л, о оно аоо ажноо наалн, а оон н дололанй дл нн лао ма, оа ндоаонм дл аоо н даажн зада. о ололо ално м да.

ана нозна. да азаоан ной й но одололанй дл модаожнн адно. й л оннм, о озолло ол а но аан зн ломо, а азаоа но лом, ол н одлнн ло. ононм ном злаам можно он лд:

1. дложн лдоан ной й но дололан, омлоаннй мна мнмза маноо нонала(ажао з лд ма одлл), назамоо дал K-лом ололнно.

о мн л дн .лоном олзоан о зной моноа,8 д оно оан ноо зла наой да.

2. мна -лаололнно олнаноа она лаай модаожнн адно, нлама ом ж мл, о зна оназ ално ло ололнно. ом оо, ноа онаодмо анала лнйн оо одмо, ол о зной он, ооа аза оло налнйн одмо ай модаожнн адно.

3. амон наол н з зн лжнн олн азложнй, лна надлжно ноом ла олн азложнй 2-о ода, олн налз O. Axelsson. Iterative solution methods. Cambridge University Press, Cambridge, 1994.

а о зн омза а алноо ла ололнно, а -лаололнно.

4. о зн омза -лаололнно оаналзоан наол н з зн н дололанй, а л лжннм оанм олнм азложнм. айдналоно-нна омадалн а дололалй, озола за о змн ллн заа одноо азложн з о аалллзмо. длн оо лн он лжнн олн азложнй лон мода, ооноанаоа но аоо одода.

5. о зн омза -лаололнно оаналзоан олномалн дололан модаожнн адно, олн о онн оо зноо аа, о она омза а дололанй о мнммаалноо лаололнно, а ало, од ндоаоно нм ллнм ломам.

6. о зн омза -лаололнно оаналзоан зн ооаалллн дололан, занн малоаноой ой.

оон но омл а дололанй, аж олнн доолнлнй налз о зн алноо лаололнно. оазанаоммо дололан одом малоаноой мода дм дололанм, о озол нно оа но зн модо.

оа аа нно. оа нно да зала азао ноой о одмо модаожнн адно, аж ноднно занноо нй оо одода омза дололанй.

ом оо, олн д ажн ан о злао, оа оннм ам долола ма.

аа нно олнн злао зала оон онн ломо н м азжннм оложлно одлннм маам оо да, олада онной наджно, оой озодлно на олдоалн ома, аж оой аалллзмо.

ано, азаоан н аалллн мод н м лнйн аннй ммнм оложлно одлннм маам, оон аоа азжннм лоо ололннм маам, оо мо олзоан о мно омлнн ложн.

од лдоан. да мн мод лнйной л , о ма, аж о нй нн мнн. олзоанаа зна о аонн модо ммзмом ла, оноанна наона алноо лаололнно ма, а азаоаннй да нало, оноаннй наолзоан -ла ололнно.

оложн, ном наза:

1. оа о одмо модаожнн адно, оноанна наолзоан K-лаололнно, заннй нй одод оон дололанй, оноаннй намнмза K-лаололнно.

2. о дололан ммн оложлно одлнн ма одом лжнн олн азложнй 2-о ода, ооноанм а з -ло ололнно, а мна алноо ла ололнно.

3. о дололан ммн оложлно одлнн ма одом оан лжнн олн азложнй, олзоанм лоно, аж нлоной ома, ооноанм мна -ла ололнно.

4. оо онн ноо оной омза алноо лаололнно оламоо аа олномалноо дололан, олнно наоно аналза-лаололнно; оан аамза оо мноолна, оао лзо омалном ао дололан.

5. о дололан ммн оложлно одлнн ма одом -омалной малоаноой мода, ооноанм а з -ло ололнно, а мна алноо лаололнно.

оноанно дооно злао.

далнн да зла м оо мамао ооноан. дой оон, дооно но оонн дололанй оджда мм аннм злао ао злаам, олннм олзоан д андан дололанй: нам, оноо модао, лжнноо лоноо модао.

ом оо, дл дазада з олл налод, олзоа дм оам дл о азаоанн м аломо, л олн нно л зла.

