Назаров а. А. Элементарное доказательство Великой теоремы Ферма

Вид материала

Подобный материал:

1 2 3 4 5

Уравнение xⁿ + yⁿ= zⁿ не разрешимо при n > 2, 0 < x < y< z и n, (y – x) и (z – x) – целых.

Известно, что для любого x > 0 и целых r > 0 и n > 0 справедливо (x + r)ⁿ= ΣC_r₊_iⁱa_i при суммировании по i от 0 до n, где элементы {a_i} имеют вид a_i= Σ(–1)^jC_i^j(x – j – 1)ⁿ при суммировании по j от 0 до i. Примем за определение.

По определению при y= x + k и z= x + m имеем линейную систему относительно {a_i}:

ΣC_iⁱa_i= xⁿ

ΣC_k₊_iⁱa_i= yⁿ

ΣC_m₊_iⁱa_i= zⁿ

и, допуская справедливость xⁿ + yⁿ= zⁿ,

Σ(C_k₊_iⁱ + 1)a_i= yⁿ + xⁿ= xⁿ + yⁿ= zⁿ.

Откуда

Σ(C_k₊_iⁱ + 1)a_i= ΣC_m₊_iⁱa_i или 2a₀ + Σ(C_k₊_iⁱ + 1)a_i= a₀ + ΣC_m₊_iⁱa_i,

где в последнем соотношении суммирование по i ведется от 1 до n.

Таким образом, a₀= (x – 1)ⁿ приводится к виду Σ(C_m₊_iⁱ – C_k₊_iⁱ – 1)a_i при суммировании по i от 1 до n такому, что Σ(C_k₊_iⁱ + 1)a_i приводится к виду ΣC_m₊_iⁱa_i при суммировании по i от 0 до n. Определим это преобразование: перегруппировка.

zⁿ= ΣC_m₊_iⁱa_i влечет zⁿ^-1= ΣC_m₊_iⁱa_i при понижении предела суммирования и показателей степени слагаемых от n до n – 1 по определению.

Соответственно, Σ(C_m₊_iⁱ – C_k₊_iⁱ – 1)a_i= (x – 1)ⁿ влечет Σ(C_m₊_iⁱ – C_k₊_iⁱ – 1)a_i= (x – 1)ⁿ^-1, как следствие допущения и по определению.

Тогда, выполняя обратную перегруппировку слагаемых zⁿ^-1= ΣC_m₊_iⁱa_i, последовательно получаем

z^n-1= ΣC_{m +i}ⁱa_i= a₀ + ΣC_{m +i}ⁱa_i = a₀ + (a₀ + ΣC_{m +i}ⁱa_i – Σ(C_{m +i}ⁱ – C_k+iⁱ – 1)a_i) =

= 2a₀ + Σ(C_k+iⁱ + 1)a_i= Σ(C_k+iⁱ + 1)a_i= ΣC_k+iⁱa_i+ Σa_i= y^n-1+ x^n-1= x^n-1+ y^n-1,

где суммирование по i ведется до n – 1, по j от 0 до i и a_i= Σ(–1)^jC_i^j(x – j – 1)ⁿ^-1,

при этом в первом выражении суммирование по i ведется от 0,

во втором, третьем и четвертом – от 1,

в пятом и шестом – от 0.

Обратная перегруппировка для zⁿ^-1 всегда выполнима, если выполнима прямая для zⁿ, в силу позиционного (базисного) построения сумм, выражающих zⁿ^-1 и zⁿ, по определению.

Таким образом, xⁿ + yⁿ= zⁿ влечет xⁿ^-1 + yⁿ^-1= zⁿ^-1, что противоречит единственности решения, и, следовательно, допущение о справедливости xⁿ + yⁿ= zⁿ при n > 2, 0 < x < y< z, где n, y – x и z – x – целые, не верно.

Что и требовалось.

Известное утверждение Ферма – следствие доказанного утверждения.

Обратное утверждение о том, что xⁿ^-1 + yⁿ^-1= zⁿ^-1 влечет xⁿ + yⁿ= zⁿ, не верно.

Рассмотренное доказательство не может быть расширено до n > 1, поскольку при n = 1 всегда a₁ = 1! и при n = 2 всегда a₂ = 2!, что ограничивает перегруппировки для нецелых x и приводит к нарушениям четности и известных условий Эйлера при перегруппировках целых и попарно взаимно простых x, y и z.

Что касается исходного факта, принятого за определение, а также утверждения о том, что n–й элемент базиса не зависит от x, то в этом несложно убедиться, применив индукцию по n.

Утверждение допускает расширение до вещественных x при некоторых ограничениях на соотношения модулей x, y и z.

Заключение

риведенное выше доказательство является элементарным представлением одного из соотношений в области теории групп в комбинаторной топологии линейных пространств с базисами специальных типов, например, с биноминальным базисом.

В заключение полагаю своим долгом и позволительным шагом сделать следующее.

1. Называть обобщенное утверждение теоремой Майзелиса.

Майзелис Арон Рувимович (1921 – 2005) – выдающийся педагог, замечательный человек и известный школьный учитель математики, долгие годы преподававший в классах физико-математического профиля в 38-й школе Василеостровского района города Ленинграда, позднее Санкт-Петербурга. Мне посчастливилось учиться в классе Арона Рувимовича с 1963 по 1966 год и еще много лет сохранять с Ароном Рувимовичем доверительные творческие отношения.

