Назаров а. А. Элементарное доказательство Великой теоремы Ферма

Вид материала

Документы

Содержание Комбинаторные основания доказательства О невозможности разложить какую-либо степень, большую чем два, на две степени с таким же показателем Обобщенное утверждение

Подобный материал:

• Ferma-pifagor- 2m © Н. М. Козий, 2007 Украина, А. С. №22108, №27312, №28607 доказательство, 61.13kb.
• «Загадка песчаных гор», 62.53kb.
• А. Н. Рудаков 1-2 курс Кватернионы, октавы и теорема Гурвица Литература, 8.27kb.
• Ема урока. Свойство медианы равнобедренного треугольника, 39.45kb.
• Доклад По философии на тему: Биография Пифагора Самосского, 106.58kb.
• Программа междисциплинарного государственного экзамена по специальности 090102 Компьютерная, 116.53kb.
• Карен Бликсен. Прощай, Африка!, 4654.85kb.
• Содержание: Введение, 134.15kb.
• Программа вступительного экзамена в магистратуру математического факультета, 107.92kb.
• Трудно найти человека, у которого имя Пифагора не ассоциировалось бы с теоремой Пи­фагора, 42.5kb.

НАЗАРОВ А.А.


Элементарное доказательство Великой теоремы Ферма

или

О невозможности разложения какой-либо степени,

большей чем два, на две степени с таким же показателем


2010


УДК 51


БК


Назаров Александр Александрович

Элементарное доказательство Великой теоремы Ферма или о невозможности разложения какой-либо степени, большей чем два, на две степени с таким же показателем. – Издательство, 2010. – 10 с.


ISBN


Дается популярное изложение элементарного доказательства Великой теоремы Ферма об отсутствии положительных целочисленных решений уравнения xⁿ + yⁿ = zⁿ при n > 2, которое основано на более общем утверждении и достигается комбинаторными методами.

Рассчитано на учащихся старших классов средней школы, учителей математики, студентов и преподавателей педагогических институтов. Может представлять интерес для специалистов в области теории групп в комбинаторной топологии линейных пространств в базисах специального типа.

Автор, Назаров А.А., родился в 1948 году в Ленинграде.

Учился в физико-математической школе при ЛГУ. Закончил Военную Академию им. А.Ф. Можайского в 1971 году. Одновременно прошел четырехгодичную подготовку на математико-механическом факультете ЛГУ. До 1990 года служил в Вооруженных Силах СССР. В 1980 году защитил диссертацию на специальную тему. Кандидат технических наук. Автор более 100 учебных, учебно-методических и научных работ, в том числе нескольких монографий. Среди последних «Проблема преобразований наблюдателя в естествознании» и «Информация и периодическая система элементарных частиц».


ISBN


© А.А. Назаров, 2007, 2010

© ОАО НПО «Новатор» (г. Мирный), хранение рукописи, 2007, 2010

© Издательство, публикация, оформление: ekkollamirny.narod.ru/, 2010

1. Комбинаторные основания доказательства
   

1. Треугольник Паскаля


Треугольником Паскаля или арифметическим треугольником называется числовая таблица, строки которой начинаются и оканчиваются числом 1, а каждое иное число в строке, начиная с третьей строки, равняется сумме двух чисел, расположенных над ним.

Вид и содержание треугольника Паскаля всем хорошо известны со школьных лет.

№ строки
0			1
1			1 1
2		1	2	1
3		1	3 3	1
4		1 4	6	4 1
…	…	…	… …	…	…

Также хорошо известно, что числа, стоящие в n–й строке треугольника Паскаля, являются биноминальными коэффициентами разложения бинома n–й степени (a + b)ⁿ.

Биноминальный коэффициент i–го члена биноминального разложения определяется числом сочетаний С_nⁱ = n!/ i!(n – i)!, где i изменяется от 0 до n.

Треугольник Паскаля сыграл заметную роль в становлении и развитии математического направления и метода исследований, называемых комбинаторикой.


2. Биноминальный базис


Треугольник Паскаля обладает многими замечательными свойствами.

Вот одно из таких свойств.