оа ао. зла ао доладал ождал намжднаодной онн \PaCT99" (ан, о, 1999 .), мном 16-ом он \IMACS 2000" о нанм лнм, ладной мама модлоан (озанна, йа, 2000), олландо-ойом мозм NWO (, оа, н 2000), мозм NWO (мдам-ймн, олланд, но 2000), оом жднаодном нано-аом мна ойой молоджной ол \ ооозодлн аалллн лн налан ма" (жнй ооод, о, 2002), мжднаодной онн \Parallel CFD 2003" (оа, 2003), жднаодной онн \VIII н нан н" (-, нжн, о, 2005), мжднаодной онн о ллной ом, на о нанм лнм \NUMGRID2008" ( , оа, 2008), мжднаодной онн о ллной ом, на о ооозодлнм лнм \NUMGRID2010" ( , оа, 2010), мжднаодной онн о манм модам мама ложн \MMMA-2011" ( , оа, 2011), нано-лдоал мнаа ллноо на наллной мама , ао мнаа ExxonMobil Upstream Research Co. (он, ).

а. о м да олоано 28 ао, з н 5 онн нзоанн здан, омндоанн , 8 мжднаодн нзм здан з омндоанноо а\Web of Science: Science Citation Index Expanded" (аза о ннм наам), 2 д мжднаодн нзм здан, 1 ойом нзмом здан, 4 да ой оннй, 5 да мжднаодн оннй, 3 ла д нан здан. (о ао од он оаа).

омн аоа [15, 19, 22, 24, 25, 27, 28] ..онн надлж оа млллной алза мода оан лнн мно, о да - азаоа лдоан дололан.

аодано. о ажа лаодано . . мн, лм оа ао о м да, . . ололной занман ао нн ождн, оо . лон зан ао оонн оддж наожн мно л, . . онн задллно одно ола лнноо оан аалллной алза азаоанн аоом модо, . . аанж заолзн ождн, заман оддж ао, . . ално заодно ола аой алза ндн азаоо о м да, аадм . . но лн-оондн . . но занман ао оддж. онн нно мл ождн маалала 4 . . лоой . . алм, аа оно ллной но дложнн оом модо.

а ом ао. аонна аоаоо з дн, 6 ла, залн ала. м ао 2ан. о ла ла 192 намноан.

дн одж ай ой озо оано зада, ооноан ално лдмой олм, омло л зада даонной ао, лн олнн да но злао, аой нно, оложнй, ном наза оан да.

а лааодж зложн о нооо ла ололнно n.

K = K(M) = trace(M) det(M) (1) n дал назамоо -лом ололнно. азаннй манй нонал одл дл нной ммзмой ма M (.., ножднна мааT аа, о M = TST 1, д S - ммна оложлно одлнна маа). оод дално ооалн -лаололнно о анданм алнм лом ололнно C = C(M) = (M)= (M): (2) max min аомна л од но ажн ойа л ололнно, жд о занн онам одмо модаожнн адно, мнмоо дл н м лнйн л а аннй (.л.а..) Mx = b ммной оложлно одлнной (..о.) азжнной n n-май M.

амаа анданй мод ожнн адно (м...):

r0 = b Mx0; p0 = r0; i = 0; 1; : : : :

T ri ri = ; xi+1 = xi + pi ; ri+1 = ri Mpi ; (3) i i i pTMpi i T ri+1 ri+ = ; pi+1 = ri+1 + pi :

i i T ri ri д xi ri = b Mxi лжн н нзанаiй а, оонно. ооо зна онаан M 1p ном нз, д k rk = rTM 1r, м д 0 p, ! ! p i i k rik 1 C(M) + 1 C(M) M @ A 2 p + p ; (4) k r0k M C(M) 1 C(M) + д C(M) одлно (2). онно, о мнн C(M) оа ол о ан нй ан M 1-ном нз.

д, однао, ом ндоаон олаоанно он (4) алной оо одмо м..., ооа нно за н оло о онон ан а, но о адлн онн знанй ма M н ан.

оа о одмо м..., олза дложнно аоа [3, 4] -ло ололнно (1), оноа нанй p ан лдоой ном нз k ri k = rTr да i=k ri k K(M)1=i 1 : (5) k r0k оналнй д ой он л анолн аоа [8, 11], д лааж доазана нламо ом ж мл, ооом о адло дл анданой он (4).