2. Называть пространство L_A пространством Александрова.

А

лександров Александр Данилович (1912 – 1999) – известный математик, физик, академик АН СССР. В 1986-1987 годах в ЛОМИ АН мне довелось иметь ряд обсуждений по вопросу моделирования специальных процессов с Александровым А.Д.. В одной из бесед Александр Данилович заметил: линеаризация нелинейностей этих процессов даст инструментарий для покорения Диофантовых гор и, может быть, пика Ферма.

Он был очень близок к истине …

Для линейного пространства L_A с биноминальным базисом Σa_i, a_i= Σ(–1)^jC_i^j(x – j – 1)ⁿ, в общем случае пределы суммирования определены от 0 до ∞, где a₁всегда нечетное и все a_i до a_nвсегда четные для целых x, а a_n равно n! для любых x, и все последующие элементы базиса обращаются в 0. Помимо линейных операторов преобразований сдвигов и перегруппировки, в пространстве L_A действуют операторы вращений с изгибом, что позволяет линеаризовать некоторые задачи, относимые к диофантовым.

Доказанное утверждение явилось одним из результатов приложения L_A со специальным базисом для исследования пространства–времени с аксиомами:

а) закона сохранения

1 = k_τk_R ,

где k_τи k_R – мгновенные, сопряженные в точке пространства кривизны тактового (или циклического в точке) времени и пространства, соответственно;

б) существования Наблюдателя (нашего типа)

t = exp(inπ), n целое на (– ∞, + ∞),

устанавливающей, что Наблюдатель (нашего типа) пространственно (или овеществлено) существует, наблюдая проявления (или события) пространства–времени, в однонаправленном времени t в моменты nπ тактового (или циклического в точке) времени τ;

в) тактовой логики с правилом вывода

(^ךА ⇄ А)(^ךА ⇆ А) → (^ךА²≈ А²),

где ^ךАи А – мгновенные внутренняя в точке и внешняя относительно этой же точки логические конструкции логической системы пространства–времени, соответственно,

которой устанавливается парная эквивалентность ( ≈ ) логических структур логически расширяющегося и логически сжимающегося пространства за такт тактового времени.

Логическая структура пространства–времени относительно Наблюдателя (нашего типа) существенно подобна (гомеоморфна) линейному пространству L_A с базисом специального типа.

Говоря о базисе специального типа пространства Александрова L_A, мы подразумеваем, что элементами этого базиса Σa_i могут являться структуры (морфологии) любой природы, достаточно их описать, например, формально математически или содержательно на русском языке. Именно это и было предметом обсуждений с А.Д. Александровым.

Так, первоначально, в пространстве L_A исследовались закономерности развития объектов военной техники. То есть базис формировался структурой технического решения какого-либо типового образца, например, автомата, пушки, танка и т.п..

Затем, оказалось, что такой метод применим для исследования научных, экономических, социальных и иных систем.

Познакомившись с идеей метода («Теория морфологического прогнозирования», 1986), Александров предложил применить его к физическим теориям. Так стал формироваться базис морфологического ряда физических теорий.

Порождающие возможности пространства Александрова впечатляют. Например, базис пространства может формироваться морфологическим рядом самих пространств L_A.

И последнее.

Обсуждая доказательство Великой теоремы Пьера Ферма, весьма неприлично умолчать о существовании доказательства американского математика Эндрю Уайлса, целеустремленность и упорство которого в достижении поставленной цели достойны высшей оценки.

Не имею чести входить в круг специалистов, разобравшихся с методом и содержанием доказательства Уайлса и присудивших приоритет в доказательстве теоремы Ферма Уайлсу. Но оценка, полагаю, обоснована.

Что же касается излагаемого предмета, думаю, есть основания утверждать, что Ферма, прекрасно владевший исчислением приращений степенных функций, в том числе числовых рядов, операционными возможностями арифметического треугольника, не погрешил против истины, записав в 1637 году на полях сочинения Диофанта «Арифметика», что ОН «нашел поистине удивительное доказательство».

Поэтому, полагаю, приоритет доказательства по праву может принадлежать Ферма:

О невозможности разложения какой-либо степени, большей чем два, на две степени с таким же показателем.

© Ферма Пьер, Франция, Тулуза, 1637. Восстановлено в России, 2007, 2010.

С глубоким уважением к терпеливому читателю и благодарностью

Автор

г. Мирный,

Архангельская область,

6 июня 2010 года

Содержание

I	Комбинаторные основания доказательства ………………………………………….	3
	1. Треугольник Паскаля ………………………………………………………………...	3
	2. Биноминальный базис ………………………………………………………………..	3
	3. Прямоугольник Паскаля ……………………………………………………………..	4
	4. Комбинаторное представление преобразований …………………………………...	4
II	О невозможности разложить какую-либо степень, большую чем два, на две …. степени с таким же показателем	6
III	Обобщенное утверждение ……………………………………………………………….	11
IV	Заключение ……………………………………………………………………………….	12

Blog

Назаров а. А. Элементарное доказательство Великой теоремы Ферма