Если рядом с числами треугольника проставить, например, следующие множители с чередующимися по диагоналям знаками + и –

				1(7 – 1)4
			1(7 – 1)4		–1(7 – 2)4
		1(7 – 1)4		–2(7 – 2)4		1(7 – 3)4
	1(7 – 1)4		–3(7 – 2)4		3(7 – 3)4		–1(7 – 4)4
1(7 – 1)4		–4(7 – 2)4		6(7 – 3)4		–4(7 – 4)4		1(7 – 5)4,

то сумма всех выражений, стоящих во всех строках по 4–ю включительно, равна 7⁴.

В общем случае имеем

				1(x – 1)n
			1(x – 1)n		–1(x – 2)n
		1(x – 1)n		–2(x – 2)n		1(x – 3)n
	1(x – 1)n		–3(x – 2)n		3(x – 3)n		–1(x – 4)n
1(x – 1)n		–4(x – 2)n		6(x – 3)n		–4(x – 4)n		1(x – 5)n
	…		…		…		…	,

и сумма всех выражений, стоящих во всех строках с 0–й по n–ю включительно, равна xⁿ.

Обозначив суммы по строкам (x – 1)ⁿ = a₀, (x – 1)ⁿ – (x – 2)ⁿ = a₁, и так далее до a_n, можем записать xⁿ = Σa_i, где суммирование по i осуществляется от 0 до n.

Общее выражение для a_i имеет вид Σ(-1) ^jC_i^j(x – j – 1)ⁿ при суммировании по j от 0 до i.

Назовем элементы a₀, a₁, …, a_n, такие, что Σa_i = xⁿ и a_i = Σ(-1) ^jC_i^j(x – j – 1)ⁿ, элементами биноминального разложения числа xⁿ, а само выражение Σa_i – биноминальным базисом для числа xⁿ.

Обратим внимание на то, что n–й элемент базиса Σa_i, то есть a_n, всегда равен n!.

Впрочем, для понимания решения задачи достаточно того, что n–й элемент определяется только числом n и не зависит от числа x.


3. Прямоугольник Паскаля


Повернем треугольник Паскаля против часовой стрелки так, чтобы диагональные числа заняли строки и столбцы, а числа, занимающие строки треугольника, приняли диагональное расположение.

Назовем полученную числовую таблицу прямоугольником Паскаля.

В общем случае прямоугольник Паскаля может продолжаться вправо и вниз по строкам и столбцам неограниченно, как и треугольник Паскаля может неограниченно продолжаться вниз по строкам.

Теперь рядом с числами прямоугольника Паскаля проставим множителями элементы Σa_i биноминального базиса для числа xⁿ так, чтобы одинаковые элементы занимали один столбец и располагались в строках по возрастанию индексов.

1 a0	1 a1	1 a2	…	1 a i	…	1 an	=	x n
1 a0	2 a1	3 a2	…	C1+ii a i	…	С1+nn an	=	(x + 1)n
1 a0	3 a1	6 a2	…	C2+ii a i	…	С2+nn an	=	(x + 2)n
1 a0	4 a1	10 a2	…	C3+ii a i	…	С3+nn an	=	(x + 3)n
1 a0	5 a1	15 a2	…	C4+ii a i	…	С4+nn an	=	(x + 4)n
…	…	…	…	…	…	…		…

И здесь проявляется еще одно замечательное свойство треугольника Паскаля, который преобразован для удобства в прямоугольник. Суммы по строкам изменяются как n–е степени числа x, увеличиваемого на 1 от строки к строке.

То есть, имеем (x + r)ⁿ = ΣC_r+iⁱa_i.

Напомним, что суммирование осуществляется по i от 0 до n.

Например, проставив для упрощения записи элементы биноминального базиса для числа 5⁶ отдельной строкой, получим следующее представление 6–х степеней в базисе Σa_i = 5⁶

a0	a1	a2	a3	a 4	a5	a6	=	x6
4096	3367	2702	2100	1560	1080	720	=	56 =15625
1	1	1	1	1	1	1	=	56=15625
1	2	3	4	5	6	7	=	66 =46656
1	3	6	10	15	21	28	=	76 =117649
1	4	10	20	35	56	84	=	86 =262144
1	5	15	35	70	126	210	=	96 =531441
…	…	…	…	…	…	…		… ,