оа лааодолжа зложн о модаожнн адно (м...), дл н .л.а.. Ax = b. аж а о мнн. оо нман дл дололнном аан м..., озолм знално о о ллн но. л ..о. мааH A 1 ана а дололал дл ма A, о о мод оа лдм омлам:

r0 = b Ax0; p0 = Hr0; i = 0; 1; : : : :

T ri Hri = ; xi+1 = xi + pi ; ri+1 = ri Api ; (6) i i i pTApi i T ri+1 Hri+ = ; pi+1 = Hri+1 + pi :

i i T ri Hri ажнм ном злаом, оджам ой ла, л (онна) оналаай модаожнн адно, доаоноо дл мнн H-ном наалной нз " 1 аз з K-ло ололнно iK(") = log2 K(HA) + log2 (" 1) : (7) оо можно оон о анданой оной лаай p iC(") = C(HA) log (2" 1) : (8) нонм ндоаам аадололан, оноанноо наон (8) занноо мнмзай алноо лаололнно C(HA), л а олмано о ноднноо аоо олзоан оло-нд ом ла (нам, оон дололанй дл озолной ..о. ма), а о ндоаона олаоанно алной оо одмо м..., оонно ло дй ллной оно. оом залн ла омл ононой з да, номй наза, мнно, од о лооазно оон дололал H од з ло мнмза -лаололнно K(HA) (л о нй он) оанн, наладам ой дололал H.

Y. Notay. On the convergence rate of the conjugate gradients in presence of rounding errors. Numer.

Math. v.65 (1993) 301-317.

лааодж оан зноо ой но лаадололанй, оа лжннм ммнм олнм азложнм озолн ..о. ма A UTU. ноно нман дл ломам азложнй онм мал лмно о знанм. оаза лдй ажнй зла, аналай н ан заолнн лжнноо множл U дл ооо лаа аломо аоза.

ома1 [12]. A = AT > 0 Diag(A) = In, нооом 0 < 1 олнн ло ной ойо trace(UTU A) n ; det(UTU) det A:

одаз ло он j (U)i;jj ; j > i;

д оназаолнн + 1 K(A) 1=n nz(U) n 1 + ;

а мо нламой мал ; ол n; K(A).

налз олдн дожнй ола оон лжнн олн азложнй, жд о ломамноо,10 о ол аной лжнной ,11 л лдй маной омло [12], ооа озоллан оло да оо ооноан оом дололан, но омлоа он лжнноо олноо азложн ооо ода:

T A = UTU + UTE1 + E1 U E2 (9) M. Tismenetsky. A new preconditioning technique for solving large sparse linear systems. Linear Algebra Appls. v.154-156 (1991) 331-353.

M. Suarjana and K. H. Law. A robust incomplete factorization based on value and space constraints.

Int. J. Numer. Methods Engrg. v.38 (1995) 1703-1719.

д U { ножднна н олна маа(олзма а лжн аоо множл U0 оноо олноо T азложн A = U0 U0 дл ма A), E1 { оо н олна мааоно онолно малм о модл лмнам, E2 { ммна ноално одлнна мааоно лмнам, нно мнм о анн E1.

налнм мом аоо азложн (9) ( о E1 = O( ), E2 = O( )) л о а, о ой ж нжнй ан намодл ннл лмно U (аода ооамой нй ан заолнн nz(U), м. ом 1), оно лжн оаза наодо л мл замо о лаололнно ма A:

p 2 C(U TAU 1) = 1 + O( C(A) + C(A)); log K(U TAU 1) c2(A) ;

одаа дл м ажннна-ала,12 м. аж (д E1 = 0; E2 = O( )) мм оаздо ол ла он C(U TAU 1) = 1 + O( C(A)); log K(U TAU 1) c1(A) :

нн оонон дл лн лжнноо олноо азложн мо олн ноднно з (9), нам, л о оа, о азжнно ма U E1 н ло оада озй ннл лмно о знан ннл лмно долол оононм j (U)ijj j (E1)ij j < оонно. д 0 < 1 дал оой малй аам, одлй ао азложн (дм аж наза аамом он мал лмно лжнном олном азложн).

н алноо лаололнно, олам олзоан дололан, ооо лжнном олном азложн 2-о ода, анала A. Jennings and G. M. Malik. Partial elimination. J. Inst. Math. Appl., 20, 307-316, 1977.

M. A. Ajiz and A. Jennings. A robust incomplete Choleski-conjugate gradient algorithm. Int. J. Numer.

Methods Engrg., 20, 949-966, 1984.

ома2 [12]. ожд (9) ма доло лдм лом: U - н олна оложлной даонал, E1 - оо н олна, T T A = AT > 0; E2 = E2 0; E1 E1 E2;

T k E1A 1E1 k ; k A 1=2E2A 1=2k ;

одаадл он p p (U 1AU T) + 1 + + ; (U 1AU T) 1 + :

min max p p C(U 1AU T) (1 + ) + 1 + + :

зла, олнн ом ла он -ла ололнно, да ома3 [12]. ожд T A = UTU + UTE1 + E1 U E2;

ма доло лдм лом: U - н олна оложлной даонал, E1 - оо н олна, T A = AT > 0; E2 = E2 0;

одаадл он T K(U 1AU T) det(A + E1 E1 + E2)= det A;

0 Z 1 dt T @ A K(U 1AU T) min trace(E1 E1 + E2) + (t) ;

A > t д (t) дал оой оно-оонн на A н, ан ол онн знанй ма A, н оод t.

амм, однао, о а лн (лжнна аоза), а мнн (н м маам UT U) лжнноо ммноо олноо азложн а дололал дл й ма A, н да но алзоа нлллн а олм лом ооо адлнной ам.

оом залн ла дла од о ноодмо амон алн ломо дололан, олада лй аалллзмо.

а лааодж оан аалллзм модо дололан ммн оложлно одлнн ма оо да, оноанн наолзоан нолн оан олн (н.о..) азложнй.

олзоан н -ололнно дл ааза одмо м... ло нодннм нмном оон -омалноо ддноо лжн дл оаной ма, ооо мож олзоа а нй ооо аалллзмй дололал дл модаожнн адно.

а оаной о оон олз нолно оано олно азложн ..о. ма A, днно аоа [3, 4]. о можно заа а GAGT = I + E;

д G - нжн олна азжнна маа ннлой даонал, E - мааоно. оз ннл лмно ма G да заан. ойй о оноан на лн азжнно ма G озй ннл лмно нжно олнама Aq; q = 1; 2; 3; : : :.

нан одл з ло мнммаK(GAGT). л оо доаоно олн n олн азложнй одма A, оонн нандн множа ннл лмно аждой о G. ао дололан дм оознаа IIC(q) (анл. Incomplete Inverse Cholesky).

ол оннй лом дмаа оон нной азжнно f(i; j)g олано j (G)i;jj (G)i;i, д 0 < << 1, олдм лнм ма G дл ой . ом ло ай дололнноо м... нно н змн, заолннно ма G мож замно мн. ао дололан дм оознаа IIC(q, ).

днао, нмо на"далн" аалллзмо ломо н.о..-азложн, оламй дололннй м... мож нодаоаза л ннамноо ол нм, м ла ойо даоналноо дололан H = (Diag(A)) 1.

олма ом, о дл азанн "одн" алзай нолноо оаноо олноо азложн лн оланнл лмно ма G лн ой ма GAGT оод оаздо мдлнн, м ооамой н заолнн оном лжнном олном азложн ( м ол азложн 2-о ода), м. [9]. ом оо, лом о а заа налн мнн дололал G, м. дал .4.

ол нй одод оан аоа [4, 11], д л дложн лонй аан моданолноо оаноо олноо азложн, озолй зналной м одол омн ндоа ойо н.о..-азложн.

ом, о лн д олзоа p ооо.

одамааA одоа а, о а можно ол ннл лмно оазал лоно-даоналной а, оой з p адан лоо мно однаооо азма.

азжнно ма G лм нжн олн лоо, аж ннл ол лон о, ла ннл лмн нй одной ма Aq; q = 1; 2; 3; : : :. ода, л оадн лонондаоналн заолннно, оаза доаонм л н n аозай одма, оло p з н (оалн лн зон).

ал, онно нозално л азанн p (о о, лон) оан олн множлй одма.

оонн ло ма G можно ан нно, ажа з андан олн аоза анн p одма.

, наон, омн аоза лоо о н озан онм, мо н можно олзоа лжнн олн аоза 2-о ода ооом он, а о ло дложно алзоано аоа [15, 19, 22, 24, 25, 27, 28]. ао дололан дм оознаа BIIC(p,q)-IC2( ) (Block Incomplete Inverse Cholesky - Incomplete Cholesky of the 2nd order).

о, оонно дололан н оло маооо ллла, но о а ооамо "наалллнм" лжннм олнм азложнм й ма лом.

о а л он мнално [15, 19] ооноан о ао [22]. алнй аз о мод олл аоа [27, 28], д наоно алн ой олноо азложн 2-о одал оон, ооноан ан мод лн алано лнй о лоам аоо дололал.

дм ол дално оан лоной нолноо оаноо олноо азложн (BIIC) [4, 9, 11, 22]. маа A одона азанало м ж оазом, о дл зноо лоно-даоналноо дололан (Block Jacobi, BJ), .., t-й даоналнй ло ммно одонной ма м азм nt, д n1 + + np = n. д t = 1; 2; : : : ; p p { лона азмно ма A. л t-о даоналноо лоа одлм \ азно" множо ндо а fkt 1 + 1; : : : ; ktg, д kt 1 = n1 + + nt 1 (k0 = 0, kp = n), дм \ а" множандо fjt(1); : : : ; jt(mt nt)g; jt(p) kt 1. л аждоо t ао ндно множо, а ало, ла нд, н оод kt, оо оаза заннм t-м азнм множом ндо, нам, онолно азжнно ма Aq (л q-й н ма, олнной з A замной онолно мал лмно нанл). д mt nt m1 = n1, .. о ао множо л м.

оознан BIIC-дололал мож заан лдм ддном д:

" # p X 0 H = VtUt 1 Ut TVtT; (10) 0 Int t=д Vt а д моолн ма, ол оо л дннм n-оам одлннм ндам, Vt = [ejt(1)j j ejt(mt nt)j ekt +1 j j ekt]; t = 1; 2; : : : ; p; (11) аажда нолна мааUt л ам множлм олоо t-й \ анной" даоналной (mt mt)-одма VtTAVt, ..

VtTAVt = UtTUt; t = 1; 2; : : : ; p: (12) аоа [4, 9, 10] оазано, о BIIC-дололал H олада ойом K-омално лдм мл. ознам з G множо азжнн нжнолн ма, оо м ннл лмн оло оз (i; j), д j 2 fjt(1); : : : ; jt(mt nt); kt 1 + 1; : : : ; ig; kt 1 + 1 i kt; (13) t = 1; : : : ; p. одадл оонноо дололал адло далн H = GTG, д G = arg min K(GAGT) G2G (наомнм, о м мо ождо K(GAGT) = K(HA)).

ал амаа лжннй аан BIICдололан, оламй замной дл аждоо t = 1; 2; : : : ; p оноо UTU-азложн (12) наоо лжнно IC2-азложн, налоно (9):

~ ~ ~ ~ VtTAVt = UtTUt + UtTRt + RTUt: (14) t д Rt { лоалн ма оо лмнам j rijj <. ознам " # p X 0 ~ ~ ~ H = VtUt 1 Ut TVtT;

0 Int t= дм дл оо долаа, о а он мал лмно анаам оазом, о mt nt даоналн ~ лмно Ut оада оом лмнам Ut. олзоанм оо доложн зложнн ой IC2 BIIC-азложнй, доаза лда ома4 [22]. A л ..о. май; одаз ой азложнй IC2( ) BIIC(p) а лда она ~ онон K-л ололнно ма HA HA:

p ~ Y K(HA) = det Imt + Rt(VtTAVt) 1RT exp(c0 ); (15) t K(HA) t=д 0 < c0 = c0(A).

ам оазом, з (7) лд оналаай c0(A) ~ iK(") = log2 K(HA) + log2 (" 1) + : (16) log . ., дл ноооо доаоно малоо знан аамаон IC2-азложн лоо ооннй BIIC-IC2-дололал ~ H м о а ж он лаай м..., о Kомално BIIC-дололан (10). о ж м, BIIC-IC2азложн знално мн заа дл лн, анн мнн дололал о анн \ онм" BIIC-дололанм (10), (м. [15]).

нно оан оанн модо дололан IIC(q), IIC(q; ), BIIC(p;q)-IC2( ) оодло олзоанм нной ммной оложлно одлнной ма apache2, зой з олл азжнн ма налод. амаа, ознаа T. A. Davis, Y.F.Hu Y. University of Florida sparse matrix collection. To appear in: ACM Trans. on Math. Software, 2011. V. 38; нооой мной онно-азноной зада, м доаоно олой азм доолно лоо ололна: n = 715176, nz(A) = 4817870, (AS) = 2, (AS)= (AS) = 1:2 106, д max max min AS = (Diag(A)) 1=2A(Diag(A)) 1=2 дал оой ма оно, ммно мааоанн днной даонал.

а дололнноо м... нанал нлоо наалноо лжн x0 = 0 м оано лжло ло k b Axk k 10 12k bk, д аа а b = Ax лла H H одом множн ма A нао ооо н x (i) = 1; i = 1; : : : ; n.

аам дололанй задаал лдм оазом:

(a) дл IIC(q) IIC(q; )) олзоала аноаодной ма оно, мнаа дн н лн ма; аам он ал анм = 0:01;

() дл BIIC(p;q)-IC2( )) олзоала аноаодной ма оно, оаа доаоно заолннн лоно-даоналн а о оадам азмам лоо;

дл оо олзоала одода ломаPABLO15;

знан аамо мод лжнноо олноо азложн I2 [12] ал анм = 0:01; = 0:0001; = 0; = 0:1;

а оодл нанаолном AMD Athlon 64x2 Dual Core Processor 4200+ (2.21 GHz, ам 2 Gbytes) од MS Windows XP v.2002 Service Pack 2 омлоом Intel Fortran Compiler 6.0 for Windows ом омл i /Ox /G6 /Qxi /Qip *.for. м аод нда.

. 1 2 лл зла, олнн дл лалоо p = 1; 2; 4; : : : ; 256; 512 олзоан дололанй BJ(p)-IC2(0.01) BIIC(p;4)-IC2(0.01). амм, о дл оо модо ла p = 1 оа одн о ж мод IC2(0.01)-CG, оаннй ддй ла.

D. Fritzsche, A. Frommer, and D. B. Szyld, Extensions of certain graph-based algorithms for preconditioning. SIAM Journal on Scienti c Computing, v.29, no.5, (2007) 2144-2161.

.1. ло ай м... замо о лалоо дл дололанй BJ( p)-IC2(0.01) BIIC( p;4)-IC2(0.01) зада apache2.

.2. м ам... замо о лалоо p дл дололанй BJ( p)-IC2(0.01) BIIC( p;4)-IC2(0.01) зада apache2.

.3. ло ай м... замо о н q дл модо IIC( q), IIC( q;0.01) BIIC(512;q)-IC2(0.01) зада apache2.

.4. м ам... замо о н q дл модо IIC(q), IIC( q;0.01) BIIC(512;q)-IC2(0.01) зада apache2.

. 1, оаза, о ло ай лоноо мода о доолно лно озаа лн лалоо (а о ознаа, о аалллной алза д нно нжа оазал но), о м а дл модаBIICIC2 ло ай а н змн. . 2 оаза, о азанно оонон о ой ж м оан дл мн а(.., лаоай).

аман. алдамй нзамо ла ай м... л лоо до p = 512 он м, о озмн, номо аздлнм нало, н оло анлно нло (а а л, мл -омално, мнмално озможнм), но оа нзамнм наон оно, номой лжнной аозай лоо. ом оом p азм лоо мна, аоза ано он, доаоно олом p ж нана о лаай за лн озмнй, ном аздлнм нало. л аоза лоо ол оно, о, номннно, о лаай м..., д налда ж нана мал знанй p.

. 3 4 лл зла, олнн дл азн знанй н q о 0 до 6 олзоан дололанй IIC(q), IIC(q;0.01) BIIC(512;q)-IC2(0.01) оонно. амм, о q = 0 мод IIC(0) IIC(0;0.01) од оном дололан о, мод BIIC(512;0)IC2(0.01) од BJ(512)-IC2(0.01). озаан q оод нно оан лаай, но аж доожан заа надололан.

олано оазанной на.3. замо лаай о н , ан знан q лоно дололан нно мн ай, м он. дой оон, оноаннй лом IIC(q;0.01) о оло ж л даж мн ай о анн ойм модом IIC(q) (оой, а ало, олз зоно оло ннл лмно дл омоан ма G).

амо мн ао н анно мно однаоадл модо, м. .4. д о ла налда ажннй омм о q (дл модо IIC о q = 2 дл BIIC о q = 4). днао олнно можно д замно мо модаIIC(q;0.01) над IIC(q) ( олоааза дл q = 3 за нноо мнн заолннно дололал). о од, мод BIIC(512;3)-IC2(0.01) мна м а о дааза(о анн IIC(3;0.01)).

ам оазом, дл озолной азжнной ..о.

ма ооно дололан, оа наджно ао л з лжнн олн азложнй аалллзмо о (но мн н) лон модо.

о ждн л одом, дланнм залн ла.

а лаадал маналдн лла лооазно мнн K-омалн дололанй модаожнн адно. нй одн ой аналз модо олномалноо дололан H = pd 1(A) ммн оложлно одлнн ма A оо да.

лоо ололнн ма азжннм ом ола намн онн знанй онажа айн нно омза оадололао мноолна, од з анданоо ло мнмза алноо лаололнно. ма. ао, о дололао мноолна д, !, + 2t + pd 1(t) = 1 Td Td t;

p p д Td(x) = ((x + x2 1)d + (x x2 1)d)=2 - мноолн а оо одаd-й н, ln d 0 < (A) < < (A) ; = ;

min max 6d наалннй налн -ололнно, од оаздо ол ном дололан, озолм оа мод л лн аалллзмо, ом а оан о ло оай.

а лааодж оан модо дололан озолн ммн оложлно одлнн ма оо да, оноанн наолзоан малоаноой мода, д H = I + CSCT:

д C - оанна n m-мааолноо олооо ана, м m n, S - ммна m m-маа, одлма з ло мнммаK(HA). азанна он ладложна [4] зна [8], д ло анолно, о -омза аоо дололан од о S = (CTC) 1 + (CTAC) 1; (17) нооом знан = (A; C). л аоо олзоан можно олож = 1.

налз олам н ан а дл K(HA), а дл C(HA), од одном ом ж залн: лнйна оолоа оло ма C должнадоаоно ооо омоа онно одоано ма A, оа намнм оннм знанм.

оа оданоаноднно од оон олнной омл д H = B 1 + V (VTBV ) 1 + (VTAV) 1 VT;

д а ма B олз ло оама маа, о лжаа A (на., лоно-даонална а). оонно дололан м мо онон о мном знм д- мнооонм дололанм, озол доолнлно о но.

алн одж лд онон зла да.

1. азаоананоа о одмо модаожнн адно, оноанна наолзоан K-лаололнно.

2. азаоанао дололан ммн оложлно одлнн ма одом лжнн олн азложнй 2-о ода, ооноанм а з -ло ололнно, а мна алноо ла ололнно.

3. азаоанао дололан ммн оложлно одлнн ма одом оан лжнн олн азложнй, ом л олзоанм лоно нлоной ома, ооноанм мна -ла ололнно.

4. о зн о омза -лаололнно амон олномалн дололан, оона ооноанмза оо мноолна, одо о омалном а дололан дл ажноо лаа ..о. ма.

5. азаоанао дололан ммн оложлно одлнн ма одом -омалной малоаноой мода, ооноанм а з -ло ололнно, а мна алноо лаололнно.

нон ла оао м да:

[1] мн .., аон .. ална омза н аонн модо. I // н.: лнн мод оо оанза лнй, . 7, а. нан. мн. , 1984, .139, .51{60.

(од: A. Yu. Eremin and I. E. Kaporin, Spectral optimization of explicit iterative methods. I. Journal of Mathematical Sciences, 1987, V.36, no.2, P.207{214) [2] мн .., аон .., ан .. н лнйн м олой азмно наон онйн : ной одод омза н аонн модо // н.: оо н. онйза лнй. (од д.

..лоооо ..нноа), анй о о омлной олм "на", оа, 1986, .114{124.

[3] аон .. лнанй одод он лаай модаожнн адно // н.: лнн мод оаммно он (од д. . . зноа) - .: , 1990, .55{72.

[4] аон .. дололннй мод ожнн адно дл н дн налоо дналн зада // налн анн, 1990, .26, 7, .1225{1236.

[5] аон .. дололан лллан мода ожнн адно // н: аж. дн аалллн он мод н лнйн м. .:

, 1990. .343{355.

[6] аон .. аонно н м лнйн аннй олзоанм нолной оаной олной аоза // н: м оан зада мамаой з. .: зд-о , 1991. . 71{77.

(од: I. E. Kaporin. Iterative solution of systems of linear equations using incomplete inverse triangular factorization. Computational Mathematics and Modeling vol.4, no.1 (1993) P.28{32) [7] аон .. он н дололан мода ожнн адно // н. -н. 1992. . 28. 2.

. 329{339.

[8] Kaporin, I.E. Explicitly preconditioned conjugate gradient method for the solution of nonsymmetric linear systems // Int. J. Computer Math., 1992, V.40, P.169{187.

[9] аон .. н ан адоонн н дололанй // н. . .15. л. мам. на, 1993. .2, .28{42.

[10] аон .. мза ломо модаожнн адно. // н: ама модл омза ллн ломо. .: зд-о , 1994. . 50{62.

(од: I. E. Kaporin, Optimization of conjugate gradient algorithms, Computational Mathematics and Modeling 1994, V.5, no.2, P.139{147) [11] Kaporin, I.E. New convergence results and preconditioning strategies for the conjugate gradient method // Numer. Linear Algebra with Appls., V.1, no.2, 1994, P.179{210.

[12] Kaporin, I.E. High quality preconditioning of a general symmetric positive matrix based on its UTU + UTR + RTU-decomposition // Numerical Linear Algebra Appl., 1998, V.5, P.484{509.

[13] Kaporin, I.E. Second order incomplete Cholesky preconditionings for the CG method // in: Proc. of IMMB'98, Iterative solution methods for the elasticity equations as arising in Mechanics and Biomechanics, Nijmengen, The Netherlands, Sept. 28-30, 1998, P.47{49.

[14] eмн .., аон .. лн наол онн знанй налнн одмо модаожнн адно, лнн мод оо оанза лнй.

XIII, а. нан. м. , 248, , ., 1998, .5-16.

(од: A. Yu. Yeremin and I. E. Kaporin. The in uence of isolated largest eigenvalues on the numerical convergence of the CG method.

Journal of Mathematical Sciences 2000, V.101, no.4, P.3231{3236) [15] Kaporin,I.E. and Konshin,I.N. Parallel solution of large sparse SPD linear systems based on overlapping domain decomposition // in: Parallel Computing Technologies (Ed. V.Malyshkin), Proceedings of the 5th International Parallel Computing Technologies Conference (PaCT-99), St.-Petersburg, Russia, September 6-10, 1999. Lecture Notes in Computer Science, Vol. 1662, Springer-Verlag, Berlin - Heidelberg - NewYork, 1999, P.436{445.

[16] Kaporin, I.E. Optimizing the UTU + UTR + RTU-decomposition based Conjugate Gradient preconditionings // Rep.0030, November 2000, Department of Mathematics, Catholic University of Nijmegen, Nijmegen, The Netherlands, 16p.

[17] Axelsson O., Kaporin I., Konshin I., Kucherov A., Neytcheva M., Polman B., Yeremin A. Comparison of algebraic solution methods on a set of benchmark problems in linear elasticity // Tech. Report of Department of Mathematics, University of Nijmegen, The Netherlands, 2000, 89p.

[18] Axelsson O., Kaporin I. On the sublinear and superlinear rate of convergence of conjugate gradient methods // Numerical Algorithms, 2000, V.25, P.1{22.

[19] аон .., онн .. аалллно н ммн оложлно-одлнн м наоно ао азн нало // н. л. ам. ам. з. 2001, .41, .481{493.

[20] Axellson O., Kaporin I. Optimizing two-level preconditionings for the conjugate gradient method // Rep.0116, August 2001, Department of Mathematics, Catholic University of Nijmegen, Nijmegen, The Netherlands, 21p.

[21] Kaporin I.E. Using the Modi ed 2nd Order IC Decomposition as the Conjugate Gradient Preconditioning // In: Proc. of PRISM Conference, 20{23 May. 2001, Nijmegen, The Netherlands.

[22] Kaporin I.E., Konshin I.N. A parallel block overlap preconditioning with inexact submatrix inversion for linear elasticity problems // Numerical Linear Algebra with Applications, 2002, V.9, no.2, P.141{162.

[23] Kaporin I.E. Using the Modi ed 2nd Order Incomplete Cholesky Decomposition as the Conjugate Gradient Preconditioning // Numerical Linear Algebra with Applications, 2002, V.9, P.401{408.

[24] Kaporin I., Konshin I.N. Parallel Conjugate Gradient Preconditioning via Incomplete Cholesky of overlapping Submatrices // In: Book of Abstracts, Parallel Computational Fluid Dynamics, May 13{15, 2003, Moscow, Russia, P.52{54.

[25] аон .., онн .. аалллно н лнйн м олзоан лжнной аоза а лоо. // н.:

\ амао модлоан. олм зла." (д.

..лоой, ..н) аа, оа, 2003, .308{319.

[26] Kaporin I. Superlinear convergence in minimum residual iterations // Numerical Linear Algebra with Applications, 2005, V.12, P.453{470.

[27] аон .., онн .. ола множлй IC2азложн дл алано аалллноо дололан.

// . . а. а. з., 2009, .49, 6, .940{957.

[28] Kaporin I.E., Konshin I.N. Load balancing of parallel block overlapped incomplete Cholesky preconditioning. // Lecture Notes in Computer Science, Vol. 5698, Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg, 2009, P.304{315.

Авторефераты по всем темам  >>  Авторефераты по разное